de hoc sinh gioi huyen toan 9 nam 2012 2013 phong gddt nho quan ninh binh

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012- 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu I (4,0 điểm) Cho a =  b =  Chứng minh a + b a.b số tự nhiên Tính giá trị biểu thức: A= 29  30    2(5  2) Câu II ( 5,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  x  a) Tìm tập xác định hàm số cho b) Tìm giá trị x để f ( x)  c) Chứng minh hàm số f ( x) đồng biến tập xác định Cho biểu thức Q = 10 x x 3 x 1 với x  0; x    x3 x 4 x4 x 1 a) Rút gọn Q b) Chứng minh Q > - với x thuộc tập xác định Câu III (4,0 điểm) Giải phương trình: ( x  4)( x  1)  x  x   2 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y 1 Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a  b  c  2bc CosA Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Trên tia đối tia CB lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn (O) ( F tiếp điểm) Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn (O) D (tia tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) Gọi H giao điểm BF với DO; K giao điểm thứ hai DC với nửa đường tròn (O) a) Chứng minh AO.AB = AF.AD   DCO  b) Chứng minh DHK BD DM c) Kẻ OM vng góc với BC( M thuộc đoạn AD) Chứng minh  1 DM AM Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 3x  y  Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức A   x xy ……………….Hết……………… 2 Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm UBND HUYỆN NHO QUAN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách khác đáp án, cho điểm tương đương - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm Bài hình hình vẽ khơng khớp với CM, khơng vẽ hình khơng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Điểm Nội dung Câu I (2,0đ) (2,0 điểm) 74 = (2  3)   0,5 74 = (2  3)   0,5 74 +  = số tự nhiên 0,5 0,5   = (2  3).(2  3) = số tự nhiên A= ( 2,0 điểm) 29  30    2(5  2) = = 29  30   2   = = 29  30  30   = 29  30  (2  1)   29  30 (  1)   = = (5  3)   =    = 0,75 a) Hàm số y  f ( x)  x  xác định  3x +   x   Câu II (3,0đ) 0,5 0,5 59  30   b) f ( x)   x    3x + =  3x =  x = 0,25 3 thỏa mãn ĐKXĐ Vậy với x = f(x) = 3 c) Với   x1  x2 Ta có: f ( x2 )  f ( x1 )  x2   3x1  (3 x2  2)  (3x1  2) 3( x2  x1 )  = (3 x2  2)  (3 x1  2) (3 x2  2)  (3 x1  2) x= 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì x2  x1 nên x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 ) > 0,25  f ( x2 )  f ( x1 ) nên hàm số cho đồng biến tập xác định 0,25 a) Q = = 10 x x 3 x 1   x4 x 1 ( x  4)( x 1) 10 x  (2 x  3)( x 1)  ( x  1)( x  4) 10 x  3x  73 x = = x 4 ( x  4)( x  1) ( x  4)( x  1) 0,25 0,75 Câu II (2,0đ) b) Xét hiệu Q – (-3) = Q + = Câu III (4,0đ) 19  tức Q > -3 Với x  0; x  x 4 ( x  4)( x  1)  x  x   (1)  x 5 x   x  x   đặt 0,25 0,25 x  x   t; t  (2) trở thành: t  3t    (t+1)(t-4) =  t = - (loại), t = ta  (x - 2)(x + 7) = x2   x  7 x  y 1  t  1  t  0,5 x  x    x  x 14  0,5 0,25 Vậy pt có nghiệm x = x = -7 0,25 (1) Gọi a, b nghiệm phương trình (1), ta có a2 – 2b2 = ( 2,0 điểm) 1,0 (1) (2) (2,0 điểm) (1) (a  2b)(a  2b)   (a  2b) (a  2b)  0,25 0,25 (a  2b  2ab)(a  2b  2ab)   (a  2b )  (2 2ab)  0,25 (a  2b )  (2 2ab)   (a  2b )  2(2ab)  0,25 Suy ( a  2b ; 2ab ) nghiệm pt (1) 0,25  phương trình có nghiệm (a; b) có nghiệm tổng quát dạng (a  2b ; 2ab) Nghiệm nguyên dương nhỏ PT (3;2) KL: pt có vơ số nghiệm ngun dương thoả mãn ( a  2b ; 2ab ) với (a,b) nhỏ (3;2) Nếu HS giải tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nất (3;2) cho 1,0 điểm 0,25 2 2 0,25 0,25 Câu IV (3,0đ) ( 1,5 điểm) Vẽ đường cao CH ABC , Vì HAC vng H, nên ta có AH = AC.CosA Theo Pitago ta có AH  HC  AC HBC vuông H, nên Theo Pitago ta có BC  HB  HC = ( AB  AH )  HC  AB  AB AH +AH  HC 0,25 0,25 0,25 0,5 = AC  AB  AC AB.CosA Vậy a  b  c  2bc CosA 0,25 x D M K F (4,5 điểm) H B O C A a) Vì AF, BD tiếp tuyến (O) nên AF  OF, DB  AB  = ADB  = 900 , OAF chung AOF ADB có AFO AO AF   AO.AB  AF.AD AD AB b) DB = DF( t/c tt cắt nhau), OB = OF = bán kính, nên OD trung trực BF  OD  BF  BKC có BC đường kính (O) nên BK  KC Áp dụng hệ thức lượng vào  DBO, đường cao BH ta có: DB2 = DH.DO (1) Áp dụng hệ thức lượng vào  DBC, đường cao BK ta có: DB2 = DK.DC (2) DH DC Từ (1) (2)  DH.DO = DK.DC   DK DO  chung, DH  DC  DHK   DCO (c.g.c) Xét  DHK  DCO có HDK DK DO   DCO   DHK   DOM  (so le trong) c) Ta có OM//DB ( vng góc với BC) nên BDO Suy AOF  ADB ( gg )  Câu V (1,0đ)   ODM  (t/c tiếp tuyến cắt nhau)  DOM   ODM   ODM cân M BDO  MD = MO AD BD  ADB có OM//DB nên theo định lý Ta-lét ta có  AM OM AD  AM BD  OM MD BD BD MD BD MD  1  1     1  OM AM DM AM AM OM AM OM 1 Chứng minh BĐT phụ: Với hai số thực dương x y ta có   x y x y Dấu xảy x = y (1) 1 4 Áp dụng (1) ta có:     2 x xy x  xy x  x  y x  y Dấu xảy x = y = Vậy MinA = Chú ý: HS áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy để làm 0, 0, 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0.25 ...UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang ĐỀ...  = (2  3).(2  3) = số tự nhiên A= ( 2,0 điểm) 29  30    2(5  2) = = 29  30   2   = = 29  30  30   = 29  30  (2  1)   29  30 (  1)   = = (5  3)   =    = 0,75 a)... SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách khác đáp án, cho điểm tương đương - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu