Tìm hiểu về các phép lọc số, khảo sát và xây dựng thử nghiệm các ứng dụng của phép lọc trên miền tần số với xử lý ảnh màu

Tìm hiểu về các phép lọc số, khảo sát và xây dựng thử nghiệm các ứng dụng của phép lọc trên miền tần số với xử lý ảnh màu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Môn học: Xử lý ảnh

ĐỀ TÀI:

Tìm hiểu về các phép lọc số, khảo sát và xây dựng thử nghiệm các ứng dụng của phép lọc trên miền tần số với xử lý ảnh màu

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Khánh Hưng 20081279 TTM-K53 Nguyễn Lê Hoài Nam 20081819 TTM-K53

Hà Nội 4/2012

LỜI GIỚI THIỆU 4

I KHÁI QUÁT VỀ ẢNH, ẢNH SỐ 5

II TÌM HIỂU VỀ CÁC PHÉP LỌC SỐ 7

1 Khái quát về phép lọc ảnh 7

2 Các bộ lọc số 7

2.1 Định nghĩa và mô hình 7

2.2 Phân loại bộ lọc 8

2.3 Các bộ lọc thông dụng 9

2.3.1 Bộ lọc trung bình 9

2.3.2 Lọc thông thấp 10

2.3.3 Lọc đồng hình (Homomorphic Filtering) 11

III KHẢO SÁT VÀ XÂY DỰNG THỬ NGHIỆM CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP LỌC TRÊN MIỀN TẦN SỐ 12

1 Cơ sở lý thuyết 12

1.1 Hạn chế của xử lý ảnh trên miền không gian 12

1.2 Phép biến đổi Fourier và miền tần số 13

1.3 Phép biến đổi Fourier rời rạc - DFT 14

1.4 Biến đổi Fast Fourier (FFT) 25

2 Ứng dụng của phép lọc trên miền tần số 31

2.1 Làm trơn ảnh 32

2.1.1 Lọc tần số thấp Ideal 32

2.1.2 Lọc tần số thấp Butterworth 34

2.1.3 Lọc tần số thấp Gauss 35

2.2 Làm sắc ảnh 35

2.2.1 Lọc tần số cao Ideal 36

2.2.2 Lọc tần số cao Butterworth 36

2.2.3 Bộ lọc tần số cao Gauss 37

3 Xây dựng thử nghiệm các ứng dụng của phép lọc trên miền tần số 37 3.1 Giao diện 37

3.2 Cài đặt 38

3.3 Chức năng và sử dụng 39

3.4 Thử nghiệm ứng dụng 40

IV KẾT LUẬN 45

PHÂN CHIA CÔNG VIỆC 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

LỜI GIỚI THIỆU

Xử lý ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và công nghệ Nó là một ngành khoa học mới mẻ so với nhiều ngành khoa học khác nhưng tốc độ phát triển của nó rất nhanh, kích thích các trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt là máy tính chuyên dụng riêng cho nó Xử lý ảnh là một quá trình liên tục Đầu tiên là thu nhận ảnh từ camera, vệ tinh hay các bộ cảm ứng,…Tiếp theo tín hiệu lấy vào sẽ được số hóa thành tín hiệu số và chuyển qua giai đoạn xử lý, phân tích hay lưu trữ lại Việc xử lý ảnh chính là tăng cường ảnh, tức là làm cho ảnh trở nên đẹp hơn, tốt hơn và rõ hơn

Có nhiều phương pháp cải thiện chất lượng ảnh nhưng ở đây chúng tôi chủ yếu tập trung nghiên cứu về các phương pháp lọc ảnh Tuy đã cố gắng hết sức nhưng bài viết chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy rất mong cô góp ý bổ

sung giúp chúng tôi hoàn thiện đề tài

Nhóm sinh viên:

Nguyễn Khánh Hưng Nguyễn Lê Hoài Nam

Phan Văn Trường

I KHÁI QUÁT VỀ ẢNH, ẢNH SỐ

Ảnh có thể được hiểu là thông tin (về đường nét, hình khối, màu sắc…) của vật thể hay quang cảnh được chiếu sáng mà con người cảm nhận và quan sát được bằng mắt và hệ thống thần kinh thị giác

Đối tượng chính của xử lý ảnh chính là ảnh chụp tự nhiên Quá trình xử lý ảnh được hiểu là xử lý nội dung thông qua dữ liệu ảnh, qua đó nâng cao chất lượng ảnh hiển thị hay đạt được một yêu cầu cảm quan nào đó

Ảnh thông thường được hiểu là dữ liệu trên một mặt phẳng ảnh, ta còn gọi là ảnh đơn (Image), hay ảnh tĩnh Ngoài ảnh đơn, ta còn gặp dạng chuỗi các ảnh được chụp liên tiếp nhau thông qua mối quan hệ về thời gian, ảnh đó gọi là chuỗi ảnh, (hay ảnh động, phim) Ở đây ta chỉ quan tâm đến đối tượng là ảnh đơn Ảnh đơn biểu diễn dữ liệu ảnh thông qua (các) hàm độ chói của các biến tọa độ trong mặt phẳng ảnh: I(x,y)

Đối với ảnh đơn màu, hay ảnh đa mức xám, dữ liệu ảnh được biểu diễn dưới dạng một hàm độ chói I(x,y) Với các giá trị I(x,y), x, y là các số thực, và ta có 0 ≤ I(x,y) ≤ LMAX Với ảnh màu, dữ liệu ảnh được biểu diễn thông qua 3 hàm độ chói của 3 màu cơ bản R (đỏ), G (xanh lá), B (xanh lam): IR(x,y), IG(x,y) , IB(x,y)

Ảnh số là một dạng biểu diễn, lưu trữ và thể hiện ảnh tĩnh Ảnh số thực chất là ảnh chụp (mặt phẳng ảnh gồm vô số điểm với vô số các giá trị màu khác nhau) thông qua quá trình lấy mẫu (rời rạc hóa về không gian) và lượng tử hóa (rời rạc hóa về mặt giá trị dữ liệu) Ảnh số được biểu diễn dưới dạng một ma trận điểm ảnh I[m,n] (m ϵ [0 M], n ϵ [0 N]) , mỗi phần tử của ma trận đó gọi là một điểm ảnh – pixel Trong đó giá trị của mỗi điểm ảnh lại phụ thuộc vào từng loại ảnh:

Ảnh nhị phân: một điểm ảnh chỉ nhận 2 mức giá trị nên cần 1 bit lưu trữ Ảnh đa mức xám: giá trị điểm ảnh được chia thành 256 mức [0 255] nên ta cần 8 bits/pixel

Với ảnh màu: tùy thuộc vào số lượng màu, chất lượng màu mà ta cần 8, 16, 24 bits/pixel Với hệ màu cơ bản RGB ta cần 3*8 = 24 bits/pixel

Đến đây việc xử lý ảnh trở thành việc xử lý các phần tử của ma trận điểm ảnh

Một bức ảnh số được biểu diễn bởi một ma trận điểm ảnh I[m,n], trong đó một điểm ảnh được đặc trưng bởi tọa độ [m, n] và giá trị màu I Như vậy, các phép xử lý ảnh có thể tác động vào tọa độ của các điểm ảnh, làm thay đổi vị trí của các điểm ảnh, hình khối trong ảnh, ta gọi đó là các phép xử lý về hình học Bên cạnh tác động vào tọa độ của các điểm ảnh, các phép xử lý ảnh cũng có tác động đến giá trị màu I của các điểm ảnh, ta gọi đó là các phép xử lý về nội dung Nhìn chung các phép xử

lý hình học không làm thay đổi nội dung của ảnh và được ứng dụng phổ biến trong quá trình hiển thị hình ảnh Các phép xử lý về nội dung tác động làm thay đổi các thành phần về mặt giá trị màu của điểm ảnh, từ đó mang lại những hiệu quả về cảm nhận khác nhau

Các phép xử lý về nội dung được

biêu diễn thông qua mô hình như sau:

X[m, n] là ma trận điểm ảnh ban

đầu, sau quá trình xử lý dữ liệu F, ta

nhận được ma trận điểm ảnh Y[m, n] Tùy thuộc vào F mà ta có ma trận kết quả Y[m, n] khác nhau

Việc xử lý ảnh màu cũng như xử lý ảnh đa mức xám Với ảnh màu chúng ta

xử riêng 3 màu cơ bản R (đỏ), G (xanh lá), B (xanh lam): IR(x,y), IG(x,y) , IB(x,y)

Xử lý dữ liệu ảnh (F)

II TÌM HIỂU VỀ CÁC PHÉP LỌC SỐ

1 Khái quát về phép lọc ảnh

Phép lọc ảnh được sử dụng nhiều trong xử lý ảnh, được dùng trong giảm nhiễu, làm nét ảnh, cũng như trong phát hiện cạnh, biên ảnh Các phép lọc ảnh chủ yếu được sử dụng để ngăn chặn các tần số cao trong hình ảnh, như làm mịn ảnh hay tần số thấp như phát hiện cạnh trong hình ảnh Các bộ lọc có thể chia làm 2 loại theo phép toán : lọc tuyến tính và lọc phi tuyến Phép lọc tuyến tính là các phép lọc

có bản chất là lọc tần số như lọc trung bình, lọc thông thấp, lọc thông cao, lọc đạo hàm Ngược lại các phép lọc phi tuyến bao gồm lọc trung vị, lọc đồng hình, lọc với

k láng giềng gần nhất, lọc hạng r …

Các phép lọc ảnh đều sử dụng cách xử lý cục bộ, tức là điểm ảnh đầu ra chỉ chịu ảnh hưởng của 1 số điểm ảnh lân cận theo kĩ thuật mặt nạ Người ta cũng sử dụng phép nhân chập rời rạc để thực hiện bộ lọc

Lọc không gian thông thường được thực hiện để khử nhiễu hoặc thực hiện một

số kiểu nâng cao ảnh

2 Các bộ lọc số

2.1 Định nghĩa và mô hình

Một hình ảnh có thể được lọc trong miền tần số hoặc trong miền không gian Trong kĩ thuật lọc miền không gian ta sử dụng một mặt nạ, tổ hợp điểm ảnh từ ảnh hưởng của các điểm lân cận Trong miền không gian ta sẽ dùng phép nhân chập tín hiệu ảnh đầu vào với bộ lọc số :

Y(m, n) = H(k, l) * X(m, n) Với K * L << M * L

Ma trận lọc H:

Hình 1: Ma trận lọc 3* 3

Ma trận bộ lọc còn được gọi là ma trận hạt nhân Các ma trận hạt nhân có thể

có nhiều kích thước tùy ý, phổ biến nhất là ma trận 3*3 (hình 1), ngoài ra trong các trường hợp cụ thể có thể sử dụng các bộ lọc 5*5 hay 7*7 Bộ lọc trong miền không gian với ma trận hạt nhân khá trực quan và dễ thực hiện Nó phù hợp với cảm quan của chúng ta Tuy nhiên cũng chính vì khá đơn giản nên nó không có được sự tinh

tế Mặt nạ thường có các giá trị dương và đối xứng, nhưng không nhất thiết phải như vậy Nó có thể được chọn theo một phương pháp nào đó mà không thể trực quan và một trong các phương pháp đó là lọc trên miền tần số

Phương pháp lọc trên miền tần số đơn giản là thực hiện các phép biến đổi ảnh trên miền tần số Các tín hiệu đầu vào, đầu ra của ảnh, các bộ lọc đều được biến

- Bộ lọc đáp ứng xung vô hạn (IIR)

Mỗi điểm ảnh được thay thế bằng trung bình trọng số của các điểm lân cận:

Với a(k, l) = 1/Nw, trong số Nw là số điểm trong cửa sổ Giá trị mới của điểm ảnh được thay bằng trung bình cộng các điểm rơi vào cửa sổ W

Nếu điểm ảnh được thay thế bằng trung bình cộng của điểm đó với trung bình cộng của 4 điểm lân cận kề, ta có:

Hình 2:Ma trận đầu vào

Trên hình 2, giá trị pixel trung tâm không đại diện cho các điểm xung quanh

nó, vì vậy ta sẽ thay thế bằng giá trị trung bình của các điểm lân cận:

Điểm lân cận: 124, 126, 127, 125, 123, 119, 115, 120, 150

Giá trị trung bình: 124 +126+127+125+123 + 119 +115 +120+150

9 = 125 Như vậy giá trị 150 sẽ được thay thế bởi giá trị trung bình 125 Ở đây sử dụng cửa sổ 3 x 3 Nếu dùng cửa sổ lớn hơn sẽ tạo ảnh có độ mịn hơn

