SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM Ngày thi: 19/10/2022 Mơn thi: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) Câu Đáp án Điểm 2x có đồ thị (C) đường thẳng (d) có phương trình x 1 y 2 x m với m tham số Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm A B phân biệt cho AB Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C ) Cho hàm số y x mx m 1 x Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình m m 8m 16 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2 m m m 2x 2 x m x 1 I (2,0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có: điểm) Giả sử A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m Khi ta có: AB x1 x2 x1 x2 x x m 2 1,0 0,25 0,25 0,25 Do AB x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 m 10 m 8m 20 m 2 Kết hợp với điều kiện m 2, m 10 cần tìm 0,25 2 Cho hàm số y x 2mx m có đồ thị (Cm ) với m tham số Tìm m để đồ thị (Cm ) có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân TXĐ: D ¡ x Ta có y ' x3 4mx x( x m) ; y ' 1,0 0,25 x m Hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt m Đồ thị hàm số có điểm cực trị 0,25 A(0; m 1) Oy; B( m ; m m 1); C ( m ; m m 1) 0,25 Vì A thuộc trục Oy, B, C đối xứng với qua Oy nên tam giác ABC cân A uuu r uuur Để tam giác ABC vng cân AB AC uuur uuur Ta có: AB( m ; m ); AC ( m ; m ) uuu r uuur m AB AC m m m Vì m > nên m = cần tìm 0,25 1) Một nhóm 15 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Lấy ngẫu nhiên học sinh nhóm Tính xác suất để học sinh lấy có đủ lớp số học sinh lớp B số học sinh lớp C Gọi T phép thử: Lấy ngẫu nhiên học sinh nhóm n() C15 Gọi K biến cố: học sinh lấy có đủ lớp số học sinh lớp B số học sinh lớp C * Trường hợp 1: Lấy học sinh lớp B, học sinh lớp C, học sinh lớp A Khi có: 5.4 C65 = 120 (cách) * Trường hợp 2: Lấy học sinh lớp B, học sinh lớp C, học sinh lớp A 2 Khi có: C5 C4 C6 = 1200 (cách) * Trường hợp 3: Lấy học sinh lớp B, học sinh lớp C, học sinh lớp A Khi có: C53 C43 C61 = 240 (cách) II n( K ) 120 1200 240 1560 (2,0 n K điểm) Vậy xác suất biến cố K là: P( K ) n 2) Giải phương trình: x3 3x x x2 x x 3 0,25 0,25 1,0 0,25 x x x 3 x x x x 3 x 3 8 x x x x x 6x *) Xét 0,25 0,25 33 Điều kiện: x ¡ x3 3x x 7x x2 x x x2 x x 3 x 3 7x x x x 3 0 x 3 *) Xét 1,0 0,25 0,25 x x x 3 x x x 3 7x x2 7x x x x 3 8 x 1 0, (*) x x x 3 x 7x 0 x2 (*) x x x 3 x x x x x x x x2 x x2 x 2x 2x x 1 1 0,25 Vậy tập nghiệm phương trình là: 8 S ; III 2 y y y (3 x) x (2,0 1) Giải hệ phương trình: y y y x điểm) Điều kiện: x Xét phương trình: y y y (3 x) x 0, (1) Đặt 1,0 x a x a2 (1) trở thành y 1 y 1 2a a 0,25 Xét hàm số f t 2t t f ' t 6t 0, t f t Do hàm số đồng biến y 1 a y 1 x y 1 x y y Thế vào phương trình (2): y y2 y y2 y y 1 y 1 ¡ nên 0,25 y2 y y2 y y2 y y2 y y2 y y2 y 0 0,25 y 1 2y y3 1 0, (*) y2 y y2 y y 1 y 1; 1 Điều kiện: y y Suy (*) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3;1 2) Cho tam giác ABC vng cân A có trọng tâm G ; gọi E , H trung điểm AB, BC D điểm đối xứng với H qua A , I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết D(1; 1) , đường thẳng IG có phương trình x y điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC 0,25 1,0 Gọi K trung điểm BI, suy KH // CD; A trung điểm