Toán rời rạc -Đại số bool doc

So sánh các công thức đa thức của hàm Bool... So sánh các dạng đa thức của hàm Bool: Ví dụ: a... So sánh các dạng đa thức của hàm Bool: Ví dụ: b.. So sánh các công thức đa thức của hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



GVGD: Ts Cao Thanh Tình

I Hàm Bool

Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ.

Bảng giá trị

Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C

mà ta sẽ có dòng điện đi qua MN.

Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiều cầu dao,

làm sao ta có thể kiểm soát được?

Giải pháp là đưa ra công thức, với mỗi biến

được xem như là cầu dao.

A

C

B

I Hàm Bool

I Hàm Bool

2 Hàm Bool:

I Hàm Bool

I Hàm Bool

I Hàm Bool

II Các dạng biểu diễn hàm Bool

II Các dạng biểu diễn hàm Bool

II Các dạng biểu diễn hàm Bool

II Các dạng biểu diễn hàm Bool

II Các dạng biểu diễn hàm Bool

1 So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:

b Ta nói (1) đơn giản hơn (2) hay (2) phức tạp hơn (1)

p ≤ q

deg(u j ) ≤ deg(u j ) (1 ≤ j ≤ p)

chú ý:

 Có thể hoán vị v 1 , v 2 , …,v q trước khi so sánh bậc nếu cần thiết

 Có thể có những cặp đa thức không so sánh được

18

III So sánh các công thức đa thức của

hàm Bool

1 So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:

Ví dụ:

a f F ∈ 4 có 3 dạng đa thức f(x,y,z,t) = x ¬y ¬t V ¬xyz V x ¬z ¬ t V xyz (1) = x ¬y ¬t V ¬xyz V xy ¬z V yzt (2) = x ¬y ¬t V ¬xyzt V ¬xyz ¬t V xy ¬z V yzt (3) (1) và (2) đơn giản ngang nhau

vì p = q = 4

deg(u j ) = deg(v j ) = 3

(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)

1 So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:

Ví dụ:

b g F ∈ 4 có 3 dạng đa thức g(x,y,z,t) = x ¬yz V z ¬t V ¬xyz V ¬xy ¬zt (4) = z ¬t V x ¬yzt V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5)

ta thấy: p = q = 4 d(u 1 ) > d(v 1 ); d(u 2 ) < d(v 2 )

nên cần phải hoán vị (5)  x ¬yzt V z ¬t V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5`) (q` = 4) (4) đơn giản hơn 5`

vì p = q` = 4

deg(u j ) ≤ deg(w j )

20

III So sánh các công thức đa thức của

hàm Bool

III So sánh các công thức đa thức của hàm Bool

2 Công thức đa thức tối thiểu

Công thức F của hàm Bool f được gọi là tối

thiểu nếu với bất kỳ công thức G của f mà đơn

giản hơn F thì F và G đơn giản như nhau

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

1 Bảng mã

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

2 Quy tắc:

- Gom các ô sao cho số l ượng ô trong vòn g gom l à một

số l uỹ thừa của 2.

- Vòng gom phải l à 1 hì nh chữ nhật.

- Số ô có thể gom phải là l ớn nhất (có thể phải gom các ô đã gom trong vòng gom khác).

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

Khi gom 2n ô sẽ loại được n biế n Những bi ế n bị l oại là nh ững biế n khi ta đi vòng qua các ô trong vòng gom mà gi á trị củ a chúng thay đổi.

-> G om 2 ô sẽ loại được 1 bi ế n

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

3 Ví dụ

•VD: Dùng các bản đồ Karnaugh ba biế n để rút gọn các khai triể n tổng các tích sau:

F= ¬x¬y¬z ∨ ¬ xyz ∨ ¬xy¬z ∨ xyz

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

3 Ví dụ

•VD: Dùng các bản đồ Karna ugh bốn biế n để rút gọn các khai triể n tổng các tích sa u:

F = ¬w¬x¬y¬z ∨ ¬ w¬x¬yz ∨ ¬wx¬y¬z ∨ ¬wx¬yz ∨ ¬wxyz ∨ wxy¬z ∨ w¬ x¬y¬z

= ¬w¬y ∨ ¬w¬xz ∨ ¬x¬y¬z ∨ wxy¬z

IV Phương pháp biểu đồ Karnaugh

Mở đầu: Như t a đã bi ế t khi số bi ế n l ớn hơn bốn t hì vi ệc sử dụn g bản đồ Karnaugh sẽ rất ph ức t ạp Vì th ế Phương phá p Quine -McCluske y được ra đời để khắc phụ c nh ược đi ể m đó Nó có thể được dùng cho các hàm Bool e có số biế n bấ t kỳ.

