(TIỂU LUẬN) TỔNG hợp lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH học 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN 54 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 54 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54 2.1 Khái niệm hình đa diện 54 2.2 Khái niệm khối đa diện 54 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 55 3.1 Phép dời hình khơng gian 55 3.2 Hai hình 56 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56 KHỐI ĐA DIỆN LỒI 56 5.1 Khối đa diện lồi 56 5.2 Khối đa diện 57 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 58 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58 6.1 Thể tích khối chóp 58 6.2 Thể tích khối lăng trụ 58 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật 59 6.4 Thể tích khối lập phương 59 6.5 Tỉ số thể tích 59 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt 59 CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1 Hệ thức lượng tam giác 60 7.2 Các cơng thức tính diện tích 60 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP 61 CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63 PHẦN II MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN 64 1.1 Mặt nón trịn xoay 64 1.2 Khối nón 64 1.3 Thiết diện cắt mặt phẳng 65 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 65 2.1 Mặt trụ 65 2.2 Hình trụ trịn xoay khối trụ tròn xoay 65 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1 Mặt cầu 66 3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 66 3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 67 3.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu 67 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 68 4.1 Bài tốn mặt nón 68 4.2 Một số dạng tốn cơng thức giải toán mặt trụ 71 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 72 5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 72 5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 75 5.3 Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 75 5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 76 5.5 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu 77 TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY .78 6.1 Chỏm cầu 78 6.2 Hình trụ cụt 78 6.3 Hình nêm loại 79 6.4 Hình nêm loại 79 6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 79 6.6 Diện tích Elip Thể tích khối tròn xoay sinh Elip 79 6.7 Diện tích hình vành khăn 79 6.8 Thể tích hình xuyến (phao) 79 PHẦN HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 80 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 80 1.1 Các khái niệm tính chất 80 1.2 Phương pháp giải số toán thường gặp 82 MẶT PHẲNG 82 2.1 Các khái niệm tính chất 82 2.2 Viết phương trình mặt phẳng 83 2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 85 2.4 Khoảng cách hình chiếu 85 2.5 Góc hai mặt phẳng 86 2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86 ĐƯỜNG THẲNG 87 3.1 Phương trình đường thẳng 87 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.2 Vị trí tương đối 87 3.3 Góc khơng gian 90 3.4 Khoảng cách 90 3.5 Lập phương trình đường thẳng 91 3.6 Vị trí tương đối 94 3.7 Khoảng cách 94 3.8 Góc 95 MẶT CẦU 95 4.1 Phương trình mặt cầu 95 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng 96 4.3 Một số toán liên quan 96 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 99 5.1 Dạng 99 5.2 Dạng 99 5.3 Dạng 99 5.4 Dạng 99 5.5 Dạng 99 5.6 Dạng 99 5.7 Dạng 100 5.8 Dạng 100 5.9 Dạng 100 5.10 Dạng 10 100 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP  Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) B' A' F' A B B C D M A F E D C KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền ngồi khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền chứa hoàn toàn đường thẳng d Miền Điểm N Điểm M HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Là phép biến hình biến điểm M thành M ' MM ' = v 3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Nội dung ( ) thành nó, Là phép biến hình biến điểm thuộc P ( ) thành điểm M ' biến điểm M không thuộc P (P ) mặt phẳng trung trực MM ' ( ) biến hình (H ) thành (P ) gọi mặt phẳng đối xứng (H ) Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Nếu phép đối Hình vẽ xứng tâm O biến hình (H O ) thành gọi tâm đối xứng (H ) M' O M 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆) Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M khơng thuộc ∆ thành điểm M ' cho ∆ đường trung trực MM ' Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H Hình vẽ I ) thành