de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 truong thpt luu hoang ha noi

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Cho parabol  P  : y  x  bx  c ( b, c tham số thực) a) Tìm giá trị b, c biết parabol  P  qua điểm M  3;2  có trục đối xứng đường thẳng x  1 b) Với giá trị b, c tìm câu a), tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt parabol  P  hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Câu (7 điểm) a) Giải phương trình: x  3x   x  3x   x  mx   1 vơ nghiệm b) Tìm m để bất phương trình x  3x   2x  y  x  y   c) Giải hệ phương trình:  3 x  y   y  x  Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;1 B  2;4  Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có M trung điểm AC , N điểm thuộc cạnh BC thỏa mãn NC  NB Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh rằng: IN  IB  IC 3 b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB IC c) Giả sử độ dài cạnh BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh rằng: Nếu 3a.IA  4b.IB  5c.IC  tam giác ABC Câu (2 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  Tìm giá trị lớn biểu thức A   x  1 y  1 z  1 1    x y z HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2: Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 I Hướng dẫn chung II Đáp án thang điểm Câu Đáp án a) Cho parabol  P  : y  x  bx  c ( b, c tham số thực) Tìm giá trị b, c Điểm biết parabol  P  qua điểm M  3;  có trục đối xứng đường thẳng x  1 Do parabol  P  có trục đối xứng đường thẳng x  1 nên ta có  b  1  b  Do parabol  P  qua điểm M  3;  nên ta có   3  b  3  c  c  3b   c  3.2   1 Vậy b  2, c  1 b) Với giá trị b, c tìm câu a), tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt parabol  P  hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Với b  2, c  1 ta có  P  : y  x  x  Phương trình hoành độ giao điểm  P  d Câu (4 điểm) x  x    x  m  x  3x  m   (1) Để d cắt  P  điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt    13  4m   m  0.5 13 Khi giả sử nghiệm phương trình (1) x1 , x2 hoành độ điểm A, B 0.5 Do A, B  d  A  x1 ;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m   OA  x1 ;  x1  m  , OB  x2 ;  x2  m  Tam giác OAB vuông O Câu (7 điểm) OA.OB   x1.x2   x1  m  x2  m    x1.x2  m  x1  x2   m  (2) 0.5  x1  x2  3 Do x1 , x2 nghiệm phương trình (1) nên theo định lí Vi-et ta có   x1 x2  m   m  1 Khi (2)  2(m  1)  m  3  m   m  m     m  13 Kết hợp với điều kiện m  ta có giá trị m cần tìm m  1, m  0.5 a) Giải phương trình: x  3x   x  3x   Phương trình cho tương đương với x  3x    x  3x    0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí  x  3x  x  3x    x  3x  x  3x   0 0.5   1   x  3x     0 2 x  x   x  x       1  x  x    Do   0 x  3x   x  3x     x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1, x  b) Tìm m để bất phương trình Bất phương trình 0.5 0.5 0.5 x  mx   1 vô nghiệm x  3x  x  mx   1 vô nghiệm bất phương trình x  3x  x  mx   1 (1) nghiệm với x x  3x  Ta có (1)  x2  mx    x2  3x   Do x2  3x   0, x  0.5  0.5   0.5  x   m  3 x   (2) Bất phương trình (2) nghiệm với x   m  3  16   4  m    7  m  x  mx   1 vơ nghiệm 7  m  x  3x   x  y  x  y   c) Giải hệ phương trình:  3 x  y   y  x  Vậy để bất phương trình  x  y  a Đặt   a, b   Suy a  b2  3x  y   x  y   b Hệ phương trình cho trở thành (1) a  2b  a   2b    2 2 3b  a  b  a  b  3b   (2) Thay (1) vào (2) ta  13 b 2   2b   b  3b    5b  23b  26    b  13  a   (Loại a  ) 5 Với b   a   x  y  2 x  y  x    Khi ta có  x  y  y   x  y      Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  1; 1 Với b  Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;1 B  2;  Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Gọi C  x; y  điểm cần tìm  AB AC   Để tam giác ABC vuông cân A  (1)   AB  AC 0.5 Ta có AB   3;3 , AC   x  1; y  1 Từ (1) suy 0.5 3  x  1   y  1    x  y    2  2 2 x  1   y  1  18    x   y          0.5  x   y  x   y   x  y   x    y  2     x     2   x  4   x  4  x  1    x  1  18  x  1      y  0.5 Vậy có hai điểm C thỏa mãn điều kiện toán C  2; 2  C  4;  Cho tam giác ABC có M trung điểm AC , N điểm thuộc cạnh BC thỏa mãn NC  2NB Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh rằng: IN  IB  IC 3 b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB IC c) Giả sử độ dài cạnh BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh rằng: Nếu 3a.IA  4b.IB  5c.IC  tam giác ABC a) Do N  BC thỏa mãn NC  2NB nên ta có NB  NC   IB  IN  IC  IN   Câu (5 điểm)   2IB  IC  3IN   IN  IB  IC 3 1 IA  IC 2 Do I trung điểm MN nên ta có IM  IN  b) Do M trung điểm AC nên ta có IM  1 1 IA  IC  IB  IC   IA  IB  IC  2 3 5  IA   IB  IC  IA   IB  IC 3 c) Theo câu b) ta có IA   IB  IC  3IA  4 IB  5IC Khi 3    0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3a.IA  4b.IB  5c.IC   a 4 IB  IC  4b.IB  5c.IC  0.5   b  a  IB   c  a  IC    b  a  IB   a  c  IC (1) 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí b  a  Do IB IC không phương nên từ (1) suy   a b c a  c  Từ suy tam giác ABC tam giác 0.5 1    x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A   x  1 y  1 z  1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  Từ Câu (2 điểm) 1 1 1 y 1 z 1 y 1 z 1      1 1   2 x y z x y z y z y z z 1 x 1 x 1 y 1 Tương tự ta có   y z x z x y Suy 8 xyz   x  1  y  1  z  1 2 0.5 0.5 x2 y z  x  1 y  1 z  1 1   x  1 y  1 z  1   A   8 xyz xyz Vậy giá trị lớn biểu thức A đạt x  y  z  -Hết Ghi chú: Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa 0.5 0.5 ...Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020... HỌC 2020 – 2021 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 I Hướng dẫn chung II Đáp án thang điểm Câu Đáp án a) Cho parabol  P  : y  x  bx  c ( b, c tham số thực) Tìm giá trị b, c Điểm biết... điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;1 B  2;  Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn