Giáo trình lý thuyết mạch

Lời nói đầu Lý thuyết mạch mơn lý thuyết sở sinh viên ngành Điện tử – Viễn thơng Cùng với sách giáo trình Lý thuyết mạch xuất tác giả khác nhau, biên soạn lại nội dung Giáo trình Lý thuyết Mạch cho phù hợp với tín quy định theo chương trình đào tạo trường Đại học Bách khoa Hà Nội Giáo trình biên soạn nhóm tác giả giảng viên Bộ mơn Mạch Xử lý tín hiệu Khoa Viện Điện tử – Viễn thông thuộc Trường Đại học Bách khoa Hà Nội: TS Phạm Văn Bình (Chủ biên), ThS Đào Lê Thu Thảo, TS Nguyễn Hữu Phát Nội dung sách trình bày chương: Chương Những khái niệm Chương Các phương pháp phân tích mạch điện Chương Phương pháp biên độ phức Chương Phương pháp toán tử Laplace Miền tần số phức Đồ thị Bode Chương Mạng bốn cực Trong chương, sau phần lý thuyết có ví dụ tập minh họa lý thuyết chương với lời giải mẫu, với tập khơng có hướng dẫn giải để sinh viên tự luyện tập Chúng hy vọng sách giáo trình hữu ích cho sinh viên ngành Điện tử – Viễn thơng q trình học tập tài liệu tham khảo tốt cho đồng nghiệp giảng dạy LMặc dù có nhiều cố gắng tránh khỏi sai sót Rất mong mong nhận góp ý độc giả để sách ngày hoàn thiện lần tái sau Thư góp { xin gửi về: NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT 70 Trần Hưng Đạo, Hoàn Kiếm, Hà Nội Hoặc gửi trực tiếp cho theo địa chỉ: Email: binh.phamvan@hust.edu.vn Điện thoại: 091 262 9062 Chúng xin chân thành cảm ơn PGS Hồ Anh Túy, TS Lê hải Hưng đóng góp { kiến, phản biện động viên chúng tơi hồn thành sách Chúng xin cảm ơn Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật tạo điều kiện để sách sớm mắt bạn đọc Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Phạm Văn Bình Chương Những khái niệm Trong chương này, trình bày phương pháp, phạm vi nghiên cứu lý thuyết mạch thông qua vấn đề: trường điện từ chuẩn dừng, mơ hình phần tử lý thuyết mạch, định luật Kirchhoff 1.1 Trường điện từ chuẩn dừng Trong chế độ trường điện từ thay đổi theo thời gian, V(M,t), cường độ điện trường E ( M , t ) , mật độ dòng điện J ( M , t ) điểm M không gian thời điểm t, khơng phụ thuộc vào thời gian mà cịn phụ thuộc vào vị trí khơng gian Chúng gọi đại lượng lan truyền Tốc độ lan truyền trường điện từ chân khơng có giá trị c  3.108 m/s bước sóng   c.T  c / f , với T chu kz f tần số Xét vật rắn có kích thước d Thời gian lan truyền của sóng điện từ vật dẫn xác định theo biểu thức sau: t  d / c (0.1) Nếu t T (chu kz tín hiệu) tức d  vật dẫn coi khơng có lan truyền Trường hợp gọi trường điện từ chuẩn dừng bỏ qua lan truyền trường điện từ Trong trường điện từ chuẩn dừng, điện trường E từ trường B độc lập với Do trường (B) thời điểm xem từ trường tĩnh Theo lý thuyết trường điện từ, véc tơ cường độ điện trường E xác định biểu thức sau [Lý thuyết trường- Phan Anh]: dA , dt Ở A véctơ E   gradV  (0.2) Tại phần vật dẫn, ta có: E   grad V  , điện trường có tính chất trường tĩnh điện Do vậy, trường điện từ chuẩn dừng thay cho việc nghiên cứu E B, nghiên cứu điện áp (u(t)) dòng điện (i(t)) vật dẫn Lý thuyết mạch nghiên cứu trường điện từ chuẩn dừng mạch điện Do khơng có yếu tố khơng gian mà có biến số thời gian, kích thước mạch rât nhỏ so với bước sóng (  ) Rất khó để đưa tiêu chuẩn giới hạn xác kích thước mạch: kích thước mạch xem