TỔNG ôn KIẾN THỨC NGUYÊN lý kế TOÁN TỔNG ôn KIẾN THỨC NGUYÊN lý kế TOÁN TỔNG ôn KIẾN THỨC NGUYÊN lý kế TOÁN CHƯƠNG 1 MA TRÂÂN VÀ ĐỊNH THỨC I MA TRÂÂN 1 định nghĩa ma trâ Ân xem sách trang 7 2 các loại ma trâ Ân xem sách trang 7,8 3 phép cô Âng ma trâ Ân A= (aij)mn B= (bij)mn A+B=( aij+bij ¿¿mn c.
CHƯƠNG 1: MA TRÂÂN VÀ ĐỊNH THỨC I MA TRÂÂN 1.định nghĩa ma trâ Ân :xem sách trang 2.các loại ma trâ Ân : xem sách trang 7,8 phép cô Âng ma trâ Ân: A= (aij )mn B= (bij )mn a +b A+B=( ij ij ¿ ¿ mn chú ý: cô Âng hai ma trâ Ân thì hai ma trâ Ân đó phải cùng cấp VD: A= (26 6 ) A+B= B= 2+1 (6+9 (19 6+ 4+4 6+ 7+6 ) ) = (153 8 13 4.phép nhân ma trâ Ân với mô Ât số thực kA= (k aij )mn VD:ta có ma trâ Ân A= tính 2.A 6 2.2 6.2 4.2 12 2.A= = 6.2 6.2 7.2 12 12 14 ( ( ) ) ( ) *Mô Ât số tính chất quan trọng: i ii iii iv v vi vii viii ix A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A với O= 0mn A+(-A) = O α ( A+ B ) =αA +αB ( αβ ) A=α ( βA ) ( α + β ) A=αA + βA 1A=A (αA + βB)T =α AT + β BT 5.phép nhân hai ma trâ Ân A= (aij )mn B= (bij )np p A.B= (c ij )mp với c ij =∑ aik bkj k=1 VD: A= ( 6 A.B= ) (2.1+6.2+4.4 6.1+6.2+7.4 B= ( ) 2.3+ 6.0+4.1 6.3+6.0+7.1 ) = (3046 1025) *mô Ât số tính chất quan trọng: xem sách trang II ĐỊNH THỨC 1.ĐỊNH NGHĨA : xem sách trang 10 2.MÔÂT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG DÙNG : Tính chất 1: |A|=| A T ∨¿ với A là ma trâ Ân vuông ) Tính chất 2: định thức sẽ đổi dấu nếu đổi chỗ hai dòng với định thức VD: =− (đổi dòng với dòng 3) Tính chất 3: nếu các phần tử của dòng có thừa số chung là số ∝ thì ta có thể rút ∝ | || | ngoài khỏi dấu định thức VD: Tính chất 4: định thức có giá trị bằng o nếu hai dòng tỷ lê  VD: | || | 9 1 6 =9 6 30 30 | | 3 =0 3 ( dòng với dòng tỷ lê  nhau) Tính chất 5: định thức sẽ khồng đổi nếu biễn đổi dòng i thành dòng I cô Âng với k lần dòng j Tính chất 6: định thức của ma trâ Ân tam giác dưới bằng tích các phần tử nằm đường chéo chính VD: | | 3 3 =3∗2∗5=30 0 Tính chất 7: |AB|=|A|.|B| *chú ý: các tính chất từ đến vẫn đúng đổi dòng thành cô Ât III MA TRÂÂN NGHỊCH ĐẢO định nghĩa: AB =BA=I n và đó B được kí hiê Âu là A−1 đó A được gọi là ma trâ Ân khả nghịch hay ma trâ Ân không suy biến ¿ ¿ A∨¿ A −1 A =¿ tìm ma trâ Ân nghịch đảo bằng phép biến đổi theo dòng: ( A|I )=( I | A−1 ) *Các tính chất quan trọng: i Đổi chỗ hai dòng cho VD: ( )( ) 7 = 6 7 (đổi d1 với d3) ii iii VD: Lấy mô Ât dòng nhân với mô Ât số khác không Thay mô Ât dòng bằng dòng đó cô Âng với k lần dòng khác ( )( 7 = −27 −50 9 giải phương trình ma trâ Ân xét phương trình A mn∗X=Bmp ) biến đổi d2 thành d2+ (-8.d1) (1) x ij Cách 1: dựa vào kích thước của ma trâ Ân A B ta đă t ma trâ Ân X= ¿ ¿ ¿ Cách 2: ( chỉ áp dụng A là ma trâ n vuông) Nếu |A| # , đó phương trình (1) có nghiê Âm nhất Nếu |A| =0 , B là ma trâ Ân vuông và |B|# thì không có X Nếu |A| =0 , B là ma trâ Ân vuông mà |B| =0 thì sử dụng cách HẠNG CỦA MA TRÂÂN định nghĩa Cho ma trâ Ân A= (aij )mn có ít nhất mô Ât định thức cấp k khác và mọi định thức k+1 =0 thì IV hạng của ma trâ Ân A =k sử dụng ma trâ Ân bâ Âc thang để tìm hạng của ma trâ Ân VD: A = ( 2 |) 11 1 −3 6 −6 |) |) |) 11 0 1 −3 ⟶ −2 −8 −3 −3 −5 −21 −3 −12 ( ( ⟶ 0 11 1 −3 −6 −9 −16 −18 ⟶ 0 ( −2 11 1 −3 −6 −9 0 36 −28 R( A )= (2d2-d1; d3-d1; 2d4-3d1) (d3+2d2; d4+5d2) (6d4-16d3) MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC Tính chất : Với ma trận Ann A AT Tính chất : Nếu đổi chỗ hai dịng, ta có định thức có giá trị ngược dấu với định thức cũ Tính chất : Nếu định thức có hai dịng giống tỷ lệ định thức có giá trị Tính chất : Nếu nhân số vào dịng định thức, ta có định thức có giá trị gấp lần định thức cũ Tính chất : Định thức ma trận tam giác có giá trị tích phần tử thuộc đường chéo Tính chất : Nếu cộng thêm vào dòng k lần