V Phương pháp Quine-McCluskey

Về cơ bản, phương pháp Quine -McCluske y có hai phần Phần đầu l à tì m các số h ạng là ứng vi ê n để đưa vào khai tri ể n cực tiể u như một tổng các tích Bool e mà ta gọi l à các nguyê n nhân ngu yê n tố Phần thứ hai l à xác đị nh xe m trong số các ứng viê n đó, các số hạng nào là thực sự dùng được

V Phương pháp Quine-McCluskey

HÀM BOOL 34

V Phương pháp Quine-McCluskey

Mệnh đề: Hệ các nguyên nhân nguyên tố của

hàm F là một hệ đầy đủ.

V Phương pháp Quine-McCluskey

Phương pháp Qui ne -McCl uske y tì m dạ ng tổng chuẩn tắc thu gọn:

Bước 1: Vi ế t và o cột thứ nhất các bi ểu di ễ n của các nguyê n nh ân hạng n của hàm Bool e F Các bi ể u di ễ n được chi a thành từng nhóm, các bi ể u di ễ n trong mỗi nhóm có số các ký hiệ u 1 bằng nhau và các nhóm xế p the o thứ tự số các ký hi ệ u 1 tăng dần

V Phương pháp Quine-McCluskey

Bước 2: Lần l ượt thực hiệ n tất cả các phé p dán các bi ể u diễ n trong nhóm i vớ i các bi ể u di ễ n trong nhóm i+1 (i =1, 2, …) Biể u diễ n nà o tham gi a í t nhất một phé p dán sẽ đượ c ghi nhận một d ấu * bê n cạnh Kế t quả dán được ghi vào cột ti ế p theo

Bước 3: Lặp lại Bước 2 cho cột kế ti ế p cho đế n khi k hông thu thê m được cột nào mớ i Khi đó tất cả các biể u diễ n không có dấu * sẽ cho ta tất cả cá c nguyê n nhân nguyê n tố của F

V Phương pháp Quine-McCluskey

1111*

Bước 1: Phát h iệ n tất cả các nguyê n n hân nguyê n tố cốt yế u

Bước 2: Xoá tất cả các cột đượ c phủ bởi các nguyê n nhân nguyê n tố cốt yế u

Bước 3: Trong bảng còn l ại , xoá nốt những dòng không còn dấu + và sau đó nế u có hai cột gi ống nhau thì xoá bớt một cột

Bước 4: Sau các bước trê n, tìm một hệ S các nguyê n n hân nguyê n tố với số bi ế n ít nhất phủ các cột còn l ại

HÀM BOOL 41

HÀM BOOL 42

• Chúng ta sẽ dùng đại số bool phân

tích các hàm sau đó sẽ thể hiện các biến đầu vào và đầu ra dưới dạng các cổng cơ bản( and, not, or) và

thiết kế cách nối chúng lại với nhau

để tạo thành các mạch số cần thiết.

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp

hàm Bool

 Lợi ích của việc thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool:

thức đa thức nào đó của F F có nhiều

dạng đa thức khác nhau, ta sẽ chọn 1

công thức đa thức tối tiểu của F để thiết

kế mạng cho nó Như vậy ta sẽ tiết kiệm được chi phí mua cổng và dây dẫn.

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm

Bool(tt)

• Vd: ta có hàm

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm

Bool(tt)

z y x z

xy xyz

z y x

X Y Z

Ta dùng cổng or nối 3 cổng and trên lại với nhau ta được kết

xy xyz

z y x

F ( , , ) = + +

• Nhưng Mạch l ogic trê n vẫn còn phức tạp và chúng ta có thể rú t gọn bi ể u thức F để có mạch logi c đơn gi ản hơn.

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm

Bool(tt)

z y x xy

z y x z

z xy z

y x z

xy xyz

z y x

xy

Sau khi rút gọn hàm F ta được:

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm

Bool(tt) Thiết kế mạch

z y x xy

F = +

x y

z

• Hai mạch lôgic trong hai hình trên thực hiện

cùng một hàm Boole, ta nói đó là hai mạch lôgic tương đương, nhưng mạch lôgic thứ

hai đơn giản hơn.

• Vấn đề tìm mạch lôgic đơn giản thực hiện

một hàm Boole F cho trước gắn liền với vấn

đề tìm biểu thức đơn giản nhất biểu diễn

hàm ấy Như vậy ta sẽ tiết kiệm được chi phí mua cổng và dây dẫn.

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm

Bool(tt)