de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 truong thpt dong dau vinh phuc lan 2

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2020 - 2021 Số báo danh Mơn thi: TỐN - Lớp 10 THPT ……………………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu Câu Tìm tập xác địnhcủa hàm số y  10  x  5 x Câu Cho phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 với a tham số a Giải phương trình với a  2 b Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a  Câu Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị nguyên tham số y m để phương trình f  x    m   f  x   m   có nghiệm phân biệt Câu Giải phương trình O x 3x   x   x  10  3x  x   Câu Giải bất phương trình -1 x    x   x  2 5 x y  xy  y  2( x  y )  Câu Giải hệ phương trình:  2  x  y  Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD , BC  a Tính giá trị nhỏ độ dài vectơ     u  MA  MB  3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC Câu Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh   AC  a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ Câu Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD Câu 10 Với x   0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x (1   x )  x 1 x -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10  x  5 x Tìm tập xác địnhcủa hàm số y  Hàm số xác định Điểm 2,0 10  x  0 5 x 0,5 10  x  0  Hoặc   x  x   20  x   x 3(5  x )   x   x   0 0 2(5  x) 2(5  x)  x    0,5  5  x  0,5 Vậy tập xác định hàm số D  ( 5;5] 0,5 Cho phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 với a tham số 2,0 a, Giải phương trình với a  2 b, Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a  a, với a  2 phương trình 1 thành x  x  1   x  x  1   0,5   x  1   x  1     x  1  2 0,5 x   x  b, Xét phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 Đặt t  x  ax  1, x  ax   t  t  at    2 phương trình cho trở thành:  3 Phương trình 1 có nghiệm a t thỏa mãn: a   a   4t  a    a  2 hay a  0,5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Nếu a  2  3 có nghiệm t  0, a   4t  0, suy   có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết 1 có nghiệm Nếu a  phương trình  3 có nghiệm t  1, điều kiện a   4t  không 0,5 thỏa mãn Vậy a  2,0 Ta có:  f  x   1 f  x    m  2 f  x   m      f  x    m Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị hàm số y  f 0,5  x  sau: y 0,5 x O -1 + Phương trình f  x   1 có hai nghiệm phân biệt Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình f 0,25  x    m phải có 0,25 nghiệm phân biệt  1   m    m  0,25 Kết hợp m số nguyên nên m  1; 2;3 0,25 Giải phương trình: 3x   x   x  10  3x  x   2,0 ĐKXĐ: x  Ta có: 3x   x   x  10  3x  x   3     x   x    x    x  2.2 x    x  1    3x   x    0,5  3x   x     3x   x     x   x   4 (VN ) 0,5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí  3x   x     x  1 3x    x 1  0,5  x 1   x      1  3x    x 1    x  nên 1  x    x  (thỏa mãn) 3x   Vì 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Giải bất phương trình x    x   x  2,0 Điều kiện xác định: x  Bất phương trình tương đương: 0,5 x   x 1  x    x 1  ( x  2)( x  1)  x 1  x  0,5 x   x  x  18     x  0,5 x   x  x  18     x  Vậy nghiệm bất phương trình x  0,5  x  2 5 x y  xy  y  2( x  y )  Giải hệ phương trình:  2  x  y  2,0  2 5 x y  xy  y  ( x  y )( x  y )  Hệ cho   2  x  y  0,25 4 x  y  xy  y  x  (*)  2  x  y  Ta thấy x = không nghiệm hệ nên từ PT (*) đặt: t  t  2t  5t  4t     t   y  x  x   x  1    2  y   y  1 x  y  Khi t = ta có:  0,25 y ta PT: x 0,25 0,5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí   2 2 x  x   5      y  y     5  y  x Khi t  ta có:   2 2 x  y   0,5  2   2   ; ; ;  5 5    0,25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD , BC  a Tính giá trị nhỏ độ dài     vectơ u  MA  MB  3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC 2,0 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y  1;1 ;  1; 1 ;  0,5 AB  AD  BC  2a AC  BD  (trung điểm AC , BD )         u  MA  MB  3MC  MA  MC  MB  MC      2MD  2MB  2MC  6MP (với P trọng tâm OBC ) 0,5  u 0,5    6MPmin  PM  BC M Vì OBC cân O , nên P thuộc trung tuyến OH  u  PH  OH  2Oh  2a (Khi M  H ) Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB   biết cạnh AC  a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ 0,5 2,0 B α K G A D Gọi K , D trung điểm AB, AC   Gọi  góc hai véc tơ GB GC     Ta có: cos   cos GB, GC  cos DB, KC     C 0,5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí         BA  BC CA  CB DB KC BD.CK    DB KC BD.CK BD.CK       BA.CA  BC CA  BA  BC BC   ( Do BA  CA ) BD.CK BD.CK    0,5  BD.CK  BD2  CK      BA  BC      CA  CB       1 AB2  AC  BC  BA BC  2CA.CB  4   AB2  AC  BC  BA  2CA  (Theo cơng thức hình chiếu véc tơ)  0,5 BC 4 Suy cos    Dấu xảy BD  CK  AB  AC  a 0,5 Ta có góc  nhỏ cos  lớn  Khi AB  a Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD 2,0 A E D O C B       CD  CA  CB  OA  OB  2OC 2              OE  OA  OD  OC   OA  OA  OB  OC   3OA  OB  2OC 3   Ta có:         Do đó:         CD.OE  OA  OB  2OC 3OA  OB  2OC 12        12CD.OE  3OA2  OB  4OC  4OA.OB  4OA.OC         12CD.OE  4.OA OB  OC  4.OA.CB     10    0,5 0,5 0,5 (Vì ABC cân A có O tâm đường trịn ngoại tiếp nên OA  BC )   Do CD.OE   CD  OE (điều phải chứng minh) 0,5 Với x   0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức 2,0 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí P  x (1   x )  x 1 x Đặt t   x ,  t  ta P  Áp dụng BĐT Cô si, ta có P  1  t  t  5 5 1 t t  0;1 0,5 0,5 5 0,5 7  5 0,5 Dấu “=” xảy t  Vậy MinP   x  1  t  t t    5 1 t t 1 t t -Hết ...Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 20 20 -20 21 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10  x ...  x  2 5 x y  xy  y  2( x  y )  Giải hệ phương trình:  2  x  y  2, 0  2 5 x y  xy  y  ( x  y )( x  y )  Hệ cho   2  x  y  0 ,25 4 x  y  xy  y  x  (*)  2  x... phương trình f 0 ,25  x    m phải có 0 ,25 nghiệm phân biệt  1   m    m  0 ,25 Kết hợp m số nguyên nên m  1; 2; 3 0 ,25 Giải phương trình: 3x   x   x  10  3x  x   2, 0 ĐKXĐ: x