(TIỂU LUẬN) đề tài PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC Bài tập kỳ ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Mơn: Cơ sở Tốn Tiểu học Giảng viên: Lớp: Các thành viên thực hiện: Mục lục LỜI MỞ ĐẦU PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG .3 PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP 6: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 10 PHƯƠNG PHÁP 7: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG .11 PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG .11 PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12 PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13 PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13 PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ 13 BÀI TẬP ÁP DỤNG 15 CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ LỜI MỞ ĐẦU Không giống phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm ngun khó giải điều kiện ràng buộc nguyên nhiệm Vì với phương trình nghiệm ngun, ta thường khơng có phương pháp định hướng giải cụ thể với phương trình nghiệm thực nghiệm phức Tuy nhiên, ta áp dụng số phương pháp hiệu để giải lớp phương trình Trong chuyên đề ta nêu số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Tùy vào tốn mà ta có dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: x2− y2=1998 x2+ y2=1999 Giải 2 Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x2− y2 chia cho có số dư 0, 1, Cịn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun x2 , y2 chia cho có số dư 0, nên x2+ y2 chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x +2= y2 + y Giải Biến đổi phương trình: x +2= y ( y +1) Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y +1) chia hết cho dư Chỉ có thể: y=3 k +1 , y +1=3 k +2 với k nguyên Khi đó: x +2=(3 k +1 )(3 k +2) x=9 k (k + 1) x=k (k + 1) Thử lại: x=k ( k +1), y=3 k +1 thỏa mãn phương trình cho Đáp số: {x=k (k +1) với k số nguyên tùy ý y =3 k +1 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng phương trình, vế phải tổng số phương Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2+ y2−x− y=8(1) Giải 2 (1) x +4 y −4 x−4 y=32 ( x2 +4 x+1)+(4 y2−4 y+1 )=34 |2 x−1|2 +|2 y−1|2 =32+52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số phương 32 , 52 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: Giải hệ suy phương trình (1) có bốn nghiệm ngun là: (2 ; 3) ,(3 ; 2) , (−1;−2) ,(−2 ;−1) CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … Phương pháp xếp thứ tự ẩn: Ví dụ 1: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: x + y + z = xyz (1) Cách 1: Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: 1≤x ≤y≤z Do đó: xyz = x + y + z≤3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz≤3z cho số dương z ta được: xy≤3 Do xy∈{1; 2; 3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = (loại y≤z) Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz ≠ được: 1 yz + xz + xy = Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ ta có: yz 1= + xz Suy ≤ z2 ⇔ x + y + = xy xy – x – y = Ta có: x − 1≥y − 1≥0 nên (x − 1, y − 1) = (2, 1) Suy (x, y) = (3, 2) Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: Vì vai trị x, y, z, t nên giả thiết: ⇒ Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 yzt ≤ 15 ⇒ Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 2yz ≤ 30 2z ≤ 30 z ≤ Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm là: (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn: Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Giải Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x ≥ y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) Hiển nhiên ta có Mặt khác x ≥ y ≥ nên = Ta xác định khoảng giá tri y 4≤y ≤6 x + Với y = ta được: Với y = ta được: 1 1 Với y = ta được: x = 3− = nên x = Các nghiệm phương trình là: (4; 12), (12; 4), (6; 6) Phương pháp nghiệm nguyên: Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn thể dạng: một vài số nghiệm phương trình, chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Ví dụ: Tìm số tự nhiên x cho: Viết phương trình dạng: Với x = vế trái (1) Với x = vế trái (1) Với x ≥ ( x x ) + ( ) < + = loại ( Nghiệm phương trình x = Sử dụng diều kiện Δ ≥ để phương trình bậc hai có nghiệm: Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy = x2 + y2 Viết (1) thành phương trình bậc hai x: x2 − (y + 1)x + (y2 − y) = = (y + 1)2 − 4(y2 − y) = −3y2 + 6y + ≥ △Điều kiện⇔cần để (2) có nghiệm Δ ≥ ⇔ 3y2 − 6y – ≤ 3(y − 1)2 ≤ y≤ CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ Do (y − 1)2 ≤ suy ra: y = thay vào (2) Với y ⇔ Với y = thay vào (2) Với y = thay vào (2) Thử lại, giá trị nghiệm với Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) - Bất đẳng thức Côsi: a+ Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Dấu xảy khi: ax = by - Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: |x| x, dấu xảy khi: x 0; - |x| ≤ x, dấu xảy khi: x ≤ - |x| x |x| |x| + |y| ≥ |x + y|, dấu xảy khi: xy Ví dụ: Tìm số ngun dương x, y thoả mãn phương trình: (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y (1) x + y ≥ 2xy Dấ u xảy Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: + ≥ 2x Dấu xảy x2 2 Vì x, y nguyên dương nên nhân bất đẳng thức vế theo vế ta được: (x2 + 1)(x2 + y2) ≥ 4x2y Dấu xảy khi: x = y = Vậy phương trình (1) có nghiệm nhất: x = y = Cách 2: (1) x4 + x2y2 + x2 + y2 – 4x2y = Phương trình xảy khi: {xyx−−yx== 0 ⇔ ⇔ {x ( y−1)=0 PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản Sử dụng tính chia hết: Các tính chất thường dùng : - Nếu a ⋮ m a ± b ⋮ m b ⋮ m - Nếu a ⋮ b, b ⋮c a ⋮ c - Nếu ab ⋮ c mà ƯCLN (b , c) = a ⋮ c - Nếu a⋮ m, b ⋮ n ab ⋮ mn - Nếu a ⋮ b, a ⋮ c với ƯCLN (b , c) = a ⋮ bc - Trong m số nguyên liên tiểp, tồn số bội m Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 3x chia hết 17y ⋮ nên y ⋮3 (vì 17 nguyên tố nhau) CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ Cứ tiếp tục ta đến: x, y, z chia hết cho 2k với k số tự nhiên tùy ý Điều xảy x = y=z=0 Đó nghiệm nguyên (1) Nguyên tắc cực hạn: Sử dụng số tốn vai trị ẩn bình đẳng Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5(x + y + z + t) + 10 = xyzt Giả sử x y z t Ta có: 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt 2= * Với t = ta có: 5(x+ y + z + 1) + 10 = 2xyz yzt 2= Nếu z = có 5(x+ y) + 20 = 2xy (2x – 5)(2y - 5) = 65 x= Ta nghiệm (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị chúng Với z = 2; z = phương trình khơng có nghiệm ngun yz * Với t = 5(x+ y + z) + 20 = 4xyz = 35 z z = (vì z t 2) (8x – 5)(8y – 5) = 265 Do x y z nên 8x – 8y – 11 (8x – 5)(8y – 5) = 265 vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình (x, y, z) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị PHƯƠNG PHÁP 7: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: ! Giải Cho x 1; 2; 3; 4, ta có hai nghiệm nguyên dương (x; y) phương trình (1; 1) (3; 3) Nếu x > dễ thấy k! với k > có chữ số tận 1!+2 !+3 ! +4 ! +…+ x ! =33+ ! +…+ x ! có chữ số tận Mặt khác vế phải số phương nên khơng thể tận Vậy phương trình (1) có hai nghiệm nguyên dương (x; y) (1; 1) (3; 3) Ví dụ 2: Tìm x; y ngun dương thỏa mãn phương trình: x2+ x−1=32 y +1 (1) Giải Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữ số tận x2 + x −1 nhận giá trị 1; 5; Mặt khác ta thấy 32 y+ lũy thừa bậc lẻ nên chữ số tận 7, khác với 1; 5; Vậy (1) xảy Nói cách khác phương trình (1) khơng có nghiệm ngun dương CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 11 PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG Cách giải: Xét phương trình ax + by + c = (1) Trong a, b, c ∈Z, a ≠ , b ≠ Khơng tính tổng qt, giả thiết (a, b, c) = Thật vậy, (a, b, c) = d ≠ ta chia vế phương trình cho d Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên (a, b) = (*) Chứng minh: Giả sử (x0; y0) nghiệm nguyên (1) ax + by = c Nếu a b có ước chung d ≠ c ⋮ d, trái với giả thiết (a, b, c) = Vậy (a, b) = Định lý 2: Nếu (x0 , y0 ¿ nghiệm phương trình (1) phương trình (1) có vơ số nghiệm ngun nghiệm nguyên biểu diễn dạng: {x=x +bt y= y0−at Trong t số nguyên tùy ý (t = 0; ± 1;± ; … ¿ Chứng minh: - Bước 1: Mọi cặp số (x0 +bt ; y0 −at ¿ nghiệm nguyên (1) Thật vậy, (x0 ; y ¿ nghiệm (1) nên ax0 +b y0=c Ta có: ax + by = a (x¿¿ 0+bt )+b ( y0 −at )=ax0 +by0 =c ¿ Do (x0 +bt , y0−at ¿là nghiệm (1) - Bước 2: Mọi nghiệm (x; y) (1) có dạng (x0 +bt , y0−at ¿ với t ∈Z Thật vậy, (x0 ; y ¿ (x; y) nghiệm (1) nên ax + by = c ax0 +by0 =c Trừ vế: a ( x−x0 )+ b ( y− y0 )=0 a ( x−x0 )=b ( y0− y ) (2) Ta có a (x−x0 ) ⋮b mà (a, b) = (theo định lý 1) nên x−x0 ⋮b Vậy tồn số nguyên t cho: +bt {x=x y −at Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: y= Cách 1: Ta thấy x0=3 ; y0=2 nghiệm riêng Theo định lý 2, nghiệm nguyên phương trình là: {xy==32−−23tt (t số nguyêntùy ý ) Cách 2: Ta thấy x0=1 ; y0=−1 nghiệm riêng Theo định lý 2, nghiệm nguyên phương trình là: { x =1−2 t (t số nguyên tùy ý ) y=−1−3t Chú ý: Qua cách giải trên, ta thấy có nhiều cơng thức biểu thị tập hợp nghiệm nguyên phương trình * Cách tìm nghiệm riêng phương trình bậc hai ẩn: CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 12 Để tìm nghiệm nguyên riêng phương trình ax + by = c, ta dùng phương pháp thử chọn: cho x số có giá trị tuyệt đối nhỏ (0;± 1;± ; … ¿ tìm giá trị tương ứng y PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3+2 y3 −4 z3=0(1) Giải 3 (1) ⇔ x =4 z −2 y (2) Rõ ràng vế phải (2) chia hết x3 ⋮2 x ⋮2 Đặt x = 2x1 (x1 ∈Z ¿ Thay vào (2) ta có: ⇔ x31 =4 x3−2 y3 ⇔ y3=2 z3−4 x31 (3) Lập luận tương tự ta có y ⋮2, z ⋮2 Đặt y = y1 ; z=2 z1 ( y1 ∈Z , z1 ∈Z ) Biến đổi tương tự ta có: (4)⇔ z13 =4 y13 +2 x13 ⇔ x13 +2 y13−4 z13=0 (5) Rõ ràng số (x0 ; y0 x0 ; y o ; z0là số chẵn số chẵn với n số nguyên dương Vậy x = y = z = PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Thực chất biến đổi phương trình dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 – y2 = [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= [ ⇔ y = (x+1)2 = x+1 = x = x = -2 Vậy (x, y) = (0, 0); (- 2, 0) PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị lại ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 1! + 2! + … + x! = y2 Giải Với x x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận 1! + 2! + … + x! có tận 3, khơng số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 13 x = {1;2;3;4} Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn Ví dụ 2: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Giải 2 Ta có: y + y = x + x + x + x 4y + 4y + = 4x + 4x3 + 4x2 + 4x + (2x2 + x)2 - (2y + 1)2 = (3x + 1)(x +1) hay (2x2 + x + 1)2 - (2y + 1)2 = x(x 2) Ta thấy:  Nếu x > x < -1 (3x + 1)(x +1) >  Nếu x > x < -1 x(x - 2) > Nếu x > x < (2x2 + x) < (2y+1)2 < (2x2 + x + 1)2 (loại) -1 x x = 0, 1, -1,  Xét x = y2 + y =30 y = y= -6  Xét x = y2 + y = (loại)  Xét x = y2 + y = y (y + 1) = y = y = -1  Xét x = -1 y2 + y = y = y= -1 Vậy nghệm nguyên phương trình là: (x, y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1, 0); (-1, -1) PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ Ví dụ: Tìm x, y, z ngun tố thoả mãn: x + = z Ta có x, y nguyên tố xy + = z z > Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn Xét y = Xét y > Có chia cho dư (2.4k+1) ⋮ z ⋮ 22 + = nguyên tố y = 2k + (k N) 22k Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 14 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = y2 Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + x2 = k2 + 2k x chẵn, mà x nguyên tố x = 2, y = Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : Hướng dẫn: |x| Ta có: (2x + 5y + 1)( Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + lẻ 5y chẵn y chẵn 2|x| + y + x2 |x| + x = + y + x(x+ 1) lẻ có x(x + 1) chẵn, y chẵn vào phương trình ta (5y + 1)(y + 1) = 105 |x| lẻ |x| = x = Thay x = 5y2 + 6y – 104 = − 26 y = y = (loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Hướng dẫn: x2 chia cho có