(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN một số ỨNG DỤNG của PHÉP TỊNH TIẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN TIN HỌC MƠN HÌNH HỌC SƠ CẤP TIỂU LUẬN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Người hướng dẫn: TS Trần Nam Dũng Thành viên 1511100 Trần Thanh Hoàng 1511130 Trần An Khang 1511136 Đặng Trọng Khiêm 1511172 Đặng Thị Thúy Mơ 1511278 Lê Thanh Thảo MỤC LỤC I LỜI MỞ ĐẦU II GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT 2.1 Định lý 2.2 Hệ 2.3 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến III PHƯƠNG PHÁP LÀM 3.1 Xác định phương trình ảnh (d’) của đường thẳn 3.2 Xác định phương trình ảnh (C’) của đường trịn 3.3 Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) 3.4 Xác định quỹ tích của một điểm 3.5 Xác định hình cần dựng ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN 1.GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 1.1 XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH TIẾ 1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2.GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC 2.1 DẠNG TỐN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỢ DÀI 2.2 DẠNG TỐN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH 2.3 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH 2.4 DẠNG TOÁN DỰNG HÌNH 2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ Tài liệu tham khảo I LỜI MỞ ĐẦU Lời đầu tiên nhóm chúng em xin gửi đến quý thấy khoa Tốn- tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên lời chào trân trọng nhất, lời chúc sức khỏe lời cám ơn sâu sắc Nhờ sự quan tâm sự dẫn nhiệt tình, chu đáo, tận tâm của quý thầy cơ, chúng em có thể hồn thành tiểu luận Mợt lần nữa, với lịng biết ơn sâu sắc, chúng em xin gửi lời cám ơn đến quý thầy tḥc khoa Tốn- tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, quý thầy cô thuộc Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, tạo hội cho chúng em tiếp cận với bợ mơn Hình học sơ cấp, mợt mơn học vơ bổ ích, thú vị có nhiều ứng dụng thực tiễn đời sống Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Trần Nam Dũng hỗ trợ, cung cấp kiến thức, bảo, hướng dẫn chúng em suốt trình làm tiểu luận Bài tiểu luận của chúng em thực hiện với sự cố gắng, nỗ lực tâm huyết của tất thành viên nhóm Tuy nhiên, với tầm hiểu biết, kiến thức vẫn hạn chế nên tiểu luận vẫn nhiều thiếu sót Vì chúng em mong có thể nhận sự nhận xét, góp ý từ quý thầy cũng bạn bè để chúng em có thể hồn thiện tiểu luận, đúc kết kinh nghiệm để phục vụ tốt cho dự án tương lai Xin chân thành cám ơn! II GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN ĐỊNH NGHĨA Trong mặt phẳng cho vectơ điểm M thành M’ cho: ⃗′ gọi phép tịnh tiến theo vectơ Phép biến hình biến = Kí hiệu: ( ) = = TÍNH CHẤT ′  ′ 2.1 Định ly Định ly 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N lần lượt thành M’ N’ MN = M’N’ Định ly 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba diểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự của ba điểm ( )= ′ ( )= 2.2 Hệ qua Phép tịnh tiến theo vectơ ′ => MN = M’N’ biến: +Đường thẳng (đoạn thẳng) thành đường thẳng (đoạn thẳng) song song trùng với đường thẳng(đoạn thẳng) cho +Tia thành tia có hướng +Đa giác thành đa giác bằng với đa giác cho +Đường tròn thành đường tròn có bán kính (khi cần xác định ảnh của tâm) +Góc thành góc bằng góc cho 2.3 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến Ta có M(x, y) M’(x’, y’), Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Phép tịnh tiến theo vectơ =( , ) ( ) = ′ta có : ′ {′ = + =+ 3 PHƯƠNG PHÁP LÀM 3.1 Xác định phương trình anh (d’) của đường thẳng (d) Phương pháp 1:  Chọn điểm M( 0, 0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) vecto pháp tuyến  Dùng biểu thức tọa đợ để tìm ′( 0′, 0′) ảnh của M qua phép tình tiến thẳng (d)   Đường thẳng ( ′) đường thẳng qua ′và có vecto pháp tuyến ′ ′ ) + B(y - ) = ( ′): A(x - = (A, B) của đường = (A, B) Phương pháp 2:  Chọn điểm M( (d)  0, 0) N( 1, 1) cụ thể thuộc đường thẳng Dùng biểu thức tọa đợ để tìm ′( 0′, 0′) ′( 1′, 1′) ảnh của M N qua phép tình tiến  Đường thẳng ( ′) đường thẳng qua điểm ′ ′ có vecto pháp tuyến = (A, B)  3.2 Xác định phương trình anh (C’) của đường trịn (C) Xác định tâm O( , ) bán kính R của đường trịn (C)    Dùng biểu thức tọa đợ để tìm tọa đợ ảnh ′( 0′, 0′) của tâm O qua phép tịnh tiến ′ Đường tròn ( ) đường trịn có tâm ( ′ ): (x − ′ 0) + (y − ′ 0) ′ bán kính R =R 3.3 Xác định phương trình anh (H’) của đường (H) Gọi M(x, y) điểm tùy y đường (H): ƒ(x, y) =    Gọi ′ ( ′ , ′ ) ảnh của M qua phép tịnh tiến { ′ ′ MЄ(H)=>ƒ( − , − )=0   ( ( ′) ảnh của (H) qua phép tịnh tiến ′ => ( ′) tập hợp tất điểm ′ ): ƒ(x − a, y − b) = 3.4 Xác định quỹ tích của mợt điểm Từ giả thiết chọn điểm E di động cho EM v khơng đổi (tức phải tìm mợt hình bình hành có EM cạnh cạnh đối diện của phải cố định)  Xác định hình (H) quỹ tích của điểm E  Khi tập hợp điểm M (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3.5 Xác định hình cần dựng  (Dựng điểm M) Tìm mợt hình (H) cố định vectơ v khơng đổi cho trước cho thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v ta có ảnh hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng  Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm điểm cịn lại từ ta có hình cần dựng III ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 1.1 XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH TIẾN Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(1;2), B(-2;3) Tìm toạ đợ điểm M’ ảnh của điểm M(-3;4) qua phép tịnh tiến Hướng dẫn Giả sử M’(x’;y’) theo công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta có ⃗ = (-3;1) ′ { Kết luận:M’(-6;5) =−3−3=6 ′ =4+1=5 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ đợ Oxy A(1;2), B(-2;3) Xác định phương trình tổng quát của : { =4+2 Hướng dẫn Ta có => M(4+2t ;-t); =(-3;1 ) ∈ Gọi M’(x’;y’) ảnh của M qua phép tịnh tiến Theo công thức toạ đợ phép tịnh tiến ta có: { x′ = + 2t − = 2t + y′ = −t + phương trình tham số của đường thẳng d’ Kết luận: Suy x’ = 2(1 − y’) +  2y’ + x’ = phương trình tổng quát của đường thẳng d’ Bài 3: Trong mặt phẳng tọa đợ cho đường trịn (C) có phương trình 3) + −2 +4 − = Tìm ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto = (−2; Hướng dẫn Giả sử ( , ) điểm tḥc đường trịn (C) ′( ′, ′) tḥc đường trịn (C’) ảnh của điểm qua phép tịnh tiến theo vecto biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có: ′ { = (−2; 3) Theo − = ′ − = Thay , ′ + 2)2 + ( (   ′2 ′2 ′ ( ′ + 1) + ( ′ vào phương trình của đường trịn (C) ta được: − 3)2 − 2( + 2) + 4( ′ − 3) − = + +2 −2 −7=0 ′ − 1) = Kết ḷn: Vậy đường trịn (C’) có phương trình là: ( ′ ( ′ ′ − 1) = ′ + 1) + 2 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa đợ cho đường trịn (C) có phương trình ( − 2) + ( + 1) = 16 đường trịn (C’) có phương trình ( − 5) + ( + 5) = 16 Biết đường tròn (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto Tìm tọa đợ của vecto Hướng dẫn Tâm đường tròn (C) điểm (2; −1), tâm đường tròn (C’) điểm ′(5; −5) Do đường tròn (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto Gọi tọa độ của vecto là: =( ; ) Vậy tọa độ của vecto là: = (3; −4) ′ nên cũng ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto 1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số y = 2x − có đồ thị đường thẳng d hàm số y = 2x − có đồ thị đường thẳng (d1) Tìm phép tịnh tiến biến d thành (d1) Hướng dẫn Đặt f(x) = 2x − Ta có: y = 2x − = 2x − − = 2(x − 3) − = f(x − 3) Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm chính ta tịnh tiến (d) sang phải đơn vị để (d1) Bài 2: Cho hàm số y = x2 − 2x + có đồ thị (P1) hàm số y = x2 − 6x + 12 có đồ thị (P2) Hãy tìm mợt phép tịnh tiến biến đồ thị (P1) thành đồ thị (P2) Đặt ( ) = −2 +4 Hướng dẫn Biến đổi: = 2−6 +12 = = ( = ( −2) −2( −2)+4 = −4 −2 +4 −4 +4)−4−2 +4 ( − 2) Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm chính ta tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị Bài 3: Cho đồ thị (P1): y = x2 − 10x + có đồ thị (P2):y = x2 − 8x − Tìm phép tịnh tiến đồ thị biến (P1) thành (P2) GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC 2.1 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỘ DÀI Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AB cm, CD 12 cm, 150 BAD 60 , ABC , ADC 90 Tính độ dài cạnh BC DA Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến : T:AM BC Khi ta có: AM BC AB MC Do đó: ABCM hình bình hành BCM 180 30 (V ABC 150 ) ABC ì Lại có: BCD 360 A B D 60 MCD 30 Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta có: MD Ta có: MC CM vng tại M MDC 60MDA 30 DMA cân tại M ( MAD 60 MAB 30 BCMAMD6 AD sin AMD 10 Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai điểm A, B nằm đường tròn cho số đo cung AB bé 180 Gọi (O’;R’) B’ ảnh của (O;R) B qua phép tịnh tiến theo 2OA Tính số đo BAB' Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến: T : O O' 2OA B B' (O, R) (O ', R ')  OB//OB’  B'O'O BOO' 180 Qua phép tịnh tiến T 2OA  O’A + OA=2R=2R’   (O,R) tiếp xúc (O’, R’) A điểm tiếp xúc (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến (d) qua A cắt BB’ tại E   B'AE B'O'O tiếp tuyến dây cung)  B'AE BAE B'AB 90 11 2.2 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH Bài 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định (BC khơng phải đường kính) đường trịn (O), điểm A di động (O) Chứng minh rằng A di đợng (O) trực tâm H của tam giác ABC di đợng mợt đường trịn Hướng dẫn Dựng đường kính AD Ta chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành  HD BC {I} , I trung điểm BC  OI đường trung bình AHD  OI Xét phép tịnh tiến: T :A H 2OI (O) (O ') Mà A (O)  H (O') Vậy quỹ tích điểm H đường tròn (O’) với T2OI (O) = (O ') Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định đáy CD thay đổi Biết AB = a CD = b (với a, b khơng đổi) Tìm quỹ tích điểm C trường hợp sau: a Góc ADC 90 b DA = DB Hướng dẫn a) Gọi I trung điểm AB  I cố định (A, B cố định) Theo đề bài, ta có∆ vng tại D  ID=IA=IB= =2 12 Do điểm D chạy đường tròn (C) tâm I bán kính R=2 bỏ hai điểm A B ((C) cố định) Gọi A’ thuộc cạnh AB cho: b a  AA’CD hình bình hành  DC AA ' ( với AA ' cố định) Từ theo định nghĩa tịnh tiến ta có: T : D C AA ' I I' C C' Mà điểm D chạy đường tròn (C) nên điểm C chạy đường tròn (C’) Vậy tập hợp tất điểm C đường tròn (C’) tâm I ' T (I) AA ' bán kính R bỏ hai giao điểm của (C’) đường thẳng AB b) Gọi d đường trung trực của AB  d cố định (vì A, B cố định) theo giả thiết ta có DA = DB  D chạy d (bỏ trung điểm AB) Gọi A’ thuộc cạnh AB cho: AA'  AB b a AA’CD hình bình hành  DC AA ' ( với AA ' cố định ) Từ theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: TAA' :D d C d' 13 Mà điểm C chạy đường thẳng d nên điểm C chạy đường thẳng d’ Vậy tập hợp điểm C đường thẳng d' = T (d) , bỏ giao điểm AA ' của d’ đường thẳng AB Bài 3: Cho hình bình hành ABCD CD A, B, D nằm đường tròn cố định O, bán kinh R Tìm quỹ tích C Hướng dẫn Gọi H trực tâm tam giác ABD I trung điểm BD A’ đôi xứng A qua tâm O Khi t có: BH AD A'D BH / /A'D DH / /A'B AD DH AB A'B AB Do ta có: BHDA ' hình bình hành I trung điểm của HA ' OI đường trung bình của tam giác AHA' AH AH 2OI 2OI R21 Quỹ tích điểm H đường tròn (C) tâm A bán kính R2 Vì ABCD hình bình hành nên I trung điểm AC OI đường trung bình của tam giác ACA' A'C 2OI (2) AHCA' hình bình hành HC AA ' O Từ (1) (2) ta có A ' C AH Lại có AA ' cố định (vì A cố định) 14 Do theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có: T : AA' A Lại có H chạy đường tròn A, R2 nên C chạy đường tròn A ', R2 Vậy quỹ tích điểm C đường tròn tâm A ' (đối xứng với A qua O) bán kính 2.3 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH Bài 1: Cho tam giác cắt cạnh A C Phía tam giác AA '' BB ' A ' A, BB'C'C, AA''C''C cho A trung điểm đoạn (S diện tích của hình Chứng minh rằng: S (H)) Hướng dẫn Ta có: BB ' A ' A, BB'C'C, AA''C''C hình bình hành B'B A'A,B'B C'C,AA'' CC'' Lại có A trung điểm AA'' A' A AA'' Do đó: B ' B A ' A C ' C AA '' CC '' Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: 15 T R'R Mà T R'R phép dời hình nên ta có: A'B'C'CA, ABCC''A'' ngũ giác bằng S S Lại có: BB' A' A S (đpcm) ACC '' A'' Bài 2: Cho hình bình hành ABCD điểm M cho C △MBD MBC MDC Chứng minh rằng: AMD BMC nằm Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến: T→ :M→M′ BA B→A  △ MBC =△ M′AD MM′ // CD BMC = AM D (1) ⃗̂ { C→D ̂′ MBĈ = MM ′AD (2) Có MBC = MDC (2) ⇒ MDC = M′AD ⃗̂ ̂ Mà MM’//CD  ⃗̂ ̂ MDC = DMM′  ⃗̂′ ̂ M AD = DMM′ 16  ⃗̂′ DAMM’ nội tiếp ( M AD, DMM′cùng chắn cung DM’)  ⃗̂ ̂ AMD = AM′D AMD = BMC  ⃗̂ ̂ 2.4 DẠNG TOÁN DỰNG HÌNH Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của  ABC qua TAD Hướng dẫn Ta có: T (A) D AD Do ABCD hình bình hành BC AD T (B) C AD Dựng hình bình hành ACED  AD T T CE (C) E AD ( ABC)DCE AD Bài 2: Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) (với R ≠ R’) đường  thẳng Hãy dựng đường thẳng d song song với đường tròn (O) (O’) dây cung bằng  chắn Hướng dẫn Cách dựng: Dựng tia Ox ⊥ O’K (với K hình chiếu của O’ lên △) Gọi I = Ox ∩ O’K 17 Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R Gọi {A’, B’} = (O’, R’) ∩ (I, R) Dựng đường thẳng d qua hai điếm A’ B’ Chứng minh: Vì {A’, B’} = (O’, R’) ∩ (I, R) => A′B′ ⊥ O’I => d ⊥ O’K => d // Xét phép tịnh tiến:  : A’ , Є( , ) Do ta có: { ′ ′ = ⃗ ′ = Biện luận: ′ ′ Bài tốn có nghiệm hình đường tròn (I, R) ( , ) cắt Khi tốn có mợt nghiệm hình 18 2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ Bài: Hai thôn nằm vị trí A, B cách một song (Xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sơng (cầu vng góc với bờ sơng) làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN cho AM+NB ngắn Hướng dẫn Ta có a,b hai đường cố định nên định M cố N T MN (A) =A’ AA’ = MN Mà AA’//MN AA’NM hình bình hành A’N = AM Ta có AM + BN = A’N + NB ≥ A’B Để AM+BN nhỏ AM+BN=A’B Tức A’, M, B thẳng hàng 19 Tài liệu tham khao: [1] https://www.slideshare.net/danamath/php-bin-hnh-php-tnhtin?from_action=save [2] https://www.slideshare.net/danamath/php-bin-hnh-php-tnhtin?from_action=save [3] https://toanhoc77.wordpress.com/2011/07/07/bai-1-2-phep-bi %E1%BA%BFn-hinh-%E2%80%93-phep-t%E1%BB%8Bnh-ti %E1%BA%BFn/ [4] https://123doc.org/document/2359734-bai-tieu-luan-cac-phep-bienhinh.htm 20 ... Vậy phép tịnh tiến cần tìm chính ta tịnh tiến (d) sang phải đơn vị để (d1) Bài 2: Cho hàm số y = x2 − 2x + có đồ thị (P1) hàm số y = x2 − 6x + 12 có đồ thị (P2) Hãy tìm mợt phép tịnh tiến... phép tịnh tiến theo vecto 1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số y = 2x − có đồ thị đường thẳng d hàm số y = 2x − có đồ thị đường thẳng (d1) Tìm phép tịnh. .. điểm A, B nằm đường tròn cho số đo cung AB bé 180 Gọi (O’;R’) B’ ảnh của (O;R) B qua phép tịnh tiến theo 2OA Tính số đo BAB'' Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến: T : O O'' 2OA B B'' (O,