nhỏ so với bước sóng để thỏa mãn điều kiện chuẩn dừng? Trên thực tế giả thiết rằng, kích thước mạch d   /100 điều kiện chuẩn dừng thỏa mãn Bảng 1 cho biết quan hệ kích thước mạch tần số của vài tần sô dùng thực tế Bảng 1: Quan hệ tần số bước sóng Tần số  / 100 50 Hz tần số lưới điện lực 1500 Km 16 kHz tần số giới hạn âm 22,7 km 465 kHz tần số sóng trung AM 161,3m 70 MHz tần số trung bình phát FM 1,07m 780 MHz 9,61 cm GHz 1, 5mm Trong lý thuyết mạch điện, để phân tích mạch điện ta cần xây dựng mơ hình cho phần tử mạch Mỗi phần tử mạch tương ứng tượng vật lý trường điện từ chuẩn dừng Nên mạch điện gọi mạch với tham số tập trung Mạch điện dùng để tạo biến đổi tín hiệu điện áp u(t) dịng điện i(t) điều kiện trường điện từ chuẩn dừng Trên nhánh hay phần tử mạch điện có dịng điện qua điện áp sụt chúng Chúng ta ký hiệu cường độ dòng điện qua phần tử (hay nhánh) i(t) đơn vị đo cường độ dòng điện Ampe ( ký hiệu A) Để xác định dòng điện nhánh, ta phải xác định giá trị cường độ chiều dịng điện Xét Hình 1, qui ước dịng điện có chiều theo hướng mũi tên Hình 1.1 (a) cường độ i =3 (A) (Hình 1 (a)), Ngược lại theo qui ước dịng điện Hình 1 (b) có cường độ dịng điện -3 (A) i = 3A i = -3A a) b) Hình 1: Cường độ dòng điện chiều qui ước Tương tự vậy, điện áp nhánh (hay phần tử) có đơn vị đo Volt (k{ hiệu V) Để xác định giá trị điện áp nhánh, ta phải xác định giá trị điện áp chiều Xét Hình 2, qui ước điện áp có chiều từ xuống giá trị điện áp Hình (a) u= +5 (V) Cịn điện áp Hình (b) - (V) +5V =u -5V = u Hình 2: Điện áp chiều qui ước Lý thuyết mạch dựa nghiên cứu trường điện từ chuẩn dừng mạch điện Một khái niệm lý thuyết mạch phần tử mạch (hay gọi phần tử) Mỗi phần tử mô tả tượng vật lý trường chuẩn dừng mạch điện Điểm kết nối phần tử với bên ngồi gọi “cực”, phương trình quan hệ dòng điện (i) điện áp (u) phần tử gọi phương trình phần tử, mơ tả phần tử toán học Các phần tử lý thuyết mạch bao gồm: điện trở, cuộn cảm, tụ điện, nguồn điện Các định luật Kirchhoff định luật kết nối phần tử với theo qui luật trường điện từ chuẩn dừng Trong phần trình bày chi tiết vấn đề 1.2 Mơ hình phần tử mạch điện 1.2.1 Điện trở (R) i(t) R u(t) Theo định luật ơm ta có: u(t )  i(t ).R (0.3) Điện áp u (t) đặt hai đầu điện trở tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện i(t) chạy qua Đơn vị đo điện trở (R) Ohm, ký hiệu (  ) Từ biểu thức (0.3), biến đổi ngược lại ta có: i (t )  u (t )  G.u(t ) R (0.4) Công thức thể quan hệ u i là: với u G lớn i lớn Do G gọi điện dẫn, đơn vị đo Siemens, k{ hiệu (S) Công suất tức thời điện trở xác định theo biểu thức: p(t )  u(t ).i(t )  i (t ) R (0.5) Đơn vị đo công suất [Watt] = [Volt Ampe] = [J/s] Từ (0.5) ta nhận thấy công suất p>0 R>0, điện trở tiêu tốn lượng điện từ mạch (nhận lượng từ mạch điện chuyển thành dạng lượng khác, ví dụ nhiệt năng) Ta nhận thấy (từ (0.4)), điện trở khơng phải phần tử qn tính Trong trường hợp R không phụ thuộc vào thời gian t, phần tử bất biến theo thời gian; R không phụ thuộc vào điện áp hay dịng điện qua nó, phần tử tuyến tính, trường hợp R số Ví dụ 1: Xác định cơng suất tức thời p lượng tức thời wR điện trở R nhận được, ta biết dòng i chảy điện trở R có dạng: a) i = I0 =const Ta có cơng suất tức thời lượng