CĐ 13 tu giac

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: HÌNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hai cạnh song song gọi hai đáy, hai cạnh lại hai cạnh bên (H1) - Hình thang vng hình thang có góc vng (H2) - Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy (H3) - Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (H4) - Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang (H5) Tính chất: - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song - Trong hình thang cân, hai cạnh bên - Trong hình thang cân, hai đường chéo - Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ nửa cạnh MN / /BC, MN = BC Với H4 Ta có: - Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy MN / / AB / /CD MN = ( AB + CD) Với H5 Ta có: Định lý: - Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba, đường đường trung bình tam giác - Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên lại đường đường trung bình hình thang Dấu hiệu nhận biết : - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Mở rộng: - Trong hình thang có hai cạnh bên khơng song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy (H6) (H6) - Ở H6 ta có: MN / / AB / /CD MN = CD − AB B LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = cm, Trên tia AB lấy điểm D cho: BD = BA Trên tía AC lấy điểm E cho CE = CA Kéo dài trung tuyến AM tam giác ABC, lấy MI = MA a Tính độ dài cạnh tam giác ADE b Chứng minh DI // BC c Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng HD: Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E giao điểm AD BC, Gọi M, N, P, Q trung điểm AE, BE, AC, BD, CMR: MNPQ hình thang HD: Dễ dạng chứng minh MN // AB Gọi R trung điểm AD ta có: RQ // AB RP // DC // AB Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB Vậy MNPQ hình thang Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, Vẽ AH vng góc với BC H, Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH CH, CMR : MN vng góc với AB BM vng góc với AN HD: Vì MN đường trung bình => MN//AC mà AC => MN ∆ ⊥ ⊥ AB AB=> M trực tâm ABN có M trực tâm => BM ⊥ ∆ ABN AN Bài 4: Cho đoạn thẳng AB trung điểm O nó, nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax By vng góc với AB, Một góc vng đỉnh O cắt Ax C, cắt By D a, AC+BD=CD b, CO tia phân giác HD a, Gọi I trung điểm CD AC// BD => OI trung bình hình thang ABCD AC + BD OI = => => ·ACD AC + BD = 2.OI ∆ Lại có COD vng => OI đường trung tuyến => OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD b, Ta có => ∆ Mà: ∆ OCD vng O có OI đường trung tuyến nên OI = IC IOC cân I => µ =C µ O 1 Bài 5: Cho Nờn => ả =O C µ =C ¶ C ABC có Vậy OC tia phân giác góc µ = 800, AB > AC A ( ) ·ACD Trên cạnh AB lấy D cho BD = AC Gọi E, F trung điểm AD, BC Tính góc HD: · BEF =? Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng qua trung điểm M N cạnh AB CD cắt AD BC E F, CMR : HD : Gọi I trung điểm BD Ta có: MI, NI đường trung bình MI = => => AD BC = = IN 2 ả =E M =F N ÃAEM = MFB · ∆ => IMN cân ( đồng vị ) ( so le trong) µ =F µ E Vậy Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C qua trung điểm M AD, CMR: · BMC = 900 a, b, BC = AB + CD HD: a, Giả sử MC cắt AB E ∆CMD = ∆EMA ( g c.g ) Khi => CM = EM CD = AE µ =C ¶ =C µ E ∆ ∆ Xét BEC có: => BEC cân Mà BM đường trung tuyến => BM đường cao Vậy BM b, Vi ∆ ⊥ EC BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB µ = 600 C Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có , DB phân giác góc Biết chu vi hình thang 20cm, Tính cạnh hình thang HD: Đặt BC= a, ta có ngay:AD = AB = BC = a Mà: µ = 600 => D ¶ = 300 => DBC · C = 900 ∆ ¶ = 300 , C µ = 600 => DC = 2a D Xét BDC có Mà Chu vi hình thang 20 cm nên a + a + a + 2a = 20 => a = µ D , Bài 9: Cho tam giác ABC, AM đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) qua trung điểm I AM cắt cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C đường thẳng (d) AA ' = BB '+ CC ' CMR: HD: Gọi H, K giao (d) với AB AC Lấy N hình chiếu M đường thẳng (d) ∆ ∆ => AA’I = MNI ( cạnh huyền- góc nhọn) => AA’ = MN Hình thang BB’C’C có MN đường trung bình nên: MN = AA ' = BB '+ CC ' Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BH, CK Gọi D E hình chiếu B C đường thẳng HK, CMR: DK = EH HD: Gọi M, M’ trung điểm BC DE, Xét ∆ HM = ∆ BHC vng H có HM đường trung tuyến nên: BC (1) BKC vuông K có KM đường trung tuyến nên: KM = BC (2) Từ (1) (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’ Bài 11: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao BD CE, gọi I K theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng ED, CMR: IE=DK HD: ⊥ Gọi M trung điểm BC, kẻ MN ED Tứ giác BIKC hình thang => NI= NK ∆ ∆ (1) BEC vng có EM = BC BDC vng có DM = BC => EM =DM ∆ => EDM cân có MN đường cao trung tuyến => NE = ND (2) Từ (1) (2) => IE= DK Bài 7: Cho hình thoi ABCD, tia đối tia BA, ta lấy điểm M, tia đối tia CB lấy N, tia đối tia DC lấy P, tia đối tia AD lấy Q cho BM=CN=DP=AQ a, CMR: MNPQ hình bình hành b, CMR : MNPQ hình thoi ABCD có tâm đối xứng c, Hình thoi ABCD phải có ĐK để MNPQ hình vng HD: a, ∆ b, ∆ MBN= ∆ ∆ AQM = ∆ NCP => QM= PN PDQ => QP= MN ∆ OBM= ODN=> =O ả O Ã Ã µ = POB · ¶ = BOD · POM = POB +O +O = 1800 => => P, O, M thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ có tâm O c, Để MNPQ hình thoi Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề nhau: QM= QD Thật vậy: ∆ QAM= Mà ∆ MBN => · · QAM = BAD · · · · MBN = QAM => QAM = BAD , · · · QAM + BAD = 1800 => BAD = 900 ∆ Bài 8: Cho ABC vuông A, đường cao AH, Gọi D trung điểm AC, lấy E đối xứng với H qua D a CMR : AHCE hình chữ nhật b Kẻ AI// HE( I thuộc BC) cm tứ giác AEHI hình bình hành c Trên tia đối HA lấy điểm K cho AH= HK, CM tứ giác CAIK hình thoi d HD : ∆ ABC cần có thêm điều kiện để hình thoi CAIK hình vng, Khi tứ giác AHCE hình gi ? Bài 9: Cho HCN ABCD, Gọi M trung điểm BC E giao điểm đường thẳng AM với DC a CMR : ABEC hình bình hành b Gọi F điểm đối xứng B qua C, CMR : BEFD hình thoi c CMR C trọng tâm AB = 3.BC ∆ AEF d Cho , Gọi H trung điểm DF K giao điểm AH với EF, CMR : AE=2 MK HD : Bài 10: Cho HBH ABCD, đường chéo cắt O, gọi E, F, G, H theo thứ tự ∆ giao điểm đường phân giác OAB, CMR: EFGH hình thoi HD: Vì OH , OF hai tia phân giác góc đối đỉnh nên H, O, F thẳng hàng Tương tự ta có: G, O, E thẳng hàng ⊥ Lại có OH OG ( Hai tia phân giác hai góc kề bù) ∆ ∆ Xét OAE = OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF => EFGH hình bình hành ∆ OBC, ∆ OCD, ∆ OAD có hai đường chéo vng góc với => hình thoi Bài 11: Cho hình vng ABCD, Gọi E, F theo thứ tự TĐ AB, BC a CMR: CE vng góc với DF b Gọi M giao điểm CE DF, CMR : AM=AB HD: b, Gọi N trung điểm DC, Tứ giác AECN có AE //NC AE=NC=> Là hình bình hành => AN // EC=> AN Trong ∆ ∆ DMC có: ⊥ DF  DN = NC => DH = HM   HN / / MC => ADM có AH đường cao lại đường trung tuyến nên AD= AM= AB Bài 12: Cho hình vng ABCD, điểm E, F cạnh BC, CD cho · EAF = 450 , Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho DM =BE, CMR: · ∆ABE = ∆ADM , MAF = 450 a b Chu vu tam giác CEF nửa chu vi tứ giác ABCD HD: a, ∆ => => ABE = àA = ảA ADN ( cạnh góc vng) · · MAE = 900 => MAF = 900 − 450 = 450 ∆ ∆ b, AEF = AMF (c.g.c) => EF = MF, EF = MD+DF=BE+DF Chu vi ∆ CEF = CE+EF+CF = CK+BE+DF+CF= BC+CD= chu vi ABCD Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC · HAM a CMR: AD phân giác b điểm E, M, F thẳng hàng c Tam giác BDC tam giác vng cân HD: a, Ta có: µ = µA C 1 ( phụ góc B) Mà AM= BC=> AM= MC=> => AD tia phân giác b, AH // DM => ¶ =A ¶ D ảA = C => àA = ảA , µ ¶ 1 A3 = A4 , ¶A = µ ¶ =µ A3 => D A3 => ∆ADM mà cân => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA= ED => FA=FD Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD => Thẳng hàng c, ∆ BED = ∆ CFD => ¶ =D ¶ D · · ¶ = BDF · ¶ = EDF · BDC = BDF +D +D = 900 ∆ => BDC vuông cân Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, AB AB => µ >C µ B µ = HAC · · µ B => HAC >C Mà: => HC>AH=> AH= HD => HC>HD=> D nm gia H,C b, Ta cú: àA + ảA = 900 , A ả +à A3 = 900 => µA1 = µ A3 2 kết hợp với AE= AH ∆ ∆ => AEF = AHB => AB= AF Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c, Gọi M giao điểm BF, AG, Khi ∆ BDF có DM = BF, Tương tự AM= BF => M nằm đường trung trực AD, Ta lại có: AE= ED, HA= HD => E, H nèm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng Bài 15: Cho hình vng ABCD điểm E bắt kỳ nằm điểm A B, tia đối tia CB lấy điểm F cho CF =AE · EDF a Tính b Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF, tứ giác DEGF hình gì? c CMR: AC, DG, EF đồng quy HD: a, ∆ AED = ∆ CFD (c.g.c) => ·ADE = CDF · · · · · · => EDF = EDC + CDF = EDC + ADE · EDF = ·ADC = 900 => b, Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG Do đó: DEGF hình bình hành · EDF = 900 lại có: => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE= DF => Là hình vng Bài 16: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F a CMR: BM=ND b CMR: N, D, C thẳng hàng c EMFN hình gì? d Chứng minh BC HD : DF + BM = FM a, Tứ giác ABCD hình vng=> Vì AMHN hình vng · => ¶A2 + MAD = 900 Từ (1) (2) ta có : Ta có : ∆ chu vi ∆ MFC khơng đổi M thay đổi µ + MAD · A = 900 (1) (2) = ảA A AND= AMB (c.g.c) =D ả = 900, BM = ND => B b, ABCD hình vng ¶ = 900 => D ¶ +D ¶ = NDC · => D = 1800 2 , Nên N, D, C thẳng hàng c, Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN => O tâm đối xứng hình vng AMHN => AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F => EN=Em FM=FN (3) AH =O ả => EM = NF => O (4) Từ (3) (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF hình thoi (5) d, Từ (5) suy FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi Ta có : ∆ MCF P cạnh hình vuông ABCD a P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF = ( MC + MB) + ( CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a , Vì ( MF=DF+MB) Hình vng ABCD cho trước => a khơng đổi=> P khơng đổi Bài 17: Cho hình vuông ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI CD