Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 146 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
146
Dung lượng
1,05 MB
Nội dung
CHƯƠNG BÀI A 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) A (−1; 0) (II) (I) O (III) (IV) + cos A(1; 0) B (0; −1) Góc phần tư I II III IV + + − − + − − + + − + − + − + − Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = Cung góc liên kết Cung đối cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α Cung bù cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α Cung phụ π cos − α = sin α π sin − α = cos α π tan − α = cot α π cot − α = tan α 23 Cung π cos(α + π ) = − cos α sin(α + π ) = − sin α tan(α + π ) = tan α cot(α + π ) = cot α π Cung π cos + α = − sin α π sin + α = cos α π tan + α = − cot α π cot + α = − tan α 24 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cơng thức cộng sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan( a + b) = tan tan a + tan b − tan a tan b tan( a − b) = π + tan x +x = − tan x tan tan a − tan b + tan a tan b π − tan x −x = + tan x Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc − cos 2α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan2 α = + cos 2α sin2 α = sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α tan 2α = cot2 α = + cos 2α − cos 2α Công thức nhân sin 3α = sin α − sin3 α tan 3α = cos 3α = cos3 α − cos α tan α − tan3 α − tan2 α Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin( a + b) tan a + tan b = cos a cos b cos a + cos b = cos cot a + cot b = a+b a−b sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin( a − b) tan a − tan b = cos a cos b cos a − cos b = −2 sin sin( a + b) sin a sin b cot a − cot b = sin(b − a) sin a sin b Đặt biệt sin x + cos x = √ sin x + π = Công thức biến đổi tích thành tổng √ cos x − π sin x − cos x = √ sin x − π √ = − cos CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 25 [cos( a − b) + cos( a + b)] sin a · sin b = [cos( a − b) − cos( a + b)] sin a · cos b = [sin( a − b) + sin( a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ rad 0 tan α cot α kxđ 2π √3 − √ − √ − 5π 2√ π √3 2 √ √ 3 3π √4 2√ cos α π √4 √2 2 π sin α π √2 √2 3 √ 1 kxđ 180◦ 360◦ π 2π 0 − −1 √2 −1 − √ −1 − kxđ − kxđ Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác có tọa độ M(cos α, sin α) y √ − , 23 √ √ − 22 , 22 2π √ 3 3π − ,2 120◦ 5π 150◦ (−1, 0) π √ − (0, 1) √ 2, π 90◦ π 60◦ 7π − 12 , − π 360 0◦ ◦ 210◦ 5π , −2 √ √ − 22 , − 22 ,2 π 30◦ 180◦ 330◦ 240◦ 4π √ 270◦ 3π (0, −1) 300◦ 5π √ 2 , 2 √ √ 7π (1, 0) 2π 11π √ , −2 √ √ 2 , − 2 √ , − 2 x 26 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x ) = f ( x ) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x ) = − f ( x ) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập ( a; b) ⊂ R Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến ( a; b) ∀ x1 , x2 ∈ ( a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến ( a; b) ∀ x1 , x2 ∈ ( a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) c) Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hoàn có số T = cho với x ∈ D ta có ( x + T ) ∈ D ( x − T ) ∈ D f ( x + T ) = f ( x ) Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hoàn f Hàm số y = sin x Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin [ f ( x )] xác định ⇔ f ( x ) xác định Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ◦ ≤ | sin x | ≤ ◦ ≤ sin2 x ≤ Hàm số y = f ( x ) = sin x hàm số lẻ f (− x ) = sin(− x ) = − sin x = − f ( x ) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin ( x + k2π ) = sin x 2π Hàm số y = sin( ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = | a| π π Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; + k2π nghịch 2 π 3π biến khoảng + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 π ◦ sin x = ⇔ x = + k2π Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ sin x = ⇔ x = kπ , π ◦ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π k ∈ Z Đồ thị hàm số HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 27 y − π2 −π π π x Hàm số y = cos x Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f ( x )] xác định ⇔ f ( x ) xác định ® ≤ | cos x | ≤ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos2 x ≤ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x ) = cos(− x ) = cos x = f ( x ) nên đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos( x + 2π ) = cos x 2π Hàm số y = cos( ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = | a| Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π ) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π ) , k ∈ Z Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ ◦ k ∈ Z cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , π cos x = ⇔ x = + kπ Đồ thị hàm số y −π − π2 π π x Hàm số y = tan x π π + kπ, k ∈ Z , nghĩa x = + kπ 2 π ⇒ hàm số y = tan [ f ( x )] xác định ⇔ f ( x ) = + kπ; (k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x ) = tan(− x ) = − tan x = − f ( x ) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan( ax + b) tuần hồn với π chu kì T0 = | a| π π Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z 2 28 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ◦ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ k ∈ Z π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , tan x = ⇔ x = kπ tan x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x = kπ ⇒ hàm số y = cot [ f ( x )] xác định ⇔ f ( x ) = kπ; (k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x ) = cot(− x ) = − cot x = − f ( x ) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot( ax + b) tuần hoàn π với chu kì T0 = | a| Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ ) , k ∈ Z π ◦ cot x = ⇔ x = + kπ π Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ cot x = −1 ⇔ x = − + kπ π ◦ cot x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z Đồ thị hàm số HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 29 y −π − 3π B 3π − π2 O x π π CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: y = tan f ( x ) = sin f ( x ) π ; Điều kiện xác định: cos f ( x ) = ⇔ f ( x ) = + kπ, (k ∈ Z) cos f ( x ) 2 y = cot f ( x ) = cos f ( x ) ; Điều kiện xác định: sin f ( x ) = ⇔ f ( x ) = kπ, (k ∈ Z) sin f ( x ) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: y= , điều kiện xác định P( x ) = P( x ) y= 2n y= 2n P( x ), điều kiện xác định P( x ≥ 0) , điều kiện xác định P( x ) > P( x ) ® Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f ( x ); cos f ( x ) ≤ A · B = ⇔ A=0 B = Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: π + k2π sin x = ⇔ x = kπ π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = cos x = ⇔ x = k2π cos x = ⇔ x = π + kπ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π + kπ tan x = ⇔ x = kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ tan x = ⇔ x = 30 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin 3x VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x ) = + tan2 x − π π D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π … − cos x + cos x ĐS: Lời giải tan x − = cos x = Điều kiện xác định hàm số: − cos x ≥0 + cos x cos x = −1 ® ≤ − cos x ≤ − cos x Do −1 ≤ cos x ≤ nên ⇐ Từ suy ra: ≥ 0, ∀ x ∈ R + cos x ≤ + cos x ≤ π x = ± + kπ π π π Vậy hàm số xác định x = + kπ , nên D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π x = π + k2π √ VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x ) = π D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = + kπ 4π − x2 cos x ĐS: Lời giải − 2π ≤ x ≤ 2π 4π − x ≥ π Điều kiện xác định hàm số: Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = + k ⇔ π x = + kπ cos x = ® 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y = cos x + cos x y= sin x ĐS: D = R \ {0} ĐS: D = R \ {kπ } tan 2x ĐS: sin xß− ™ π kπ π + ; + k2π D = R\ 2 … cos x − y= ĐS: D = ∅ − sin x y= Lời giải Điều kiện xác định: x = cos √ 2x ĐS: D = [0; +∞) tan 2x y= ĐS: D = R \ + cos2 x … cos x + y= sin x + π D = R \ − + k2π ß ™ π kπ + ĐS: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 31 Điều kiện xác định: 2x ≥ ⇔ x ≥ Điều kiện xác định: sin x = ⇔ x = kπ Điều kiện xác định: cos 2x = ⇔ 2x = ® Điều kiện xác định: π π kπ + kπ ⇔ x = + π kπ x = + cos 2x = ⇔ sin x = x = π + k2π cos x + ≥ Điều kiện xác định: sin x + sin x + = cos x + Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≥ 0; ∀ x ∈ R sin x + π Vậy hàm số xác định x = − + k2π cos x − ≥ Điều kiện xác định: − sin x − sin x = cos x − ≤ 0; ∀ x ∈ R Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên − sin x Vậy tập xác định hàm số là: ∅ BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: √ π − x2 y= sin 2x y= √ … ™ π π kπ π ĐS: D = − ≤ x ≤ ; x = + 2 ß π − 4x2 + tan 2x tan 2x − π π − sin x − ™ kπ ĐS: D = −π ≤ x ≤ π; x = ß ™ 3π kπ 5π ĐS: D = R \ + ; + k2π 8 ß π 4 y= π − cos x + tan x − ß ™ 3π π ĐS: D = R \ + kπ; − + k2π Lời giải −π ≤ x ≤ π π −x ≥0 Điều kiện xác định: ⇔ x = kπ sin 2x = π π ® − ≤x≤ π − 4x ≥ 2 Điều kiện xác định: ⇔ π kπ cos 2x = x = + ® 2 32 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π 3π kπ cos 2x − cos 2x − x = =0 =0 + 4 Điều kiện xác định: ⇔ ⇔ π π 5π 1 − sin x − 1 − sin x − >0 =0 x= + k2π 8 π 3π cos x − x = =0 + kπ 4 Điều kiện xác định: ⇔ π 1 − cos x + x = − π + k2π =0 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: … + sin x cot 2x ĐS: D = R \ {π + k2π } y = √ y= cos x + 1 − cos2 x … √ − sin x x y= ĐS: D = R \ {π + k2π } y = + cos x sin πx cos 2x + tan x − sin x π D = R\ + kπ y= tan 2x sinßx + ™ π kπ π D = R\ + ; − + k2π 2 y= √ ĐS: y= x2 + x cos x ĐS: D = R \ ß kπ ™ ĐS: D = [0; +∞) \ Z ĐS: D = R \ π + kπ; ĐS: BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π −x cos x − + tan y= ĐS: D = R \ − π + kπ √ y= − sin 4x cos x + ĐS: D = R \ {π + k2π } 3 y= cos x − cos 3x y = cot 2x + y= √ π · tan 2x + sin x − tan2 x − sin x − cos2 x … π + cos x y = cot x + + − cos x y= π + kπ ß ™ π kπ ĐS: D = R \ + ĐS: D = R \ ± π +x π 3x − + cot y= ™ kπ ĐS: D = R \ kπ; ß ™ π kπ π kπ ĐS: D = R \ − + ; + ß tan2 ĐS: D = R \ − π + kπ; k2π ™ π π kπ π kπ ĐS: D = R \ − + kπ; + ; + 12 ß 154 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC m cos 2x + (m + 1) sin 2x = m + (1) Điều kiện m2 + m2 + ≥ m2 + 2 ⇔ m2 − 2m − ≥ ⇔ m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Khi (1) ⇔ Đặt sin a = m cos 2x + m2 + ( m + 1)2 m ⇒ cos a = m + ( m + 1)2 m+1 m2 + ( m + 1)2 m+1 m2 + ( m + 1)2 sin 2x = m+2 m2 + ( m + 1)2 Ta sin a cos 2x + cos a sin 2x = m+2 m2 + ( m + 1)2 m+2 ⇔ sin( a + 2x ) = m + ( m + 1)2 m+2 a + 2x = arcsin + k2π m2 + ( m + 1)2 ⇔ m+2 + k2π a + 2x = π − arcsin m + ( m + 1)2 Vậy m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) phương trình có nghiệm BÀI Cho phương trình cos 4x + sin x cos x = m Giải phương trình m = ĐS: x = Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đoạn 0; Lời giải Khi m = ta ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos 4x + sin x cos x = 1 − sin2 2x + sin 2x − = −2 sin2 2x + sin 2x = sin 2x = sin 2x = kπ x= kπ π 17 ĐS: ≤ m < PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 155 Đặt f ( x ) = −2 sin2 2x + sin 2x + g( x ) = m π Xét f ( x ) = −2 sin2 2x + sin 2x + 0; Suy ≤ sin 2x ≤ Đặt a = sin 2x ⇒ ≤ a ≤ Xét f ( a) = −2a2 + 3a + [0; 1] Bảng biến thiên a 17 f ( a) Vậy f ( x ) = g( x ) có hai nghiệm phân biệt ≤ m < D 17 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Giải phương trình lượng giác sau sin2 x + sin2 3x = sin x sin2 3x ĐS: x = kπ; x = + tan x + = cos2 x √ −4 cos2 x + tan2 x + tan x = sin x − sin2 2x + sin 2x + cos 4x cos2 2x + √ − cos 3x + = π 5π + k2π; x = + k2π 6 ĐS: x = ĐS: x = ĐS: x = 3π + kπ 5π + k2π 3π 2π + k2π; x = + k2π 3 sin2 3x cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x = sin x sin2 3x sin 4x π 5π x = + k2π; x = + k2π 6 sin2 x + ĐS: BÀI Giải phương trình lượng giác sau cos2 x − sin2 x sin 5x + = ĐS: x = π + k2π 2 (cos x + sin x )(sin 2x − cos 2x ) + = ĐS: x = ∅ sin 7x − sin x = ĐS: x = ∅ cos 4x − cos 6x = sin3 x + cos3 x = sin5 x − cos3 x = BÀI Giải phương trình lượng giác sau π + kπ π ĐS: x = k2π; x = + k2π π ĐS: x = π + k2π; x = + k2π ĐS: x = 156 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC tan 2x + tan 3x = −1 sin x cos 2x cos 3x ĐS: x ∈ ∅ π + k2π π ĐS: x = + kπ 2 (cos 2x − cos 4x )2 = + sin 3x ĐS: x = sin4 x − cos4 x = | sin x | + | cos x | cos2 3x cos 2x − cos2 x = cos 2x + cos ĐS: x = 3x − = kπ ĐS: x = k2π cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + ĐS: x = kπ BÀI Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm m sin x cos x + sin2 x = m sin x − √ cos x + = m(2 + sin x ) ĐS: ≤ m ≤ ĐS: −1 ≤ m ≤ 3 sin 2x + 4(cos x − sin x ) = m ĐS: −1 ≤ m ≤ 2(sin x + cos x ) + sin 2x + m = ĐS: −1 ≤ m ≤ √ sin 2x − 2m(sin x − cos x ) + = 4m ĐS: −1 ≤ m ≤ ĐS: m ∈ R √ √ ĐS: m ∈ (−∞; −2 3) ∪ (2 3; +∞) sin2 x + m sin 2x − cos2 x = (m + 2) cos2 x + m sin 2x + (m + 1) sin2 x = m − sin2 x + (2m − 2) sin x cos x − (1 + m) cos2 x = m ĐS: −2 ≤ m ≤ π ĐS: BÀI 10 Tìm tham số m để phương trình cos2 x − cos x + = m có nghiệm ∀ x ∈ 0; ≤m≤1 π π BÀI 11 Tìm tham số m để phương trình sin x + m cos x = − m có nghiệm ∀ x ∈ − ; ĐS: 2 −1 ≤ m ≤ BÀI 12 Tìm tham số m để phương trình cos 2x + (m + 4) sin x = m + có nghiệm ∀ x ∈ π π − ; ĐS: −4 ≤ m ≤ 2 BÀI 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I BÀI Giải phương trình lượng giác sau sin x + cos 3x + sin 3x + sin 2x = cos 2x + 3, ∀ x ∈ (0; 2π ) sin2 3x − cos2 4x = sin2 6x − cos2 6x cos 3x − cos 2x + cos x − = 0, ∀ x ∈ [0; 14] ĐS: x = ĐS: x = ĐS: x = π 5π ,x = 3 kπ kπ ,x = ,k ∈ Z π 3π 5π 7π ,x = ,x = ,x = 2 2 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 157 BÀI Giải phương trình lượng giác sau cot x − = cos 2x + sin2 x − sin 2x + tan x ĐS: x = sin 2x x π x − tan2 x − cos2 = π + kπ, k ∈ Z π ĐS: x = π + k2π, x = − + kπ, k ∈ Z cot x − tan x + sin 2x = sin2 π + kπ, k ∈ Z ĐS: x = ± BÀI Giải phương trình lượng giác sau sin x − = 3(1 − sin x ) tan2 x 5π π + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 6 π π ĐS: x = ± + k2π, x = − + kπ, k ∈ Z ĐS: x = (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x BÀI Giải phương trình lượng giác sau cos2 3x cos 2x − cos2 x = ĐS: x = + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = cos4 x + sin4 x + cos x − ĐS: x = − π π sin 3x − − =0 4 kπ ,k ∈ Z 2π π + kπ, x = ± + k2π, k ∈ Z 5π ĐS: x = + k2π, k ∈ Z BÀI Giải phương trình lượng giác sau cos6 x + sin6 x − sin x cos x √ =0 − sin x cot x + sin x + tan x tan x =4 cos 3x + cos 2x − cos x − = ĐS: x = π + kπ, k ∈ Z π 5π + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 12 12 2π + k2π, k ∈ Z ĐS: x = kπ, x = ± ĐS: x = BÀI Giải phương trình lượng giác sau + sin2 x cos x + + cos2 x sin x = + sin 2x ĐS: π π x = − + kπ, x = + k2π, x = k2π, k ∈ Z π kπ π k2π 5π k2π 2 sin2 2x + sin 7x − = sin x ĐS: x = + ,x = + ,x = + ,k ∈ Z 18 18 x x √ π π sin + cos + cos x = ĐS: x = + k2π, x = − + k2π, k ∈ Z 2 BÀI Giải phương trình lượng giác sau 1 + sin x = sin 7π −x 3π sin x − π 5π π x = − + kπ, x = − + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 8 √ √ sin3 x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x ĐS: π kπ π + , x = − + kπ, k ∈ Z 2π π ĐS: x = ± + k2π, x = + kπ, k ∈ Z ĐS: x = 158 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI Giải phương trình lượng giác sau √ (1 − sin x ) cos x = (1 + sin x )(1 − sin x ) ĐS: x = − k2π π + ,k ∈ Z 18 √ cos 3x = cos 4x + sin3 x π π k2π x = − + k2π, x = + ,k ∈ Z 42 sin x + cos x sin 2x + √ 3 cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = ĐS: ĐS: x = π kπ π kπ + ,x = − + ,k ∈ Z 18 BÀI Giải phương trình sau (1 + sin x + cos 2x ) sin x + π + tan x = √ cos x ĐS: x = − π 7π + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 6 (sin 2x + cos 2x ) cos x + cos 2x − sin x = sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = ĐS: x = ĐS: x = π 5π + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 6 Lời giải Điều kiện cos x = tan x = −1 Phương trình tương đương với 1 √ sin x + √ cos x 2 sin x + cos x cos x + sin x + cos 2x = 2sin2 x − sin x − = sin x = 1(không thoả điều kiện) sin x = − (thoả điều kiện) π x = − + k2π , k ∈ Z 7π x= + k2π (1 + sin x + cos 2x ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = √ cos x 2 Phương trình tương đương với sin 2x cos x − sin x + cos 2x cos x + cos 2x = ⇔ sin x (2 cos2 x − 1) + cos 2x (cos x + 2) = ⇔ cos 2x (sin x + cos x + 2) = sin x + cos x + = (vô nghiệm) cos 2x = π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z ⇔ π + kπ, k ∈ Z 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 159 Phương trình tương đương với sin x cos x − cos x − − sin2 x + sin x − = ⇔ cos x (2 sin x − 1) + sin2 x + sin x − = ⇔ cos x (2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x + 2) = ⇔ (2 sin x − 1)(cos x + sin x + 2) = sin x = ⇔ cos x + sin x + = (vô nghiệm) π x = + k2π ⇔ , k ∈ Z 5π + k2π x= BÀI 10 Giải phương trình sau √ + sin 2x + cos 2x = sin x sin 2x + cot2 x ĐS: x = π π + kπ, x = + k2π, k ∈ Z sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x ĐS: π π k2π x = + k2π, x = −π + k2π, x = + ,k ∈ Z 3 sin 2x + cos x − sin x − √ =0 tan x + ĐS: x = Lời giải Điều kiện sin x = Phương trình tương đương với + sin 2x + cos 2x sin2 x √ = 2 cos x sin2 x √ ⇔ + cos 2x + sin 2x − 2 cos x = √ ⇔ cos2 x + sin x cos x − 2 cos x = √ ⇔ cos x (cos x + sin x − 2) = cos x = ⇔ π sin x x + =1 π x = + kπ (thoả điều kiện) ⇔ , k ∈ Z π x = + k2π (thoả điều kiện) π + k2π, k ∈ Z 160 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình tương đương với sin x cos2 x + sin x cos x − sin x = cos 2x + cos x ⇔ sin x (2 cos2 x − + cos x ) − (cos 2x + cos x ) = ⇔ (cos 2x + cos x )(sin x − 1) = cos 2x = − cos x sin x = ⇔ cos 2x = cos(π − x ) π x = + k2π x = −π + k2π π k2π x= + ⇔ 3 , k ∈ Z π x = + k2π ⇔ √ Điều kiện cos x = tan x = − Phương trình tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x (sin x + 1) + (sin x + 1) = (sin x + 1)(2 cos x + 1) = sin x = −1 (không thoả điều kiện) cos x = − π x = + k2π π x = − + k2π (không thoả điều kiện) π x = + k2π, k ∈ Z BÀI 11 Giải phương trình sau √ sin 2x + cos 2x = cos x − 2(cos x + √ sin x ) cos x = cos x − sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = Lời giải ĐS: √ √ sin x + cos 2x π 2π + kπ, k2π, + k2π ĐS: ĐS: 2π 2π + k2π, k 3 π kπ 7π π + , + k2π, − + k2π 12 12 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 161 Phương trình cho tương đương với √ ( sin x + cos x − 1) cos x = cos x = ⇔ √ sin x + cos x − = π x = + kπ x = k2π ⇔ , k ∈ Z 2π x= + k2π Vậy nghiệm phương trình cho x = 2π π + kπ, x = k2π, x = + k2π (k ∈ Z) Phương trình cho tương đương với √ sin 2x = cos x − sin x π π ⇔ cos 2x − = cos x + 3 π π ⇔ 2x − = ± x + + k2π (k ∈ Z) 3 2π + k2π x= ⇔ ( k ∈ Z) 2π x=k cos 2x + Vậy nghiệm phương trình x = √ 2π 2π + k2π, x = k (k ∈ Z) 3 Phương trình cho tương đương với (2 sin x + cos x − cos 2x = √ 2) cos 2x = √ sin x + cos x − = π kπ x= + ⇔ π cos x − = π kπ x = + ⇔ x = 7π + k2π (k ∈ Z) 12 π x = − + k2π 12 ⇔ Vậy nghiệm phương trình cho x = k2π (k ∈ Z) π kπ 7π π + ,x = + k2π, x = − + 12 12 BÀI 12 Giải phương trình lượng giác sau √ 1 + tan x = 2 sin x + π ĐS: − π π + kπ, ± + k2π 162 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin 5x + cos2 x = ĐS: − sin 3x + cos 2x − sin x = ĐS: π 2π π 2π +k ,− +k 14 π π π 7π + k , − + k2π, x = + k2π 6 Lời giải Điều kiện cos x = Phương trình cho tương đương với sin x = 2(sin x + cos x ) cos x ⇔ (sin x + cos x )(2 cos x − 1) = 1+ sin x + cos x = cos x − = π x = − + kπ ⇔ ( k ∈ Z) π x = ± + k2π ⇔ Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x = − π π + kπ, x = ± + k2π (k ∈ Z) Phương trình cho tương đương với sin 5x + cos 2x = π = cos 2x ⇔ cos 5x + π 2π x = − +k ( k ∈ Z) ⇔ 2π π x = − +k 14 Vậy nghiệm phương trình cho x = − π 2π π 2π + k , x = − + k ( k ∈ Z) 14 Phương trình cho tương đương với cos 2x sin x + cos 2x = ⇔ cos 2x (2 sin x + 1) = cos 2x = sin x + = π π x = +k x = − π + k2π ⇔ ( k ∈ Z) 7π x= + k2π ⇔ Vậy nghiệm phương trình cho x = BÀI 13 Giải phương trình lượng giác sau: π π π 7π + k , x = − + k2π, x = + k2π (k ∈ Z) 6 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 163 ĐS: ± sin x + cos x = + sin 2x √ 2(sin x − cos x ) = − sin 2x ĐS: ± π + k2π 3π + k2π Lời giải Phương trình cho tương đương với sin x + cos x = + sin x cos x ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = sin x − = (vô nghiệm) cos x − = π ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) ⇔ Vậy nghiệm phương trình cho x = ± π + k2π (k ∈ Z) Phương trình cho tương đương với √ √ sin x cos x − 2 cos x + sin x − = √ √ ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = √ sin x − = (vô nghiệm) √ ⇔ cos x + = 3π ⇔ x=± + k2π (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình cho x = ± 3π + k2π (k ∈ Z) 5π π + k2π, + k2π 6 Lời giải π x = + k2π sin x = −4 sin x = −4 vơ nghiệm Ta có sin2 x + sin x − = ⇔ ⇔ (k ∈ ⇔ 5π sin x = sin x = x= + k2π 2 Z) π 5π Vậy nghiệm phương trình x = + k2π, x = + k2π, (k ∈ Z) 6 BÀI 14 Giải phương trình lượng giác sin2 x + sin x − = ĐS: BÀI 15 Giải phương trình lượng giác sau cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = cos x cos 2x cos 3x − sin x sin 2x sin 3x = cot x + cos 2x + sin x = sin 2x cot x + cos x cot x 4 + sin x + sin3 x = cos2 x + cos6 x ĐS: π π π π kπ + kπ, + k , ± + 18 ĐS: − π π π π π +k , + k , − + kπ 12 ĐS: π π + kπ, + k2π ĐS: − π + k2π, kπ 164 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin3 x + cos 2x + cos x = ĐS: − cos x cos 2x cos 3x + = cos 2x ĐS: x = kπ sin2 x (4 cos2 x − 1) = cos x (sin x + cos x − sin 3x ) cos x + √ π + kπ, π + k2π ĐS: x = 3(sin 2x + sin x ) − cos 2x cos x − cos2 x + = π kπ π kπ + ;x= + 2π + k2π; ĐS: x = ± π π k2π + k2π; x = − + √ 3π kπ π π (sin x + cos x )2 − sin2 x = sin − x − sin − 3x ĐS: x = + ; 2 4 + cot x π x = + k2π 1 15 cos 4x π 10 + = ĐS: x = ± + k2π 2 12 cot x + tan x + + sin 2x √ π sin x − π + cos 3x = √2 sin 2x − π − 11 ĐS: x = − + k2π; x = π + k2π tan x − x= 3π π + x − sin2 + x cos x = sin x cos2 x − sin2 x cos x 2 π π x = − + kπ; x = ± + kπ 12 sin2 x cos 13 √ (2 sin x + 1)(cos 2x + sin x ) − sin 3x + sin x + 7π √ + k2π + cos x + = ĐS: x = cos x − … 14 ĐS: + cos2 x + … − cos 2x = ĐS: x = ± 15 (tan x + 1) sin2 x + cos 2x + = 3(cos x + sin x ) sin x x= 2π + kπ 16 sin3 x − cos3 x + sin2 x + sin x − cos x + = 17 sin 2x − √ cos 2x + √ 3(sin x − 3) = cos x √ √ 18 8(sin6 x + cos6 x ) − 3 cos 2x = 11 − 3 sin 4x − sin 2x x= π 7π + kπ; x = − + kπ 12 π 2π + k2π; x = ± + k2π 3 ĐS: x = π π + kπ; x = + kπ; ĐS: k2π; x = − π + k2π ĐS: x = ± 5π + k2π ĐS: x = π kπ + ; 12 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 19 165 sin 5x sin 3x cos 3x + + = sin x sin x cos x ĐS: x = ± 20 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x ) ĐS: x = − x = −π + k2π π π + kπ; x = + k2π; 21 sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x x=± 23 (2 cos 2x − 1) cos x − sin x = x= ĐS: x = 3π + k2π cos3 x sin3 x 22 + + = cos 2x + cos x + cos x + sin x π 5π x = − + k2π; x = + k2π 4 √ ĐS: x = − 2(sin x + cos x ) sin 3x π + kπ; π 7π + k2π; x = + k2π; 6 ĐS: x = − 3π + kπ π + k2π π π kπ + kπ; x = + ; 16 Lời giải Phương trình cho tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x · cos 3x − sin 2x · sin 6x − sin 4x sin 6x = cos x · cos 3x − (sin 2x + sin 4x ) sin 6x = cos x · cos 3x − sin 3x · cos x · sin 3x · cos 3x = cos x · cos 3x · (2 cos 6x − 1) = π x = + kπ x = π + k π ( k ∈ Z) π kπ x=± + 18 Vậy nghiệm phương trình cho x = π π π π kπ + kπ, x = + k , x = ± + ( k ∈ Z) 18 Phương trình cho tương đương với cos 2x [cos 4x + cos 2x − cos 2x ] + sin 2x [cos 4x − cos 2x − sin 2x ] = ⇔ [cos 2x + sin 2x ] · cos2 2x − sin2 2x − sin 2x = ⇔ [cos 2x + sin 2x ] · [cos 4x − sin 2x ] = π π x = − +k π π +k ⇔ x = ( k ∈ Z) 12 π x = − + kπ π π π π π Vậy nghiệm phương trình x = − + k , x = + k , x = − + kπ, (k ∈ Z) 12 166 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Điều kiện xác định sin x = Khi phương trình cho tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cot x + cos 2x + sin x = sin 2x · cot x + cos x · cot x cot x + cos 2x + sin x = cos2 x + cos x · cot x cos x (1 − cos x ) + sin x (sin x − 1) = (cos x − sin x )(1 − sin x − cos x ) = π x = + kπ x = k2π (loại) (k ∈ Z) π x = + k2π Vậy nghiệm phương trình x = π π + kπ, x = + k2π (k ∈ Z) 4 Phương trình cho tương đương với + sin x + sin3 x = cos2 x + cos6 x ⇔ (sin x + 1) sin2 x + sin x + − (1 − sinx )(3 + cos4 x ) ) = ⇔ (sin x + 1)3 − (1 − sin x )3 = π x = − + k2π ⇔ ( k ∈ Z) x = kπ Vậy nghiệm phương trình cho x = − π + k2π, x = kπ, (k ∈ Z) Phương trình cho tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin3 x + − sin2 x + cos x = sin2 x (sin x − 1) + + cos x = (1 + cos x )[2(1 − cos x )(sin x − 1) + 1] = (1 + cos x )(sin x + cos x ) [2 − (sin x + cos x )] = π x = − + kπ ( k ∈ Z) x = π + k2π Vậy nghiệm phương trình cho x = − π + kπ, x = π + k2π, (k ∈ Z) Phương trình cho tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos 2x (cos 4x + cos 2x ) + − cos 2x = cos 2x (2 cos2 2x + cos 2x − 1) + − cos 2x = cos3 2x + cos2 2x − cos 2x + = (2 cos 2x + 5)(cos 2x − 1)2 = cos 2x + = cos 2x = − (vô nghiệm) ⇔ cos 2x − = cos 2x = 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ Z) Vậy phương trình có nghiệm x = kπ (k ∈ Z) 10 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 167 Phương trình cho tương đương với ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin2 x cos2 x − sin2 x = cos x [2 cos 2x sin(− x ) + cos x ] sin2 2x − sin2 x = cos2 x − sin 2x cos 2x − cos 4x sin 4x + −1 = 2 sin 4x − cos 4x = √ π =1 sin 4x − π π π kπ 4x − = + k2π x= + 4 ( k ∈ Z) ⇔ 3π π π kπ + k2π 4x − = x= + 4 Vậy phương trình có nghiệm x = π kπ π kπ + x = + ( k ∈ Z) 8 Phương trình cho tương đương với √ ⇔ √ √ sin x (2 cos x + 1) − 4(2 cos2 x − 1) cos x − cos2 x + cos x + = sin x (2 cos x + 1) − cos3 x − cos2 x + cos x + = sin x (2 cos x + 1) − (2 cos x + 1)(4 cos2 x − cos x − 2) = √ ⇔ (2 cos x + 1)( sin x + cos2 x − cos x − 2) = cos x + = ⇔ √ sin x + cos2 x − cos x − = ⇔ ⇔ cos x + = √ sin x − cos x + 2(2 cos2 x − 1) = cos x + = √ cos x − sin x = cos 2x cos x = − ⇔ π cos x + = cos 2x 2π x = ± + k2π π ⇔ x = + k2π ( k ∈ Z) π k2π x=− + ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = ± 2π π π k2π + k2π; x = + k2π; x = − + ( k ∈ Z) 3 9 Điều kiện xác định : sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) 168 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Với điều kiện xác định, phương trình cho tương đương với √ π cos2 x − sin2 x + sin 2x cos = − 2x sin x 2 sin x + cos x sin2 x √ π sin x ⇔ (cos 2x + sin 2x ) sin2 x = cos 2x − π π ⇔ cos 2x − sin2 x = cos 2x − sin x 4 π ⇔ cos 2x − (sin2 x − sin x ) = π 3π kπ cos 2x − =0 + x = ( k ∈ Z) ⇔ ⇔ sin x = (loại) π x = + k2π sin x = Ta thấy nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định 3π kπ π Vậy phương trình có nghiệm x = + ; x = + k2π (k ∈ Z) 2 ® sin x = kπ 10 Điều kiện xác định : ( k ∈ Z) ⇔ sin 2x = ⇔ x = cos x = Với điều kiện xác định, phương trình cho tương đương với cos2 x 15(1 − sin2 2x ) sin2 x + = sin2 x + cos2 x cos2 x + sin2 x + sin2 2x sin2 x cos2 x + 2(sin4 x + cos4 x ) 15 − 30 sin2 2x ⇔ = + sin2 2x 2(sin4 x + cos4 x ) + sin2 x cos2 x ⇔ 2(sin2 x + cos2 x )2 − sin2 x cos2 x 15 − 30 sin2 2x = 2(sin2 x + cos2 x )2 + sin2 x cos2 x + sin2 2x sin2 2x 15 − 30 sin2 2x ⇔ = sin2 2x + sin2 2x 2+ ⇔ 28 sin4 2x + 217 sin2 2x − 56 = sin2 2x = π ⇔ ⇔ cos 4x = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) 12 sin2 2x = −8 (vô nghiệm) 2− Ta thấy nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định π Vậy phương trình có nghiệm x = ± + k2π (k ∈ Z) 12