25 de thi hoc sinh gioi lop 9 mon toan

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x)  (x  12x  31)2010 Tính f (a) a  16   16  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x  xy  y2 )  7(x  2y) Câu (4,5 điểm): 2 a) Giải phương trình: x  x  x  x  x 1 1 x  y  z   b) Giải hệ phương trình:    4  xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu 1  3  thức: A  3 x  y  y  z  z  x3  Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE  BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN - BẢNG A Câu Ý Nội dung Điểm a  16   16   a3  32  3 (16  5)(16  5).( 16   16  ) a)  a  32  3.(4).a (2,0đ)  a  32  12a  a  12a  32   a  12a  31   f (a )  12010  (1) 5( x  xy  y )  7( x  y )  7( x  y )  ( x  y ) Đặt x  y  5t (2) (t  Z ) (1) trở thành x  xy  y  7t (3) Từ (2)  x  5t  y thay vào (3) ta y  15ty  25t  7t  (*) 1, (4,5đ) b)   84t  75t (2,5đ) Để (*) có nghiệm     84t  75t  0t  0,25 0,25 Với t    ĐK x  x  0,25  y2   x2  1  y3   x3  a) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì t  Z  t  t  Thay vào (*) Với t   y1   x1  2, 28 25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí (4,5đ) (2,5đ) Với x  thỗ mãn phương trình x  x  1( x  x)  ( x  x  1) Với x  Ta có x3  x  x ( x  1)  ( x  x  1)  x3  x  x  x  x  x2  x 1 Dấu "=" Xẩy    x  x   x  x    x   x  Vô lý  x  x  1 1  x  y  z  (1)  ĐK x; y; z  (I )     (2)  xy z 1 2 Từ (1)        x y z xy xz yz 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thế vào (2) ta được: 0,25 1 1 2  2 2 2 2   xy z x y z xy xz yz 1 2 b)  x  y  z  xz  yz  (2,0đ) 1  (   2)(   2)  x xz z y yz z 0,25 0,25 0,25 1 1 1 1        x z y z 1  x  z    x y z 1    y z 0,25 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z )  ( ; ;  ) (TM ) 0,25 Ta có (x  y)2  x; y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2  x  xy  y  xy 3, (3,0đ) 0,5 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x  0,25 0,5 Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)  x3 + y3 ≥ (x + y)xy  x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz  x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 1   A  xy(x  y  z) yz(x  y  z) xz(x  y  z) xyz A  xyz(x  y  z) 1 A  xyz Vậy giá trị lớn A  x = y = z = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C M A D Q O 4, (5,5đ) E H K O' I B N   BAE  (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) Ta có: BDE   BMN  (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') BAE   BMN   BDE   BMN   BDMI tứ giác nội tiếp hay BDI a)   (3,0đ)  MDI  MBI (cùng chắn cung MI)   ABE  (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) mà MDI   MBI   ABE   BAE  (chứng minh trên) mặt khác BMI  MBI ~  ABE (g.g) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí MI BI  MI.BE = BI.AE  AE BE Gọi Q giao điểm CO DE  OC  DE Q   OCD vuông D có DQ đường cao  OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO'  OO'  AB H  H   900 ;O  chung Xét KQO CHO có Q b)  KQO ~ CHO (g.g) (2,5đ) KO OQ    OC.OQ  KO.OH (2) CO OH R2 Từ (1) (2)  KO.OH  R  OK  OH Vì OH cố định R không đổi  OK không đổi  K cố định  0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 A H' N P O M B H D C 5, (2,5đ) E ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD  BC  D  (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)  tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP   900  H thuộc đường trịn đường kính NP mà NHP   AMN   450 (1)  AHN Kẻ Bx  AB cắt đường thẳng PD E  tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g)  BE = PC Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,25 0,50 0,25 0,50 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí mà PC = BN  BN = BE  BNE vuông cân B   450 mà NHB   NEB  (cùng chắn cung BN)  NEB   450 (2)  NHB   900  H  (O; AB/2) Từ (1) (2) suy AHB gọi H' hình chiếu H AB HH'.AB  SAHB   SAHB lớn  HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD  AB) Dấu "=" xẩy  H  D  M  D Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,50 0,50 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,5 điểm)  Tính giá trị biểu thức A   15  10    15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: M 2018 x2  2x  N 2019 x  2x  Câu (3,0 điểm) Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1  2    a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 1   1    1  2 2 2018 20192 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f(x), tìm dư phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết f(x) chia cho x - dư f(x) chia cho x + dư Giải phương trình: x - 3x + x + = Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   2 bc ca ab 1 ; ; b) độ dài cạnh tam giác ab bc ca a) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI Tính HI, IM; biết AC= 4/3AB diện tích tam giác ABC 24 cm2 Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC E D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB AC M N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB BC F H Biết diện tích tam giác ODH, ONE, OMF a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh S  3(a2 + b2 +c2) Hết - Họ tên học sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN Đáp án   10  6  15   A   15.1      15.   A    .   = - = Ta có A   15 15  4 15 4 15 . 10  6 Điều kiện xác định M x  x    ( x  1)( x   x 1  x 1    x   x   x    x  1  x   Điều kiện xác định N   x  x   (*)  x  x   x   x2  2x   x2  2x     (**)  x  1 Từ (*) (**) ta x  điều kiện xác định M 1 1  1 1     Ta có:          a b c a b c  ab bc bc  1 a b  1 2( a  b  c ) 1  c     2    2 2     a b c b c abc a b c  abc abc abc  a Vậy 1 1 1  2    a b c a b c Theo câu a) Ta có 1 1 1 1  2       a b c a b c a b a b Áp dụng (*) ta có: 1 1 1 1 1 1           2 1 (2) 1 (2) 1 Tượng tự 1 1 1 1     ; 22 32 1 (*) 1 (Vì    ) 1 1 1     ;… 32 42 1 1     2 2018 2019 2018 2019 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Suy B  2019  4076360  2019 2019 x - 3x + x + = Û ( x + 1)( x - x + 6) = Û x + = (1) x2 – 4x + = (2) (1) Û x = -1 (2) Û ( x - 2)2 + = Do ( x - 2) + ¹ "x nên pt vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {-1} Vì ( x -1)( x + 2) = x + x - đa thức bậc nên f(x) : ( x  1)( x  2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x)  ( x  1)( x  2).q( x)  ax  b Theo đề f(x) : (x - 1) dư  f (1)   a  b  (1) f(x) : (x + 2) dư  f (2)   2a  b  (2) Từ (1) (2)  a = b = Vậy f(x) : [( x -1)( x + 2)] dư 2x + 5x2 + y2 = 17 – 2xy  4x2 + (x + y)2 = 17 17  x  17  x  x2 số phương nên x2 = 0; 1; 4 Nếu x2 =  (x + y)2 = 17 (loại) Nếu x2 =  (x + y)2 = 13 (loại) Nếu x2 =  x = x = - x =  (2 + y)2 =  y = - y = - x = -2  (-2 + y)2 =  y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên b + c > a  a(b  c)  a  a(b  c)  ab  ac  a  ab  ac a 2a  2a(b  c)  a(a  b  c)   bc abc b 2b c 2c   Tượng tự ta có: ; ca abc ba abc a b c 2a 2b 2c       (dpcm) Suy ra: bc ca ab abc bca abc Ta có a + b > c 1 1 2       b  c c  a b  c  a c  a  b a  b  c (a  b)  (a  b) a  b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 1 1     ; ca ab bc ab bc ca 1 ; ; độ dài cạnh tam giác (Đpcm) ab bc ca Do AC= ¾ AB (gt) AB.AC = 2S = 48, suy AC = (cm); AB = 8(cm) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC ta tính BC = 10 cm, suy AM = (cm) (1) Áp dụng tính chất canh đường cao tam giác vng ABC ta tính BH  AB2  3,6(cm) (2) BC Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có IB AB IB AB IB 30       IB  IC AC IB  IC AB  AC 10  cm (3) Từ (1), (2) (3), ta có I nằm B M; H nằm B I 4,8 Vậy: HI = BI - BH  cm MI = BM - BI  cm Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Đặt SABC = d2 Ta có: SODH a  DH  a DH     ;   BC  S ABC d d BC 2 S EON b  ON  b HC  HC       ; Tương tự    BC   BC  S ABC d d BC c BD  d BC a  b  c DH  HC  DB  1 d  a  b  c Suy ra: d BC Vậy S  d  (a  b  c) 2 2 2 Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a  b  2ab; b  c  2bc; a  c  2ac S  ( a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca S  a  b2  c  ( a  b2 )  ( b2  c )  ( c  a )  3( a  b2  c ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa; Điểm toàn quy tròn đến 0,5 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Lời giải a) Số đường chéo đa giác là: 12 12    54 b) Nhận thấy với cạnh tam giác, ta lập 10 tam giác mà tam giác thỏa mãn đề mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề 10.12  120 Tuy nhiên tính theo cách tam giác mà có cạnh cạnh kề đa giác cho tính lần Ta có số tam giác tính lần 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề thực chất là: 120  12  108 tam giác Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau:  2x  y   b)  x y    a) (x + 3) = 16 Câu ( 2,0 điểm) 2 xx   x 2  a) Rút gọn biểu thức A     : 1   với x  0, x  x    x  x    x x 1 b) Tìm m để phương trình: x  x + m  = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x1 x2  x2  Câu (2,0 điểm) a) Tìm a b biết đồ thị hàm số y= ax + b qua điểm A(  1; 5) song song với đường thẳng y = 3x + b) Một đội xe chuyên chở 36 hàng Trước làm việc , đội xe bổ sung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc ban đầu có xe? Biết số hàng chở tất xe có khối lượng Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O B) Dựng đường thẳng d vng góc với AB C, cắt nửa đường tròn (O) điểm M Trên cung nhỏ MB lấy điểm N ( N khác M B), tia AN cắt đường thẳng d F, tia BN cắt cắt đường thẳng d E Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) điểm D ( D khác A) a) Chứng minh: AD.AE = AC.AB b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng F tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định điểm N di chuyển cung nhỏ MB Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : abc = Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Tìm giá trị lớn biểu thức P  Câu ( 2,0 điểm) x   ab bc ca  5  5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca ĐÁP ÁN x    a, (x+3)2 = 16   Vậy pt có nghiệm –    x   4  x  4   7  2x  y   11x  x   2x  y     b,  x y  3x  4y  12 y  3x  4y  12    Vậy (x; y) = (0; 3) Câu ( 2,0 điểm) 2 xx   x 2  a, A     :    Với x  x  , ta có : x    x  x    x x 1  xx x  x    x  x   ( x  2)  A    :   x    x  x 1  ( x  1)( x  x  1)     x  x 1 x   x 1 A    :   x  x 1  ( x  1)( x  x  1)    1    x  x 1 A   x    x   x  x 1    Vậy với x  x 1, ta có A = x 1 b, x  x  m   (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2   25  4m  12  4m  37   m  x1  x2  37 (*) Khi theo định lý Vi-ét ta có : x1 x2  m  x  x  Có x12  x1 x2  x2    12  x1   x2    x1  x1 x2  x2  (5  x2 )  2(5  x2 ) x2  x2    x1     x2   x1   x2   x1   x2   x      3x  17 x2  24    (5  x2 )  2(5  x2 ) x2  x2     x2   Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Vậy thay vào x1 x2  m  m = ( TMĐK (*)) m = 83 (TMĐK (*)) Câu (2,0 điểm) a,Đồ thị hàm số y = a x +b qua điểm A (-1 ;5) thay x = -1 ; y =5 ta –a+b =5 (1) Đồ thị hs y = a x +b song song với đường thẳng y = 3x +1 ta có a = ; b  Kết hợp hai điều kiện a = ; b = b, Gọi số xe lúc đầu x xe ( ĐK : x  N*) 36 (tấn) x 36 36 36 Lúc sau xe chở số hàng (tấn)Theo đề ta có PT =1 x3 x x3 Số xe sau bổ sung x+3 (xe)Lúc đầu xe chở số hàng Giải Pt x = (TM) ; x = -12 (Loại) Câu (3,0 điểm) Hình vẽ a, ADB  AEC (g.g) AD AB  AD AE  AC AB  AC AE b, Có AN  BN (Vì  ANB  900 theo tính chất  góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ADB  900 theo tính chất Có AD BD (Vì  góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Vậy F trực tâm AEB suy BF  AE mà BD  AE suy điểm B, F, D thẳng hàng c, FAC  BEC (g.g)  FC AC  BC EC  FC.EC  AC.BC (1) FC CK CFK   CAE   FC.CE  CA.CK (2)  CA EC Từ (1) (2) suy BC = CK suy K cố định Mà IA = IK suy I thuộc trung trực A K đường thẳng cố định Cách : Gọi giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với AB K   ( Cùng bù với  AEC  FKB AKF ) (6) tứ giác AEFK tứ giác nội tiếp      Lại có AEC  FBK ( Cùng phụ với EAB ) (7)   FBK   FKB tam giác cân F Mà FC vng góc Từ (6) (7) ta có FKB với KB nên FC đường cao đồng thời trung trực BK nên C trung điểm KB tức BC = CK Có B, C cố định nên BC có độ dài khơng đổi  CK có độ dài khơng đổi, K thuộc đường kính AB cố định nên K điểm cố định Mà IA = IK nên I thuộc đường trung trực đoạn AK Mà AK cố định nên trung trực AK đường thẳng không đổi Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Vậy : Điểm I nằm đường thẳng cố định điểm N di chuyển cung nhỏ MB Câu (1,0 điểm) + Ta chứng minh BĐT : a  b5  a3b2  a 2b3  a 2b2 ( a  b) +Ta có a  b5  ab  a3b2  a 2b3  ab  a 2b2 ( a  b)  ab  ab[ab(a  b)  1]  ab[ab(a  b)  abc]  a b2 ( a  b  c) abc (a  b  c ) abc  ab  ab c c a  b  c ab c Vậy a  b5  ab  ab hay 5 (1)  c a  b  ab a  b  c bc a Tương tự : (2)  5 b  c  bc a  b  c ac b (3)  5 a  c  ac a  b  c Từ (1)(2)(3) Suy : P PMax ab bc ca abc  5   1 5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca a  b  c  a= b= c=1 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD & ĐT HỒ BÌNH Đề thức Bài (2 điểm) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013 – 2014 TRƯỜNG THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ ĐỀ THI MƠN TỐN CHUN Ngày thi: 29 tháng năm 2013 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang 1) Cho x số thực âm thỏa mãn x2 + A = x3 + = 23, tính giá trị