Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
54
Dung lượng
3,06 MB
Nội dung
2 CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ Lời nói đầu Phần Một số kiến thức cần nhớ Định nghĩa phép chia hết Một số tính chất cần nhớ 3 Một số dấu hiệu chia hết Phần Các dạng tốn thƣờng gặp Dạng Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số cho trước Dạng Phân tích thành nhân tử Dạng Sử dụng phương ph{p t{ch tổng Dạng Sử dụng đẳng thức Dạng Sử dụng phương ph{p xét số dư 10 Dạng Sử dụng phuong pháp phản chứng 11 Dạng Sử dụng phương ph{p quy nạp 12 Dạng Sử dụng phương ph{p Dirichlet 13 Dạng Sử dụng đồng dư 14 Dạng 10 Sử dụng tính chất chia hết v| định lý Fermat nhỏ 16 Dạng 11 Các toán chia hết với đa thức 16 Dạng 12 Tìm giá trị biến để chia hết 18 Tổng kết phƣơng pháp giải toán 20 Phần Tuyển chọn toán quan hệ chia hết đề thi toán THCS 21 Phần Hƣớng dẫn toán chia hết đề thi toán THCS 28 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a v| b b ta ln tìm hai số nguyên q v| r cho a bq r , với r b Trong a l| số bị chia, b l| số chia, q l| thương, r l| số dư Khi a chia cho b c{c số dư r 0;1; 2; 3; ; b Nếu r a bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b v| tồn số nguyên q cho a bq Nếu r , ta nói a chia b có số dư l| r Một số tính chất cần nhớ Tính chất Mọi số ngun kh{c ln chia hết cho Tính chất Số ngun a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên b chia hết cho số nguyên c số nguyên a chia hết cho số nguyên c Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| ngược lại a b Tính chất Nếu a.b m b, m a m Tính chất Nếu hai số nguyên a v| b chia hết cho m a b m Tính chất Nếu a chia hết cho m v| n, m, n a mn Tính chất Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên c chia hết cho số nguyên d tích ac chia hết cho tích bd Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n Tính chất Nếu a b với a, b l| c{c số tự nhiên a n bn n N chia hết cho a b Tính chất 10 Nếu a b với a, b l| c{c số tự nhiên v| n l| số tự nhiên lẻ a n bn chia hết cho a b Một số dấu hiệu chia hết Đặt A a na n1 a 2a1a , với a n ;a n1 ; ;a ;a1 ;a l| c{c chữ số Khi ta có c{c dấu hiệu chia hết sau Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho v| a0 0; 2; 4; 6; 8 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên A chia hết cho v| a 0; 5 Từ suy A chia hết cho 10 v| a Dấu hiệu chia hết cho v| 25: Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) v| a1a chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho v| 125: Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) v| a 2a1a chia hết cho (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho v| 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3(hoặc 9) v| tổng c{c chữ số số A chia hết cho 3(hoặc 9) Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên A chia hết cho 11 v| hiệu tổng c{c chữ số h|ng lẻ v| tổng c{c chữ số h|ng chẵn l| số chia hết cho 11 II CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số cho trƣớc Cơ sở phƣơng pháp: Đ}y l| dạng to{n thường gặp bắt đầu học chứng minh tốn chia hết Sử dụng tính chất như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tích chất n|y để giải toán chứng minh chia hết tích số nguyên liên tiếp Thí dụ Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Lời giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n (2n + 2) với n Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n n + hai số nguyên liên tiếp nên n n 1 Vì 4n n 1 c) Ta có 120 = 3.5.8 Do số nguyên liên tiếp có số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 số nguyên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho Mặt khác số nguyên liên tiếp ln có số chia hết tích chúng chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Thí dụ Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Lời giải Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) (2n + 4) với n Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2) Do n, (n + 1) (n + 2) số nguyên liên tiếp nên n n 1 n Vì n n 1 n 6m m Z Do tích số chẵn liên tiếp 8n n 1 n 48m 48 Vậy b|i to{n chứng minh Dạng 2: Phân tích thành nhân tử Cở sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, cịn khơng thể đưa ph}n tích ta viết p = k.q - Nếu (k, q) = ta chứng minh A(x) chia hết cho k q - Nếu k , q ta viết A(x) = B(x).C(x) chứng minh B(x) chia hết cho k C(x) chia hết cho q Thí dụ Chứng minh với số nguyên n n3 n chia hết cho Lời giải a) Ta có: n3 n n n2 n 1 n n 1 Biểu thức tích số nguyên liên tiếp nên số chia hết cho 2, số chia hết cho mà (2, 3) = nên n3 n Thí dụ Chứng minh n6 n4 n2 chia hết cho 128 với n số lẻ Lời giải a) Ta có: n n6 n4 n2 n4 n2 n2 n2 n4 n2 Vì n số lẻ nên đặt n = 2k + THCS.TOANMATH.com 2 1 k N Ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC n 2 k 1 1 k k 4 k k 1 Ta có k(k + 1) chia hết nên k k 1 64 Mặt khác: n2 2k 1 k k 2 k k 2 n n6 n4 n2 n2 Do 2 128 (đpcm) Chú ý: Bình phương số lẻ số lẻ Thí dụ Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: x y y z z x 5 chia hết cho x y y z z x Lời giải Đặt a x y , b y z z x a b Do ta cần chứng minh: a5 b5 a b chia hết cho 5ab a b Ta có: a5 b5 a b 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 5ab a3 b3 2a2 b 2ab2 5ab a b a2 ab b2 2ab a b 2 5ab a b a ab b Do b|i to{n chứng minh Dạng 3: Sử dụng phƣơng pháp tách tổng Cở sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho p Thí dụ Chứng minh m, n số nguyên ta có: a) n n2 11 c) n n 1 2n 1 b) mn m2 n2 Lời giải a) Ta có: n n2 11 n3 11n n3 n 12n n 1 n n 1 12n Dễ chứng minh: n 1 n n 1 6, 12n n Z Do đó: n n2 11 b) Ta có: mn m2 n2 mn m2 n2 mn m2 mn n2 Do: mn m2 n m 1 m m 1 6, mn n2 m n 1 n n 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Do đó: mn m2 n2 c) Ta có: n n 1 2n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Do: n n 1 n 6, n 1 n n 1 Do đó: n n 1 2n 1 Thí dụ Chứng minh rằng: n n5 có chữ số tận giống với n số tự nhiên Lời giải Để chứng minh n n5 có chữ số tận giống ta chứng minh n5 n 10 Thật vậy: n5 n n n n n n n n n 2 n n n 5n n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Nhận xét: n n 1 n n 1 n tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho v| chia hết cho 10 Mặt khác n 1 n n 1 tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết n 1 n n 1 chia hết cho 10 Do n5 n 10 b|i to{n chứng minh Thí dụ a) Chứng minh b) Chứng minh n5 n3 n số nguyên với n Z 15 n n2 n3 số nguyên với n số nguyên chẵn 12 24 Lời giải a) Ta có: 7n 8n n n n n 15 15 n5 n3 n n5 n3 n n n5 n n3 n n n Do đó: 15 5 Từ thí dụ ta dễ dàng chứng minh được: n5 n 5, n3 n b|i to{n chứng minh b) Do n số nguyên chẵn nên n = 2m (với m Z ) n n2 n3 m m2 m3 2m3 3m2 m m m 1 2m 1 Do đó: 12 24 6 Theo ý c) thí dụ ta có n n 1 2n 1 b|i to{n chứng minh THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC Thí dụ Chứng minh ax2 bx c Z, x Z 2a, a b,c Z Lời giải Ta có: ax2 bx c ax2 ax a b x c 2a Dễ thấy: x x 1 x x 1 a b x c Z x (x – 1) hai số nguyên liên tiếp Do đó: ax2 bx c Z, x Z 2a, a b,c Z Dạng 4: Sử dụng đẳng thức Cở sở phƣơng pháp: Nếu a, b số nguyên thì: an bn chia hết cho a – b với n số tự nhiên a b an bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên chẵn a b an bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên lẻ a b a b n a 1 n ka bn với k số nguyên, n số tự nhiên a 1 ac n ac 1 , n số tự nhiên n Thí dụ 10 Với n số tự nhiên chẵn Chứng minh rằng: 20n 16n 3n 323 Lời giải Ta có: 323 17.19 Ta biến đổi 20n 16n 3n 20n 16n 3n Mặt khác n số chẵn nên 16 16 16 19 Do 20 1 16 19 20 16 1 19 1 Ta biến đổi 20 16 20 16 Ta có: 20 : 20 20 1 17 Mặt khác n số chẵn nên 16 16 1 16 17 Ta có: 20n : 20 1 20n 19 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Do (17, 19) =1 nên từ (1) (2) suy ra: 20n 16n 3n 323 Thí dụ 11 Chứng minh với số tự nhiên n ta có: a) 11n2 122n1 133 b) 5n2 26.5n 82n1 59 c) 7.52n 12.6n 19 Lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC a) Ta có: 11n2 122n1 112.11n 12.122n 121.11n 12.144n 133 12 11n 12.144n 133.11n 12 144 n 11n Do 133.11n 133 12 144n 11n 144 11 hay 12 144 n 11n 133 Nên 133.11n 12 144n 11n 11n 2 122n 1 133 (đpcm) b) Ta có: 5n2 26.5n 82n1 25.5n 26.5n 8.82n 51.5n 8.64n 59 5n 8.64n 59.5n 64n 5n 64 5 64 59 64 59 26.5 Vì 64n 5n Nên 59.5n n n n n2 n n 82n 1 59 (đpcm) c) Ta có: 7.52n 12.6n 7.25n 19 6n 19.6n 25n 6n 25 25 19 25 19 57.5 12.6 Vì 25n 6n Nên 19.6n Thí dụ 12 n n n n 2n n 19 (đpcm) Chứng minh A 19931997 19971993 30 Lời giải Sử dụng tính chất a b n ka bn với k số nguyên, n số tự nhiên Ta có: A 19931997 1997 1993 1980 13 1997 2010 13 1993 1980c 131997 2010d 131993 30 66c 67d 952.13 30 1980c 2010d 131993 134 1993 Thí dụ 13 (Chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998) Chứng minh C 5n 5n 6n 3n 2n 91 n N Lời giải Sử dụng tính chất a b n ka bn , a 1 n ac 1, a 1 n ac 1 với k n số nguyên, n số tự nhiên Ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 C 25n 5n 18n 12 n 21 5n 14 n n n 21c n 5n 14d n e 5n 3c 2d e Mặt khác: C 26 1 5n 13 13 1 n n n 26 f 1 5n 13 g 5n 13h 1 n n 13 f g h 13 Vì (13, 7) = nên C 7.13 91 Thí dụ 14 (Chuyên sư phạm Hà Nội 2001) Chứng minh với số nguyên n ta có: A 15 25 35 n5 chia hết cho B n Lời giải Ta có cơng thức quen thuộc B n n n 1 5 Lại có: 2A n n 1 25 n 35 n Nhận thấy số hạng chia hết cho (n +1) nên A n 1 1 5 Lại có 2A 2n n 1 15 n 25 chia hết cho n Do 2n n nên 2A n 2 Do 2n n nên 2A n 2 Từ (1) (2) suy 2A chia hết cho n(n + 1) 2A 2B A B (đpcm) Dạng 5: Sử dụng phƣơng pháp xét số dƣ Cơ sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(n) chia hết cho p ta xét số n có dạng n = kp + r với r 0;1; 2; ; p 1 Thí dụ 15 Chứng minh với số tự nhiên n ta có: n 2n 7n chia hết cho Lời giải Trong số n (7n + 1) phải có số chẵn nên n 2n 1 7n 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Mà (3, 2) = nên ta cần chứng minh n 2n 1 7n 1 Xét trường hợp: - Trường hợp 1: n = 3k n 2n 1 7n 1 3k 6k 1 21k 1 - Trường hợp 2: n = 3k + 2n 6k n 2n 7n 1 - Trường hợp 3: n = 3k + 7n 21k 15 n 2n 7n 1 Từ trường hợp suy n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho Thí dụ 16 Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x y y z z x x y z * Chứng minh x y z chia hết cho 27 Lời giải Ta xét c{c trường hợp sau: - Nếu số x, y, z chia cho có số dư kh{c (x – y), (y – z), (z – x) không chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) chia