2.3.2 Lọc thông thấp

Lọc thông thấp thường được sử dụng để làm trơn nhiễu

Với kỹ thuật lọc trên miền không gian người ta hay dùng một số mặt nạ lọc có dạng sau:

Ta dễ dàng nhận thấy khi b = 1, Hb chính là mặt nạ lọc Ht1 (lọc trung bình)

Để hiểu rõ hơn bản chất khử nhiễu cộng của bộ lọc này, ta viết lại phương trình thu nhận ảnh dưới dạng:

Trong đó η[m, n] là nhiễu cộng có phương sai σ2 Như vậy, theo cách tính của lọc trung bình ta có:

Như vậy nhiễu cộng trong ảnh đã giảm đi Nw lần

2.3.3 Lọc đồng hình (Homomorphic Filtering)

Kỹ thuật lọc này hiệu quả với ảnh có nhiễu nhân Thực tế, ảnh quan sát được gồm ảnh gốc nhân với một hệ số nhiễu Gọi X*(m, n) là ảnh thu được, X(m, n) là ảnh gốc và η(m, n) là nhiễu, như vậy:

Lọc thông cao dùng làm nổi bật các chi tết có tần số thấp Các phần tử có tần

số không gian cao sẽ sáng hơn, còn các phần tử có tần số không gian thấp sẽ đen

Kỹ thuật lọc thông cao cũng được thực hiện nhờ thao tác nhân chập Các mặt nạ hay được dùng như:

III KHẢO SÁT VÀ XÂY DỰNG THỬ NGHIỆM CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP LỌC TRÊN MIỀN TẦN SỐ

1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Hạn chế của xử lý ảnh trên miền không gian

Phần trên chúng ta đã nêu những ứng dụng của phương pháp lọc trên miền không gian Biện pháp xử lý ảnh trên miền không gian là khá trực quan.Trên miền không gian, độ xám tại một pixel trong ảnh mới bằng một biểu thức tuyến tính giữa

độ xám của các pixel kế cận trong ảnh cũ Như vậy, để làm các chi tiết trên ảnh trơn hơn, ta có thể tính độ xám tại pixel (x,y) trên ảnh mới bằng trung bình cộng độ xám của chính nó và 8 pixel lân cận trong ảnh cũ

𝑔(𝑥, 𝑦) = 1

9∑1𝑖,𝑗=−1𝑓(𝑥 + 𝑖, 𝑦 + 𝑖) (1.1) Nếu muốn làm các chi tiết trên ảnh nối bật hơn, ta có thể tính độ xám tại pixel (x, y) trên ảnh mới bằng một trung bình có trọng số độ xám của chính nó và 8 pixel lân cận trong ảnh cũ, trong đó trọng số ứng với f(x,y) là lớn nhất, chẳng hạn:

𝑔(𝑥, 𝑦) = 1

10(𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 − 1) + 𝑓(𝑥, 𝑦 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 − 1) + 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦) +2𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦) + 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 + 1) + 𝑓(𝑥, 𝑦 + 1) + 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 + 1)) (1.2)

Nói tóm lại, xử lý ảnh trên miền không gian là một phương pháp rất trực quan, phù hợp với cảm giác tự nhiên của chúng ta: nhìn vào các biểu thức (1.1) và (1.2), ta cũng hình dung được phần nào về ảnh kết quả

Tuy nhiên, cũng chính do tính đơn giản như trên mà phương pháp xử lý ảnh trên mà phương pháp xử lý trên miền không gian là không được tinh tế Chẳng hạn

hệ số của mặt nạ (filter mask) thường được chọn là dương

Dĩ nhiên, trong một số trường hợp, mặt nạ có thể chứa các hệ số âm Một thí

dụ khác là các mặt nạ thường là ma trận đối xứng Hiển nhiên ta thấy rằng mặt nạ không nhất thiết phải là ma trận đối xứng Hơn nữa, các hệ số của mặt nạ cũng không nhất thiết nguyên hay hữu tỷ Đối với các trường hợp như vậy, các hệ số phải được chọn bằng một phương pháp nào đó, chứ không còn bằng trực quan như trước đây

Phương pháp xử lý ảnh trên miền tần số là một trong số đó Sự can thiệp sâu sắc của toán học cho ta những đối tượng, những đại lượng ẩn dưới lớp vỏ trực quan của ảnh Do đó, nếu chỉ đơn thuần quan sát, phân tích ảnh bằng thị giác thì ta không

dễ gì cảm nhận được các đại lượng này Thay vì thao tác trực tiếp trên độ xám của các pixel (trường độ xám), ta sẽ thao tác, xử lý trên các đối tượng mới này

1.2 Phép biến đổi Fourier và miền tần số

Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu có thể hình dung như sau:

Phép biển đổi Fourier đi từ miền không gian (liên tục hay rời rạc) tới miền tần

số luôn luôn liên tục Khai triển phân tích một hàm f của trường độ xám bất kì thành tổng của vô hạn các sóng dạng sin hay cos Một sóng có tần số càng cao thì dao động càng dày đặc gây nên sự biến đổi đột ngột giá trị của f Chính các thành phần này gây sự xáo trộn mạnh mẽ cho giá trị của hàm f do đó làm giảm tính trơn của f Mặt khác tín hiệu nhiễu là tín hiệu có biên độ thấp và tần số cao Vì tính chất này nên Fourier đã được ứng dụng vào lọc ảnh trên miền tần số

Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu một chiều gồm một cặp biến đổi:

- Biến đổi thuận: chuyển sự biểu diễn từ không gian thực sang không gian tần

số (phổ và pha) Các thành phần tần số này được gọi là các biểu diễn trong không gian Fourrier của tín hiệu

- Biến đổi ngược: chuyển đổi sự biểu diễn của đối tượng từ không gian Fourier sang không gian thực

 Không gian một chiều

Cho một hàm f(x) liên tục Biến đổi Fourrier của f(x), kí hiệu F(u), u biểu diễn tần số không gian, được định nghĩa:

trong đó:

f(x): biểu diễn biên độ tín hiệu

e-2πixu : biểu diễn pha

Biến đổi ngược của F(u) cho f(x) được định nghĩa:

 Không gian hai chiều

Cho f(x,y) hàm biểu diễn ảnh liên tục trong không gian 2 chiều, cặp biến đổi Fourier cho f(x,y) được định nghĩa:

- Biến đổi thuận

u, v biểu diễn tần số

- Biến đổi ngược

1.3 Phép biến đổi Fourier rời rạc - DFT

Ý tưởng của việc áp dụng khai triển Fourier nằm ở chỗ ta muốn phân tích một hàm hai biến f = f(x, y) bất kì thành tổng của vô hạn các sóng dạng sin hay cos Tuy nhiên, không nhất thiết chỉ có khai triển Fourier mới cho ta một cách phân tích như vậy Hơn nữa, trường độ xám f mà ta đang xét là hàm bậc thang, tức là có hữu hạn giá trị nên f hoàn toàn có thể được phân tích thành sóng một cách đơn giản hơn Ta bắt đầu xét cách phân tích “đơn giản hơn” này dưới dạng một chiều để thấy rõ ý tưởng

Gọi g là một hàm có miền xác định rời rạc như sau

Được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của g

Công thức (1.3) cho thấy mỗi hàm rời rạc g đều có DFT Hơn nữa, khi biết DFT của g là G, ta có thể tìm ngược trở lại g bằng công thức:

𝑔(𝑥) = 1

𝑀∑ 𝐺(𝑢)𝑒𝑖2𝜋𝑢𝑥𝑀 𝑀−1

𝑢=0

(1.4)

Công thức (1.3) và (1.4) cho thấy sự tương ứng 1 – 1 giữa một hàm rời rạc

và DFT của nó Khi biết g ta có thể tìm được G và ngược lại Tuy nhiên, điều đặc biệt lại nằm ở công thức (1.4) Ta biết rằng:

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 Nên (1.4) được viết lại như sau:

Vì G là hàm nhận giá trị phức nên ta có thể biểu diễn nó dưới dạng

G(u) = R(u) – i I(u) ∀𝑢 ∈ {0,1, … , 𝑀 − 1}

Trong đó R và I chỉ nhận các giá trị thực Thế vào (1.5), ta được

Rõ ràng (1.6) là một sự phân tích hàm g thành tổng của các sóng sin hay cos Chú ý rằng tổng ở đây là tổng hữu han, chứ không phải tổng vô hạn (chuỗi) như khai triển Fourier mà ta đã xét ở mục trước