M' M ( )  gọi trục đối xứng H * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình ( ) thành đa diện (H '), biến đỉnh, cạnh, mặt thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H ')  Phép dời hình biến đa diện H (H ) 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Hình vẽ Nội dung ( ) hợp hai khối đa diện (H1 Nếu khối đa diện H ), (H2 ) cho (H1 ) (H2 ) khơng có chung điểm (H1) ( ) thành hai ta nói chia khối đa diện H khối ( ) (H2 ), hay lắp ghép hai khối đa đa diện H1 diện (H1 ) (H2 ) với để khối đa diện (H ) (H) (H2) KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh  Khối đa diện gọi khối đa diện loại 5.2.2 Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại {n , p} {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3}, loại {3; 5} Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Bát diện Mười hai mặt 12 {3; 4} TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt Chú ý: Giả sử khối đa diện loại {n , p} có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: pĐ = 2C = nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó:  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó:  Ba đường chéo cắt trung điểm đường  Ba đường chéo đôi vng góc với nhau;  Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V = 3S đáy Hình vẽ h  Sđáy : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp V S.ABCD = d ( S,( ABCD )) S ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ cân I 4.3.11 Dạng 11 ( ) Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P  Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M (x − a )2 + (y − b )2 + (z − c )2 = R2 hoặc: x +y2 +z  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu x = f (t )  Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn:  ()  y = g (t ) (*) z = h (t )  Khử t * ta có phương trình tập hợp điểm  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) + 2ax + 2by + 2cz + d = TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1 Dạng Cho (P ) hai điểm A, B Tìm M ∈ (P )để (MA + MB )min ? Phương pháp • Nếu A B trái phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P )  Nếu A B phía so với (P ) tìm B ' đối xứng B qua (P ) 5.2 Dạng Cho (P )để ) hai điểm A, B Tìm M ∈ (P MA−MB ? max Phương pháp • Nếu A B phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P )  Nếu A B trái phía so với (P ) tìm B ' đối xứng B qua (P )  MA−MB' =AB' 5.3 Dạng Cho điểm M (x phương trình M ;y M ;zM ) không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết (P ) qua M cắt tia Ox , Oy ,Oz Phương pháp 5.4 Dạng Viết phương trình mặt phẳng (P M ∉ d đến (P ) ) lớn nhất? Qua A ∈ d Phương pháp ( ) P :       n ( P ) =  u d , AM  ,ud   5.5 Dạng Viết phương trình mặt phẳng (P Qua A Phương pháp (P ) :   n ( P ) = AM  5.6 Dạng ) qua A cách M khảng lớn ? Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d , cho (P ) tạo với ∆ ( ∆ không song song với d ) góc lớn lớn ? TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Qua A ∈d Phương pháp ( ) P :       n ( P ) =  u d ,u ∆ ,ud   5.7 Dạng Cho ∆ / / (P ) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) song song với ∆ cách  khoảng nhỏ ? Phương pháp Qua A′ Lấy A ∈ ∆ , gọi A′ hình chiếu vng góc A (P ) d :   u d   = u∆ 5.8 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng (P ) cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn (AM khơng vng góc với (P )) ? Qua A ∈ d d: Phương pháp     u d = n ( P ),AM   5.9 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng (P ) cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( AM khơng vng góc với (P )) ? Qua A ∈ d Phương pháp d:   ud   =  n ( P ) ,AM   ,n(P )    5.10 Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm (P ) tạo với đường thẳng ∆ góc nhỏ ( ∆ ( ) A ∈ P cho trước, cho d nằm cắt khơng vng góc ( ) với P )? Phương pháp d:  Qua A ∈ d  u   d =  n ,AM  (P )  ,n   (P )  ... THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 6.1 Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ h Hình vẽ r R h2 h1 R TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 6.3 Hình nêm loại Nội dung V= Hình vẽ 3 R tanα 6.4 Hình. .. bỏ hình quạt Nội dung Hình vẽ TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 ( ) Từ hình trịn O; R cắt bỏ hình quạt AmB Độ dài cung hình nón Tìm bán kính, chiều cao độ dài đường sinh hình. .. = − cos TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 M chia AB theo tỉ số k nghĩa MA = kMB Công thức tọa độ M : 1.1.8 Công thức trung điểm Nếu M trung điểm AB t 1.1.9 Công thức trọng