tức thời xác định sau: p  Ri  RI 02  const t w R   pdt '  RI 02 t Đồ thị biểu diễn phụ thuộc công suất p wR vào thời gian thể Hình (a) b) i  I m cos(t ) Ta có cơng suất tức thời lượng tức thời xác định sau: RI m 1  cos  2t   t t 1   w R   pdt '  RI m  1  cos  2t '   dt '  RI m2  t  sin  2t   2  2  0 p  Ri (t )  RI m2 cos2 t   Đồ thị biểu diễn phụ thuộc công suất p wR vào thời gian thể Hình (b) p wR I 02 R 𝑡 𝑡 a) p wR I m2 R  2   3 2 2  5 2 𝑡 b) Hình  2   3 2 2  5 2 𝑡 1.2.2 Tụ điện (C) C i(t) u(t) Tụ điện phần tử tích lũy lượng dạng điện trường Nếu gọi u điện áp hai đầu tụ điện C có điện tích (q) điện tích xác định biểu thức: q = C.u, (0.6) q điện tích tụ điện, đơn vị đo Coulomb (k{ hiệu C) C điện dung tụ điện, đơn vị đo điện dung Farad, ký hiệu [F] Theo phương trình (0.6) ta nhận thấy rằng, với điện áp u, điện dung (C) lớn điện tích q tích lũy tụ điện lớn Do C thể đặc tính phần tử tụ điện Nếu giá trị C không phụ thuộc vào điện áp tụ ta gọi phần tử tuyến tính Nếu C khơng phụ thuộc vào thời gian ta gọi phần tử bất biến Để mô tả quan hệ dòng điện i điện áp u tụ ta sử dụng công thức [x]: i (t )  dq dt (0.7) Áp dụng vào phương trinh (0.6) ta có quan hệ dịng áp: i (t )  dq du C dt dt (0.8) Trong phương trình có đạo hàm theo thời gian nên phần tử quán tính Đáp ứng i(t) tụ điện phụ thuộc giá trị u(t) thời điểm mà phụ thuộc vào giá trị thời điểm trước đó, nên điện áp rơi tụ điện biến trạng thái Tương tự ta có cơng suất tức thời tụ điện xác định theo biểu thức: p(t )  u(t ).i(t ) (0.9) Năng lượng tức thời tích lũy tụ điện xác định sau: w   u.idt  C  udu  Cu (t ) (0.10) Đây lượng tức thời tạo điện trường tích lũy tụ điện Ví dụ 2: Xác định dịng i qua tụ điện C, ta biết điện áp u tụ điện C có dạng: a) i  C du 0 dt Nếu điện áp tụ điện khơng đổi, khơng có dịng điện qua tụ điện, nghĩa tụ điện bị hở mạch du   CU m cos(t )  CU msin(t  ) Nếu điện áp u tụ điện C tín hiệu điều hịa dt với tần số góc  , dịng qua tụ tín hiệu điều hịa có tần số b) i  C 1.2.3 Cuộn cảm (L) i(t) L u(t) Cuộn cảm phần tử mơ tả khả tích lũy lượng dạng từ trường mạch điện Từ thơng cuộn cảm tỷ lệ với cường độ dịng điện i(t) qua nó:   L.i (0.11) Hệ số L hệ số tự cảm (điện cảm) cuộn cảm, đơn vị đo điện cảm Henry, ký hiệu [H] Từ công thức (0.11), theo định luật Faraday ta có điện áp u hai đầu cuộn cảm xác định sau: u(t )  d di L dt dt (0.12) Chúng ta thấy rằng: điện áp u tỷ lệ với tốc độ thay đổi cường độ dòng điện i chạy qua cuộn cảm Do chế độ chiều (dịng khơng đổi) điện áp cuộn cảm không, cuộn cảm ngắn mạch Trong phương trình (0.12) có tốn tử đạo hàm theo thời gian, phần tử qn tính Đáp ứng u(t) cuộn cảm khơng phụ thuộc giá trị i(t) thời điểm mà phụ thuộc vào giá trị dòng điện thời điểm trước đó, nên dịng điện qua cuộn cảm biến trạng thái Tính tốn tương tự ta có cơng suất tức thời cuộn cảm xác định sau: p  u.i (0.13) Năng lượng từ trường tích tụ cuộn cảm xác định sau: w   pdt  L  idi  L.i 2 (0.14) Ví dụ 3: Xác định điện áp u cuộn cảm L, ta biết dòng điện chảy qua L dạng: a) i = I0 =const, b) i  I m sin(t ) a) u  L di 0 dt Nếu dịng điện chảy qua cuộn cảm L khơng đổi (dịng chiều) điện áp L không, nghĩa cuộn cảm ngắn mạch b) u  L di    LI m cos(t )   LI msin(t  ) dt Nếu dòng điện i cuộn