biểu thức x2 x3 2) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2 Bài (3 điểm) 1)  = 600 Trung tuyến CD = cm Cho tam giác ABC vuông A, ABC Tính diện tích tam giác ABC 2) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = (m + 1)x – m, m tham số Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt A, B cho OA vng góc với OB Bài (2 điểm) 1) Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 - 1 )(1 - ) x y 2) Tìm nghiệm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2x2 – 2xy = 5x – y – 19 Bài ( điểm) Cho đường trịn (O), bán kính R, A điểm cố định nằm đường tròn Một đường tròn thay đổi qua điểm O, A cắt đường tròn (O) hai điểm P, Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định (trước chứng minh nêu dự đoán điểm cố dịnh mà P, Q qua, giải thích cách nghĩ) Bài ( điểm) Có thể lát kín sân hình vng cạnh 3,5m viên gạch hình chữ nhật kích thước 25cm x 100cm mà không cắt gạch hay không? Hết Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Lời giải tóm tắt Bài 1 ) – 3(x + ) x x 1 Từ giả thiết ta có: x2 + +2 = 25  (x + )2 = 52 => x + = -5 x < x x x 1) Ta có A = (x + Do A = (-5)3 – 3.(-5) = - 110 2) x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2 = (x4 – y4) – (y4 + x2y2) + (x2 + y2) = (x2 + y2)(x2 - y2 – y2 + 1) = (x2 + y2)(x2 - 2y2 + 1) Bài 1) A  = 600 Đặt BC = 2x (x > 0) Vì ABC D B \ 600  = 300 => AB = x => AD = => C \ AC = x Tam giác ADC vuông A => CD2 = AD2 + AC2 ( Đ/l Pi tago) cm C => Vậy diện tích S tam giác ABC S = x; = 3x2 + x2 => x = 16 13 AB.AC 3 (cm2)   2 13 13 104 2) Phương trình hồnh độ hai đồ thị x2 – (m + 1)x +m = (*) Hai đồ thị cắt điểm phân biệt A B  PT (*) có nghiệm phân biệt  >  (m + 1)2 – 4m >  (m – 1)2 >  m  Xét PT hồnh độ, có a + b + c = – m – + m = => x1 = ; x2 = m => y1 = ; y2 = m2 => A( 1;1); B(m ; m2) Phương trình đường thẳng qua O A y = x Phương trình đường thẳng qua O B y = mx Đường thẳng OA vng góc với đường thẳng OB  m = -1  m = -1 Vậy với m = -1 đường thẳng parabol cắt điểm phân biệt A B cho OA vng góc với OB Bài 1) ĐK: xy  ; Từ giả thiết => x  y   xy ( x  1)( y  1) x y  ( x  y )  x y   xy  x y  xy    =1 + 2 2 2 2 x y x y x y x y xy 2 2 Mặt khác ta có (x – y)  => x + y  2xy  (x + y)  4xy   4xy 1 =>  xy     => P  + = xy xy Ta có P = Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Dấu “=” xảy x = y = Thỏa ĐK 2 x  x  19 x (2 x  1)  2(2 x  1)  17 17   x  2 2) Từ PT ta có y = (x  2x 1 2x 1 2x 1 x= khơng ngun) 17 => với x ngun y nguyên nguyên  17  2x –  2x 2x 1 ước 17 Mà 17 có ước  1;  17 Do x nguyên dương nên 2x –  => 2x – = 2x – = 17 => x = Vậy minP =  x = y = x = => y = 16 y = Vậy PT có nghiệm nguyên là: (x; y) = ( 1; 16) ; (9; 8) Bài M O' P K O I H A Q *) Dự đoán điểm cố định giao điểm I OA PQ *) Chứng minh: G/s (O’) qua O A => O’ nằm đường trung trực AO, gọi giao điểm đường trung trực với AO H, giao điểm OA với PQ I, giao OO’ với PQ K, OO’ cắt đường trịn (O’) M Ta có OO’ đường trung trực PQ => OO’  PQ  OKI đồng dạng với  OHO’ (g.g) (Do OO’ = OM AO = 2.OH)  = 900 (Góc nội tiếp Ta có OPM chắn nửa đường trịn) =>  OPM vng P, lại có PQ  OO’ => OP2 = OK.OM (Hệ thức lượng tam giác vuông)  OI = OP R  không đổi OA OA Do O cố định, OI không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng PQ qua điểm cố định Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Bài Không thể lát sân mà cắt gạch gọi số gạch lát theo chiều dài chiều rộng viên gạch x, y hệ PT sau phải có nghiệm nguyên: 100 x  350 hệ vô nghiệm nguyên  25 y  350 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức M = a KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2013 – 2014 Mơn: Tốn (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)     a  2a - 3b  3b a - 3b - 2a a a  3ab a) Tìm điều kiện a b để M xác định rút gọn M b) Tính giá trị M a =  , b = 10  11 Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + = 0, m tham số a) Tìm điều kiện m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 b) Tìm giá trị m để x12 + x22 + x32 = 11 Bài (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n số A = 444    (A gồm 2n chữ số 4); B = 2n 888    (B gồm n chữ số 8) Chứng minh A + 2B + số phương n Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Từ điểm M tuỳ ý d kẻ tiếp tuyếnMA MB với (O) (A B tiếp điểm) Gọi I trung điểm CD a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp b) Các đường thẳng MO AB cắt H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp  COD c) Chứng minh đương thẳng AB qua điểm cố định M thay đổi đường thẳng d d) Chứng minh MD HA = MC HC Bài (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c > thoả mãn a + b + c = 2013 Chứng minh a a + 2013a + bc + b b + 2013b + ca Dấu đẳng thức sảy nào? + c c + 2013c + ab Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 1 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM Câu a) M = a KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2013 – 2014 Mơn: Tốn (Chun Tốn) HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn gồm trang) Nội dung    Điểm  a  2a - 3b  3b a - 3b - 2a a a  3ab  a, b  a   ĐK xác định M:  a  b  M= 2a  2a  3ab  3ab  3b  2a 0,25 a  3ab 2a  3b  Câu = a  ab (2,0 đ) ( 2a  3b )( 2a  3b )  a ( 2a  3b ) b) Ta có M =   0,25 2a  3b a 0, 3b 11 với a =  , b = 10  a 0,25 3b 30  22 (30  22 2)(3  1) 102  68    a 17 1 (1  2)(3  1) 3b  64  2 a Từ M =  (2  2)  2  Vậy  0,25 0,25  2 0,25 a) x – 5x + (2m + 5)x – 4m + = (1) x    x   ( x  3x  2m  1)    Nếu  x  3x  2m   0(*) x  trừ 0,25 điểm   x  x  2m   Câu Để (1) có ba nghiệm phân biệt pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác (2,0 đ)   13  m  13 Điều kiện     m 4   m   2 m  b) Ta có ba nghiệm phân biệt phương trình (1) x1 = 2; x2; x3 x2; x3 hai nghiệm phân biệt pt (*) Khi x12 + x22 + x32 = 11    x2  x3   x2 x3  11   x2  x3   x2 x3  7(**) 2 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí  x2  x3  (0,25 đ)  x2 x3  2m  áp dụng định lý Vi-ét pt (*) ta có  Vậy (**)   2(2m  1)   m  (thoả mãn ĐK) Vậy m = giá trị cần tìm n Ta có A  444     444 4000      444     444    10  1  888    2n n n n n n 0,5 0,25   = 4.111 1.999      B  4.111 1.9.111    B   6.111    B n n n n n   0,25 3  3  =  888   B   B  B      4  n 4  Câu (1,0 đ) Khi 0,25 2 3  3  3  A  B    B   B  B    B   B.2    B   4  4  4  2 3      =  888     3.222     666 68                 n n 4     n1  0,25 Ta có điều phảI chứng minh A O H d M C I D B Câu (4,0 đ) Q a) MA, MB iếp tuyến (O)   MBO   900  MAO   900 I trung điểm CD  OI  CD  MIO  A, I, B thuộc đường trịn đường kính MO  Tứ giác MAIB nội tiếp đường trịn đường kính MO b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB  MO đường trung trực AB  MO  AB Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,25 0,25 0,25 0,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí  MH.MO = MB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) (1)    MBD   sđ BC MBC  MBC  MDB ( g g ) MB MD    MC.MD  MB (2) MC MB Từ (1) (2)  MH.MO = MC.MD MC MO   MCH  MOD(c.g.c)  MH MD   MDO   MHC  tứ giác CHOD nội tiếp  H thuộc đường tròn ngoại tiếp  COD c) Gọi Q giao điểm AB OI  chung Hai tam giác vng MIO QHO có IOH  MIO  QHO MO OQ  OI OH (R bán kính (O) không đổi)  MO.OH OA R  OQ    OI OI OI O, I cố định  độ dài OI khơng đổi  lại có Q thuộc tia OI cố định  Q điểm cố định  đpcm    900  ODC   900  180  COD ( COD cân O) d)  AHC  900  MHC 1   sdCAD  = 1800  COD  3600  sdCBCB 2  (3) = CBD   CDB  (4) (hai góc nội tiếp chắn cung BC) CAH   Từ (3) (4)  AHC  DBC ( g g ) HA BD  (5)  HC BC MBC  MDB ( g g ) (chứng minh trên) MD MB BD    MB MC BC MD MB MD  BD      MB MC MC  BC  (6) MD HA2 Từ (5) (6)   MB HC Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + Câu a(b + c) (1,0 đ) Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc  2a bc Từ Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí a2 + bc + a(b + c)  2a bc +a(b + c) = a(b + c + bc ) = a( b  c )2 Vậy a  a  2013a  bc a a a  b c   a  a a b c  a (1) a b c  0,25 Chứng minh tương tự b b  2013b  ca b  (2) a b c c c  2013c  ba Cộng vế (1); (2); (3) ta a a + 2013a + bc + b b + 2013b + ca + c c + 2013c + ab   c a b c a b c a b c  a  bc  b  ca Dờu “=” xảy    a  b  c  671 c  ab  a  b  c  2013  ** HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU 3,5 MÔN TOÁN CHUYÊN HÀ NAM Câu 3: Từ giả thiết ta có n 1 2n2 A  4.111   1)   4(10  10 2n n 1 n2 B  2.888   16.111   16(10  10   1) n n Từ suy D=A+2B+4= 4(10  10   1)  16(10 n 1  10 n 2   1) +4 9D = 4(10  1)(10 n 1  10 n 2   1)  16(10  1)(10 n 1  10 n 2   1)  36 n 1 n 2 4(10 n  1)  16(10 n  1)  36 9D=  4(10 n  4.10 n  4)   10 n      Suy đpcm Câu 5: Với gt cho ta có: a a  2013a  bc    a a  (a  b  c )a  bc a a  (a  b )(a  c )  a (a  (a  b)(a  c)) a  a  ab  ac  bc a (2 (a  b)(a  c)  2a ) a (a  b  a  c  2a ) ab  ac   2( ab  ac  bc) 2( ab  ac  bc) 2( ab  ac  bc) (theo BĐT cosi ab  a+b dấu = xảy a=b Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 (3) 0,25 1 0,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Từ suy VT  ab  ac bc  ba cb  ac =1 (ĐPCM)   ab  ac  bc ab  ac  bc ab  ac  bc Dấu đẳng thức xảy a=b=c= 2013:3=671 Mời bạn xem tiếp tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 ... 024 2242 6188 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,50 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí MI BI  MI.BE = BI.AE  AE BE Gọi Q giao điểm CO DE  OC  DE Q   OCD vng... 1    y z 0 ,25 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z )  ( ; ;  ) (TM ) 0 ,25 Ta có (x  y)2  x; y 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1 2  x  xy  y  xy 3, (3,0đ) 0,5 0 ,25 Vậy phương trình... yz 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Thế vào (2) ta được: 0 ,25 1 1 2  2 2 2 2   xy z x y z xy xz yz 1 2 b)  x  y  z  xz  yz  (2,0đ) 1  (   2)(   2)  x xz z y yz z 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1