K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF ∆ · · BAE = CAF => ∆ ∆ ⊥ Hai ∆ IE=IF, IEG vuông I ∆ ∆ EKC không đổi ∆ ABE= ADF EF · · IEG = IFK ∆ ADF vuông D có: => AE=AF Vì AE=AF AI đường trung tuyến => AI AEF cắt AF = FK FC c Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi HD: a, Xét ABE vuông B AB=AD, ∆ ∆ ∆ AEF IFK vng I có: , Nên IEG= IFK=> EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi b, Xét ∆ AKF ∆ CAF có: · · AFK = CFA , AF FK => ∆AKF : ∆CAF (gg ) => = AF = FK FC ·KAF = ACF · = 45 FC AF c) Theo câu a ta có: EK= KF Do chu vi ( Khơng đổi) ∆ ∆ ∆ ABE = ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD Bài 18: Cho HV ABCD, tia đối tia CB lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho DN=BM, đường thẳng song song AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F a CMR: ANFM hình vng b Chứng minh F nằm đường phân giác góc MCN c CM AC vng góc với CF d Gọi O trung điểm AF, CMR điểm B, D, O thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang HD : Bài 19: Cho hình vng ABCD, gọi E điểm đối xứng A qua D ∆ a CMR : ACE tam giác vuông cân b Kẻ AH vng góc với BE H, Gọi M N trung điểm AH HE, tứ giác BMNC hình ? c Cho AC =5cm, Tính diện tích d CMR: HD: · ANC vng ∆ BCE Bài 20: Cho HV ABCD có AC cắt BD O, Gọi M điểm thuộc cạnh BC( M khác B C), Tia AM cắt CD N, cạnh AB lấy điểm E cho BE=CM ∆ a CMR : OEM vuông cân b CM: ME song song với BN c Từ C kẻ CH vng góc với BN H, CMR: O, M, H thẳng hàng HD: AM = Bài 21: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy 2a BN = cho a CMR: AN vng góc DM 2a , BC lấy BN b Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ HD : a, Ta chứng minh => => ¶ = µA D 1 ∆ ∆ ABN = DAM ¶ +M ¶ = 900 D 1 , Mà : àA + M ả = 900 => K = 900 1 a 4a a + = 9 MN = b, Ta có : KI = a MN = DN = Tương tự ta có : DM = Tương tự a 10 a => KJ = 10 a a 13 => IJ = 13 Bài 22: Cho hình vng ABCD, Từ điểm M tùy ý đường chéo BD, kẻ ME, MF vuông góc với AB AD, CMR: ⊥ ⊥ a, CF=DE, CF DE b, CM=EF, OM EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xác định M để diện tích AEMF lớn HD: a, BD đường chéo hình vng ABCD => BD phân giác góc D => ∆ ·ADB = 450 => ∆DFM CDF= ∆ cân F=> DF=FM=AE DAE (c.g.c) => CF = DE µ =D ả C 1 +F = 900 => D ả +F = 900 => FOD Ã C = 900 1 1 Mà b, AM =EF, BD đường trung trực AC => MA =MC=> MC= EF Kéo dài FM cắt BC N => Tứ giác BEMN hình vng, => MN= ME ∆ => EMF= ∆ MNC(c g c) => ¶ +M ¶ = 90 => MEF · ¶ = 90 M +M 2 Mà => c, · EHM = 900 ∆ ¶ = MEF · M , => ĐPCM ⊥ EFC có CH EF=> CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF ⊥ Lại có ED CF O=> ED đường cao ứng với cạnh CF ⊥ Chứng minh tương tự câu a=> CE BF=> BF đường cao ứng với cạnh CE => đường CM, BF, DE đồng quy ... trung tuyến Nên AI= IE=IO (1) ∆ BOE vng B có BI đường trung tuyến Nên BI=EI=IO (2) Từ (1) (2) ta có: IA = IB ∆ Tương tự ADC vng A có AK đường trung tuyến => AK = DK=CK ∆ BDC có BK đường trung tuyến... HD: Gọi M, M’ trung điểm BC DE, Xét ∆ HM = ∆ BHC vng H có HM đường trung tuyến nên: BC (1) BKC vuông K có KM đường trung tuyến nên: KM = BC (2) Từ (1) (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’... trung bình => ∆ Xét BEP có MP = => ∆ Xét => µ = 900 P DC , MP đường trung tuyến 1 BE = DC 2 ENB có µ = 900 N MN đường trung tuyên 1 MN = BE = DC 2 Vậy ∆ NMP có cạnh nên tam giác Bài 22: Cho tứ giác