DH suy A trung điểm KI; HK DI IC 2 AK CG AB AE KG / / AC KG AB , suy KG 3 AE CE đường trung trực AI GB GI GC Do G tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CBI · · IGC IBC 900 IG CE AK Mặt khác, DI KH 0,25 2 IC CI CD; CG CE 3 CI CG IG / / DE DE EC CD CE Vì DE song song với IG nên ta có phương trình DE: x y Vì xE yE E 1;3 IG CE CE : x y x x y 7 7 G ; Tọa độ G nghiệm hệ: 3 3 6 x y y 7 xC 2 1 uuur uuur 3 GC 2GE C 5;1 y 2 C 3 uuur uuur DA AG A 1;1 Vì E trung điểm AB suy B(1; 5) IV 1) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt phẳng (2,0 ( SAB) mặt phẳng ( ABCD ) 600 điểm) a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 Gọi P trung điểm AB, O giao điểm AC BD, suy · 60 · SAB , ABCD SPO O Xét tam giác vng SOM ta có: tan 60O SO a SO OM a 3a a 0,25 Ta có VS ABCD SO.S ABCD , S ABCD a 0,25 VS ABCD 0,25 b) Gọi G trọng tâm tam giác SAC , M điểm thuộc cạnh SB cho SM SB Tính góc hai đường thẳng GM BC r uuu r r uuu r r uuu r Chọn hệ véc tơ sở: i OA, j OB, k OS Ta có: rr r r rr i j j.k k i r r a r a ;k i j 2 uuuu r uuu r uuur uuu r uur uuu r uuu r uuu r 1r r GM GS SM GS SB GS OB OS j k 4 12 uuuu r2 r r a 25 3a 31 a 93 GM GM j k a GM 12 16 144 192 24 4 uuur uuur uuu r r r uuur BC OC OB i j ; BC a 1,0 0,25 0,25 uuur uuuu r r r r r a BC.GM i j j k 12 4 uuur uuuu r BC.GM 93 cos·GM , BC uuur uuuu r 31 BC GM 0,25 2) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1D1 có cạnh a Đường thẳng d qua D1 tâm O hình vng BCC1B1 Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng d, biết M thuộc mặt phẳng ( BCC1B1 ), N thuộc mặt phẳng ( ABCD) Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN 1,0 0,25 0,25 Kẻ MH vng góc với BC H, suy MH ABCD MH HN Tam giác MHN vng H, có KH đường trung tuyến nên KH MN MN KH Do MN nhỏ KH nhỏ nhất, HK đoạn vng góc chung BC d Suy KH d BC , D1O Gọi I trung điểm BB1 BC / / A1 D1OI d BC , D1O d BC , A1 D1OI d B, A1D1OI d B1 , A1D1OI Ta có OI ABB1A1 A1D1OI ABB1A1 Kẻ B1E A1I B1E A1D1OI d B1 , A1D1OI B1E 1 a B1E= B1E a a a 5a Vậy giá trị nhỏ MN : V Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (1,0 a2 b2 4c điểm) P (a b) (b c )2 3(c a )3 1 P b c a (1 ) (1 ) 3(1 )3 a b c Ta có b c a x= ; y ; z a b c suy Đặt P x, y , z x y.z 1 2 (1 x) (1 y ) 3(1 z )3 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 Ta có: 1 , x, y (1) 2 (1 x) (1 y ) xy Thật vậy: 1 y xy x xy x y 2 xy yx3 xy x y xy x y xy xy x y xy ( x y ) (1 xy ) Dấu xảy x y 4 z P 3 Ta có: xy 3(1 z ) 3(1 z ) z 3(1 z ) với z > z z ; z (0; ) Xét hàm số f ( z ) z 3(1 z )3 Có f '( z ) 1 z z f '( z ) z ; 4 (1 z ) 1 z 2 Lập bảng biến thiên thấy giá trị nhỏ f ( z ) f (1) Vậy giá trị nhỏ P 0,25 0,25 a b c * Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh (1) trừ 0,25 *CHÚ Ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 ... phương trình: x3 3x x x2 x x ? ?3 0,25 0,25 1,0 0,25 x x x 3? ?? x x x x ? ?3 x ? ?3 8 x x x x x 6x *) Xét 0,25 0,25 33 Điều kiện:... kiện: x ¡ x3 3x x 7x x2 x x x2 x x ? ?3 x ? ?3 7x x x x 3? ?? 0 x ? ?3 *) Xét 1,0 0,25 0,25 x x x 3? ?? x x x 3? ?? 7x ... (a b) (b c )2 3( c a )3 1 P b c a (1 ) (1 ) 3( 1 )3 a b c Ta có b c a x= ; y ; z a b c suy Đặt P x, y , z x y.z 1 2 (1 x) (1 y ) 3( 1 z )3 0,25 0,25 0,25