dòng khác, ta có định thức có giá trị định thức cũ Tính chất : Với ma trận Ann Bnn A.B A B Chú ý : Các tính chất đến tính chất ta thay “dịng” “cột Một số ví dụ minh họa : a1 a2 Ví dụ (tính chất 2) : b1 b2 c1 c2 a3 c1 b3 b1 c3 a1 c2 b2 a2 c3 b3 (đổi chỗ dòng dịng 3) a3 Ví dụ (tính chất 3) : 1 1 1 (dòng dòng giống nhau) 2018 2019 2020 1 2020 10 2019 20 (cột cột tỷ lệ nhau) 3 2018 30 Ví dụ (tính chất 4) : a1 a2 k b1 b2 c1 c a3 ka1 a2 b3 kb1 b2 c3 kc1 c2 a3 a1 b3 b1 c3 c1 ka2 kb2 kc2 a3 a1 a2 b3 b1 b2 c3 c1 c2 ka3 kb3 kc3 Trang a1 a2 b1 b2 c1 c2 a3 a1 a2 b3 ( ) b1 b2 c3 c1 c Ví dụ (tính chất 5) : 1 1 2 0 3 0 a3 b3 c3 24 Ví dụ (tính chất 7) : Với Ann A AT A AT (tính chất 7) Vì AT A (tính chất 1) nên suy A AT A Một số tập minh họa : a b c b c a (b c) ( c a) Bài tập : Tính D c a b 1 1 ( a b) Dùng tính chất (cộng cột 2, cột vào cột 1) ta có a b c b c a (b c) ( c a) c a b abc abc abc ( a b) b c a c a b (c a) abc 1 1 ( a b) Áp dụng tính chất vào cột 1, ta lại có : abc abc abc b c a abc ( c a) c a b 1 1 (a b c) 1 ( a b) b c a ( c a) c a b 1 1 ( a b) Sử dụng tính chất (cột cột giống nhau) Trang Do : D 1 b c a 1 (c a) a b c b c a c a b (b c) ( c a) c a b 1 0 ( a b) 1 0 ( a b) 1 1 m 1 Bài tập : Cho định thức D 1 m 1 1 m Dùng tính chất (dịng trừ dòng 1, dòng trừ dòng 1, dòng trừ dòng 1) : 1 1 1 1 m 1 m1 0 1 m 0 m1 1 m 0 m1 Áp dụng tính chất (định thức ma trận tam giác), ta có : 1 1 m1 0 ( m 1)3 0 m 1 0 0 m 1 1 1 m 1 Vậy : D ( m 1)3 1 m 1 1 m Trang GIẢI & BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Gợi ý cách giải : Ta có hai cách sau Cách (chỉ dùng trường hợp hệ có số phương trình = số ẩn) : Lập ma trận hệ số A (đây ma trận vng, số phương trình = số ẩn) Tính A xét trường hợp A (dùng phương pháp Cramer), A (dùng phương pháp Gauss) Cách (tổng quát, dùng cho trường hợp ma trận hệ số) : Dùng phương pháp Gauss, biến đổi ma trận hệ số mở rộng A B thành ma trận bậc thang Sau đó, biện luận trường hợp xảy phần tử dẫn đầu có chứa tham số m Đề tập minh họa : Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m x y z (I) 2 x my mz 3 x y ( m 1)z Giải : Cách : Ta thấy hệ (I) có số phương trình = số ẩn, nên ma trận hệ số A ma trận vng Do đó, ta dùng cách tập 1 Ma trận hệ số hệ (I) : A m m Ta có : A m2 5m m 1 m2 5m m 2, m : hệ (I) hệ Cramer nên hệ (I) có nghiệm 1 1 1 m m ( m 3)2 ; m ; 3 m m m1 m1 m3 x A m2 Nghiệm hệ (I) trường hợp : y A z A m2 1 1 m : Ta có A B 3 3 4 Trang 1 1 1 d2 d2 d1 d3 d3 d2 1 1 1 1 d3 d3 3 d1 1 1 0 0 0 R( A| B) R( A) số ẩn (3 ẩn) nên hệ (I) có vơ số nghiệm x 3z x y z Khi đó, hệ (I) y z (nghiệm tổng quát) y z z 1 1 m : Ta có A B 2 3 4 1 1 1 d d d 3 d2 d2 d1 2 2 d3 d3 3 d1 2 1 0 0 / 2 R( A| B) R( A) nên hệ (I) vô nghiệm Cách : (tổng quát, dùng cho trường hợp ma trận hệ số) 1 1 Ma trận hệ số mở rộng : A B m m 3 3 m 4 1 1 1 1 d2 d2 d1 d2 d3 m m 1 m 1 d3 d3 3 d1 0 m m 1 1 m 1 1 d3 d3 ( m 4) d2 1 m2 0 ( m 2)( m 3) m Nhận xét : phần tử dẫn đầu dòng dòng 1 , chúng khác với m Nên ta cần biện luận trường hợp xảy cho phần tử dẫn đầu dòng 3, ( m 2)( m 3) ( m 2)( m 3) m 2, m : Thì R( A| B) R( A) số ẩn nên hệ (I) có m3 x m x y z nghiệm Khi đó, hệ (I) y ( m 2)z y ( m 2)( m 3)z m z m2 Trang 1 1 m : Ta có A B 1 1 0 0 0 R( A| B) R( A) số ẩn (3 ẩn) nên hệ (I) có vơ số nghiệm x 3z x y z Khi đó, hệ (I) y z (nghiệm tổng quát) y z z 1 1 m : Ta có A B 1 0 1 R( A| B) R( A) nên hệ (I) vô nghiệm HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Gợi ý lý thuyết : Hệ phương trình tuyến tính có dạng A.X (chứa n ẩn số) Hệ có nghiệm X Ma trận hệ số mở rộng hệ A Mặt khác, ta ln có R A R A nên hệ có hai trường hợp nghiệm sau : R( A) n (số ẩn) : Hệ có nghiệm X (gọi nghiệm tầm thường) R( A) n (số ẩn) : Hệ có vơ số nghiệm có nghiệm X Đề tập minh họa : Chứng minh hệ phương trình tuyến tính sau ln có nghiệm không tầm thường với a , b , c , a1 , a2 , b1 ax a1 y a2 z a1x by b1z (I) a x b y cz a a1 a2 Giải : Ma trận hệ số hệ (I) : A a1 b b1 a b c a a1 a2 Ta có AT a1 b b1 AT A a c b1 Từ AT A suy AT A (*) Vì AT A A ( 1)3 A (do A ma trận vuông cấp 3) nên (*) cho A A , suy A , nghĩa R( A) Vậy hệ (I) có nghiệm khơng tầm thường Trang MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT MỞ LEONTIEF GIỚI THIỆU Đây mơ hình kinh tế học đoạt giải Nobel Kinh tế vào năm 1973 Trong mơ hình này, tồn ma trận đầu vào – đầu ra, phát triển nhà Kinh tế học Wassily W Leotief, dùng miêu tả mối tương quan lĩnh vực khác kinh tế Cụm từ đầu vào – đầu (Input – Output) sử dụng ma trận thể đầu ngành đầu vào cần thiết cho ngành khác cho người tiêu dùng Để dễ nắm bắt hiểu rõ mơ hình, giả sử ta quan sát kinh tế đơn giản gồm ba ngành liên quan với nhau, đặt tên ngành , ngành ngành (chẳng hạn : nông nghiệp, than đá thép) Với ngành j (với j 1, 2, ) , sản xuất sản phẩm j cần đầu vào từ ngành khác, bao gồm ngành j Nếu ta đặt aij số lượng đầu vào lấy từ ngành i (với i 1, 2, ) cần có để sản xuất sản phẩm j số aij tạo thành ma trận vuông cấp sau (thường gọi ma trận hệ số đầu vào ma trận Leontief) : a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a 31 a32 a33 0, 0, 0,1 Chẳng hạn ta xét cụ thể ma trận Leontief : A 0, 0, 0, 0, 0, 0, Đọc số cột thứ ma trận A sau : để sản xuất sản phẩm đầu ngành người ta cần 0, đơn vị đầu vào lấy từ ngành 0, đơn vị đầu vào lấy từ ngành 0, đơn vị đầu vào lấy từ ngành Tương tự vậy, số lượng đầu vào cần thiết cho ngành , ngành đọc từ cột thứ hai cột thứ ba ma trận A Trong kinh tế tồn yêu cầu cuối cùng, nghĩa với ngành u cầu đầu khơng sử dụng đầu vào cho ngành 1, ngành ngành Những yêu cầu cuối sản phẩm xuất hay hàng tiêu dùng Trên quan điểm mơ hình trên, ta quan tâm đến vấn đề từ yêu cầu cuối cùng, chúng không trùng với yêu cầu miêu tả ma trận A Chẳng hạn như, có yêu cầu cuối cần 66 đơn vị đầu từ ngành 76 đơn vị đầu từ ngành 44 đơn vị đầu từ ngành Khi đó, ta biểu thị số ma trận sau (thường gọi ma trận yêu ThS Đào-Bảo-Dũng Trang MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ Chúng ta biết tích phân tốn ngược đạo hàm Chính vậy, tích phân có vai trị quan trọng tốn ứng dụng vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế học, … Sau viết vài ứng dụng tích phân lĩnh vực liên quan đến kinh tế (sản lượng, chi phí, doanh thu, đầu tư, người tiêu dùng, nhà sản xuất, …) Bài tốn (Chi phí biên – Hàm chi phí) : Bộ phận nghiên cứu doanh nghiệp thấy chi phí biên doanh nghiệp MC(q) 9q 30q 15 q mức sản lượng doanh nghiệp a Hãy tìm hàm chi phí doanh nghiệp này, biết chi phí cố định doanh nghiệp 30 b Hãy tìm chi phí trung bình doanh nghiệp Giải : a Ta biết MC(q) C (q) , với C(q) hàm chi phí Do : C(q) MC(q) dq 9q 30q 15 dq 3q 15q 15q K Vì chi phí cố định chi phí mà doanh nghiệp tình trạng không sản xuất ( q ) tức C(0) Theo giả thiết, ta có : C(0) 30 K 30 Vậy, hàm chi phí doanh nghiệp : C(q) 3q 15q 15q 30 b Chi phí trung bình chi phí bình qn tính đơn vị sản phẩm : C(q) C( q) Do đó, q chi phí trung bình doanh nghiệp 3q 15q 15q 30 30 C( q) 3q 15q 15 q q Bài toán (Doanh thu biên – Hàm doanh thu) : Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm, có doanh thu biên MR(q) 3q 4q 30 q mức sản lượng doanh nghiệp a Hãy tìm hàm doanh thu doanh nghiệp b Hãy xác định phương trình hàm cầu QD ( P) loại sản phẩm này, với P đơn giá bán loại sản phẩm Giải : a Ta biết MR(q) R(q) , với R(q) hàm doanh thu Do : R(q) MR(q) dq 3q 4q 30 dq q 2q 30q K Rõ ràng, doanh nghiệp tình trạng khơng sản xuất ( q ) doanh thu Nghĩa R(0) K ThS ĐàoBảoDũng Trang Vậy, hàm chi phí doanh nghiệp : R(q) q 2q 30q b Ta biết R(q) P.q P đơn giá bán loại sản phẩm Nên P.q q 2q 30q P q 2q 30 q 