Mỗi sóng thành phần là 𝑅(𝑢)cos2𝜋𝑥𝑢

𝑀 và 𝐼(𝑢) sin2𝜋𝑥𝑢

𝑀 Ứng với mỗi u, các sóng này đều có chu kì là 𝑀

𝑢, tức là có tần số là 𝑢

𝑀 Do đó, khi u càng lớn (tức là càng gần M) thì tần số dao động của các sóng này càng cao Tiếp theo, ta xét biên độ của các sóng này Từ (1.3), ta có

Theo công thức (1.9) thì biên độ của sóng ứng với u = 0 là 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski-Cauchy-Schwarz, ta có

𝑎𝑥𝑎𝑦+ 𝑏𝑥𝑏𝑦 ≤ √(𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥2)(𝑎𝑦2+ 𝑏𝑦2)

Mà 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥2 = 𝑎𝑦2+ 𝑏𝑦2 = 1 nên ta có ngay điều phải chứng minh

Như vậy, sóng ứng với u = 0 có biên độ lớn nhất Nếu quan sát kĩ (1.7) và (1.8), ta sẽ phát hiện ra một tính chất đặc biệt nữa của G

Theo (1.7), thay u bởi M – u ta được

2 Trên đây ta vừa đưa ra một cách biểu diễn sóng cho hàm một biến g Ở đó, một số sóng đóng góp lớn vào giá trị tổng của G ( khi u gần 0 hoặc gần M), trong khi một số sóng khác chỉ đóng vai trò nhiễu (khi u gần 𝑀

2) Trên tinh thần đó, ta cũng có một cách khai triển tương tự cho trường hợp hàm hai biến

Ứng với mỗi 𝑥 ∈ {0,1, … , 𝑀 − 1}, lấy Fourier rời rạc theo biến y của f(x, y) ta được

𝐹(𝑢, 𝑣) = 𝑅(𝑢, 𝑣) − 𝑖𝐼(𝑢, 𝑣) Thì (1.12) được viết lại thành

Tiếp theo, ta xét biên độ của các sóng này, tức là |𝐹(𝑢, 𝑣)| Đẳng thức (1.11)

có thể được viết lại thành

𝑢 = 𝑀2

𝑣 =𝑁2

Dưới đây là biểu đồ độ cao của hàm F(u,v) với

𝑓(𝑥, 𝑦) = {5 𝑛ế𝑢 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 4

0 𝑛ế𝑢 5 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 15

Hình 4: Đồ thị hàm |F|

Theo Hình 4 thì |𝐹(𝑢, 𝑣)| càng nhỏ khi (u, v) càng gần (𝑀

2,𝑁

2) Do đó, các song ứng với (u, v) gần (𝑀

2,𝑁

2) có biên độ nhỏ (và do đó chỉ đóng vai trò nhiễu), còn các sóng ứng với (u, v) gần (0, 0), hay (M, 0), hay (0, N), hay (M, N) thì có biên độ lớn Tiếp theo, ta xét khả năng vận dụng biến đổi DFT hai chiều ở (1.11) và (1.12) vào việc xử lý ảnh Hàm f giờ đây là trường độ xám, trong đó f(x, y) là độ xám của ảnh tại pixel có tọa độ là (x, y)

Giả sử ta muốn là trơn ảnh, tức là làm trơn hàm f Công thức (1.14) gợi ý rằng kết quả ảnh g sẽ có dạng

Công thức (1.18) được biến đổi thành

Hình 5: Trước khi dời trục và sau khi dời trục

Ảnh 𝑔̃ thu được ở (1.19) là ảnh kết hợp của ảnh đã được đổi biến Do đó, ảnh kết quả ứng với f là g phải thỏa mãn:

𝑔̃(𝑥, 𝑦) = (−1)𝑥+𝑦𝑔(𝑥, 𝑦) Tức là

𝑔(𝑥, 𝑦) = (−1)𝑥+𝑦𝑔̃(𝑥, 𝑦) Nếu đặt 𝐺(𝑢, 𝑣) = 𝐻(𝑢, 𝑣)𝐹̃(𝑢, 𝑣) thì (1.19) được viết lại thành: