BÁO cáo bài tập lớn xác ĐỊNH QUỸ đạo của vật GIẢI QUYẾT bài TOÁN BẰNG MATLAB

Khái niệm mở đầu

Hệ tọa độ

Vì rằng chuyển động xảy ra trong không gian và trong thời gian nên để mô tả chuyển động thì trước tiên ta phải tìm cách định vị vật trong không gian Muốn vậy, ta phải đưa thêm vào hệ qui chiếu một hệ tọa độ Trong vật lý người ta sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau Ở đây ta dùng hệ tọa độ Descartes

*Hệ tọa độ Đề-các (Descartes) :

Hệ tọa độ Đề-các gồm ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận Điểm O gọi là gốc tọa độ Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kính vectơ , hay bởi tập hợp của ba số (x,y,z) trong đó x,y,z là hình chiếu của điểm mút M của vectơ = O lên các trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là ba tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Đề - các Nguồn: Internet

Hình 1.2 Hệ tọa độ Đề-các

Nếu gọi i , j, k là các vectơ đơn vị hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta có thể viết :

⃗ r = x i + y j + z k x, y, z lần lượt là hình chiếu của trên ba trục Ox, Oy, Oz được gọi là thành phần số của

Chuyển động, không gian, thời gian, hệ quy chiếu, chất điểm 1 1.1.3 Vectơ vị trí

-Chuyển động của một vật là sự thay đổi liên tục vị trí của vật đó theo thời gian

-Hệ vật được quy ước là đứng yên dùng để xác định vị trí của vật khác chuyển động đối với nó được gọi là hệ quy chiếu Người ta thường gắn điểm gốc của một hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu, và hệ trục tọa độ này cũng được gọi là hệ quy chiếu

-Để xác định thời gian chuyển động của một vật, người ta gắn vào hệ quy chiếu một đồng hồ, khi vật chuyển động vị trí của nó sẽ thay đổi theo thời gian

-Nếu một vật có kích thước rất nhỏ, không đáng kể so với những khoảng cách giữa chúng và kích thước của các vật khác mà ta đang xem xét, thì kích thước của vật có thể được bỏ qua, ta có khái niệm về một chất điểm Tập hợp các chất điểm được gọi là hệ chất điểm

1.1.3 Vectơ vị trí: Để xác định vị trí của một chất điểm M trong không gian, người ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ trụ tọa độ, hệ tọa độ thường dùng là hệ tọa độ Descartes với ba trụ Ox, Oy và Oz vuông góc với nhau từng đôi một, hợp thành một tam diện thuận Vị trí của điểm M sẽ hoàn toàn được xác Nguồn: Slide bài giảng của thầy

Nguyễn Minh Châu định nếu ta xác định các thành phần x, y, z của vectơ vị trí Hình 1.3 Vectơ vị trí trong hệ tọa độ

OM = r ( x , y , z ) ¿ gọi là bán kính vectơ được vẽ từ gốc của hệ tọa độ đến vị trí của chất điểm M)

*Vectơ vị trí của chất điểm:

Phương trình chuyển động

Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo thời gian của bán kính vectơ của chất điểm :

Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương trình chuyển động của chất điểm

Trong hệ tọa độ Đề-các, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm ba phương trình : x = x(t);y = y(t) ;z = z(t)

Ví dụ sau là phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ tọa độ Đề-các :

Quỹ đạo và phương trình quỹ đạo

Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quĩ đạo của chuyển động Phương trình mô tả đường cong quĩ đạo gọi là phương trình quĩ đạo Trong hệ tọa độ Đề-các phương trình quĩ đạo có dạng : f(x,y,z) = C trong đó f là một hàm nào đó của các tọa độ x, y, z và C là một hằng số

Về nguyên tắc, nếu ta biết phương trình chuyển động thì bằng các khử tham số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các tọa độ x, y, z tức là tìm được phương trình quĩ đạo

Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyển động là phương trình quĩ đạo cho ở dạng tham số

Có 2 dạng khử t ở phương trình chuyển động của chất điểm:

Dạng 2: sin & cos theo t, áp dụng một số công thức lượng giác.