2q (30 P) q 1 121 P (nhận) q 1 121 P (loại) Vậy, hàm cầu cần tìm QD ( P) 121 P Bài toán (MPC – Hàm tiêu dùng) Trong kinh tế học, người ta ký hiệu hàm tiêu dùng C(Y ) phụ thuộc vào thu nhập Y Khi MPC (Marginal Propensity to Consume), thường gọi xu hướng tiêu dùng biên, đạo hàm C(Y ) 0, Giả sử MPC 0,8 mức tiêu dùng thiết yếu 30 Hãy xác định phương trình hàm Y tiêu dùng trường hợp Giải : 0, 0, Ta có MPC 0,8 C (Y ) 0,8 Y Y 0, Do C(Y ) 0,8 dY 0,8 0, 3 x K Y Mức tiêu dùng thiết yếu mức tiêu dùng khơng có thu nhập Theo giả thiết, ta có : C(0) 30 K 30 Vậy, hàm tiêu dùng cần tìm : C(Y ) 0,8 0, 3 x Bài toán (Tốc độ sản xuất – Số lượng sản phẩm) : Một cơng ty có dây chuyền sản xuất chế tạo linh kiện Sau vài tuần thử nghiệm, đội ngũ kỹ sư cơng ty tính tốn tốc độ sản xuất đạt tuần 10 (linh kiện) s(t ) 450 1 3 (10 t ) với t biến thời gian (đơn vị tuần) a Hãy tính số linh kiện đạt tuần b Hãy tính số linh kiện đạt tuần c Hãy tính số linh kiện đạt tuần d Hãy tính số linh kiện đạt từ đầu tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư e Hãy tính số linh kiện đạt tuần thứ tư Giải : a Gọi q(t ) số lượng linh kiện sản xuất t tuần Vì hàm s(t ) biểu thị tốc độ sản xuất, nên s(t ) q(t ) Do đó, lượng linh kiện sản xuất t0 tháng t0 q(t0 ) s(t ) dt ThS ĐàoBảoDũng Trang a Lượng linh kiện sản xuất tuần 2 10 28395 0 s(t) dt 450 1 (10 t)3 dt 32 887 (linh kiện) b Lượng linh kiện đạt tuần 3 10 130005 s ( t ) dt 450 dt 1326 (linh kiện) 0 3 98 (10 t ) c Lượng linh kiện sản xuất tuần 4 10 0 s(t) dt 450 1 (10 t)3 dt 1760 (linh kiện) d Lượng linh kiện đạt tuần thứ tư 130005 42475 s ( t ) dt 0 0 s(t) dt 1760 98 98 433 (linh kiện) e Lượng linh kiện đạt từ đầu tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư 28395 27925 0 s(t) dt 0 s(t) dt 1760 32 32 872 (linh kiện) Bài toán (Tốc độ đầu tư – Quỹ vốn đầu tư) Một nhà đầu tư định đầu tư vào dự án lớn (trong nhiều tháng) với lượng đầu tư hàm phụ thuộc vào biến thời gian sau I (t ) 210 t (đơn vị tiền) với t biến thời gian (đơn vị tháng) a Hãy tính quỹ vốn đầu tư tháng nhà đầu tư b Hãy tính quỹ vốn đầu tư tháng nhà đầu tư c Hãy tính quỹ vốn đầu tư tháng thứ ba nhà đầu tư Giải : Lượng đầu tư (còn gọi tốc độ bổ sung vốn) hàm theo biến thời gian t , giả sử I (t ) Gọi K(t ) quỹ vốn thời điểm t Vì I (t ) tốc độ bổ sung vốn, nên ta có : I (t ) K (t ) Do đó, quỹ vốn tính từ t đến t t0 t0 K(t0 ) I (t ) dt a Quỹ vốn đầu tư tháng nhà đầu tư 2 I(t) dt 210 t dt 240 403 (đơn vị tiền) 0 b Quỹ vốn đầu tư tháng nhà đầu tư 3 I(t) dt 210 t dt 360 27 820 (đơn vị tiền) c Quỹ vốn đầu tư tháng thứ ba nhà đầu tư ThS ĐàoBảoDũng Trang 3 4 I(t) dt I(t) dt 360 27 240 417 (đơn vị tiền) 0 Bài toán (Thặng dư tiêu dùng – Thặng dư sản xuất) Trong kinh tế học, có khái niệm “thặng dư người tiêu dùng” (ký hiệu CS – Custumer’s Surplus) “thặng dư nhà sản xuất” (ký hiệu PS – Producer’s Surplus) Giả sử giá nước 15.000 đồng/m3 Khi tiêu dùng m3 nước đầu tiên, người tiêu dùng sẵn sàng trả 20.000 đồng/m3 mang lại cho người tiêu dùng độ thỏa mãn cao Nhưng m3 nước theo giá thị trường tốn có 15.000 đồng, người tiêu dùng khoản thặng dư 5.000 đồng Thặng dư người tiêu dùng chênh lệch lượng tiền mà người tiêu dùng sẵn sàng trả cho hàng hóa với lượng tiền thực cần để có loại hàng hóa Giả sử chi phí để sản xuất áo khốc 50.000 đồng Nhà sản xuất bán áo khoác với đơn giá 80.000 đồng Khi đó, xuất thặng dư nhà sản xuất 30.000 đồng / áo Thặng dư nhà sản xuất phần chênh lệch giá thị trường mà nhà sản xuất nhận cho sản phẩm giá thấp mà nhà sản xuất sẵn sàng chấp nhận đủ để bù đắp chi phí sản xuất đồng thời mang lại lợi nhuận bình thường Do đó, thị trường cạnh tranh hoàn hảo, nhà sản xuất hữu hiệu có khả tồn giá cân thị trường vừa đủ chi phí cung cấp (kể mức lãi bình thường), nên khơng thể kiếm phần thặng dư Trái lại, thị trường cạnh tranh khơng hồn hảo số nhà sản xuất thu phần thặng dư Hàm cung QS ( P) S( P) cho biết lượng sản phẩm QS toàn thị trường mà nhà sản xuất chấp nhận bán với giá P Hàm cầu QD ( P) D( P) cho biết lượng sản phẩm QD toàn thị trường mà người tiêu dùng chấp nhận mua với giá P Các nhà kinh tế thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng sản phẩm Q trục tung để biểu diễn giá bán P Do : Đồ thị đường cung kinh tế học đồ thị hàm P S1 (Q) (là hàm ngược hàm QS ( P) S( P) ) Đồ thị đường cầu kinh tế học đồ thị hàm P D 1 (Q) (là hàm ngược hàm QD ( P) D( P) ) P P S1 (Q) A CS E P0 P D 1 (Q) B PS Q0 Q ThS ĐàoBảoDũng Trang Khi cung = cầu (nghĩa QS ( P) QD ( P) ), thị trường đạt trạng thái cân Giả sử giá cân P0 lượng cân Q0 QS ( P0 ) QD ( P0 ) Trong kinh tế học, người ta định nghĩa : - Phần diện tích hình phẳng P0 EB PS (thặng dư nhà sản xuất) - Phần diện tích hình phẳng P0 EA CS (thặng dư người tiêu dùng) Rõ ràng, dùng cơng cụ tích phân xác định để tính diện tích, ta thấy : Q0 1 Q0 1 PS P0 Q0 S (Q) dQ CS D (Q) dQ P0 Q0 Giả sử QS ( P) P QD ( P ) 113 P Hãy tính PS CS Giải : Thị trường cân : QS ( P) QD ( P) P 113 P P 113 P (với P 113 ) P (113 P ) 113 P P 57 113 P (với 57 P 113 ) P 114 P 3249 113 P P 113 P 3136 P 49 (loại) P 64 (nhận) Nên giá cân P0 64 Khi đó, lượng cân Q0 QS ( P0 ) 64 Ta có : QS ( P) P nên P S1 (Q) (1 Q)2 QD ( P) 113 P nên P D 1 (Q) 113 Q Do Q0 1 7 833 PS P0 Q0 S (Q) dQ 64 (1 Q)2 dQ 0 Q0 1 7 637 CS D (Q) dQ P0 Q0 (113 Q) dQ 64 0 ThS ĐàoBảoDũng Trang MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Quy luật làm lạnh Newton (Newton’s Law of Cooling) Nếu có vụ giết người xảy ra, nhiệt độ thể nạn nhân giảm dần từ 37 C (nhiệt độ bình thường thể) đến nhiệt độ môi trường xung quanh Nghĩa nhiệt độ nạn nhân lạnh dần với tốc độ tỷ lệ với chênh lệch nhiệt độ thể nhiệt độ môi trường xung quanh Đây quy luật làm lạnh Newton Giả sử T (t ) nhiệt độ thể thời điểm t gọi a nhiệt độ mơi trường xung quanh Thì quy luật làm lạnh Newton phương trình vi phân dT k(T a) (*) dt Ta giải phương trình (*) sau dT Phương trình tương đương : k dt T a Lấy tích phân bất định hai vế, ta có : ln(T a) kt C (chú ý T a ) T a e kt C e kt e C Đặt A e C , ta có : T a Ae kt T a Ae kt Như vậy, nhiệt độ thể theo quy tắc làm lạnh Newton T (t ) a Ae kt Bài toán (Thời gian vụ giết người) Một người gọi điện thoại báo với cảnh sát : phát có nạn nhân bị sát hại nhà nạn nhân Cảnh sát đến trường lúc 23h 20 Tại thời điểm đó, cảnh sát đo nhiệt độ thể nạn nhân 310 C, sau cảnh sát lại đo nhiệt độ thể nạn nhân 30 C Nhiệt độ phòng mà xác nạn nhân tìm thấy 220 C Hãy ước lượng thời gian mà nạn nhân bị sát hại Giải : Vì nhiệt độ phòng 220 C nên nhiệt độ thể nạn nhân sau bị sát hại : T (t ) 22 Ae kt Tại thời điểm mà cảnh sát đến trường, nhiệt độ thể nạn nhân 310 C nên T (0) 31 22 A 31 A Nên T (t ) 22 9e kt Sau tính từ lúc cảnh sát có mặt trường, nhiệt độ thể nạn nhân đo 30 C nên T (1) 30 22 e k 30 e k 8 Như : T (t ) 22 9 t ThS ĐàoBảoDũng Trang Lúc nạn nhân vừa bị sát hại nhiệt độ thể nạn nhân 37 C Ta tìm t để T (t ) 37 t t 8 15 15 22 37 t log 4, 34 9 9 9 Ta đổi 4, 34 sang giờ, 4, 34 xấp xỉ 20 phút Nghĩa vụ giết người xảy trước lúc cảnh sát đến trường khoảng 20 phút Do cảnh sát đến trường lúc 23h 20 , nên nạn nhân bị sát hại vào khoảng 19 h 00 Mơ hình tăng trưởng (Exponential Growth Model) Ta ký hiệu y(t ) số lượng đại lượng thời điểm t Nếu tốc độ tăng trưởng số lượng tỷ lệ với số lượng, có phương trình vi phân dy k.y (**) dx Phương trình (**) phương trình vi phân cấp tách biến Với kiến thức biết, ta dễ dàng tìm nghiệm tổng quát phương trình (**) y(t ) A.e kt Nếu k , ta gọi tăng trưởng theo quy luật hàm mũ Nếu k , ta gọi phân rã theo quy luật hàm mũ Ngồi ra, cơng thức