cac dang toan 9 on thi vao lop 10 co loi giai

Mục lục Phần I Đại số Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Căn bậc hai Tóm tắt lý thuyết 2 Các dạng toán .2 Dạng Tìm bậc hai bậc hai số học số Dạng So sánh bậc hai Dạng Tìm x Luyện tập √ Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = |A| Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán .9 √ Dạng Tìm điều kiện để A xác định √ Dạng Rút gọn biểu thức dạng A2 10 Luyện tập 11 Liên hệ phép nhân phép khai phương 16 Tóm tắt lý thuyết 16 Các dạng toán 16 Dạng Khai phương tích 16 Dạng Nhân bậc hai 17 Dạng Rút gọn, tính giá trị biểu thức 17 Dạng Phân tích biểu thức chứa thành nhân tử 18 Dạng 10 Giải phương trình 19 Luyện tập 20 Liên hệ phép chia phép khai phương 23 i Mục lục ii Tóm tắt lý thuyết 23 Các dạng toán 23 Dạng 11 Khai phương thương 23 Dạng 12 Chia bậc hai 24 Dạng 13 Rút gọn, tính giá trị biểu thức 24 Dạng 14 Giải phương trình 26 Luyện tập 27 Biến đỗi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai 32 Tóm tắt lý thuyết 32 Các dạng toán 32 Dạng 15 Đưa thừa số dấu 32 Dạng 16 Đưa thừa số vào dấu 33 Dạng 17 Khử mẫu 34 Dạng 18 Trục thức mẫu 36 Luyện tập 37 Rút gọn biểu thức chứa bậc hai 43 Tóm tắt lý thuyết 43 Các dạng toán 44 Dạng 19 Rút gọn biểu thức không chứa biến 44 Dạng 20 Chứng minh đẳng thức 46 Dạng 21 Rút gọn biểu thức chứa biến câu hỏi phụ liên quan 48 Luyện tập 51 Căn bậc ba 57 Tóm tắt lý thuyết 57 Các dạng toán 57 Dạng 22 Tìm bậc ba số 57 Dạng 23 So sánh bậc ba 58 Dạng 24 Rút gọn biểu thức chứa bậc ba 59 Dạng 25 Giải phương trình chứa bậc ba 59 Luyện tập 60 Ôn tập chương 64 Giáo viên: Mục lục iii Rút gọn biểu thức không chứa 64 Dạng 26 Rút gọn biểu thức không chứa 64 Dạng 27 Bài toán phụ sau rút gọn biểu thức 65 Luyện tập 67 Rút gọn biểu thức chứa 70 Dạng 28 Tính giá trị biểu thức biết x 70 Dạng 29 Tìm x để biểu thức thỏa mãn phương trình 72 Dạng 30 Tìm x để biểu thức thỏa mãn bất phương trình 74 Dạng 31 Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên 76 Giải phương trình chứa 76 Dạng 32 Giải phương trình chứa .76 Luyện tập 78 Các toán nâng cao 81 Bài tập trắc nghiệm 92 Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 97 Đề số 1- Tự Luận cho HS đại trà 97 Đề số 2: Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà 99 Đề số - Dành cho HS Khá, Giỏi 102 Chương Hàm số bậc 105 Khái niệm hàm số Hàm số bậc 105 Tóm tắt lý thuyết 105 Hàm số bậc 106 Các dạng toán 107 Dạng 33 Biểu diễn điểm A(x0 ; y0 ) hệ trục tọa độ 107 Dạng 34 Nhận dạng hàm số bậc 108 Dạng 35 Vẽ đồ thị hàm số bậc 109 Dạng 36 Tìm giá trị x y biết giá trị lại 110 Dạng 37 Hàm số đồng biến nghịch biến 111 Luyện tập 112 Các toán nâng cao 114 Đồ thị hàm số bậc 117 Tài liệu Toán của: Mục lục iv Tóm tắt lý thuyết 117 Các dạng toán 117 Dạng 38 Điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng 117 Dạng 39 Xác định đường thẳng thỏa mãn tính chất 119 Dạng 40 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, đồ thị hàm trị tuyệt đối 120 Luyện tập 122 Các toán nâng cao 126 Đường thẳng song song đường thẳng cắt 129 Tóm tắt lý thuyết 129 Các dạng toán 129 Dạng 41 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 129 Dạng 42 Xác định giao điểm hai đường thẳng 130 Dạng 43 Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước 131 Dạng 44 Xác định giá trị tham số m để đường thẳng y = ax + b thỏa mãn điều kiện cho trước 132 Luyện tập 134 Các toán nâng cao 136 Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a = 0) 137 Tóm tắt lý thuyết 137 Các dạng toán 137 Dạng 45 Xác định hệ số góc đường thẳng 137 Dạng 46 Xác định góc 138 Dạng 47 Xác định đường thẳng dựa vào hệ số góc 139 Luyện tập 139 Các toán nâng cao 140 Ôn tập chương 141 Trắc nghiệm 141 Tự luận 151 Đề kiểm tra chương 171 Đề số (Dành cho học sinh đại trà) 171 Đề số (Dành cho học sinh khá, giỏi) 172 Giáo viên: Mục lục v Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 174 Phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 174 Tóm tắt lý thuyết 174 Các toán nâng cao 175 Dạng 48 Xét xem cặp số có phải nghiệm phương trình khơng 175 Dạng 49 Tìm nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình 176 Dạng 50 Xác định tham số biết nghiệm phương trình 176 Dạng 51 Đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc 177 Dạng 52 Hai hệ phương trình tương đương 177 Luyện tập 178 Thử thách 179 Phương pháp giải hệ phương trình 180 Tóm tắt lý thuyết 180 Các dạng toán 183 Dạng 53 Giải biện luận hệ phương trình 183 Dạng 54 Các toán đường thẳng hệ trục tọa độ 184 Dạng 55 Xác định tham số để hệ có nghiệm 185 Dạng 56 Xác định tham số để hệ vô nghiệm 186 Dạng 57 Xác định tham số để hệ có vơ số nghiệm 187 Dạng 58 Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa điều kiện khác 188 Luyện tập 189 Các toán nâng cao 193 Giải tốn cách lập hệ phương trình 196 Tóm tắt lý thuyết 196 Các dạng toán 196 Dạng 59 Toán số học, phần trăm 196 Dạng 60 Tốn suất cơng việc 197 Dạng 61 Toán chuyển động 198 Dạng 62 Tốn có yếu tố hình học 199 Dạng 63 Toán việc làm chung làm riêng 200 Dạng 64 Dạng toán khác 201 Tài liệu Toán của: Mục lục vi Luyện tập 202 Các toán nâng cao 208 Ôn tập chương 211 Toán trắc nghiệm 211 Toán tự luận 222 Dạng 65 Giải hệ phương trình 222 Dạng 66 Giải biện luận hệ phương trình 225 Dạng 67 Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đề 227 Dạng 68 Toán số học, phần trăm 229 Dạng 69 Tốn suất cơng việc 230 Dạng 70 Toán chuyển động 230 Dạng 71 Toán có yếu tố hình học 231 Dạng 72 Toán làm chung làm riêng 232 Dạng 73 Các dạng khác 233 Dạng 74 Giải hệ n phương trình bậc n ẩn với n = 3, n = 233 Dạng 75 Giải toán cách lập hệ phương trình 234 Đề kiểm tra tiết 236 Đề số (Dành cho học sinh đại trà) 236 Đề số (Dành cho học sinh giỏi) 237 Chương Hàm số y = ax2 , a = Phương trình bậc hai ẩn.240 Hàm số đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0) 240 Tóm tắt lý thuyết 240 Các dạng toán 241 Dạng 76 Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 241 Dạng 77 Tính giá trị hàm số 241 Dạng 78 Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn tính chất cho trước 242 Dạng 79 Tính biến thiên hàm số y = ax2 243 Dạng 80 Tương giao parabol đường thẳng 244 Luyện tập 245 Các toán nâng cao 247 Phương trình bậc hai ẩn công thức nghiệm 249 Giáo viên: Mục lục vii Tóm tắt lí thuyết 249 Các dạng toán 250 Dạng 81 Giải phương trình bậc hai 250 Dạng 82 Giải biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 252 Luyện tập 254 Các toán nâng cao 258 Hệ thức Vi-ét ứng dụng .262 Tóm tắt lý thuyết 262 Các dạng toán 263 Dạng 83 Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 263 Dạng 84 Tìm giá trị tham số biết hệ đối xứng nghiệm 264 Dạng 85 Tìm hai số biết tổng tích chúng 265 Dạng 86 Tìm hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào tham số266 Dạng 87 Xét dấu hai nghiệm phương trình bậc hai 267 Luyện tập 268 Các toán nâng cao 272 Phương trình quy phương trình bậc hai 275 Tóm tắt lý thuyết 275 Các dạng toán 276 Dạng 88 Giải biện luận phương trình trùng phương 276 Dạng 89 Phương trình chứa ẩn mẫu 277 Dạng 90 Phương trình đưa phương trình tích 278 Dạng 91 Phương pháp đặt ẩn phụ 279 Dạng 92 Phương trình bậc bốn (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d280 Dạng 93 Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hồi quy 281 Dạng 94 Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c 282 Dạng 95 Phương trình dạng phân thức hữu tỉ 283 Dạng 96 Nâng lũy thừa hai vế phương trình 286 Dạng 97 Biến đổi đẳng thức, dùng đẳng thức 287 Dạng 98 Biến đổi thành tổng số hạng không âm 289 Dạng 99 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 290 Tài liệu Toán của: Mục lục viii Dạng 100 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 292 Dạng 101 Dùng lượng liên hợp 293 Các tập nâng cao 306 Giải tốn cách lập phương trình 310 Tóm tắt lý thuyết 310 Các dạng tập phương pháp giải 310 Dạng 102 Toán số học, phần trăm 310 Dạng 103 Năng suất công việc 311 Dạng 104 Toán chuyển động 312 Dạng 105 Dạng tốn có nội dung hình học 313 Dạng 106 Toán làm chung làm riêng 315 Dạng 107 Các dạng khác 316 Luyện tập 317 Các toán nâng cao 322 Ôn tập chương 326 Toán trắc nghiệm 326 Toán tự luận 336 Đề kiểm tra 45 phút 344 Đề kiểm tra - 344 Đề kiểm tra - nâng cao 345 Phần II Hình học Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 349 Hệ thức lượng đường cao 349 Tóm tắt lý thuyết 349 Các ví dụ 349 Luyện tập 353 Tỷ số lượng giác góc nhọn 363 Tóm tắt lý thuyết 363 Các ví dụ 364 Luyện tập 365 Giáo viên: Mục lục ix Hệ thức cạnh góc tam giác vng 369 Tóm tắt lý thuyết 369 Các dạng toán 369 Dạng Giải tam giác vuông 369 Dạng Tính cạnh góc tam giác 370 Dạng Toán thực tế 371 Luyện tập 372 Ôn tập chương 378 Tóm tắt lý thuyết 378 Bài tập trắc nghiệm 378 Bài tập tự luận 395 Đề kiểm tra 45 phút 409 Đề số 1A (Tự luận dành cho học sinh đại trà) 409 Đề số 1B (Tự luận dành cho học sinh đại trà) 411 Đề số 2A (Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà) 414 Đề số 2B (Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà) 417 Đề số 3A (Tự luận dành cho học sinh giỏi) 421 Đề số 3B (Tự luận dành cho học sinh giỏi) 423 Chương Đường tròn .427 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn 427 Tóm tắt lí thuyết 427 Các ví dụ 428 Luyện tập 431 Đường kính dây đường tròn 439 Tóm tắt lí thuyết 439 Các ví dụ 439 Luyện tập 443 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 448 Tóm tắt lí thuyết 448 Các ví dụ 448 Luyện tập 451 Tài liệu Toán của: Mục lục x Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 456 Tóm tắt lí thuyết 456 Các ví dụ 457 Luyện tập 459 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn 462 Tóm tắt lí thuyết 462 Các ví dụ 462 Luyện tập 465 Tính chất hai tiếp tuyến cắt 470 Tóm tắt lí thuyết 470 Các ví dụ 471 Luyện tập 476 Vị trí tương đối hai đường trịn 481 Tóm tắt lí thuyết 481 Các ví dụ 482 Luyện tập 487 Ôn tập chương 494 Các ví dụ 494 Luyện tập 502 Chương Góc với đường tròn 515 Góc tâm Số đo cung 515 Tóm tắt lí thuyết 515 Các ví dụ 516 Luyện tập 517 Liên hệ cung dây 520 Tóm tắt lí thuyết 520 Các ví dụ 520 Luyện tập 522 Góc nội tiếp 526 Tóm tắt lí thuyết 526 Các ví dụ 526 Giáo viên: Ôn tập chương IV 640 §4 Ơn tập chương IV Các ví dụ Ơ Ví dụ Cho hình trịn (I, cm) nội tiếp hình vng ABCD Tính thể tích diện tích hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO , với O, O trung điểm BC AD Lời giải C O B I D O A Hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính có tâm 4π I bán kính R = cm Do đó, thể tích khối cần V = πR3 = cm3 diện 3 tích mặt cầu S = 4πR2 = 4π cm2 Hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO có hai đáy hai hình trịn (O, OB) (O , O A) Vì hình vng ABCD ngoại tiếp đường trịn (I, cm) nên AB = BC = cm Do OB = cm Suy ra, thể tích hình trụ V = π · OB · AB = 2π cm3 Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π · OB · AB + 2π · OB = 6π cm2 Ơ Ví dụ Cho ABC cạnh a, đường cao AH, nội tiếp đường trịn tâm O Tính thể tích hình nón hình cầu tạo thành quay quanh trục AH, biết a = cm ABC đường tròn (O) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu tạo thành quay Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 641 ABC đường tròn (O) quanh trục AH Lời giải A O B C H Hình nón tạo thành quay ABC quanh trục AH tạo thành hình nón có đáy hình trịn tâm O bán kính HB, chiều cao AH Hình cầu tạo thành quay hình trịn tâm O ngoại tiếp ABC quanh trục AH hình cầu tâm O bán kính OA √ √ a BC a = cm, HB = = = cm Do Lại có a = cm, AH = AB sin 60◦ = 2 ABC nên√O tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời trọng tâm ABC, suy 2 OA = AH = cm 3 Khi thể tích hình nón √ π Vnón = · AH · π · HB = cm3 3 Thể tích hình cầu Vcầu √ 32π = π · OA3 = cm3 27 Đường sinh hình nón AB = a Diện tích xung quanh hình nón S1 = π · HB · AB = a2 π Diện tích mặt cầu S2 = 4π · OA2 = 4a2 π Do tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu S1 a2 π 4a2 π = : = S2 2 Tài liệu Toán của: Ơn tập chương IV 642 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = √ “ = 60◦ cm, B Tính AC, BC AH Tính thể tích khối tạo thành quay ABC quanh trục AC Tính thể tích khối tạo thành quay ABC quanh trục BC Lời giải Ta có ABC vuông nên AC = AB · tan B = √ C · tan 60◦ = cm Theo định lí Pi-ta-go lại có √ √ BC = AB + AC = cm Mặt khác H AHB vuông H nên A AH = AB · sin B = cm B Khi quay ABC quanh trục AC tạo thành khối nón đỉnh C đáy hình trịn tâm A bán kính AB Thể tích khối nón Vnón = C · AC · π · AB = 3π cm3 A B Khi quay ABC quanh trục BC tạo thành hai khối nón đỉnh B đỉnh C chung đáy hình trịn tâm H, bán kính HA (hình vẽ) √ √ 3 Lại có AC = CH · BC ⇒ CH = cm ⇒ BH = cm 2 Khi thể tích khối nón đỉnh C, đáy hình trịn (H, HA) √ 9π V1 = · CH · π · AH = cm3 Thể tích khối nón đỉnh B, đáy hình trịn (H, HA) √ 3π V2 = · BH · π · AH = cm3 √ 3π Vậy thể tích khối cần tính V = V1 + V2 = cm3 Giáo viên: C A H B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 643 Ơ Ví dụ Cho hình trụ (T ) có hai đáy hình trịn (O; R) (O , R) hình nón (N ) có đỉnh O , đáy hình trịn (O, R) Từ miếng xốp hình trụ (T ), người ta gọt bỏ để tạo thành khối xốp hình nón (N ) Tính thể tích phần bị gọt bỏ Biết R = cm OO = cm Nếu tăng gấp đôi bán kính R thể tích hình trụ (T ) hình nón (N ) thay đổi nào? Lời giải O O Thể tích khối xốp hình trụ Vtrụ = OO · π · R2 = 36π cm3 Thể tích khối xốp hình nón Vnón = · OO · π · R2 = 12π cm3 Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ V = Vtrụ − Vnón = 24π cm3 Thể tích hình trụ với bán kính R V1 = OO · π · R2 Thể tích hình trụ với bán kính R = 2R V1 = OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 V1 = Khi ta có V1 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình trụ tăng lên lần Thể tích hình nón với bán kính R V2 = · OO · π · R2 Thể tích ình nón với bán kính R = 2R V2 = · OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 3 V2 = Khi ta có V2 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình nón tăng lên lần Ô Ví dụ Cho phễu chứa nước hình nón ngược Miệng phễu đường trịn đường kính dm Khoảng cách từ đáy phễu đến điểm miệng phễu dm Tính lượng nước để đổ đầy phễu (giả thiết thành phễu có độ dày khơng đáng kể) Người ta đổ đầy nước vào phễu rút cho chiều cao lượng nước lại nửa lượng nước ban đầu Tính thể tích lượng nước cịn lại phễu Lời giải Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương IV 644 Gọi O tâm đường tròn đáy phễu A điểm đường trịn ấy, SA = dm, OA = dm SO ⊥ OA Suy ra, chiều cao phễu √ SO = SA2 − OA2 = dm O A Thể tích phễu V = · SO · π · OA2 = 12π dm3 S Lượng nước đổ đầy phễu thể tích phễu, tức 12π dm3 Gọi I trung điểm SO, K trung điểm SA phần nước cịn lại phễu khối nón đỉnh S đáy hình trịn tâm I bán kính IK Ta có IK đường trung bình SOA nên IK = O A I OA = dm 2 K Do thể tích phần nước cịn lại phễu V = 3π · SI · π · IK = dm S Luyện tập Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm AD = cm Gọi M, N trung điểm AB CD Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối gì? Tính thể tích khối Khi quay N AB quanh trục M N khối gì? Tính diện tích xung quanh khối Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối trụ có AB đáy hình trịn tâm M bán kính M A = = hình trịn tâm 2 N bán kính N D tích V = AD · π · M A2 = 645 D N C A M B π cm3 N AB quanh trục M N khối√nón đỉnh N đáy 17 hình trịn (M, AM ), độ dài đường sinh AN = có diện tích xung quanh √ π 17 cm2 S = π · AM · AN = Khi quay Bài Cho hình trịn (O, R) có diện tích 4π Quay hình trịn quanh đường kính ta hình cầu tâm O bán kính R Tính thể tích hình cầu Nếu diện tích hình trịn giảm nửa diện tích mặt cầu thay đổi nào? Lời giải Diện tích hình trịn B π · R2 = 4π ⇔ R = Do thể tích hình cầu 32π V = · π · R3 = 3 O A Diện tích mặt cầu S = 4π · R2 = 16π Nếu diện tích hình trịn giảm nửa trịn bán kính R √ π · R = 2π ⇔ R = Khi diện tích mặt cầu S = 4π · R = 8π Suy S = Vậy diện tích mặt cầu giảm nửa S Bài Cho khối xốp hình nón có đường kính đáy 18 cm độ dài từ đỉnh đến điểm đường tròn đáy 15 cm Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 646 Tính chiều cao thể tích hình nón Cắt chỏm khối xốp cho phần cịn lại hình nón cụt có chiều cao nửa chiều cao hình nón ban đầu Tính thể tích phần bị cắt bỏ Tiếp tục cắt khối nón cụt để tạo thành hình trụ có đáy đáy nhỏ hình nón cụt Tính thể tích hình trụ tạo thành Lời giải S I B O A Giả sử hình nón có đỉnh điểm S đáy đường trịn tâm O, A điểm đường 18 tròn đáy Khi bán kính đáy hình nón OA = = cm chiều cao hình nón √ √ SO = SA2 − OA2 = 152 − 92 = 12 cm Thể tích hình nón V = · SO · π · OA2 = 324 cm3 Gọi I trung điểm SO, B trung điểm SA Phần bị cắt bỏ khối nón có đỉnh S đáy hình trịn (I, IB) OA IB đường trung bình SOA nên IB = = Thể tích khối nón bị cắt 2 81π · SI · π · IB = cm3 3 Khối trụ có đáy hình trịn (I, IB) chiều cao IO nên tích V = IO · π · IB = 243π cm3 Bài Một hộp hình trụ chứa vừa khít ten-nít Biết diện tích tồn phần hộp 597cm2 Tính đường kính thể tích ten-nít Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 647 Gọi R bán kính ten-nít bán kính đáy hộp R, chiều cao trụ 8R Ta có Sdttp = · Sđáy + Sxq = 2πR2 + 2πR · 8R = 18πR2 Ta lại có diện tích xung quanh đề cho 597cm2 ⇒ R ≈ 3, 25cm 4 Vậy V = πR ≈ π · (3, 25)3 ≈ 144cm3 3 Bài Cho hình vẽ bên Tính tổng thể tích khối tạo thành quay A B hình bên quanh trục BD F C E D Lời giải Tam giác ABC quay quanh trục BD tạo thành hình nón với bán kính đáy cạnh AB đường cao BC Thể tích hình nón π · AB · BC √ = π · AB · AC − BC √ = π · 32 · 52 − 32 V1 = = 12π (đvtt) Hình chữ nhật CDEF quay quanh trục BD tạo thành hình trụ với bán kính đáy cạnh DE đường cao CD Thể tích hình trụ V2 = π · DE · CD = π · 52 · = 75π (đvtt) Thể tính khối tạo thành quay hình quanh trục BD V = V1 + V2 = 87π (đvtt) Bài Một hình nón có đỉnh tâm hình cầu có đáy hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu Biết diện tích đáy hình nón 144πcm2 diện tích xung quanh 180πcm2 Tính thể tích phần khơng gian bên hình cầu bên ngồi hình nón Lời giải Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 648 Tính bán kính đáy hình nón π · IM · 144π ⇔ r = IM = 12cm Tính đường sinh hình nón O Sxq = 180π ⇔ π · r · l = 180π ⇔ l = OM = 15cm Chiều cao hình nón √ √ h = OI = OM − IM = l2 − r2 = 9cm N I M Tính hiệu thể tích hình cầu hình nón V = Vcầu − Vnón = π · OM − π · IM · h = 4068πcm3 3 Bài Tam giác ABC có độ dài cạnh a, ngoại tiếp đường tròn Cho hình quay vịng xung quanh đường cao AH tam giác đó, ta hình nón ngoại tiếp hình cầu Tính thể tích phần hình nón nằm ngồi hình cầu Lời giải Gọi I tâm tam giác ABC Bán kính hình cầu bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nghĩa IH √ a 3a ⇒ AH = Ta có AH = CA2 − CH = 4√ √ 1 a a Vậy R = IH = · AH = · = 3 √ a3 Do thể tích hình cầu Vc = πR = (đvtt) 54 Thể tích hình nón √ √ a a a3 · (đvtt) Vn = π · AH · HB = π · = 3 2 A I B H C √ √ √ a3 a3 23a3 Vậy phần thể tích hình nón nằm ngồi hình cầu V = − = (đvtt) 54 216 Bài Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn cm bán kính đáy bé cm, chiều cao cm Tính diện tích xung quanh hình nón cụt Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 649 Kẻ CH ⊥ AB (tại H) Khi CH = OO = (cm) Mặt khác, HA √ = OA − OH = OA − O C = (cm) Vậy l = CA = CH + HA2 = (cm) Diện tích xung quanh hình nón cụt O C D Sxq = π(r1 + r2 )l = 75π A H B O Gọi giao điểm OO CA S SO SO = CO AO Gọi SO = x (cm) (x > 0) từ đẳng thức ta có Theo hệ định lý Ta-lét, ta có x+4 x = Giải phương trình ta có nghiệm x = (nhận) Vậy chiều cao hình nón sinh hình nón cụt h = SO = SO + OO = 12 (cm) 1 Thể tích cần tìm V = πr2 h = π · 92 · 12 = 324π (đvtt) 3 Bài Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi diện tích cm cm2 Tính thể tích diện tích hình trụ sinh quay hình chữ nhật quanh cạnh AB Hình trụ chứa vừa khít khối cầu bán kính R Tính R phần thể tích hình trụ khối cầu Lời giải Ta có ® ® ® 2(AB + AD) = AB + AD = AB = (cm) ⇔ ⇒ AB · AD = AB · AD = AD = (cm) A D B C Thể tích hình trụ V = AB · πAD2 = 2π (cm3 ) Diện tích hình trụ S = AB · 2πAD + · πAD2 = 4π + 2π = 6π (cm2 ) Ta có bán kính khối cầu R= Thể tích khối cầu AB = (cm) 4π V1 = πR3 = (cm3 ) 3 Tài liệu Toán của: Ôn tập chương IV 650 Phần thể tích khối trụ khối cầu V − V1 = 14 π (cm3 ) Bài 10 Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự OA = a, OB = b Vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Qua O vẽ hai tia vng góc với O cắt Ax, By C, D Cho COA = 30◦ Tính tỉ số thể tích hình tam giác AOC BOD tạo thành quay hình quanh trục AB Giả sử BDC = 60◦ Tính thể tích hình nón cụt tạo thành quay hình vẽ quanh trục AB Lời giải Quay AOC quanh trục AB ta hình nón có D + Chiều cao h = OA = a √ a + Bán kính đáy r = AC = OA · tan 30◦ = Khi thể tích hình nón πa3 V1 = πr2 h = Quay C BOD quanh trục AB ta hình nón có A + Chiều cao h = OB = b ◦ ◦ 60 30 O √ + Bán kính đáy r = BD = OB · tan 60◦ = b Khi thể tích hình nón V2 = πr2 h = πb3 Vậy thể tích cần tìm V1 a3 = V2 9b Quay hình vẽ quanh trục AB ta hình nón cụt có √ + Bán kính đáy lớn R = BD = b √ a + Bán kính đáy nhỏ r = AC = + Chiều cao h = AB = OA + OB = a + b Suy thể tích hình nón cụt cần tìm Å ã 1 2 2 V = πh R + r + rR = π(a + b) 3b + a + ab 3 Giáo viên: B Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 651 “ = 90◦ , BC = cm, CD = cm, B “ = 60◦ Bài 11 Cho hình thang vng ABCD có A = D Khi quay hình thang vng ABCD quanh trục AD tạo thành hình nón cụt Tính thể tích hình nón cụt Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình gì? Tính diện tích hình Lời giải L D C K H ◦ 60 A B I Ta có r = CD = (cm), R√= AB, h = AD √ h = AD = sin 60◦ · BC = · = (cm) ◦ R = AB = DC + cos 60 · BC = + · = (cm) √ √ 1 38π (cm3 ) Vậy V = πh (r2 + R2 + rR) = · π · · (22 + 32 + · 3) = 3 Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình thang cân có độ dài đáy 2r 2R chiều cao h Diện tích hình thang S= √ √ h(2r + 2R) = h(r + R) = · (2 + 3) = 10 (cm2 ) Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A Gọi V1 , V2 , V3 theo thứ tự thể tích hình sinh quay tam giác ABC vòng xung quanh cạnh BC, AB, AC Chứng minh 1 = + 2 V1 V2 V3 Lời giải Gọi H chân đường cao xuất phát từ A Khi quay ∆ABC quanh cạnh BC, ta thu hai hình nón có bán kính đáy chung HA, chiều cao HB HC Thể tích hình sinh tổng thể tích hai hình nón 1 Vậy V1 = π(CH · AH + BH · AH ) = πBC · AH 3 B H A Tài liệu Toán của: C Ôn tập chương IV 652 Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB, ta thu hình nón có bán kính đáy AC, chiều cao AB Vậy V2 = πAB · AC B A Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC, ta thu hình nón có bán B kính đáy AB, chiều cao AC Vậy V2 = πAC · AB Do Å ã 1 1 + = · · + V22 V32 π AB · AC AB AC 1 A = · · 2 π AB · AC AH 1 AB + AC · · · = 2 2 π ÅAB · AC AH AB + AC ã 1 1 = · + · · π2 AB AC AH BC 1 1 1 · · · = 2· · · = = 2 2 2 π AH AH BC π AH AH BC V1 C C Bài 13 Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB Trên AB lấy điểm H cho HA = Tính HA, HB theo R HB Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường trịn (O; R) M ; tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B tai A , B Chứng minh tam giác A OB vuông AA · BB = R2 Đặt AA = x; BB = y Tính x, y theo R Cho nửa hình trịn (O; R) quay vịng quanh cạnh AB hình tích V1 ; cho hình thang vng ABB A quay quanh AB ta hình tích V2 Tính tỉ V1 số V2 Lời giải Giáo viên: Chương Hình trụ - Hình nón - Hình cầu HA Ta có = HB HB HA + HB AB HA = = = = R ⇒ 5 2   HA = R ⇒  HB = R 653 B M A A H O R B b) Hai tam giác OAA B BO có “ = 90◦ A=B AOA = BB O (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy OAA B BO Do AA O = B OB Mà AA O + A OA = 90◦ Suy B OB + A OA = 90◦ Vậy A OB = 90◦ hay tam giác A OB tam giác vuông OA AA = ⇔ AA · BB = OA · OB = R2 Mặt khác, OAA B BO nên BO BB Cách khác: Gọi N giao điểm AM OA ¯ Ta có M AB = sđAM 1 ¯ Mà B OB = BOM = sđAM 2 Suy M AB = B OB Tam giác vng AON có N AO + N OA = 90◦ hay M AB + A OA = 90◦ Do B OB + A OA = Ä90◦ ä Suy A OB = 180◦ − B OB + A OA = 90◦ Vậy tam giác A OB tam giác vuông Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OA B , ta có OM = A M · B M ® AA = A M Mà theo tính chất tiếp tuyến BB = B M Suy AA · BB = OM = R2 B M A N A H O R c) Ta có OH = OA − AH = R − R =  5 √ Å ã2 √ R ⇒ M H = OM − OH = R2 − = R 5 Ç √ å2 Å ã2 √ √ 10 ⇒ AM = M H + AH = R + R = R 5 Tài liệu Toán của: R B Ôn tập chương IV 654 AM ⇒ AN = = ⇒ ON = OA2 √ 10 R − AN = Ç √ å2 √ 10 15 R2 − R = 5 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông √ OAA , ta có 2 R 15 OA = √15 = R OA2 = ON.OA ⇒ OA = ON R Ç√ å2 √ √ 15 2 ⇒ AA = x = OA − OA = R −R = R 3 Mặt khác, ta chứng minh √ R2 R2 AA · BB = R ⇒ BB = y = R = √6 = AA R √ √ 6 Vậy x = R y = R d) Nửa hình trịn (O; R) quay vịng quanh cạnh AB hình cầu bán kính R tích V1 = πR3 Hình thang vng ABB A quay quanh AB hình nón cụt với hai bán kính đáy AA , BB chiều cao AB tích π · AB · (AA + BB + AA · BB ) Ç √ å2 Ç √ å2 6 π · 2R · R + R + R2 = 3 V2 = = Vậy 19 πR 12 V1 = V2 19 Giáo viên: ... phương 28 √ 99 9 √ ; 444 √ 160 √ ; 0,4 √ 9+ 6 √ ; √ 2+ 3: … Lời giải √ √ … … 99 9 99 9 9 = =√ = √ = 444 444   √ √ … 160 160 1600 1600 40 = √ = = √ = 20 = 0,4 0,4   √ √ Ä√ ä2 √ √ 9+ 6 9+ 6 √ = = 3+2... √ √ 100 · · = 100 · · = 10 · · = 60 160 · 12,1 = 3,6 · 25,6 = √ √ 16 · 100 · 1,21 = √ 0,36 · 100 · 2,56 = 16 · √ 100 · √ 1,21 = · 10 · 1,1 = 44 √ √ √ 0,36 · 100 · 2,56 = 0,6 · 10 · 1,6 = 9, 6... ; 16 164   1 492 − 762 4572 − 3842 Lời giải … … 7 25 49 25 49 1 · · 0,01 = · · = · · = · · = 16 16 100 16 100 10 24 … … √ … … 1652 − 1242 (165 − 124)(165 + 124) 41 · 2 89 2 89 2 89 = = = = √ =