cảm L tín hiệu điều hịa với tần số góc  , điện áp L tín hiệu điều hịa có tần số Hiện tượng hỗ cảm: Giả sử ta có hai cuộn dây N1 N2 với điện cảm tương ứng L1 L2, dòng điện chạy qua chúng tương ứng i1, i2 Hình Trên hình hai cuộn dây đặt gần cho từ thơng tạo dịng i1 móc qua cuộn N2, từ thơng tạo i2 móc qua cuộn N1 Do đó, dịng điện i1 thay đổi từ thơng gửi qua cuộn dây N2 thay đổi, kết cuộn dây N2 có dịng điện cảm ứng, suất điện động tạo dòng điện gọi suất điện động hỗ cảm Cũng tương tự dòng điện i2 thay đổi từ thơng gửi qua cuộn dây N1 thay đổi, kết cuộn dây N1 có dịng điện cảm ứng Hiện tượng gọi tượng hỗ cảm Sự trao đổi từ thông ảnh hưởng qua lại hai cuộn dây xác định hệ số hỗ cảm M, đơn vị đo hệ số giống đơn vị đo điện cảm i1(t) i2(t) u1(t) N1 N2 u2(t) Hình 4: Sơ đồ hai cuộn dây ghép hỗ cảm lõi sắt từ (gọi biến áp) Như tượng hỗ cảm trường hợp riêng tượng cảm ứng điện từ Xét biến áp gồm hai cuộn dây quấn Hình 4: Theo định luật cảm ứng điện từ, dịng điện i1 thay đổi gây từ thơng cuộn dây N2.Từ gây hiệu điện u2 cuộn dây N2 (giả sử cuộn N2 để hở mạch) Theo qui tắc bàn tay phải ta xác định chiều dòng điện cảm ứng sau: đặt bàn tay phải, cho đường sức từ trường có hướng chui vào lịng bàn tay, cịn ngón tay duỗi theo chiều chuyển động dây dẫn, bốn ngón tay trỏ chiều dịng cảm ứng Như chiều điện áp u2 phụ thuộc vào chiều quấn cuộn dây N2 Để đơn giản cho việc mô tả, lý thuyết mạch biểu diễn cuộn cảm với tượng hỗ cảm sơ đồ tương đương hình vẽ M i1 u1 * L1 i2 * L2 u2 Hình 5: Sơ đồ mạch biểu điễn hai cuộn cảm có ghép hỗ cảm Ký hiệu (*) đặt đầu cuộn dây chiều quấn dây (thể cuộn dây có trao đổi hỗ cảm với nhau) thể cực tính (tương hỗ hai cuộn cảm có ghép hỗ cảm với nhau) Dựa Hình ta có phương trình quan hệ hai cuộn dây sau: di di  u1  L1  M   dt dt ,  di di u2  L2 M  dt dt  (0.15) M: hệ số ghép hai cuộn dây (hệ số hỗ cảm) Theo phương trình (0.15), có quy ước dấu điện áp hỗ cảm sau Dấu (+) hay (-) biểu thức (0.15) lấy theo chiều quấn dây, biểu diễn đầu * (được gọi đầu tên) theo quy tắc sau: “Nếu hai dòng điện chạy vào (hoặc chạy ra) đầu tên, điện áp hỗ cảm mang dấu dương (+) Ngược lại điện áp hỗ cảm mang dấu âm (-)” 1.2.4 Nguồn tác động Nguồn tác động phần tử cung cấp lượng điện từ cho mạch Có hai loại nguồn: nguồn áp nguồn dòng Trong phần xây dựng hai mơ hình nguồn l{ tưởng: nguồn áp độc lập (hay gọi nguồn áp) l{ tưởng nguồn dòng độc lập (hay gọi nguồn dòng) l{ tưởng, nguồn áp dòng có điều khiển điện áp dịng điện Mơ hình nguồn áp lý tưởng: Là phần tử mà điện áp nguồn cung cấp khơng phụ thuộc vào dịng điện chạy qua biểu diễn dạng: e(t) = u(t) với giá trị dòng điện i chạy qua nó, (0.16) e(t) gọi sức điện động Ví dụ xét nguồn áp không đổi (như nguồn điện chiều), mối quan u i nguồn áp thể Hình (b) Nếu gọi Ri nội trở nguồn, ta có e = u =– i Ri Do u= e với giá trị dòng i, nên Ri  limi u  , nội trở nguồn l{ tưởng khơng i Ví dụ Hình 10, ta vài đường: đường gồm nhánh qua nút C, A, B; đường gồm nhánh qua nút C B; tập nhánh 3, 4, khơng phải đường theo nhánh qua nút B hai lần Vịng: đường khép kín mà khơng qua nút q hai lần Ví dụ Hình 10, ta vài vịng: vịng tạo nhánh 1, 2; vòng tạo nhánh 2,3,4 Cây (C): tập nhánh nối tất nút với khơng tạo thành vịng kín Ký hiệu NC -là số lượng nhánh Ta có biểu thức thể quan hệ nút sau: Nc = Nn -1 (0.21) Bù (BC): Cách nhánh cịn lại khơng thuộc xét gọi bù Nếu ký hiệu Nbc số lượng nhánh bù cây.Ta có quan hệ: N bc  N nh  N c (0.22) Vịng : vịng kín hợp thành nhánh bù nhánh cịn lại thuộc Do số vịng ký hiệu Nv, số lượng nhánh bù (Nbc) mạch điện Từ ta có: Xét Hình Ta có số lượng nút Nn = 3, gồm nút A,B, C Số lượng nhánh Nnh = 5, gồm nhánh 1, 2, 3, 4, Như theo (0.21) ta có số nhánh NC= 3-1=2, số nhánh bù tính theo (0.22) ta có số nhánh bù Nbc = Nnh – Nc = – = Sau ta vài bù tương ứng: Cây gồm nhánh {2, 3}, bù gồm nhánh {1,4,5}; Cây gồm nhánh {2, 4}, bù gồm nhánh {1,3,5} Trên Hình 10, này, bù tương ứng, vịng Trong ví dụ Hình 9, nút A, B, C Số lượng nút sơ đồ Nn = 3, số nhánh Nnh = Vậy số nhánh Nc = Nc – l = – = 2, số nhánh bù Nbc = Nnh – Nc = - = Sau ta vài bù tương ứng: Cây gồm nhánh {2, 3}, bù gồm nhánh {1,4,5}; Cây gồm nhánh {2, 4}, bù gồm nhánh {1,3,5} Trên B A C Topology mạch B A C{2,3} BC{1,4,5} C{2,3} BC{1,4,5} I C Cây B II I B A III II C{2,4} III BC{1,3,5} C Cây C Cây Vòng I II III C{2,4} BC{1,3,5} C Cây A B A BC C 2,3 2,3 Vòng I II III BC 11 này, bù tương ứng, vòng C 2,4 Hình B A C Topology mạch B A C{2,3} BC{1,4,5} C{2,3} BC{1,4,5} I C Cây B C{2,4} BC{1,3,5} C Cây A B A II I III II C{2,4} III BC{1,3,5} C Cây C Cây Vòng I II III B A BC C 2,3 2,3 Vòng I II III BC C 2,4 Hình 11: Ví dụ cây, bù cây, vòng 1.4 Định luật Kirchhoff kết nối phần tử Định luật xem hệ trường điện từ chuẩn dừng Định luật Kirchhoff điều kiện cần cho kết nối phần tử tập trung Do mạch điện xây dựng từ kết nối phần tử tập trung nên định luật điều kiện mà mạch điện tập trung phải thỏa mãn Chính nói mơ tả kết nối phần tử tập trung mạch điện 1.4.1 Định luật Kirchhoff dòng điện KCL (Kirchhoff’s Curent Law) Đây hệ định luật bảo tồn điện tích trường điện từ Định luật Kirchhoff dòng điện (KCL) phát biểu sau: Tại thời điểm tổng đại số cường độ dòng điện vào nút (hoặc khỏi nút) không: i k 0 k Trong ik dịng điện nhánh thứ k nối vào nút Ta xét nút Hình 12 (a), theo KCL ta có (nếu qui ước dịng vào nút mang dấu +): (0.23) iA  iB  iC  iD  𝑖𝐴 (0.24) 𝑖𝐷 𝑖𝐴 𝑖𝐵 𝑖𝐶 𝑖𝐶 b) a) Hình 12: Sơ đồ minh họa định luật KCL hay (nếu qui ước dòng khỏi nút mang dấu +) iC  iD  iA  iB  (0.25) Nên nút xem vùng xét Hình 12 (b), trường hợp này: tổng đại số dòng điện rời khỏi vùng không thời điểm: iA  iB  iC  (0.26) e1 R2 A B R3 R5 e4 A C R6 B C D D a) b) Hình 13: Ví dụ mạch sơ đồ topology mạch Chúng ta xem xét Hình 13 Nếu gọi ik dịng điện nhánh k có chiều dịng điện thể Hình 13 (b) Theo KCL ta viết tổng số phương trình số nút (Nn = 4) Chúng ta qui ước dòng điện khỏi nút mang dấu dương (+), dòng vào nút xem xét mang dấu âm (-), ta có phương trình viết theo KCL nút sau: Tại nút A ta có: i1  i2  0.i3  i4  0.i5  0.i6  (0.27) Tại nút B ta có: 0.i1  i2  i3  0.i4  i5  0.i6  (0.28) Tại nút C ta có: i1  0.i2  i3  0.i4  0.i5  i6  (0.29) Tại nút D ta có: 0.i1  0.i2  0.i3  i4  i5  i6  (0.30) Từ ta viết lại hệ phương trình (0.27)-(0.30) dạng ma trận sau  1   1 1  1  0   0 1 1 i1     i2  0   i3  0     ,  i4  0       i5  0    i6  (0.31) Theo định luật dòng điện ta có hệ phương trình dịng điện nhánh:  A.inh   0 (0.32) [A] ma trận mô tả kết nối mạch điện