nghiệm nói hữu ích khoa khảo cổ học, nhà khảo cổ dùng nhiều việc tính tuổi cổ vật (người đọc tìm thấy ví dụ sách khảo cổ học) Bài toán (Tăng trưởng dân số) Trong thành phố, nhà dân số học quan sát thấy tốc độ tăng trưởng dân số thành phố tỷ lệ với cỡ dân số thời điểm Cách hai mươi năm, dân số thành phố 125000 người Năm nay, dân số thành phố 140000 người Sau hai mươi năm, dân số thành phố ? Giải : Gọi y(t ) dân số thành phố thời điểm t Vì tốc độ tăng trưởng dân số thành phố tỷ lệ với cỡ dân số thời điểm nên dy k y dx Nghĩa y(t ) A.e kt Cách hai mươi năm, dân số thành phố 125000 người nên y(0) 125000 A 125000 Tức y(t ) 125000.e kt Năm nay, dân số thành phố 140000 người nên y(20) 140000 125000.e 20 t 140000 e 20 k 1,12 Do đó, dân số thành phố thời điểm t : y(t ) 125000.e kt 125000 e 20 k t 20 t 125000.(1,12) 20 Vậy, dân số thành phố sau hai mươi năm : y(40) 125000.(1,12) 40 20 156800 ThS ĐàoBảoDũng Trang Hàm Logistic (Logistic Funtion) Phương trình vi phân có đóng góp lớn thực tiễn Một phương trình vi phân có tính ứng dụng rộng rãi tốn mơ hình tăng trưởng dy k.y.( M y ) (***) dx y y(t ) hàm chứa biến t số k , M số dương thỏa y(t ) M , t (0, ) Nghiệm tổng quát phương trình (***) gọi hàm Logistic Ta giải phương trình (***) sau 1 dy Ta có : (***) k dt Mk dt y( M y ) y M y Lấy tích phân bất định hai vế, ta có : y ln Mk.t C (chú ý điều kiện y(t ) M , t (0, ) ) My y e Mk t C e Mk t e C () My Ta xem e C A , ta có : y y Ae Mk t Khi đó, () tương đương Ae Mk t My My y ( M y ) Ae Mk t MAe Mk t Ae Mk t y y MAe Mk t Ae Mk t y (1 Ae Mk t ) y MAe Mk t MAe Mk t Ae Mk t MAe Mk t Mk t y Ae Mk t Ae Ae Mk t M y Mk t e 1 A y chữ c cho Mk , ta có hàm Logistic : A M y( t ) be ct Người ta gọi hàm Logistic hàm Logistic Verhulst – Pearl Hàm có ứng dụng thực tiễn lớn, liên quan đến nhiều mơ hình thực tế (chẳng hạn mơ hình tăng trưởng Logistic, mơ hình tin đồn lan truyền, mơ hình lây lan bệnh dịch, …) Hàm Logistic có tiệm cận ngang y M Để đơn giản cách viết, ta thay chữ b cho Ta khảo sát hình dáng đồ thị hàm Logistic bc.e ct Trước hết, ta có : y (t ) M Vì M , b , c nên rõ ràng y(t ) t , hàm (1 be ct )2 Logistic đồng biến (0, ) ThS ĐàoBảoDũng Trang bc e ct (be ct 1) nên hoành độ điểm uốn nghiệm phương (1 be ct )3 ln b ln b trình be ct e ct b t Với hồnh độ điểm uốn tU , ta tìm tung c c M độ điểm uốn yU y(t ) với t tU : đồ thị lõm phía bên trái điểm uốn Mặt khác, ta lại có : y(t ) M y(t ) với t tU : đồ thị lồ phía bên phải điểm uốn Đồ thị hàm Logistic gọi đường cong Logistic, có dạng tổng quát sau y M (tiệm cận ngang) yU hàm Logistic O tU t Sau đây, làm quen số ứng dụng hàm Logistic thực tiễn Bài toán (Thành viên câu lạc bộ) : Một câu lạc có số thành viên tối đa 800 Một năm trước, số thành viên ban đầu câu lạc 50 Hiện nay, số thành viên câu lạc 200 Cho biết gia nhập thành viên tuân theo quy luật Logistic Sau ba năm kể từ bây giờ, số thành viên câu lạc ? Giải : M 800 Vì số thành viên tối đa 800 nên ta xét hàm logistic : y(t ) ct be be ct Một năm trước, số thành viên ban đầu câu lạc 50 nên y(0) 50 800 50 b 16 b 15 1 b 800 Do đó, hàm Logistic : y(t ) 15e ct Hiện nay, số thành viên câu lạc 200 nên y(1) 200 800 200 15e c e c 0, c 15 15e 800 Vậy, hàm hàm Logistic : y(t ) t 15 0, Do đó, sau ba năm kể từ bây giờ, số thành viên câu lạc 800 3125 y(4) 781 4 15 0, ThS ĐàoBảoDũng Trang Bài toán (Lan truyền tin đồn) : Các nhà xã hội học chứng minh lan truyền tin đồn tuân theo quy luật Logistic Giả sử trường đại học có 45000 sinh viên Ban đầu có 300 sinh viên biết tin đồn X Sau tuần, có 900 sinh viên biết tin đồn Hỏi : sau ba tuần có sinh viên biết tin đồn X nói ? Giải : M 45000 Vì số sinh viên trường đại học 45000 nên ta xét hàm logistic : y(t ) ct be be ct Ban đầu có 300 sinh viên biết tin đồn, nên y(0) 300 45000 300 b 150 b 149 1 b 45000 Do đó, hàm Logistic : y(t ) 149 e ct Sau tuần có 900 sinh viên biết tin đồn, nên y(1) 900 45000 49 900 149 e c 50 e c c 149 149 e 45000 Vậy, hàm hàm Logistic : y(t ) t 49 149 149 Do đó, sau ba tuần, số sinh viên biết tin đồn 45000 y(4) 7143 49 149 149 ThS ĐàoBảoDũng Trang HÀM THUẦN NHẤT DƯƠNG (Homogeneous Function) Hàm dương (còn gọi tắt hàm nhất) thường gặp nhiều ứng dụng, đặc biệt việc nghiên cứu Kinh tế Vi Mơ Các hàm tuyến tính (bậc nhất), hàm bậc hai, hàm đa thức nhất, hàm Cobb – Douglas, … ví dụ hàm Hàm biểu thị hành vi đặn biến tăng tỷ lệ Một kết quan trọng hàm đạo hàm riêng hàm Để dễ hình dung, kết sau phát biểu hàm hai biến f ( x , y ) Những kết hàm nhiều hai biến f ( x1 , x2 , , xn ) ĐỊNH NGHĨA Cho hàm hai biến f ( x , y ) xác định tập D Hàm f gọi hàm dương (còn gọi tắt hàm nhất) bậc k f (tx , ty) t k f ( x , y) t Ví dụ : y hàm bậc , x ty y f (tx , ty ) t f ( x , y ) t tx x f ( x , y ) x y hàm bậc , f (tx , ty) tx ty t( x y ) tf ( x , y ) t f ( x , y) f ( x , y ) x xy y hàm bậc , f (tx , ty ) t ( x xy y ) t f ( x , y ) t f ( x , y) x y hàm bậc , 1 f (tx , ty ) tx ty t x y t f ( x , y ) t Hàm Cobb – Douglas f ( x , y ) Ax y ( A , , ) hàm bậc , f (tx , ty) A tx ty t Ax y t f ( x , y ) t Chú ý : Với hàm bậc , người ta gọi hàm hàm tuyến tính Từ định nghĩa f ( x , y ) hàm bậc k , ta thấy : biến tăng tỷ lệ (là số t ) giá trị hàm f ( x , y ) tăng theo tỷ lệ t k Điều chứng tỏ hàm biểu thị hành vi đặn biến tăng tỷ lệ Ta có số kết sau rút từ định nghĩa : m Nếu f ( x , y ) hàm bậc k f ( x , y) hàm bậc mk ThS ĐàoBảoDũng Trang Nếu f ( x , y ) hàm bậc k1 g( x , y ) hàm bậc k2 f ( x , y ).g( x , y ) hàm bậc k1 k2 Nếu f ( x , y ) hàm bậc k1 g( x , y ) hàm bậc k2 f ( x , y) g( x , y ) hàm bậc k1 k2 Ví dụ : Xét hàm f ( x , y ) xy (thuần bậc ) g( x , y ) x y (thuần bậc ) Thì 4 f ( x , y ) xy hàm bậc f ( x , y ) g( x , y ) xy( x y ) hàm bậc f ( x, y) xy hàm bậc g( x , y ) x y ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM THUẦN NHẤT f f Cho hàm hai biến f ( x , y ) có đạo hàm riêng tập D Nếu f ( x , y ) hàm x y f f bậc k hàm bậc k x y Ví dụ : Hàm f ( x , y ) x xy y hàm bậc f ( x , y) x y hàm bậc x f ( x , y ) x y hàm bậc y Ví dụ : Hàm f ( x , y ) x y hàm bậc f ( x , y ) x y hàm bậc x f ( x , y) x y hàm bậc y Kết thú vị hàm f ( x , y ) hàm tuyến tính (bậc ) Vì đó, f f hàm bậc Nghĩa ta tăng tất x y f f biến theo tỷ lệ đạo hàm riêng không thay đổi Ta gặp lại điều x y đạo hàm riêng phần phân tích hàm Cobb – Douglas đề cập cuối viết ĐỊNH LÝ EULER Cho hàm f ( x , y ) hàm bậc k ta có mối quan hệ f ( x , y ) , f f ( x , y) , ( x , y) x y sau ThS ĐàoBảoDũng Trang x f f ( x , y ) y ( x , y) k f ( x , y) x y Chứng minh : Ta có : f (tx , ty ) t k f ( x , y ) với t Lấy đạo hàm vế phải theo t : t k f ( x , y ) = k.t k 1 f ( x , y ) t Lấy đạo hàm vế trái theo t : f (tx , ty ) (tx) f (tx , ty) (ty) f (tx , ty ) f (tx , ty ) f (tx , ty) t = = x y x t y t x y (I) f (tx , ty ) t = x.t k 1 f x( x , y ) y.t k 1 f x( x , y ) Từ (I) (II) ta suy : k.t k 1 f ( x , y ) = x.t k 1 f x( x , y ) y.t k 1 f x( x , y ) xf x( x , y) yf y( x , y) k f ( x , y ) Ví dụ : Xét hàm f ( x , y) Xét hàm f ( x , y ) y hàm bậc k , theo định lý Euler, ta phải có x xf x( x , y ) yf y( x , y ) k f ( x , y) xy hàm bậc k , theo định lý Euler, ta phải có xy xf x( x , y ) yf y( x , y ) k f ( x , y) , theo định lý Euler, ta phải có xf x( x , y ) yf y( x , y ) k f ( x , y ) f ( x , y ) Xét hàm f ( x , y) x y hàm bậc k HÀM SẢN XUẤT COBB – DOUGLAS Hàm sản xuất hàm số biểu thị phụ thuộc sản lượng vào yếu tố đầu vào Nói cách khác, hàm sản xuất, biến số phụ thuộc (hay gọi biến số thuyết minh) sản lượng, biến số độc lập (hay gọi biến số thuyết minh) mức đầu vào Trong Kinh tế Vi Mô, hàm sản xuất biểu thị lượng sản phẩm nhà sản xuất làm từ yếu tố sản xuất mà nhà sản xuất có vốn, lao động, … Trong Kinh tế Vĩ Mô, hàm sản xuất biểu thị giá trị tổng sản phẩm nội địa phụ thuộc vào số lượng lao động, lượng vốn, kỹ thuật công nghệ kinh tế Trong giáo trình Kinh tế học sở, hàm sản xuất thường đề cập đến hàm Cobb – Douglas có dạng biểu diễn sau : HÀM COBB – DOUGLAS : Q f (L , K ) AL K với A , , Q f ( x , y ) sản lượng L lượng lao động ThS ĐàoBảoDũng Trang K lượng vốn A số, biểu thị hệ số kỹ thuật công nghệ hệ số co giãn theo lượng lao động hệ số co giãn theo lượng vốn Rõ ràng f (tL , tK ) A tL tK t AL K t f ( L , K ) nên hàm Cobb – Douglas Q f ( L , K ) hàm bậc k Khi , hàm Cobb – Douglas Q f ( L , K ) hàm tuyến tính, ta có kết sau - Nếu L K tăng tỷ lệ m Q tăng tỷ lệ m (trong Kinh tế học, người ta gọi tình trạng hàm sản xuất có lợi tức khơng đổi theo quy mơ) - Nếu tăng biến tỷ lệ đạo hàm riêng hàm không thay đổi (nghĩa biên tế sản lượng theo L theo K không thay đổi) Bây giờ, ta kiểm tra lý người ta gọi hệ số co giãn theo lượng lao động hệ số co giãn theo lượng vốn ? Nhắc lại công thức hệ số co giãn riêng hàm f ( x , y ) : x : hệ số co giãn riêng theo x f ( x , y) y y f ( x , y ) f y( x , y ) : hệ số co giãn riêng theo y f ( x , y) x f ( x , y ) f x( x , y ) Với hàm Cobb – Douglas Q f ( L , K ) , - L L AL1K f ( L, K ) AL K K K Hệ số co giãn riêng theo K K f ( L , K ) fK ( L , K ) AL K 1 f ( L, K ) AL K Hệ số co giãn riêng theo L L f ( L , K ) f L ( L , K ) Chú ý : Khi Kinh tế học gọi tình trạng hàm sản xuất có lợi tức giảm dần theo quy mơ, f (tL , tK ) t f ( L , K ) tf ( L , K ) Khi Kinh tế học gọi tình trạng hàm sản xuất có lợi tức tăng dần theo quy mơ, f (tL , tK ) t f ( L , K ) tf ( L , K ) Ví dụ minh họa : Một xí nghiệp có hàm sản xuất Cobb – Douglas Q 10.L0 ,8 K 0,2 Ta có 0,8 0, nên 0,8 0, Điều cho thấy đầu vào L K tăng thêm đơn vị đầu tăng đơn vị (doanh lợi không đổi theo quy mô) Hệ số co giãn theo L 0,8 nghĩa L tăng 1% K khơng thay đổi sản lượng tăng 0,8% Hệ số co giãn theo K 0, nghĩa K tăng 1% L khơng thay đổi sản ThS ĐàoBảoDũng Trang lượng tăng 0, 2% Hệ số co giãn theo L 0,8 hệ số co giãn theo K 0, Vì nên hàm sản xuất cho biết tầm quan trọng yếu tố lao động ảnh hưởng đến sản lượng Q M LQ 8.L0 ,2 K 0,2 hàm bậc k , nghĩa L K tăng thêm L đơn vị suất biên theo L không thay đổi Q MKQ 2.L0 ,8 K 0,8 hàm bậc k , nghĩa L K tăng thêm K đơn vị suất biên theo K không thay đổi Theo định lý Euler, ta có : L M LQ K M KQ với L , K Ví dụ minh họa : Theo kết nghiên cứu Walters A.A (1963), hàm sản xuất ngành công nghiệp sản xuất đường sắt Hoa Kỳ Q A.L0 ,89 K ,12 Ta có 0,89 0,12 nên 0,89 0,12 1,01 Điều cho thấy hội ngành công nghiệp sản xuất đường sắt cần tăng nhanh đầu tư yếu tố đầu vào tăng thêm đơn vị yếu tố đầu vào đầu tăng đơn vị (doanh lợi tăng dần theo quy mô) Hệ số co giãn theo L 0,89 nghĩa L tăng 1% K khơng thay đổi sản lượng tăng 0,89% Hệ số co giãn theo K 0,12 nghĩa K tăng 1% L khơng thay đổi sản lượng tăng 0,12% Hệ số co giãn theo L 0,89 hệ số co giãn theo K 0,12 Vì nên hàm sản xuất cho biết tầm quan trọng yếu tố lao động ảnh hưởng đến sản lượng ThS ĐàoBảoDũng Trang ... việc nghiên cứu hàm số lý thuyết ứng dụng Tuy nhiên, kiến thức tính liên tục nói kỹ chương trình Tốn bậc Phổ thơng Trung học Do đó, viết tóm tắt ý để người học dễ ôn lại kiến thức học trước Yêu cầu... →−1 √ x +2+1 √−1+5+2 = √−1+2+1 =2 Loại 3: Sd thuật toán thêm bớt để nhân biểu thức liên hợp PP chung để tính giới hạn biểu thức thức không bậc thêm, bớt lượng tách thành nhiều giới hạn nhân... THỨC Tính chất : Với ma trận Ann A AT Tính chất : Nếu đổi chỗ hai dịng, ta có định thức có giá trị ngược dấu với định thức cũ Tính chất : Nếu định thức có hai dịng giống tỷ lệ định thức