Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014 2015 CHUYÊN ĐỀ 11 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học[.]
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ Trong năm gần đây, tốn cực trị đề thi tuyển sinh đại học đa phần tốn khó đề thi Để giải tốn địi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ quan trọng giải toán cực trị Chuyên đề đưa số cách tiếp cận toán cực trị phương pháp hàm số Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng Ví dụ Chứng minh 207 a) b) Lời giải: x +1 x2 − x + ≤ 2, ∀x x − x + + y − y + + z − z + ≥ 3, ∀x, y, z thỏa mãn x + y + z = a) Xét hàm số f ( x) = f ′ ( x ) = ⇔ x = 1; x +1 x2 − x + , x ∈ ¡ Ta có f ′ ( x ) = lim f ( x ) = 1, x →+∞ lim f ( x ) = −1 x →−∞ 208 3( − x ) ( x − x + 1) x − x + Ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) −∞ +∞ + 209 - -1 Từ bảng biến thiên suy f ( x ) ≤ f ( 1) = 2, ∀x b) Áp dụng câu a ta có x +1 x − x +1 ≤ 2, ∀x ⇔ x − x + ≥ ( x + 1) 1 ( y + 1) ( ) ; z − z + ≥ ( z + 1) 2 Cộng vế BĐT (1), (2) (3) ta có Tương tự y2 − y + ≥ 210 ( 3) (1) ( + x + y + z ) ≥ (đpcm) Ví dụ Cho a + b + c = Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Lời giải: x2 − x + + y − y + + z − z + ≥ Xét hàm số f ( x ) = ( x ) − x − x ln R Ta có f ′ ( x ) = ( x ) ln − x.ln − 2ln = ( x − 1) ( 3.2 x + ) ln 2 x f ′ ( x ) = ⇔ = ⇔ x = 211 Ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) −∞ +∞ 0 - 212 +∞ + +∞ Suy f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ ⇒ 8a + 8b + 8c − (2a + 2b + 2c ) − ( a + b + c ) ln ≥ ⇒ 8a + 8b + 8c ≥ a + 2b + 2c Ví dụ (Trích đề thi đại học khối D năm 2006) b a 1 1 Chứng minh 2a + a ÷ ≤ 2b + b ÷ , ∀a ≥ b > 213 Lời giải: b b a a + a + 4b 1 1 Ta có 2a + a ÷ ≤ 2b + b ÷ ⇔ a ÷ ≤ b ÷ ⇔ (1+ Xét hàm số f ( x ) = ) ≤ (1+ ) a b b a ln ( + x x ) ⇔ ln ( + ) a b ≤ ln ( + với x > Ta có 214 ) b a ⇔ ln ( + 4a ) a ≤ ln ( + 4b ) b f ′( x) = x ln x − ( + x ) ln ( + x ) x2 ( + 4x ) < 0, nên f hàm nghịch biến ( 0; +∞ ) Do f ( a ) ≤ f ( b ) (đpcm) Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c 3 + + ≥ − a2 − b2 − c2 215 Bài 2: Chứng minh với x, y ∈ ( 0;1) , x ≠ y ta có y x − ln ln ÷> y − x 1− y 1− x Bài 3: Chứng minh ( x + y ) < ( y + 3x ) , ∀x > y > y Tổng quát: Với a, b > x > y > ta có x (a x + b y ) < ( a y + bx ) y Bài 4: Cho x, y ≥ 0; x + y = Tìm GTLN A = x + y 216 x ... 2 Đồng thời T = 13 ⇔ c = Với giả thi? ??t < a ≤ b ≤ c a + b + c = (3) suy a = b = 1, tức tam giác ABC 224 Ví dụ (Trích đề thi thử ĐH khối B tỉnh Bắc Ninh năm 2013) Cho hai số thực x, y với y... 8c − (2a + 2b + 2c ) − ( a + b + c ) ln ≥ ⇒ 8a + 8b + 8c ≥ a + 2b + 2c Ví dụ (Trích đề thi đại học khối D năm 2006) b a 1 1 Chứng minh 2a + a ÷ ≤ 2b + b ÷ , ∀a ≥ b > 213 Lời... lim f ( x ) = −1 x →−∞ 208 3( − x ) ( x − x + 1) x − x + Ta có bảng biến thi? ?n x f’(x) f(x) −∞ +∞ + 209 - -1 Từ bảng biến thi? ?n suy f ( x ) ≤ f ( 1) = 2, ∀x b) Áp dụng câu a ta có x +1 x − x +1