Chuyển động của chất điểm

Chuyển động thẳng

- Quỹ đạo là đường thằng

- Phương trình quỹ đạo đường thẳng y=ax +b

Chuyển động elip

- Quỹ đạo là hình elip

- Trong toán học, một hình elíp là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm,, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số

- Phương trình chính tắc của elip: x 2

Chuyển động tròn

-Quỹ đạo là đường tròn bán kính R

Trong hìnnh họọc phẳngg, đường tròròn (hoặặc vòng tròn) là tập hợợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0 Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R)

Phương trình chính tắc là đường tròn:

Chuyển động parabol

- Quỹ đạo là một parabol

- Phương trình quỹ đạo: y = ax 2 + bx + c ( ∀ a ≠ 0 ¿

Chuyển động hyperbol

- Quỹ đạo là một hyperbol

- Phương trình chính tắc của hyperbol:

Hàm lượng giác

Hàm lượng giác sin

- Hàm sin của góc được định nghĩa trong tam giác vuông là tỷ lệ cạnh vuông góc đối diện chia cho cạnh huyền Đồ thị của nó được gọi là đồ thị hàm sin Hàm sin được định nghĩa trong khoảng từ -∞ đến ∞ và có giá trị từ -1 đến 1

- Hàm sin có tính chất tuần hoàn.

Hàm lượng giác cos

Nguồn: Internet Hình 1.4 Đồ thị hàm sin

- Hàm cos của góc được định nghĩa trong tam giác vuông là tỷ lệ cạnh kề vuông góc chia cho cạnh huyền Đồ thị của nó được gọi là đồ thị hàm cos Hàm cos được định nghĩa trong khoảng từ -

∞ đến ∞ và có giá trị từ -1 đến 1

- Hàm cos có tính chất tuần hoàn.

Một số công thức lượng giác

Nguồn: Internet Hình 1.5 Đồ thị hàm cos sin 2 a +cos 2 b =1 cos π cos π

( 2 − α ) = ( α − 2 ) = sinα cos ( π 2 + α ) =− sinα cos ( α + π ) =−cos α cos ( α +2 π ) =cos α cos ( a + b ) =cos a ∗cos b −sin a ∗¿¿sin b ¿

CHHƯƯƠƠNNG 2 PHHÂÂN TÍÍCCH BÀÀI TOOÁÁN

Sử dụng Matlab để giải bài toán sau:

“Vị trí của chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi vectơ bán kính Cho trước các giá trị x 0 , y 0 và φ, xác định quỹ đạo của vật?”

- Thiết lập các phương trình tương ứng: x = x 0 ∗ cos ( 5 t ) y = y 0 ∗ cos ( 5 t + φ )

- Đưa ra phương trình chuyển động và kết luận về quỹ đạo:

Quỹ đạo của vật có thể là các đoạn thẳng, elip, đường tròn tùy thuộc vào các giá trị input

Sử dụng matlab để vẽ

- Để có được hình vẽ quỹ đạo của vật Chúng ta phải thiết lập các phương trình tương ứng từ các giá trị x 0 , y 0 và φ

Xét các TH đặc biệt tại với các giá trị x 0 , y 0 và φ:

- Nếu x 0 = 0 thì ta sẽ có quỹ đạo là đoạn thẳng nằm trên Oy chạy từ - y 0 đến + y 0

Với các giá trị đặc biệt của φ ta sẽ dễ dàng rút ra được phương trình quỹ đạo y = f(x), từ đó dễ dàng có được hình vẽ quỹ đạo

- Với những TH mà các giá trị x 0 , y 0 và φ không dễ dàng để có được phương trình quỹ đạo thì việc vẽ hình sẽ vô cùng khó khăn

2.3.2 Sử dụng công cụ matlab

Chúng ta sẽ dễ dàng có được hình vẽ quỹ đạo với các công cụ tính toán của MATLAB Sẽ được trình bày ở chương sau

3.1 Giới thiệu Matlab và các lệnh sử dụng:

- MATLAB là một phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiếiết kế MATLAB cho phép tính toán số với ma trận,, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán

- Matlab vừa là một ngôn ngữ lập trình vừa là một phần mềm ứng dụng tính toán rất hiệu quả

3.1.2 Các lệnh Matlab sử dụng:

- Lệnh biến đổi một số, một biến hay một đối tượng nào đó thành kiểu Symbolic

- Lệnh giúp thực thi đoạn lệnh nếu thỏa điều kiện cho trước

- Cú pháp: if (Biểu thức điều kiện 1) Lệnh thực thi nếu ĐK 1 đúng elseif (Biểu thức điều kiện 2) Lệnh thực thi nếu ĐK 2 đúng

- Lệnh vẽ đồ thị của một hàm theo biến trong khoảng mình muốn

Vẽ hàm y=f(x): ezplot (x, f, [khoảng của x]); VD: syms x; ezplot (x^2+1, [0,2])

Vẽ hàm tham số: ezplo t(x(t), y(t), [t1,t2]) VD: syms t; x = t; y = t^2; ezplot(x ,y, [0,2])

- Lệnh nhập VD: Nhập x >>x=input(‘Nhap x=’)

VD: Xuất ra màn hình dòng “Hello World” >>disp(‘Hello World’)

- Là lệnh xóa cửa sổ lệnh

- Là lệnh để xóa các đề mục trong bộ nhớ

- Là lệnh để tạo lưới tọa độ

- Cú pháp: grid on (để hiển thị lưới tọa độ) grid off (dể tắt lưới tọa độ)

Sau đây là code để giải bài toán trên matlab: clc; % Xoa cua so lenh clear; % Xoa tat ca cac bien con luu lai trong bo nho syms x y t ; % Khai bao cac bien do thi x0 = input('Nhap x0: '); % Nhap x0 y0 = input('Nhap y0: '); % Nhap y0 phi = input('Nhap goc phi: '); % Nhap goc phi disp('Phuong trinh chuyen dong cua vat la: ') % Xuat dong chu ra man hinh x = x0 * cos(5*t) y = y0 * cos(5*t + phi)

% Dua ra phuong trinh x,y theo t ezplot(x, y); % Ve do thi x,y theo t grid on % Hien thi luoi toa do

10 if (x == y) && (x == 0) disp('Vat KHONG chuyen dong '); elseif (0 == mod(phi/pi,1)) || (x == 0) || (y == 0) disp('Quy dao cua vat la 1 doan thang '); elseif (0 == mod(0.5*((2*phi/pi)-1),1)) && (x0 == y0) disp('Quy dao cua vat la 1 duong tron '); else disp('Quy dao cua vat la mot duong elip ');

% Xet dieu kien de kiem tra hinh dang quy dao cua vat end % Ket thuc chuong trinh

Hình 3.1 Code bài toán trong matlab

- Cho chạy với các tham số: x0=4, y0=3, φ= π/3 thì chương trình sẽ chạy và xuất ra màn hình phương trình của x,y theo t cũng như hình dạng quỹ đạo của chất điểm và đồ thị hình elip:

Hình 3.2 Kết quả của chương trình cho trường hợp 1

- Với một trường hợp khác x0=4, y0=4, φ= π/2 thì quỹ đạo là một hình tròn

12 Hình 3.3 Kết quả của chương trình cho trường hợp 2

- Với trường hợp x0=7, y0=2, φ= π thì quỹ đạo là một đoạn thẳng:

- Với một trường hợp đặc biệt khi x0=0, y0=0, φ= π/6 chẳng hạn thì vật không chuyển động nên đồ thị chỉ là 1 điểm:

Bài báo cáo đã hoàn thành xong việc giải quyết bài toán từ việc đặt vấn đề chung, nêu ra kiến thức cơ bản, yêu cầu vấn đề đặt ra, cách thức giải quyết vấn đề

Qua việc tìm hiểu và thực hành, chúng em đã rút ra được những vấn đề trọng tâm và thể hiện qua bài báo cáo trên Qua đó cũng nắm vững hơn cách sử dụng phần mềm Matlab để giải một bài toán, nắm vững kiến thức và cách giải quyết vấn đề khác trong đời sống

Bằng việc giải quyết bài toán từ những vấn đề chung đến vấn đề cốt lỗi, phần mềm Matlab đã thể hiện nhiều ưu điểm giúp trong việc giúp chúng em tiếp cận, khảo sát và giải quyết bài toán trở nên sinh động, trực quan và lý thú hơn

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN

Input và Output