có { đến phương, chiều dòng điện nhánh Ma trận [A], với phần tử ma trận aij ,với i số hàng ma trận tương ứng với nút, j la số cột ma trận tương ứng với nhánh Từ hệ phương trình ta có aij =1 dịng điện nhánh j khỏi nút i, aij = -1 dòng điện nhánh j vào nút i, aij =0 dòng điện nhánh j khơng kết nối với nút i Trong ví Hình 13 (b) ta có ma trận [A] sau:  1 0  1 1 0  A  1  0  ,    0 1 1 1  (0.33) Ma trận [A] mơ tả tốn học kết nối nhánh có để { đến phương chiều dịng điện Nó mơ tả kết cấu hình học mạch điện nên gọi ma trận topo mạch Nếu cộng phương trình nút A, B, C ta phương trình nút D Như dựa định luật KCL ta viết hệ phương trình với số lượng phương trình độc lập tuyến tính N n   N c (số lượng nhánh cây) 1.4.2 Định luật Kirchhoff điện áp KVL (Kirchhoff’s Voltage Law) Đinh luật Kirchhoff điện áp (KVL) đươc phát biểu sau: vịng kín mạch điện tổng đại số điện áp phần tử vịng kín khơng thời điểm: u k  0, (0.34) k với uk điện áp rơi nhánh k Nếu ta theo vòng kín qua phần tử theo chiều thuận chiều kim đồng hồ (hoặc ngược chiều kim đồng hồ), chiều điện áp uk chiều vịng xét uk nhận giá trị dương (+uk), ngược lại uk mang giá trị âm (-uk ) Xét ví dụ Hình 1.14, chiều nhánh hình vẽ, chiều vịng khép kín chọn theo chiều kim đồng hồ Theo KVL ta có phương trình: uA  uB  uC  uD  (0.35) 𝑢𝐴 𝑢𝐷 𝑢𝐵 𝑢𝐶 Hình 14: Sơ đồ minh họa định luật KVL Xét ví dụ mạch điện Hình 1.13, với chiều điện áp nhánh, chiều vòng, chiều điện áp nhánh Hình 1.15 I A II B III C D Hình 15: Sơ đồ Topology mạch Hình 13 Nếu gọi uk điện áp nhánh k có chiều điện áp Hình 15 Theo KVL ta viết tổng số phương trình số vịng (Nbc = 3) Ta có phương trình viết theo KVL vịng sau Xét vịng I ta có: u1  u2  u3  0.u4  0.u5  0.u6  (0.36) Xét vịng II ta có: 0.u1  u2  0.u3  u4  u5  0.u6  (0.37) Xét vịng III ta có: 0.u1  0.u2  u3  0.u4  u5  u6  (0.38) Viết lại hương trình dạng ma trận sau: u1  u  0  1   0        1  u3   0  ,   u     0  1     u   5   u6  (0.39) Như vây dựa KVL ta có hệ phương trình điện áp nhánh, với số lượng phương trình đọc lập tuyến tính số vịng Nv ( số nhánh bù Nbc) Viết lại hệ phương trình (0.39) dạng ma trận ta có:  Bunh   0 (0.40) Ma trận [B] có hàng tương ứng với vòng, cột tương ứng với nhánh phần tử bij (của ma trận B) với i số hàng ma trận tương ứng với vòng, j la số cột ma trận tương ứng với nhánh Ta qui ước bij =1 điện áp nhánh j tham gia chiều với vòng i, bij = -1 điện áp nhánh j tham gia ngược chiều với vòng i, bij =0 điện áp nhánh j khơng thuộc vịng Ma trận [B] mơ tả tốn học kết nối nhánh có để { đến phương chiều điện áp Ma trận mơ tả kết cấu hình học mạch điện nên gọi ma trận topo mạch Trong ví dụ Hình 15 ta có ma trận [B] sau :  1   0   B     1  ,  0  1 (0.41) Dựa định luật KCL KVL, ta nhận ma trận [A] [B], ma trận có đặc điểm mơ tả kết cấu hình học mạch điện toán học Trong mục 1.3 ta mơ hình phần tử l{ tưởng lý thuyết mạch: điện trở, cuộn cảm, tụ điện Những phần tử tuyến tính mối quan hệ u i điện trở, từ thông dịng điện cuộn cảm, điện tích tích tụ điện áp tụ điện, tuyến tính Sau chủ yếu nghiên cứu mạch tuyến tính tạo phần tử tuyến tính.Tuy nhiên thực tế, phần lớn mạch có phần tử phi tuyến, mơ hình tuyến tính sử dụng khoảng biến đổi nhỏ dòng hay điện áp; ngồi khoảng đó, tính chất phi tuyến phần tử rõ nét Trong tính tốn gần ta thực tuyến tính hóa đoạn cho chúng Để tổng qt hóa xem xét quan hệ phần tử phi tuyến mục 1.5 Các phần tử phi tuyến 1.5.1 Điện trở u  f R (i ), i  f R (u ), (0.42) Thỏa mãn giả thiết: hàm liên tục, tai điểm (điểm làm việc) : ui  (0.43) Biểu thức (0.42) xác định đặc tính phần tử phi tuyến chuẩn dừng Trong nhiều trường hợp để thuận tiện cho nghiên cứu phần tử phi tuyến, sử dụng “giá trị điện trở phi tuyến” điểm làm việc để đặc trưng cho phần tử phi tuyến [1], [2], [3] Điện trở tĩnh: Rst phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (1.44)) điểm A cho trước đường đặc trưng ( xem Hình 16) xác định sau: u i Rst (0.44) A Biểu thức (0.44) giải mặt hình học, giá trị Rst tỷ lệ với độ nghiêng đường OA với trục i (cường độ dịng điện) Hình 16 (a), ta có: Rst  k tg , (0.45) với k hệ số tỷ lệ (xác định theo đơn vị đo u i) Giá trị điện trở tĩnh Rst phụ thuộc vào điểm làm việc A đường đặc trưng ( u  f R (i ) ), giá trị phụ thuộc vào i (hay u): Rst  Rst  i  (0.46) Trên Hình 16 (b) thể phụ thuộc Rst vào dòng điện i với đặc trưng Hình 16 (a) Rdyn Rs u A   (a) i i (b) i (c) Hình 16: Đường đặc trưng điện trở phi tuyến Điện trở động (hay điện trở vi phân) Rdyn phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (1.47)) điểm A cho trước đường đặc trưng (xem Hình 16 (a)) xác định sau: Rdyn du di A (0.47) Biểu thức (0.47) giải mặt hình học, giá trị Rdyn tỷ lệ với độ nghiêng đường tiếp tuyến với đường đặc trưng điểm A với trục i (cường độ dòng điện) Hình 16 (a), ta có: Rdyn  k tg  , (0.48) với k hệ số tỷ lệ - xác định theo giá trị thang đo u i Giá trị điện trở tĩnh Rdyn phụ thuộc vào điểm làm việc A đường đặc trưng, giá trị phụ thuộc vào i (hay u): Rst  Rst  i  (0.49) Trên Hình 16 (c) thể phụ thuộc Rdyn vào dòng điện i với đặc trưng Hình 16 (a) Từ giả thiết (0.43) (ui>0) ta có điện trở tĩnh Rst nhận giá trị thực dương Điện trở động Rdyn nhận giá trị thực dương, âm, khơng Ví dụ 4: Điểm làm việc A với U = 20mV, I = 2mA diod tunel đường đặc tính Hình 17 Hãy xác định Rst , Rdyn điểm làm việc A Rst  u U 20mV    10 2mA i A I Hệ số tỷ lệ k  1mV  1 1mA Rdyn  k tg   ktg 180o      32  6,4 i  mA A  10 20 32 40 Hình 17 1.5.2 Tụ điện Tụ điện phần tử mơ tả phương trình sau: 50 u  mV  q  f C (u ), i dq dt (0.50) Thỏa mãn giả thiết sau: f C hàm tăng liên tục, liên tục khả vi; fC (0)  Tương tự trình bày ta xác định tham số tĩnh động cho tụ điện Điện dung tĩnh: Cst phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (0.50)) điểm A cho trước đường đặc trưng ( xem Hình 18) xác định sau: Cst q u (0.51) A q A   u Hình 18: Đặc tuyến tụ điện phi tuyến Biểu thức (1.52) giải thích mặt hình học giá trị Cst tỷ lệ với độ nghiêng đường OA với trục u (điện áp) chi Hình 18, ta có: Cst  k.tg , (0.52) với k hệ số tỷ lệ Điện dung động (hay điện dung vi phân) Cdyn phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (0.50)) điểm A cho trước cho trước đường đặc trưng (xem Hình 18) xác định sau: Cdyn du du A (0.53) Biểu thức (1.54) giải mặt hình học, giá trị Cdyn tỷ lệ với độ nghiêng đường tiếp tuyến với đường đặc trưng điểm A với trục u Hình 18 (a), ta có: Cdyn  k.tg  , (0.54) với k hệ số tỷ lệ Giá trị điện dung tĩnh động Cst , Cdyn phụ thuộc vào điểm làm việc A đường đặc trưng ( q  fC (u) ), giá trị phụ thuộc vào u (hay i) Từ giả thiết (0.43) , ta có Cst , Cdyn nhận giá trị thực dương 1.5.3 Cuộn cảm Cuộn cảm tập trung phần tử mơ tả phương trình sau:   f L (i ), u d dt (0.55) Nó thỏa mãn giả thiết sau: f L hàm tăng liên tục, liên tục khả vi; f L (0)  Điện cảm tĩnh: Lst phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (0.55)) điểm A cho trước đường đặc trưng ( xem Hình 19) xác định sau: Lst  u (0.56) A  A   i Hình 19: Đường đặc tuyến cuộn cảm phi tuyến Biểu thức (0.56) giải thích mặt hình học, giá trị Lst tỷ lệ với độ nghiêng đường OA với trục i chi Hình 19, ta có: Lst  k.tg , với k hệ số tỷ lệ (0.57) Điện cảm động (hay điện cảm vi phân) Ldyn phần tử phi tuyến (mô tả biểu thức (0.57)) điểm A cho trước đường đặc trưng (xem Hình 19) xác định sau: Ldyn d di (0.58) A Biểu thức (0.58) giải mặt hình học, giá trị Ldyn tỷ lệ với độ nghiêng đường tiếp tuyến với đường đặc trưng điểm A với trục i chi Hình 19, ta có: Ldyn  k.tg  , (0.59) với k hệ số tỷ lệ Giá trị điện cảm tĩnh động Lst , Ldyn phụ thuộc vào điểm làm việc A đường đặc trưng, giá trị phụ thuộc vào u (hay i) Từ giả thiết (0.55), ta có Lst , Ldyn nhận giá trị thực dương Hàm thể đường cong qua gốc tọa độ (0,0) Bây xem xét hai trường hợp với cuộn cảm tĩnh cuộn cảm động 1.6 Tóm tắt chương Trong chương trình bày khái niệm lý thuyết mạch (LTM) phạm vi trường điện từ chuẩn dừng mạch điện: phần tử mạch điện phần tử tập trung (khơng có chiều khơng gian) nghiên cứu mạch điện theo quan điểm trao đổi lương điện từ mạch Chúng tơi trình bày mơ hình phần tử dùng LTM Mỗi mơ hình phân tử l{ tưởng mơ tả tượng vật lý trường điện tử chuẩn dừng mạch điện Mỗi phần tử mô tả mối quan hệ điện áp u rơi dịng điện i qua nó.Mạch điện cấu tạo kết nối phần tử, mạch điện hệ thống Sự kết nối phần tử tập trung phải tuân theo định luật Kirchhoff dòng áp Trong chương đưa khái niệm lý thuyết graph dùng lý thuyết mơ tả kết cấu hình học mạch 1.7 Bài tập tự giải Bài 1: Cho tụ điện sau: a) Tụ điện phi tuyến CN đặc trưng phương trình: q  a.u u ,với a  106 CV 2  b) Tụ điện tuyến tính C=1  F Tính lượng tích lũy tụ điện điểm làm việc u =1 V Đáp án: a) wCN   J b) wC   J Bài 2: Cho cuộn cảm phi tuyến L đặc trưng phương trình 2I  0  i  I  i  I   , với , I số thực dương Hãy tính giá trị lớn lượng tích lũy cuộn cảm Đáp án: w L max  I Bài 3: Dựa KCL, KVL viết hệ phương trình độc lập tuyến tính với biến dịng điện cho mạch điện mơ tả Hình 20, giả sử biết điện áp u 𝑖1 𝐶4 Hình 20 Đáp án: i1  i2  i3  i3  i4  i5  u  R1i1  i2 dt  C2  di 1 i2 dt  L3  i4 dt   C2 dt C4  i4 dt  R5i5  C4  𝑅5 ... qui ước Lý thuyết mạch dựa nghiên cứu trường điện từ chuẩn dừng mạch điện Một khái niệm lý thuyết mạch phần tử mạch (hay gọi phần tử) Mỗi phần tử mô tả tượng vật lý trường chuẩn dừng mạch điện... 1, 5mm Trong lý thuyết mạch điện, để phân tích mạch điện ta cần xây dựng mơ hình cho phần tử mạch Mỗi phần tử mạch tương ứng tượng vật lý trường điện từ chuẩn dừng Nên mạch điện gọi mạch với tham... khái niệm lý thuyết graph Theo quan điểm lý thuyết mạch ta có định nghĩa sau: Nút: điểm kết nối hai phần tử trở lên Nếu nút có hai phần tử kết nối với gọi nút bậc hai Tuy nhiên lý thuyết mạch, nút