106 de thi hoc sinh gioi lop 9 mon toan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Ngày thi: 19/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A   2  10 1  3    b) Cho B  n  n  n  n Chứng minh B chia hết cho với số nguyên n Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P  x x x 1   2x x 1 x 1 x  a) Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn P b) Tìm giá trị x để P có giá trị Câu (2,0 điểm) 1  1 a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh  a  b  c       a b c  b) Cho số dương x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z   x 1 y 1 z 1 Câu (4,0 điểm)   x y  x y   a) Giải hệ phương trình     3  x  y x y b) Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F chân đường cao kẻ từ C, B tam giác ABC D điểm đối xứng A qua O, M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh M trung điểm HD b) Gọi L giao điểm thứ hai CE với đường tròn tâm O Chứng minh H, L đối xứng qua AB c) Chứng minh EF vng góc với AO Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK=DF a) Chứng minh CK = CF b) Chứng minh EF=EK EF ln tiếp xúc với đường trịn cố định c) Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP 2016-2017 Câu A   2  10 1  3     2  10    2   10  1  3          10   2   1    A 1 b) B  n  n3  n2  n B  n (n  1)  n(n  1) B  n.n  n  1 n    n n  n   B  n  n  1 n  n   Do  n  1 n  n  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Vậy B chia hết cho Câu a) ĐK: x  ;x  x  x x  x x  x   2x x  x   x 1 x 1 b) P  x  x 1 P 7 x   x  8x  12  x 1 P  x  2;x  (nhận) Câu a  b  c  3 abc (1) a) Ta có : 1 a    33 b c a.b.c (2) (1) Nhân (2) vế theo vế ta  a  b  c       a b c  b) P= x y z   x 1 y 1 z 1 1  P  1  1 1 1  1 1  3     x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1  1 Ta có :      a b  (theo câu a) abc c 1  9 Nên       x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 P  3  4 Vậy GTLN P x  y  z  Câu a) Điều kiện x  0; x   y Đặt a  x y ;b  x y   3a  5b  a   x  y  x  Hệ trở thành  thỏa điều kiện   3 3a  4b  3  b   x  y   y  b) Gọi x quãng đường AB (x>0) Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên x  120 80 x  120 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: 100 Thời gian ô tô lúc ban đầu là: Theo đề ta có phương trình: x  120 x  120 x   1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 Vậy quãng đường AB dài 280 km x  60 x  60 Câu a) DB  AB,CE  AB nên CE // DB DC  AC,BF  AC nên DC // BF Tứ giác ABDC hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm DH b) AE  HL (a)   LCB  (1) (góc nội tiếp chắn cung) EAL   HAB  (2) (K giao điểm AH BC) EHA đồng dạng KHC  LCB  (b) Từ (1) (2) suy AE phân giác HAL Từ (a) (b) suy E trung điểm HL Vậy H, L đối xứng qua AB c) Kẻ tiếp tuyến từ A đường tròn tâm (O) (3)   ABC  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) TAC   EFC   1800 Tứ giác EFCB nội tiếp  ABC   EFA   1800 nên ABC   AFE   TAC  suy EF//AT (4) EFC Từ (3) (4) suy EF vng góc với AO Câu   CBK   90 nên DFC  BKC  CK  CF a) CD=CB, DF=BK, FDC b) Gọi H chân đường cao kẻ từ C tam giác CEF HEC  BEC  HE  EB HFC  BKC nên FH = BK Cộng vế theo vế suy EF = EK Do HEC  BEC  CB  CH EF  CH Vậy tam giác EFC tiếp xúc đường trịn cố định tâm C bán kính CH = c) S DFC  S HFC ;S HEC  S BEC 1 S CEF  S CDFEB  16  S AEF   S CEF  2 S CEF lớn Khi E  A, F  D SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian : 150 phút Ngày thi: 31/3/2015 Câu (4 điểm) Cho biểu thức A  x2  x 1  x x 1 x  x 1  x (x  0;x  1) Rút gọn biểu thức A Chứng minh A không nhận giá trị nguyên với x>0; x  Câu (4 điểm) Giải phương trình : x2  6x  10  2x  Câu (4 điểm) Cho phương trình x  2(a  1)x  2a  (1) (với a tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với a Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo Câu ( điểm) Cho góc xOy có số đo 600 Đường trịn có tâm K tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F 1) Chứng minh hai tam giác MPE KPQ đồng dạng với 2) Chứng minh tứ giác PQEF nôi tiếp 3) Gọi D trung điểm PQ Chứng minh tam giác DEF Câu (2 điểm) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : x  y  6 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  2y   y Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LẠNG SƠN 2014-2015 Rút gọn A  x x  x 1 Chứng minh < A