hết cho điều trái với điều kiện (*) tốn, trường hợp xảy - Nếu số x, y, z có số chia cho có số dư (x – y), (y – z), (z – x) có hiệu chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) không chia hết cho điều trái với điều kiện (*) bày tốn, trường hợp khơng thể xảy Vậy số x, y, z chia cho phải số dư, (x – y), (y – z), (z – x) chia hết tích (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho 27 Mặt khác theo giả thiết (*) ta có (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z nên (x + y + z) chia hết cho 27 Vậy b|i to{n chứng minh Dạng 6: Sử dụng phƣơng pháp phản chứng Cơ sở phƣơng pháp: Để chứng minh A(x) không chia hết cho n ta giả sử A(x) chia hết cho n sau dùng lập luận để mâu thuẩn để điều giả sử sai Thí dụ 17 Chứng minh n2 n 16 không chia hết cho 25 với số tự nhiên n Lời giải Giả sử n2 n 16 chia hết cho 25 Do n2 n 16 chia hết cho 25 nên chia hết cho Ta có: n2 n 16 n n 10 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 81 1(mod 4) 81n 1(mod 4) 9.81n 1(mod 4) 8.16n 0(mod 4) M 2019 2020 0(mod 4) hay M (1) Lại có: 81 1(mod 5) 81n 1(mod 5) 9.81n 4(mod 5) 16 1(mod 5) 16n 1(mod 5) 8.16n 3(mod 5) M 2019 2020 0(mod 5) hay M (2) Từ (1) (2) M BCNN (4,5) hay M 20 (đpcm) Câu 44 Đặt n 6q r , r 0,1, 2,3, 4,5 Khi n3 2019 chia hết cho r chia hết cho Nếu r chẵn r lẻ, r không chia hết cho Suy r 1,3,5 Với r r không chia hết cho Với r r 30 Với r r 128 không chia hết cho Suy n 6q Mà n 2019 q 336 Vậy có tất 337 số tự nhiên n thỏa mãn đề Câu 45 Ta có: x xy y xy y x x xy y x x xy xy y x y x y x y 1 Lại có: x xy y, xy y x chia hết cho x y x y 1 chia hết cho TH1: Nếu x y chia hết cho5 y x mod5 x2 xy y x x x x 3x 1 (mod5) , x chia hết cho chia dư +)Nếu x chia hết cho y vậy, b|i to{n chứng minh +)Nếu x chia cho dư y chia dư 2, THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 42 x2 y x y 2.9 2.3 30 0(mod5) Ta có điều phải chứng minh TH2: Nếu x y chia hết cho x y 1 mod5 x xy y y 1 y( y 1) y y 1 mod5 Do y chia dư v| x chia dư nên: x2 y x y 2.16 16 2.4 60 mod5 Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 46 Giả sử a; b; c số nguyên không âm thỏa mãn đề bài, ta có: a b b c c a 6abc a b2 c ab bc ca 3abc (1) 2 Phân tích a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 3 2 (2) Từ (1) (2) a b c 3abc 3abc a b c hay 3 a3 b3 c3 3abc a b c 1 Do a b c chia hết cho a b c nên ta chia hết cho a b c 3 Suy a b c Thử lại: a b c thỏa mãn Vậy có số a; b; c 0;0;0 thỏa mãn đề Câu 47 Ta có: a n bn (a b)(a n 1 a n 2 b a n 3b2 abn 2 bn 1 ) a n bn m(a b) (a, b, n, m ) (*) Vì n số tự nhiên chẵn nên n = 2k ( k ) A= 20 16 1 400 256 1 Áp dụng (*), có: n n n k k k A (400k 1k ) (256k 9k ) 399x 247y 19 21x 19.13y (x, y ) A 19 với số tự nhiên n chẵn (1) có: k k A (400 ) (256k 1k ) 391p 255q 17 23p 17 15q (p,q ) A 17 với số tự nhiên n chẵn (2) mà 17 19 hai số nguyên tố nên từ (1) (2) suy ra: A 17 19 với số tự nhiên n chẵn Vậy 20n 3n 16n 1 323 với số tự nhiên n chẵn Câu 48 Ta có ngay: S1 n THCS.TOANMATH.com n n 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Ta chứng minh S2019 chia hết cho n n 1 n 1 nguyên Sử dụng khai triển Newton ta có: a k 1 b2 k 1 a b a k a k 1.b b2 k (a b) Giả sử n lẻ Do vậy: n n 1 n n 1 2.n 12019 22019 n2019 12019 n2019 22019 n 1 12019 22019 n2019 12019 n 1 2019 2 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 Do n; n 1 nên 12009 2209 n2009 chia hết cho n n 1 Do S2019 S1 Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 49 a) Chứng minh rằng… Ta có: 9! 1.2.3.4.5.6.7.8.9 số chẵn x3 x x 2m m 8m3 y3 z 9! 4m3 y3 z 1.3.4.5.6.7.8.9 số chẵn y y y 2n n 4m3 8n3 z 1.3.4.5.6.7.8.9 2m3 4n3 z 1.2.3.5.6.7.8.9 số chẵn z3 z z p p 2m3 4n3 p3 1.2.3.5.6.7.8.9 m3 2n3 p3 1.3.5.6.7.8.9 m Chứng minh ho|n to|n tương tự ta có n m; n; p p Vậy ta có điều phải chứng minh b) Chứng minh không tồn tại… Theo ý a) ta đặt x 4a; y 4b; z 4c a3 2b3 4c3 a a 2u x 2m y 2n z p a; b; c 9! 1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.3.5.6.7.9 số chẵn 43 43 u 8u3 2b3 4c3 1.3.5.6.7.9 4u b3 2c3 1.3.3.5.7.9 1.5.7.34 Lại có: 1.5.7.34 34 1.5.7.34 (mod 9) x Z x 0; 1 a; b; c 4u b3 2c3 93 Nhưng 1.5.7.34 chia hết cho 93 nên ta có điều vơ lý THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2019 n 44 Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 50 Ta có nhận xét sau: Nếu p số nguyên tố lớn p 1(mod 24) Lại có: 1 23 mod 24 (1) (2) Cộng vế theo vế 1 ; ta : p 24(mod 24) mod 24 Vậy p chia hết cho 24 với p số nguyên tố lớn Câu 51 n3 n 1 n2 n 1 p p 1 n p n p n Vì p n n 1 không chia hết cho p Do đó: n 1 n2 n 1 p n2 n 1 p Đặt : p kn, k p kn (*) n n 1 kn 1 kn n n kn n n k n k n n 1 n kn 1 kn 1 k 1 n k kn 1 k k 1 n k k 1 n k kn k n 1 k n p kn n n n p n 2n n 1 Vậy n p số phương Câu 52 +) Chứng minh đẳng thức a b a n1 a n2b a n3b2 a 2b n3 ab n2 b n1 a n a n1b a n2b a 3b n3 a 2b n2 ab n1 a n1b a n2b a 2b n2 ab n1 b n a n bn +) Vì n số chẵn, đặt n 2k , k ta có: 20n 16n 3n 202k 162k 32k 400k 256k 9k Để chứng minh 20n 16n 3n 1 323 , ta cần chứng minh 20n 16n 3n 1 chia hết cho 19 17 Ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 45 400k 1k 400 1 400k 1 400 k 2.1 400 k 3.12 400.1k 2 1k 1 399 400k 1 400 k 2.1 400 k 3.12 400.1k 2 1k 1 19.21 400k 1 400k 2.1 400 k 3.12 400.1k 2 1k 1 19 256k 9k 256 256k 1 256 k 2.9 9k 2.256 9k 1 247 256k 1 256k 2.9 9k 2.256 9k 1 13.19 256k 1 256k 2.9 9k 2.256 9k 1 19 400k 1k 256k 9k 19 Tương tự ta có: 400k 9k 400 400 k 1 400 k 2.9 k 2.400 k 1 17.23 400k 1 400k 2.9 9k 2.400 k 1 17 256k 256 1 256 k 1 256 k 2.1 256.1k 2 1k 1 17.15 256k 1 256k 2.1 256.1k 1k 1 17 400k 9k 256k 17 Như ta có: 20n 16n 3n 400k 256k 9k 1 19 20n 16n 3n 1 19.17 n n n k k k 20 16 400 256 1 17 20n 16n 3n 1 323 Như ta có điều cần chứng minh Câu 53 Ta có : N a1 a2 a2018 ; M a15 a25 a2018 a1; a2 a2018 Xét hiệu M N a15 a25 a2018 a1 a2 a2018 a15 a1 a25 a2 a2018 a2018 Ta có a5 a a a a a a a a a 1 a 1 30 2.3.5 với 2,3,5 số nguyên tố Ta có: a a a 1 a 1 có tích số tự nhiên liên tiếp a 1; a; a nên a(a 1)(a 1) chia hết cho Nếu a chia cho dư 0,1 a, a 1, a 1sẽ chia hết cho Nếu a chi dư a chia hết cho Vậy a a a 1 a 1 chia hết cho 2;3;5 nên chia hết cho 30 Do M N chia hết cho 30 M chia hết cho 30 Ta có diều phải chứng minh THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 46 Câu 54 Ta có: a 2018 b 2019 c 2020 a 2016 b 2017 c 2018 a 2016 a 1 b 2017 b 1 c 2018 c 1 a 2015 a(a 1)(a 1) b 2016 (b 1)(b 1) c 2017 c(c 1)(c 1) Ta có tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6, có số chẵn số chia hêt cho Do vậy: a(a 1)(a 1); b(b 1)(b 1); c(c 1)(c 1) chia hết a 2018 b2019 c 2020 a 2016 b2017 c2018 Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 55 +) n = 2k (k nguyên dương): M = 2k.42k + 32k = 2k.16k + 9k Ta có: 16k 9k dư với 2k chia M dư với (2k.2k + 2k) = 2k.(2k + 1) chia (2k + 1) chia hết cho k chia dư 3, hay k = 7q + n = 14q + (q N ) +) n = 2k + (k nguyên dương): M = (2k + 1).42k + + 32k+1 = 4(2k+1).16k + 3.9k M dư với (k + 4).2k + 3.2k = (k + 7).2k chia k chia hết cho k = 7p (p N ) Vậy n = 14q + n = 14p + 1, với p q số tự nhiên Câu 56 Chứng minh với số tự nhiên n Giả sử tồn số tự nhiên n để suy không chia hết cho 81 , hay => n=3k mà nên Nhưng khơng chia hết cho với k Vậy với số tự nhiên n khơng chia hết cho 81 Câu 57 Đặt A m n mn THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 2 2 A 16 m n 4mn 16 m n m n m n 15 m n m n 2 m n m n 225 A 225 15 m n m n m n 25 m n m n 15 m 15 m n 15 mn 225 15 n 15 m n m n Vậy m n mn chia hết cho 225 mn chia hết cho 225 Câu 58 n(n 1) Để chứng minh b|i to{n ta cần chứng tỏ 2S2019 n(n 1) Ta có S1 n Ta có nhận xét sau: Với a, b nguyên dương a 2019 b2019 (a b) Thật : a2019 b2019 (a b)(a 2018 a 2017b ab2017 b2018 ) (a b) Xét hai trường hợp: +) Nếu n lẻ: Từ nhận xét ta có 2S2019 2n2019 12019 (n 1)2019 22019 (n 2) 2019 n 2019 n 2019 n 2S2019 2(12019 n2019 ) 22019 (n 1)2019 n 2019 n 2019 n 2019 n 2019 (n 1) Mặt kh{c n n nguyên tố nên 2S2019 n(n 1) +) Nếu n chẵn: Ta có 2S2019 2n2019 12019 (n 1)2019 22019 (n 2) 2019 2S2019 n 2019 n 2019 n 2019 n 2019 n 2(12019 n2019 ) 22019 (n 1)2019 n 2019 n 2019 n 2019 n 2019 (n 1) Suy 2S2019 n(n 1) Vậy S2019 S1 Câu 59 Ta có: p+(p+2)=2(p+1) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 48 Vì p lẻ nên ( p 1) 2( p 1) (1) Vì p, (p+1), (p+2) số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p (p+2) nguyên tố nên ( p 1) (2) Từ (1) (2) suy p ( p 2) 12 (đpcm) Câu 60 Ta có với số nguyên m m2 chia cho dư , + Nếu n2 chia cho dư n2 5k n2 5k 5; k N * Nên n2+4 không số nguyên tố Nếu n2 chia cho dư n2 5k n2 16 5k 20 5; k N * Nên n2+16 không số nguyên tố Vậy n2 hay n Câu 61 Ta có S n n4 5n3 5n2 5n n n2 n2 5n n2 n n2 n2 5n n n 1 n 1 n n 3 n 1 n n 1 n n 3 Ta có S l| tích số ngun tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120 Câu 62 Với số nguyên dương a, b ta có: a2015 b2015 (a b)(a 2014 a 2013b ab2013 b 2014 ) a 2015 b 2015 (a b) + Xét trường hợp n số lẻ Áp dụng khẳng định ta có: 12015 (n 1) 2015 n 22015 (n 2) 2015 n n 2015 n 2015 n Suy n 2015 n 2015 2015 2015 2015 2015 A n 1 (n 1) (n 2) n Tương tự 2015 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 n 2015 n 2015 n 2015 n 2015 A 2(12015 n 2015 ) 22015 (n 1) 2015 (n Mặt khác n n + nguyên tố nên A n(n + 1) Tương tự với trường hợp n chẵn ta có A n(n + 1) Câu 63 Ta có: Q a 2a3 16a 2a 15 (a 2a3 2a 1) (16a 16) (a 1)(a 1)3 16(a 1) Với a lẻ, a 2k 1, k Z Khi đó: (a 1)(a 1)3 2k (2k 2)3 16k (k 1)3 16 Mà 16(a 1) 16 nên Q chia hết cho 16 Với a chẵn, a 2k , k Z Khi đó: (a 1)(a 1)3 (2k 1)(2k 1)3 l| số lẻ nên khơng chia hết cho 16 Do Q không chia hết cho 16 Vậy a l| số nguyên lẻ Câu 64 +) Vì số nguyên phải l| số chẵn l| số lẻ Do theo nguyên lý Đirichlet số nguyên ln chọn số có tính chẵn lẻ +) Áp dụng ta có số phương ln chọn hai số có tính chẵn lẻ Gọi số phương chọn l| a b Khi ta có a b2 (a b)(a b) +) Vì a b tính chẵn lẻ nên a, b tính chẵn lẻ Do a b l| số chẵn v| a b l| số chẵn a b2 (a b)(a b) , (đpcm) Chú ý: Ta giải tốn cách vận dụng tính chất sau số phương: “Một số phương chia cho có số dư hặc 1” Khi lập luận cách làm ta thu điều phải chứng minh Tuy nhiên làm thi vận dụng tính chất học sinh phải chứng minh lại Bình luận: Với c{ch l|m ngắn gọn, đầy đủ song số học sinh cảm thấy trừu tượng ( nguyên lí Đirichlet học sinh ơn tập khơng nằm chương trình SGK m| s{ch tham khảo) b|i to{n trình b|y sau: Trong ba số nguyên tùy ý tồn hai số chẵn lẻ Gọi hai số phương chọn l| a b ( a, b nguyên) + TH1: a, b chẵn: suy a b2 (2k1 )2 (2k2 )2 4(k12 k22 ) chia hết cho ; k1 , k2 Z + TH2: a, b lẻ: suy a b2 (2k1 1)2 (2k2 1)2 4(k12 k1 k2 k2 ) chia hết cho ; k1 , k2 Z Vậy ba số phương tùy ý ln tồn hai số m| hiệu chúng chia hết cho Câu 65 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 1 bc a(b c) (1) a b c TH1: Nếu a l| số nguyên chẵn, suy a(b c) , theo (1)Suy ra: b.c Vậy abc chia hết cho TH2: Nếu a l| số nguyên lẻ Với b v| c l| hai số lẻ thì: b c a(b c) Cách 1: Mà a.b.c không chia hết cho (vì a, b, c lẻ) Suy m}u thuẫn Vậy hai số, b, c tồn số chẵn + Với b chẵn, m| a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy c chẵn, a lẻ) Suy abc chia hết cho + Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 1 Cách 2: bc a(b c) abc = a (b + c) (2) a b c Ta thấy a, b, c l| số lẻ v}y abc l| số lẻ, b+c l| số chẵn Vậy số tồn số chẵn Nếu a chẵn a2 chia hết cho 4, từ (2) suy abc chia hết cho Nếu b chẵn, a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy c chẵn Vậy abc chia hết cho Tương tự cho trường hợp c chẵn Câu 66 2n Ta có A Đặt 2n n 4n 16 22 4n 18 22 k k * suy 2n 22 k 4k Do với n nguyên dương ta có: 2n 3; 4n 3; 18 n A 22 4n 16 Câu 67 Ta có A 17 18 n n Với n nguyên dương ta có: 3; 18 n A 4n 17 Câu 68 Giả sử 2n m2 , 3n k m, k N m * số lẻ m số lẻ 2n m2 m 1 m 1 , Suy : n chẵn, k lẻ Vì k số lẻ nên k 1, k hai số chẵn liên tiếp (3, 8) = nên Từ 3n k 3n k k 1 k 1 n (1) Khi chia số phương cho số dư ; ; Ta xét trường hợp: Nếu n chia cho dư 2n + chia cho dư ( vơ lí ) Nếu n chia cho dư 3n + chia cho dư ( vơ lí ) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 51 Nếu n chia cho dư 2n + chia cho dư ( vơ lí ) Nếu n chia cho dư 3n + chia cho dư ( vơ lí ) Vậy n (2) Vì (5, 8) = nên từ (1) (2) suy n chia hết cho 40 Câu 69 Chứng minh với số nguyên n chẵn thì: n3 20n 96 chia hết cho 48 Ta có n chẵn n 2k , k Z Suy n3 20n 96 2k 40k 96 k 5k 96 k k 6k 96 k k 48k 48.2 Do k 1; k ; k số nguyên liên tiếp nên k 1 k k 1 chia hết cho k k k 1 k k 1 k k 48, k Z Vậy với số nguyên n chẵn n3 20n 96 chia hết cho 48 Câu 70 Ta có p a3 b3 a b a2 ab b2 Vì a, b số nguyên dương nên, ta có a2 ab b2 Do p nguyên tố nên a b a b p 3b2 3b p 4b 4b 2b 1 (đpcm) Câu 71 Do p nên p 8k (k ) Vì ax 4k 2 by 4k 2 ax by p nên a 4k 2 x8k 4 b4k 2 y8k 4 p Nhận thấy a k x8k b4k y8k a 4k b4k x8k b 4k x8k y 8k Do a k 2 b4 k 2 a2 k 1 b2 k 1 a b2 p b p nên x8k 4 y8k 4 p (*) Nếu hai số x, y có số chia hết cho p từ (*) suy số thứ hai chia hết cho p Nếu hai số x, y không chia hết cho p theo định lí Fecma ta có : x8k 4 x p1 1(mod p), y8k 4 y p1 1(mod p) x8k 4 y8k 4 2(mod p) Mâu thuẫn với (*).Vậy hai số x y chia hết cho p Câu 72 1.Ta có : p2016 ( p4 )504 1504 ( p4 1) A ( p 1)( p 1)( p2 1).A (1) ( A N ) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 52 Vì P l| số nguyên tố lớn nên p l| số lẻ, suy p – 1, p +1 l| hai số chẵn liên tiếp ( p 1)( p 1) (2) Vì p – 1, p, p+1 l| ba số tự nhiên liên tiếp nên ( p 1) p( p 1) Nhưng p không chia hết ( p 1)( p 1) (3) Vì p khơng chia hết p có c{c dạng 5k 1; 5k 2 - Nếu p 5k p 25k 10k 5n 2 - Nếu p 5k p 25k 20k 5l Cả hai trường hợp cho ta p 5q (4) ( (n, l , q N ) Vì 3, 4, l| c{c số nguyên tố đôi nên từ (1), (2), (3), (4) suy p 2016 chia hết cho 4.3.5 tức l| chia hết cho 60 Vì vai trị x, y, z bình đẳng nhau, kh{c đơi nên ta giả sử x y z Khi , gọi t l| thương phép chia x3 y3 z : x2 y z Suy : x3 y x3 y 2 x y z tx y z z tx y tx y 2 tx y x y (1) z x y 3 2 2 - Nếu tx y x y (*) t 1 t 1 xy x y Thay t = v|o (*), ta x y x y xy x y ( x 1)( y 1) x 1 y y y( y 1) ( vô lý) Vậy tx y x y (2) - Từ (1), (2) suy : z (tx y x y)2 (3) - Mặt kh{c x3 y z tx y z nên x3 y3 z x3 y3 z (4) - Từ (3) v| (4) suy : x3 y (tx y x y )2 x3 y t x y 2tx y ( x y ) x xy y x3 y 2tx y ( x y ) t x y txy x3 y 2tx y ( x y ) tx3 y 1 1 1 txy x y tx ty (5) 1 1 1 1 1 2 2 t.2 t.2 x y t x t y - Nếu x y txy THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 Điều n|y m}u thuẫn với (5) Vậy x = Khi (5) trở th|nh : ty 1 y t ty (6) 1 1 2 t t.4 y t ty - Nếu y ty Điều n|y m}u thuẫn với (6) Vậy y 2;3 (Vì y > x = 1) x3 y z + Nếu y = x y z x 1; y 2; z x 1; y x3 y 28 z + Nếu y = x y z ( Loại) x 1; y - Thử lại ta thấy (x, y, z) = (1, 2, 3) v| c{c ho{n vị thỏa mãn Vậy thương phép chia x y z : x y z l| t = 3 2 Câu 73 Cách 1: 24a2 b2 25a2 a b2 a b2 1(mod5) (1) a 0, 1, 2(mod 5) Ta có: b 0, 1, 2(mod 5) a 0,1, 4(mod 5) b 0,1, 4(mod 5) (2) a 0(mod 5) a 1(mod 5) Từ (1) v| (2) suy ra: b 1(mod 5) b 0(mod 5) Suy số a b chia hết cho Cách 2: 24a2 b2 25a2 a2 b2 a2 b2 5.k (1) n Z n 5l r l Z , r 0;1;2;3;4 n2 5l1 r12 l1 Z , r12 0;1;4 (2) a 5k1 a 5k1 Từ (1) v| (2) suy ra: 2 b 5k2 b 5k2 Suy số a b chia hết cho Cách 3: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 24a2 b2 24a2 b2 1 không chia hết a v| b không đồng thời chia hết cho + Giả sử a v| b không chia hết cho a 1(mod 5) Theo định lý Fermat ta có (a b2 )(a b ) 0(mod 5) b 1(mod 5) Nếu a b2 0(mod 5) 25a a b2 0(mod 5) ( vơ lí) Suy a b2 0(mod 5) 23a2 b2 a2 0(mod 5) (*) Vì a không chia hết a 1, 2(mod5) Với a 1(mod 5) a 1(mod 5) 23a 1(mod 5) ( trái với (*)) 2 2 Với a 2(mod 5) a 4(mod 5) 23a 3(mod 5) ( trái với (*)) Vậy điều giả sử sai Từ suy điều cần chứng minh Câu 74 Do q số nguyên tố lớn nên q có dạng 3k 3k với k N* + Nếu q 3k , p q nên p 3k chia hết cho 3, trường hợp loại p số nguyên tố + Nếu q 3k , p q nên p 3k Do p số nguyên tố nên k phải số tự nhiên lẻ Khi ta p q k 1 12 Vậy số dư chia p q cho 12 Câu 75 Từ giả thiết a b3 c3 8d3 ta có a b3 3ab a b c d3 3cd c d 3ab a b 3cd c d 3c 15d a b c d 3ab a b 3cd c d 3c 15d 3 Dễ thấy 3ab a b 3cd c d 3c 15d3 a b c d 3 chia hết ta chia hết cho Mặt khác ta lại có a b c d a b c d a b c d a b c d 3 Mà a b c d a b c d chia hết suy a b c d chia hết cho 3 Do a b c d chia hết cho Chú ý: Bản chất b|i to{n l| b|i to{n bản: Nếu x3 y chia hết cho x y chia hết cho Câu 76 Đặt a + b - c = z; b + c - a = x; a + c - b = y x + y + z = a + b + c THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 Ta có x y z x3 y3 z3 3(x y)(y z)(x z) 3.2 c.2a.2 b 24abc Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy b|i to{n chứng minh Hết THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Câu 27 Chia f(x) cho x2 thương l| x dư x Để f(x) chia hết cho x2 x chia hết cho x2 x x chia hết cho x2 x2 chia hết cho x2 x2 chia hết cho x2 chia hết... 1)(a 1) chia hết cho Nếu a chia cho dư 0,1 a, a 1, a 1sẽ chia hết cho Nếu a chi dư a chia hết cho Vậy a a a 1 a 1 chia hết cho 2;3;5 nên chia hết cho 30 Do M N chia hết... không chia hết cho THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Nếu (2n + 1) khơng chia hết cho 2n 1 không chia hết 2n 1 2 không chia hết cho khơng chia hết cho Vậy n2 n không chia