số dư y2 chia cho có số dư 2y2 chia cho dư x2 – 2y2 chia cho dư ± ± (loại) Vậy phương trình x2 – 2y2 = vơ nghiệm Bài 4: Tìm x, y số tự nhiên thoả mãn: Hướng dẫn: Xét y = x2 + 30 = 3026 x2 = 3025 mà x º N x = 55 Xét y > x2 + 3 ⋮ y y mà 3026 chia cho dư (loại) Vậy nghiệm Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Hướng dẫn: chia cho dư (x,y) = (55,0) 3, x CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 15 Ta có x2 + y2 –x – y = x2 + y2 – x –4y = 32 (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta có |2x−1| |2 y−1| Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hốn vị Bài 6: Tìm nghiệm ngun phương trình: Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 |x−2 y| |y| Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) Bài 7: Tìm nghiệm nguyêm phương trình : Hướng dẫn: Giả sử x0, y0 nghiệm phương trình x2 – 5y2 = Ta có x Ta có (5x1) – 5y y0 ⋮ đặt y0 = 5y1 2 x - 5y = Vây (x0,, y0) nghiệm phương trình cho x0 y 5 x0 k ( , ) nghiệm phương trình cho Cứ tiếp tục lập luận ( dương nghiệm phương trình Điều xảy x = y0 = Vậy phương trình có nghiệm x = y = Bài 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình : Hướng dẫn: Nếu x, y số lẻ x2 , y2 chia cho dư x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn x2, x2y2 chẵn ⋮ 2 ⋮ 2 ⋮ x2 4x y (y + z ) y z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Lập luận tương tự ta có x CƠ SỞ TỐN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 16 Quá trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1) nghiệm phương trình ( phương trình với k nguyên dương x1 = y1 = z1 = Vậy pt có nghiệm (0, 0, 0) Bài 9: Giải phương trình nghiệm ngun: Hướng dẫn: Ta có pt : 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = (*) coi x tham số giải phương trình bậc pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) √Δ'x Do y nguyên, x nguyên √ Δ' Mà x = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – x2 – = n2 (x - n)(x + n) = x – n = x + n = x = Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Bài 10: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Hướng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 Ta có x1 + 5x2 – x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = Mà = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 x1 + x2 = y = y = thay vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); nghiệm phương trình Bài 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình : Hướng dẫn: y Ta có x2 – xy + y2 = (x - )2 = - 3y Ta thấy (x y = 2; 1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1, -2), (1, 2); (-2, -1); (2, 1) ;(-1, 1) ;(1, -1) Bài 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = Vì 2.4 + 3.1 = 11 (2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 2(x - 4) + 3(y - 1) = 2(x - 4) = -3(y - 1) mà (2,3) = Đặt x – = 3k y – = 2k với (k Z) CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 17 Vậy nghiệm tổng quát pt : x = – 3k y = 1+ 2k ( k Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) phương trình vơ định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11 x= Do x, y nguyên y −1 đặt nguyên =k y = 2k +1 x = 4- 3k Vậy nghiệm tổng quát (k Z Bài 13: Tìm cặp số nguyên dương (x, y) thoả mãn phương trình : 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 6x2 –24 = 50 – 5y2 ⋮ ⋮ 2 2 6(x – 4) = 5(10 – y ) 6(x – 4) x –4 (6, 5) = x = 5t + (t N) Thay x – = 5t vào phương trình y2 = 10 – 6t lại có với t = ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = ta có mà x, y Z + x = 3, y = thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 < y2 < 14 y2 = x2 = Cặp số (x, y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 ⋮ 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 x2 + mà < x2 12 x2 = x2 = Với x2 = y2 = 10 loại Với x2 = y2 = thoả mãn cặp số (x, y) cần tìm (3, 2) Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình: CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ x2 + y2 = 2x2y2 18 