(TIỂU LUẬN) định thức gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hình học cao cấp phận quan trọng cấu thành nên tốn học Đây mơn học thú vị tương đối khó sinh viên Chương trình hình học cao cấp trường đại học sư phạm năm gần chủ yếu gồm ba loại không gian hữu hạn n – chiều: không gian afin, khơng gian Ơclít khơng gian xạ ảnh Các vấn đề phong phú đa dạng, việc học tập sinh viên có nhiều khó khăn bắt đầu Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn hình học bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m – hộp khơng gian “ Mục đích nghiên cứu: Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có nhìn rõ hai vấn đề: cơng thức tính khoảng cách phẳng thể tích m – hộp khơng gian dựa vào định thức Gram Đối tượng, phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: + Định thức Gram với cơng thức tính khoảng cách phẳng + Định thức Gram với cơng thức tính thể tích m – hộp * Phạm vi nghiên cứu: Cơng thức tính khoảng cách, thể tích m – hộp qua số sở lý thuyết số tốn điển hình Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu cơng thức tính khoảng cách phẳng thể tích m – hộp theo định thức Gram qua việc giải số toán chúng Phương pháp nghiên cứu: + Phân tích tài liệu + Tổng kết thành mục lý thuyết tập Cấu trúc chính: Cấu trúc khóa luận gồm hai phần: + Phần 1: Cơ sở lý thuyết + Phần 2: Môt số toán Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Afin: 1.1.1 Định nghĩa: Cho không gian vectơ trường , tập mà phần tử gọi điểm, ánh xạ: : → ( M, N ) Bộ ba ( , , ( M, N ) = ) gọi không gian afin hai tiên đề sau thỏa mãn: (i) M , ⇨ !N (ii) M, N, P ta có: + + : = = – gọi không gian : + Nếu = trường số thực phức ta nói khơng gian afin thực phức + Nếu =n⇨ có số chiều dim Kí hiệu: – n chiều, dim = n 1.1.2 Ví dụ: Xét khơng gian vectơ n chiều Xét : ( , (i) bất kỳ, lấy lấy → ) , , = [( M, N )] ! , ⇨ Nguyễn Thị Mai – = = + Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (ii) , ta có: hay [( , + )] + Khi đó, ( , , Khoa Tốn = – [( , )] = [( , )] ) không gian afin n chiều 1.1.3 Một số hệ định nghĩa: a M b M, N mà = M c M, N =- d = e = ⇔ O, M, N = ta có: N = - 1.1.4 Hệ điểm độc lập: Cho không gian afin Hệ điểm (m với gọi hệ điểm độc lập Hệ m + điểm ) không gian afin hệ m vectơ gọi hệ điểm độc lập hệ độc lập tuyến tính Trong định nghĩa khơng đóng vai trị đặc biệt so với điểm khác Nếu vectơ với hệ độc lập tuyến tính i vectơ độc lập tuyến tính 1.1.5 Định lý: Trong không gian afin n – chiều lập với m , tồn hệ m điểm độc n + 1, hệ gồm số điểm nhiều n + điểm không độc lập ta gọi hệ phụ thuộc Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán 1.1.6 Định nghĩa phẳng không gian afin: Cho không gian afin điểm liên kết với không gian vectơ Gọi I khơng gian vectơ Khi tập: ={M / } gọi phẳng ( gọi tắt “ phẳng “ ) qua I có phương Nếu có số chiều m gọi phẳng m- chiều hay m – phẳng Như vậy: – phẳng điểm – phẳng đường thẳng ( n – ) – phẳng siêu phẳng 1.1.7 Đơn hình m – chiều: Đơn hình m – chiều mở rộng khái niệm tam giác không gian chiều, tứ diện không gian chiều a) Định nghĩa: Cho m + điểm độc lập Ta xét tập hợp gồm điểm M cho ( với điểm O ): = với =1 0, i = 0, 1, … , m Tập hợp gọi m – đơn hình với đỉnh: S( kí hiệu ) b) Ví dụ: Đơn hình – chiều điểm Đơn hình – chiều đoạn thẳng Đơn hình – chiều tam giác Đơn hình – chiều tứ diện Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Tốn Một đơn hình hồn tồn xác định đỉnh ( đỉnh phải lập thành hệ điểm độc lập ) Trong đơn hình n – chiều ta lấy p + điểm ( p m – ) tất nhiên p + điểm lập thành hệ điểm độc lập xác định cho ta đơn hình p – chiều, gọi mặt bên p – chiều đơn hình cho Các điểm cịn lại có lập thành đơn hình m – (p + ) chiều ( cịn m – p đỉnh lại ) gọi mặt bên đối diện mặt bên p – chiều chọn Mặt bên –chiều đỉnh đơn hình Mặt bên –chiều gọi cạnh đơn hình 1.1.8 Hình hộp m – chiều: Hình hộp m – chiều mở rộng khái niệm hình bình hành khơng gian chiều hình hộp khơng gian chiều a) Định nghĩa: Cho m + điểm độc lập , với cho: Tập hợp điểm M gọi m – hộp b) Ví dụ: Hộp – chiều hình bình hành Hộp – chiều hình hộp Trong định nghĩa m – hộp ta cho p tham biến ta hình hộp m – p chiều gọi mặt bên m – p chiều hình hộp Do đó, mặt bên – chiều hình hộp gọi đỉnh hình hộp; mặt bên – chiều gọi cạnh hình hộp 1.2 Khơng gian Ơclít: Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Tốn ánh xạ μ : Cho khơng gian vectơ thực mà ta kí hiệu μ → ℝ ; ) = Nếu ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau ta gọi hàm tích vơ hướng hay tích vơ hướng (i) = (ii) ( + ) = + (iii) (k ) (iv) + )= = k( ) = (k ) =0 ⇨ ≥0 & (Với ; ; ; ; = ; ℝ) ; Số thực gọi tích vơ hướng hai vectơ , = ( , μ ) gọi khơng gian vectơ Ơclít Cặp 1.2.2 Định nghĩa khơng gian Ơclít: Một khơng gian afin liên kết với khơng gian vectơ cịn gọi khơng gian Ơclít kí hiệu Nếu số chiều n gọi n chiều Kí hiệu: 1.2.3 Ví dụ: a) Khơng gian Ơclít thơng thường học phổ thơng b) Mỗi khơng gian vectơ Ơclít hữu hạn chiều với cấu trúc afin tắc khơng gian Ơclít, chẳng hạn 1.2.4 Định nghĩa khoảng cách hai điểm: Cho hai điểm M, N không gian Ơclít ,khoảng cách hai điểm kí hiệu d( M, N ), định nghĩa số: Nguyễn Thị Mai Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội d( M, N ) = Khoa Toán = 1.2.5 Khoảng cách hai phẳng: a) Định nghĩa: Khoảng cách hai phẳng số: d( không gian ) = infd( M, N ), M Nếu = d( ,N , kí hiệu d( ) ) = b) Định thức Gram: * Định nghĩa: Trong khơng gian vectơ Ơclít Kí hiệu: Gr( , cho m vectơ: , )= Và gọi định thức gram hệ vectơ: { , } * Tính chất: i) Gr( , ) , , Do định thức Gram không phụ thuộc vào thứ tự vectơ Gr( , ) = { , } hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Suy Gr( , ) > hệ { , } độc lập tuyến tính ii) Trong khơng gian vectơ Ơclít cho m vectơ , Khi ta có: Gr( Nguyễn Thị Mai , ) … Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán (bất đẳng thức Hadmard) Dấu xảy { , } hệ trực giao c) Khoảng cách hai phẳng: Cho hai phẳng sở ( , Giả sử khơng gian vectơ ) với điểm A d( , ) Nếu , ,B + có , ta có: )= – phẳng thì: d( , ) = Gr( )=| | Điều với định nghĩa khoảng cách hai điểm ; trường hợp n = 2, n = 3, ta trở cơng thức tính khoảng cách hai điểm phổ thông trung học ) Nếu = – phẳng, , ) thì: d( , (i) Với Lấy m – phẳng qua B có phương , ) = d( A, )= đường thẳng, tức m = 1: thì: ( , )= ( A, Nếu mục tiêu trực chuẩn cho = Nguyễn Thị Mai )= có phương trình: = … = Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Và cho điểm A có tọa độ ( ( ; Hay ; Khoa Toán ; …; ) ta lấy B( ; ) ) nên có cơng thức: ( A, )= ( A, )= Với n = n = ta trở cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng học phổ thông trung học (ii) Đặc biệt siêu phẳng có phương trình: =0 Xét )⇨ =( trực giao với Gọi H hình chiếu A siêu phẳng Khi đó: d( ) = d ( A, nên Do =| = t (t | = AH ℝ) H=( Vì H ) nên: ⇔ t Từ = t =⇨ Nguyễn Thị Mai hay 10 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Tốn V(H)= Có: = = = + = + = + Tiếp tục trình ta được: = ⇨ + = Cứ tiếp tục q trình được: = ( Kí hiệu nghĩa khơng chứa tích ) ⇨ V( H ) = Nguyễn Thị Mai 18 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội * n = 2, có: | Khoa Tốn |= O Bài 3: Đơn hình S( = với i ) gọi vuông đỉnh j, ( i,j = ) Kí hiệu Ta xét ( m – ) – đơn hình nghĩa ta bỏ điểm tập điểm Chứng minh rằng: Lời giải: ( ), ), ( ( Chọn mục tiêu trực chuẩn Giả sử | |= = Ta có: (trong ( m – ) – hộp xác định điểm Theo ta có: Mà : Với ) = = Nguyễn Thị Mai ) … ( m – ) – hộp xác định điểm 19 ( Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội = Khoa Tốn Gr Có : Gr = … … = = (đpcm) * n= 3, ta có: = Bài 4: Trong + + O cho m vectơ bất : Chứng minh rằng: a) Gr( b) Nếu vectơ ) khác thì: Gr hệ trực giao Nguyễn Thị Mai 20 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Lời giải: a) Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính Gr( ) nên bất đẳng thức hiển nhiên Nếu hệ độc lập tuyến tính ta trực giao hóa Gram Schmidt để ; mà theo cơng thức trực giao hóa thì , cịn với k > có dạng: = – = + Do đó, = Vì = ⊥ ( ℝ) + ,…, nên suy = , Bây ta tính: Gr( ) = = = Nguyễn Thị Mai 21 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = ………………… ( tiếp tục làm cột thứ m ) Với i < j + =( ) = ( Với i = j =( + =0 với ) = ( với Do đó: Gr( ) = Vậy Gr( … ) b) Bây giả sử … = với i khác hệ j Do đó: Gr( ) … = Ngược lại, nếu: Gr( Nguyễn Thị Mai trực giao … ) … trực giao hóa 22 ta lại lấy thì: Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán , Và Gr( ) (k > ) … Từ ( i = 1, 2, …, m ) … … suy ( với i = 1, 2, …, m ) Khi trực giao hóa để được trực giao giao hóa thành ta có: Gr( )= Vậy Gr( )= Nhưng Gr( )= - Suy = ⇨ - nên theo lập luận phần , hay =0 = 0, tức Vì giá trị Gr( tập ) không phụ thuộc vào thứ tự vectơ nên với i j cho trước tập { 1, … , m } ta cho ( i, j ) đóng vai trị ( 1, ) ta , hệ Bài 5: Trong Nói cách khác trực giao cho m – đơn hình có đỉnh Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Mai 23 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Dấu xảy nào? Lời giải: Theo bất đẳng thức Hadmard ( tập ) ta có: Gr( , ,…, ) Và dấu xảy { chuẩn.Tức: , ,… , với i, j = 1, … , m i Mặt khác, Gr( ,…, , ⇨ V( ( đpcm ) Bài 6: Trong cho m - đơn hình có đỉnh với i, j = 1, … , m i đơn hình trực giao Đặt đến ( m – ) – phẳng ứng với đỉnh j … ) mãn: } hệ trực )= ⇨ từ … = j ( ta gọi , , thỏa m - ( i = 1, … , m ) h khoảng cách qua , , (còn gọi h chiều cao Chứng minh rằng: = + +…+ Lời giải: Đặt = ( i = 1, … , m ) ta có: Nguyễn Thị Mai = 24 , ⊥ với i j Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phương …, Khoa Toán sinh ( m – ) vectơ độc lập tuyến tính { , } Ta có: = - = Với j = 1, … , m – - = Áp dụng cơng thức tính khoảng cách ta được: = = Do đó: = Ta có: = = = = … (1) (Kết dễ dàng tính cách qui nạp theo m) Lại có: Nguyễn Thị Mai = 25 Lớp K33D , Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = = = … (2) Từ (1) (2) suy ra: = = Bài 7: Trong } Gọi hộp, + +…+ cho m - hộp { hộp { hộp { Chứng minh rằng: V( H ) V( }, ( m – k ) – hộp, } ).V( Và dấu đạt ) ⊥ với i = 1, … , k với j = k + 1,… , m Lời giải: Nguyễn Thị Mai 26 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặt , = , ( i = 1, … , k ), ,…, Gram – Schmidt ( ,…, , , ,…, ,… ,…, ) ( )= … )= … )= … ,…, , ), cịn trực giao hóa ) ta ( ,…, = ,…, ) Khi trực ,…, ) trực ) Theo lời giải ( ý a) ta có: ,…, Gr , ,… , ,…, Gr Đặt (j = k + 1,… , m ) ( ,…, ,…, giao hóa thành ( Gr = ) độc lập tuyến tính Giả sử trực giao hóa Gram – Schmidt ta ( giao hóa bộ( Khoa Tốn … = ( i = 1, …, m – k ) Theo qui tắc trực giao hóa ta viết: = = Do + , ⊥ , = + ⊂ ( )= + ( =( + Do )+ với + ) ⊥( , + ) = + ⊂ ( )= + ( = ( Nguyễn Thị Mai + )+ với + 27 , ) ⊥( + ) Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Do Khoa Tốn ……………………… = + với Do ⊥ , ( i = 1, … , m – k ) Suy Gr ,…, , ,…, ) = Gr Vậy (H) … ,…, ).Gr ⇨ V( H ) V( … ,…, ).V( ) ) Bây xết điều kiện xảy dấu bằng: ⊥ Giả sử ( i = 1, … , k; j = 1, … , m – k ) tính trực tiếp Gr ,…, , ,…, Gr ,…, , ,…, Suy ra: ) ta có: )=Gr ,…, )Gr V( H ) V( ).V( ) Ngược lại, giả sử V( H ) V( ).V( ) thì: Gr ,…, , ,…, )=Gr = Mặt khác, Gr ,…, ⇨ Vì , ,…, )Gr … … ,…, … = ,…, )= … … ,…, ) ) … (*) ( i = 1, … , m – k ) nên để có đẳng thức ( * ) khơng thể có số i làm cho Nghĩa là, Nguyễn Thị Mai ( i = 1, … , m – k ) 28 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Từ = + Do đó, Vì ⊥ , = suy ⊥ nên ⊥ = 0, tức = , đó: =( ,…, ⊥ , tức Bài 8: Trong Kí hiệu , ( i = 1, … , m – k ) ⊥ Vậy Khoa Tốn )⊥ cho m - đơn hình khoảng cách hai điểm có đỉnh , , , Chứng minh rằng: Lời giải: Đặt = Do đó, = = = = = = = + = + -2 -2 = Mà Nguyễn Thị Mai 29 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán = = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1) Trong cho hệ vectơ độc lập tuyến tính vectơ Chứng minh rằng: 2) Cho m + điểm ( , Trong đó, d( , , , Nguyễn Thị Mai , , đặt: )= )= Chứng minh rằng: 30 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội detGr( 3)Trong Khoa Tốn )= det ( cho m - đơn hình k – mặt bên cạnh a, có đỉnh , ) , , Cho Gọi G, , a) Chứng minh G nằm đoạn [ b) Chứng minh đường thẳng chứa , ( m – k – ) – mặt bên đối diện trọng tâm , phẳng , ] đường vng góc chung k – ( m – k – ) – phẳng chứa c) Tính khoảng cách hai mặt bên đối diện , KẾT LUẬN Khóa luận đưa hai vấn đề: cơng thức tính khoảng cách phẳng cơng thức tính m – hộp theo định thức Gram, cung cấp cho sinh viên số kiến thức hình học cao cấp, bước đầu giúp sinh viên có hướng tư phù hợp để giải tập hình học cao cấp Đồng thời qua có nhìn rõ cơng thức tính diện tích, thể tích biết phổ thông trung học ( ứng với n = n = ) Số lượng tập khơng nhiều, tập em cố gắng chọn phù hợp với đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m – hộp khơng gian “ giải cách chi tiết Em hy vọng khóa luận giúp bạn giải tốn có liên quan đến cơng thức tính khoảng cách cơng thức tính thể tích m – hộp dễ dàng thu kết tôt Nguyễn Thị Mai 31 Lớp K33D Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu thân hạn chế nên khóa lận khó tránh khỏi thiếu sót Em rấy mong giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để bổ sung cho đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin hình học Ơclit, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Khắc Ban, Phạm Đình Đơ, Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, Nxb Đại học sư phạm Hà Trầm, Bài tập hình học afin hình học Ơclit, Nxb Đại học sư phạm Nguyễn Thị Mai 32 Lớp K33D ... hay m – phẳng Như vậy: – phẳng đi? ?m – phẳng đường thẳng ( n – ) – phẳng siêu phẳng 1.1.7 Đơn hình m – chiều: Đơn hình m – chiều m? ?? rộng khái ni? ?m tam giác không gian chiều, tứ diện không gian. .. hành Hộp – chiều hình hộp Trong định nghĩa m – hộp ta cho p tham biến ta hình hộp m – p chiều gọi m? ??t bên m – p chiều hình hộp Do đó, m? ??t bên – chiều hình hộp gọi đỉnh hình hộp; m? ??t bên – chiều... thức tính diện tích, thể tích biết phổ thơng trung học ( ứng với n = n = ) Số lượng tập không nhiều, tập em cố gắng chọn phù hợp với đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách phẳng thể tích m –