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 ⋮ Ta có a + b = ab Nếu a = b 2a = 2a2 a= a2 a= 0, a= (a, b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b 2b2 = a = b = (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 Ta giả sử x2 y2 x2 + y2 y2 2x2 y2 2y2 Nếu y = phương trình có nghiệm (0;0) ¿ 2 Nếu y x x = x = y2 = (loại) y2 = (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1); (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = x2y2 x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2(2y2 - 1) – (2y2 - 1) = (2x2 – 1)(2y2 - 1) = Mà = 1.1 = (-1)(1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 15: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x2 –3xy + 2y2+ = Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính Δ Phương trình có nghiệm tự nhiên y 2 y – 24 = k (y – k)(y + k) = 24 mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y + k y – k chẵn y = y+ Thay vào ta tìm (x, y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8, 5) Bài 16: Tìm nghiệm nguyên phương trình : Hướng dẫn: Cách 1: Ta có phương trình cho 2x2 – (2y-1) x + 2y + y – 10 = Coi x ẩn y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Xét Δ y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 Để nghiệm x ngun Δ số phương Đặt k = -12y – 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 k2 y (2y + 1)2 = 28 - 28; (2y + 1)2 lẻ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 y = 0, 1, -2, 2, -3 Thử trực tiếp vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 19 Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Z a, b Z Pt 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 2a2 – 4b + a – 10 = 4a2 – 8b + 2a – 20 = (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a + 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a + 1)2 21 mà (a+ 1)2 số phương (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Với a = 12 + = 8b + 21 8b = 20 loại Với a = (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loại Với a = (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = b = Với a = (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại Vậy a = 2, b = (x, y)= (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài 17: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hướng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương) Theo ta có xy = (x + y) ⋮ Đây phương trình nghiệm ngun ta giải cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Khơng tính tổng qt ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y) lại có x x x>4 Thử trực tiếp ta x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ cịn đội có 20 đấu thủ Mà Bài 18: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18xy (x, y nguyên dương, x, y 9) Theo ta có: CƠ SỞ TỐN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 20 1911 - 18xy = + + x + y = 11x + 2y = 99 ⋮ ⋮ 2y 11 mà (2, 11) = y 11 mà y Nên y = x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 19: Hãy dựng tam giác vng có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) ⋮ ⋮ ⋮ b2 + c2 = 72 b2 + c2 7b 7; c (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có < b, c < loại Cạnh đo cạnh góc vng giả sử b = Ta có a2 – c2 = 49 (a + c)(a - c) = 49 Vậy tam giác cần dựng có số đo cạnh 7, 25, 24 CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 21 ... giải cụ thể với phương trình nghiệm thực nghiệm phức Tuy nhiên, ta áp dụng số phương pháp hiệu để giải lớp phương trình Trong chuyên đề ta nêu số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Tùy vào... giống phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải điều kiện ràng buộc ngun nhiệm Vì với phương trình nghiệm nguyên, ta thường khơng có phương pháp định hướng giải. .. .11 PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12 PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13 PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13 PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN