Phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann cho các chất khí có độ nhớt

232 SCIENCE AND TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL NATURAL SCIENCES, VOL 2, ISSUE 6, 2018 Phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann cho chất khí có độ nhớt Đinh Phan Cao Ngun Tóm tắt—Chúng tơi đề xuất báo phương pháp giải tích số cho phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử Đây phương pháp số cho phương trình Boltzmann có độ nhớt Chúng tơi biểu diễn giá trị hàm mật độ chất khí so sánh kết trường hợp có ma sát phân tử trường hợp ma sát Giá trị hàm mật độ chất khí có ma sát phân tử va chạm giảm dần Giá trị ma sát lớn tốc độ giảm giá trị hàm mật độ chất khí nhanh Từ khóa—phương trình Boltzmann, giải tích số, phương pháp phổ, ma sát phân tử, hàm mật độ GIỚI THIỆU P hương trình Boltzmann mơ tả chuyển động phân tử chất khí tương tác phân tử va chạm đàn hồi nhị phân (xem [1-16]) Cho 𝑥, 𝑣  ℝ𝑑 (𝑑 ≥ 2) 𝜕𝑓 𝜕𝑡 + 𝑣 ∇𝑥 𝑓 = 𝑄(𝑓, 𝑓), với 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑣) hàm mật độ chất khí phụ thuộc vào thời gian vận tốc Trong Boltzmann, toán tử va chạm Q toán tử bậc 𝑓(𝑡, 𝑥) Thời gian t vị trí x xem tham số Q bị bỏ qua biểu diễn 𝑄(𝑓, 𝑓)(𝑣) = ∫ℝ𝑑 ×𝕊𝑑−1 𝐵(|𝑣 − 𝑣∗ |, 𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑓∗′ 𝑓 ′ − 𝑓∗ 𝑓)𝑑𝑣∗ 𝑑𝜎, ′ với 𝑓 = 𝑓(𝑣), 𝑓∗ = 𝑓(𝑣∗ ), 𝑓 = 𝑓(𝑣 ′ ), 𝑓∗′ = (1.1) 𝑓(𝑣∗′ ) Vận tốc va chạm cặp (𝑣, 𝑣∗ ) (𝑣 ′ , 𝑣∗′ ) có liên quan 𝑣′ = 𝑣+𝑣∗ + |𝑣−𝑣∗ | 𝜎, 𝑣∗′ = 𝑣+𝑣∗ − |𝑣−𝑣∗ | 𝜎 Trong 𝜎 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝕊𝑑−1 Hạt nhân B va chạm hàm số không âm đối số vật lý bất biến phụ thuộc vào 𝑣−𝑣∗ |𝑣 − 𝑣∗ | cos 𝜃 = 𝑔̂ 𝜎 (với 𝑔̂ = ) |𝑣−𝑣∗ | Việc xây dựng phương pháp tính cho phương trình Boltzmann có tầm quan trọng nhiều ứng dụng, từ động lực học khí (RGD) [27], vật lý plasma [28], dòng chảy dạng hạt [17, 18], chất bán dẫn [32], lý thuyết động lượng tử [29] Khó khăn việc xây dựng phương pháp giải số cho phương trình Boltzmann cấu trúc đa chiều toán tử Q, tích phân tính miền chiều Vì vậy, phương pháp thông thường kỹ thuật xác suất Monte Carlo Bird [19] Nanbu [33], phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên có độ xác bậc thuộc lớp thuật tốn khơng tất định Tuy nhiên, phương pháp có độ xác thấp Ngày nhận: 24-08-2018, ngày chấp nhận đăng: 09-11-2018; Ngày đăng: 31-12-2018 Đinh Phan Cao Nguyên – Trường Đại học Nha Trang *Email: nguyendpc@ntu.edu.vn TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ: CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN, TẬP 2, SỐ 6, 2018 233 Gần đây, lớp phương pháp dựa việc sử dụng kỹ thuật quang phổ không gian vận tốc xây dựng Phương pháp có độ xác phổ [30, 35] thuộc lớp thuật toán tất định Phương pháp lần phát triển cho phương trình động học [34], dựa phương pháp quang phổ học chất lỏng [24] việc sử dụng công cụ biến đổi Fourier phân tích phương trình Boltzmann [21] Nó dựa phương pháp xấp xỉ Fourier – Galerkin phương trình Các khái quát phương pháp độ xác quang phổ đưa [26, 35, 36] Trong báo này, sử dụng phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann chất khí có độ nhớt/ma sát Phương trình có dạng 𝜕𝑓 𝜕𝑡 + 𝑣 ∇𝑥 𝑓 = 𝑄(𝑓, 𝑓) + 𝜀𝑓, 𝜀 hệ số nhớt Bài báo kết giải tích số cho phương trình Boltzmann chất khí có độ nhớt/ma sát PHƯƠNG PHÁP Biểu diễn Carleman toán tử va chạm Q Trong phần này, ước chừng toán tử va chạm biểu diễn mà cách bảo tồn nhiều đối xứng tốn tử va chạm cắt bỏ miền bị chặn Biểu diễn sử dụng [20, 22, 23, 31], gần với đại diện Carleman cổ điển (xem [25]) Toán tử va chạm Boltzmann miền bị chặn Với hàm liên tục F(x), công thức cần ∫ 𝕊𝑑−1 𝐹(|𝑢|𝜎 − 𝑢) 𝑑𝜎 = |𝑢|𝑑−2 ∫ℝ𝑑 𝛿(2𝑥𝑢 + |𝑥|2 ) 𝐹(𝑥)𝑑𝑥, (2.1) xác minh cách hồn thành hình vng hàm delta Dirac, lấy tọa độ hình cầu 𝑥 = 𝑟𝜎 thực thay đổi biến 𝑟 = 𝑠 Xét vùng bị chặn 𝐷𝑇 = [−𝑇, 𝑇]𝑑 (0 < 𝑇 < +∞) Quy ước cách viết 𝑥.(𝑥+𝑦) 𝐵̃ (𝑥, 𝑦) = 2𝑑−1 𝐵(|𝑥 + 𝑦|, − |𝑥||𝑥+𝑦|)|𝑥 + 𝑦|−(𝑑−2) Ta dễ dàng thấy siêu phẳng biểu diễn x · y = 0, công thức đơn giản (sử dụng phần tử hạt nhân va chạm) (xem [35]) 𝐵̃ (𝑥, 𝑦) = 𝐵̃(|𝑥|, |𝑦|) = 2𝑑 𝐵(√|𝑥|2 + |𝑦|2 , |𝑥| √|𝑥|2 +|𝑦|2 𝑑−2 )(|𝑥|2 + |𝑦|2 )− , (2.2) với 𝛿(𝑥 𝑦) hàm Dirac ứng với 𝑥 𝑦 = 0, ta biểu diễn toán tử lại sau, cho 𝑣 ∈ 𝐷𝑇 𝑄 𝑡𝑟 (𝑓, 𝑓)(𝑣) = ∫ ∫{𝑥,𝑦∈ℝ𝑑 |𝑣+𝑥,𝑣+𝑦,𝑣+𝑥+𝑦∈𝐷 } 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)[𝑓(𝑣 + 𝑦)𝑓(𝑣 + 𝑥) − 𝑓(𝑣 + 𝑥 + 𝑇 𝑦)𝑓(𝑣)]𝑑𝑥 𝑑𝑦 Ta dễ dàng kiểm tra xem biểu mẫu yếu sau có thỏa mãn với tốn tử hay khơng điều dẫn tới định luật bảo toàn khối lượng, động lượng lượng định lý entropy Boltzmann H ∫ 𝑄𝑡𝑟 (𝑓, 𝑓)𝜑(𝑣) 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫{𝑣,𝑥,𝑦∈ℝ𝑑 |𝑣,𝑣+𝑥,𝑣+𝑦,𝑣+𝑥+𝑦∈𝐷 } 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)𝑓(𝑣 + 𝑥 + 𝑦)𝑓(𝑣)[𝜑(𝑣 + 𝑦) + 𝑇 𝜑(𝑣 + 𝑥) − 𝜑(𝑣 + 𝑥 + 𝑦) − 𝜑(𝑣)]𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (2.3) Đối với hàm 𝑓 với giá 𝐵𝑅 , chúng tơi lấy T= 2𝑅 để có tất va chạm xảy Trong thực tế ta lấy 𝑇 ≥ (1 + 3√2)𝑅/2 nhằm ngăn chặn giao miền mà hàm 𝑓 khác (xem [35]) 234 SCIENCE AND TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL NATURAL SCIENCES, VOL 2, ISSUE 6, 2018 Toán tử trở thành 𝑄𝑅 (𝑓, 𝑓)(𝑣) = ∫𝑥∈𝐵 ∫𝑦∈𝐵 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)[𝑓(𝑣 + 𝑦)𝑓(𝑣 + 𝑥) − 𝑓(𝑣 + 𝑥 + 𝑦)𝑓(𝑣)]𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝑅 𝑅 (2.4) với 𝑣 ∈ 𝐷𝑇 (biểu thức cho 𝑣 ∈ ℝ𝑑 đượ𝑐 𝑡í𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑢 𝑘ỳ) Bằng phép đổi biến 𝑣(bởi 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑦), sử dụng thay đổi 𝑥 ↔ −𝑥 𝑦 ↔ −𝑦, thực tế 𝐵̃ (−𝑥, 𝑦)𝛿(−𝑥 𝑦) = 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦) = 𝐵̃ (𝑥, −𝑦)𝛿(𝑥 −𝑦) Ta dễ dàng chứng minh hàm tuần hoàn 𝜑 𝐷𝑇 theo biểu diễn nghiệm yếu chấp nhận (bài báo [30] trình bày chi tiết bước để đạt công thức cổ điển này) ∫𝐷 𝑄𝑅 (𝑓, 𝑓)𝜑(𝑣)𝑑𝑣 = ∫𝑣∈𝐷 ∫𝑥∈𝐷 ∫𝑦∈𝐷 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)𝑓(𝑣 + 𝑥 + 𝑦)𝑓(𝑣)[𝜑(𝑣 + 𝑦) + 𝜑(𝑣 + 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑥) − 𝜑(𝑣 + 𝑥 + 𝑦) − 𝜑(𝑣)]𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (2.5) Thuật giải phương pháp phổ Trong phần sử dụng 𝑄𝑅 xây thuật giải phương pháp phổ Các phương pháp phổ cho phương trình động học bắt nguồn từ [34] [35], phát triển [36] [30] Trước họ có lịch sử lâu dài học chất lỏng; xem [24] Đơn giản hóa ký hiệu, lấy 𝑇 = 𝜋 Giá trị xấp xỉ hàm 𝑓𝑁 biểu diễn dạng biểu diễn Fourier 𝑁 𝑓𝑁 (𝑣) = ∑ 𝑓̂𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑣 , 𝑘=−𝑁 { 𝑓̂𝑘 = ∫ 𝑓(𝑣)𝑒 −𝑖𝑘𝑣 𝑑𝑣 (2𝜋)𝑑 𝐷𝜋 Phương trình phổ phép chiếu phương trình va chạm ℙN , với ℙ𝑁 không gian vectơ (2N + 1)d chiều đa thức lượng giác có bậc tối đa N theo hướng, tức 𝜕𝑓𝑁 𝜕𝑡 = 𝑃𝑁 𝑄𝑅 (𝑓𝑁 , 𝑓𝑁 ), với 𝑃𝑁 biểu thị phép chiếu trực giao ℙN 𝐿2 (𝐷𝜋 ) Một tính tốn đơn giản dẫn đến tập hợp phương trình vi phân thơng thường sau đây: Hệ số Fourier ̂ ̂ ̂ 𝑓̂𝑘′ (𝑡) = ∑𝑁 𝑙,𝑚=−𝑁 𝛽 (𝑙, 𝑚)𝑓𝑙 𝑓𝑚 , 𝑘 = −𝑁, … , 𝑁 (2.6) 𝑙+𝑚=𝑘 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) gọi kernel modes, xác định 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) = ∫𝑥∈𝐵 ∫𝑦∈𝐵 𝐵̃(𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)[𝑒 𝑖𝑙𝑥 𝑒 𝑖𝑚𝑦 − 𝑒 𝑖𝑚(𝑥+𝑦) ] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑅 𝑅 Do đó, sau báo ta tập trung vào 𝛽, dễ dàng kiểm tra 𝛽(𝑙, 𝑚) phụ thuộc vào | 𝑙 |, | 𝑚 |, | 𝑙 · 𝑚 | Trong 𝑙, 𝑚 hệ số công thức ̂ 𝑖𝑙𝑥 = ∑𝑁 ̂ 𝑖𝑚𝑦 𝑓𝑁 (𝑣) = ∑𝑁 𝑚=−𝑁 𝑓𝑙 𝑒 𝑙=−𝑁 𝑓𝑙 𝑒 Lưu ý cách thông thường để cắt ngắn toán tử va chạm Boltzmann cho hàm tuần hoàn biểu diễn (xem [34]) với 𝑢 = |𝑣 − 𝑣∗ | 𝑄(𝑓, 𝑓) = ∫𝑢∈ℝ𝑑 ∫𝜎∈𝕊𝑑−1 𝐵(|𝑢|, cos 𝜃)[𝑓(𝑣 − (𝑢 − |𝑢|𝜎)/2)𝑓(𝑣 − (𝑢 + |𝑢|𝜎)/2) − 𝑓(𝑣)𝑓(𝑣 − 𝑢)]𝑑𝜎 𝑑𝑢 (2.9) Sau rút gọn biến 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 cho 𝑢 ∈ 𝐵𝑅 Chúng ta có 𝑅 (𝑓, 𝑓)(𝑣) 𝑄𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙 = ∫𝑥∈ℝ𝑑 ∫𝑥∈ℝ𝑑 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦){|𝑥+𝑦|≤𝑅} [𝑓(𝑣 + 𝑦)𝑓(𝑣 + 𝑥) − 𝑓(𝑣 + 𝑥 + 𝑦))𝑓(𝑣)]𝑑𝑥 𝑑𝑦, TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ: CHUN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN, TẬP 2, SỐ 6, 2018 235 với {|𝑥+𝑦|≤𝑅} hàm đặc trưng tập {|𝑥 + 𝑦| ≤ 𝑅} hay {(𝑥1 + 𝑦1 )2 + (𝑥2 + 𝑦2 )2 + ⋯ + (𝑥𝑑 + 𝑦𝑑 )2 ≤ 𝑅2 } Cuối cùng, có (xem [35]) 𝛽̂𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙 (𝑙, 𝑚) = ∫𝑢∈𝐵 ∫𝜎∈𝕊𝑑−1 𝐵(|𝑢|, cos 𝜃)[𝑒 −𝑖 𝑢(𝑙+𝑚)+|𝑢|𝜎(𝑚−𝑙) 𝑅 − 𝑒 −𝑖(𝑢𝑚) ]𝑑𝜎 𝑑𝑢 Biểu diễn theo x y 𝛽̂𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙 (𝑙, 𝑚) = ∫𝑥∈𝐵 ∫𝑦∈𝐵 𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦)𝐵̃ (𝑥, 𝑦)𝛿(𝑥 𝑦){|𝑥+𝑦|≤𝑅} [𝑒 𝑖𝑙𝑥 𝑒 𝑖𝑚𝑦 − 𝑒 𝑖𝑚(𝑥+𝑦) ]𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑅 𝑅 Vì vậy, biểu diễn thơng thường chứa nhiều khớp nối 𝑥 𝑦 thích hợp cho việc xây dựng thuật toán nhanh Thuật toán quang phổ nhanh Ở xấp xỉ 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) tổng 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) ≅ ∑𝐴𝑝=1 𝛼𝑝 (𝑙)𝛼𝑝′ (𝑚) Chúng ta viết x y tọa độ hình cầu 𝑅 𝑅 𝑄𝑅 (𝑓, 𝑓)(𝑣) = ∫𝑒∈𝕊𝑑−1 ∫𝑒 ′ ∈𝑆 𝑑−1 𝛿(𝑒 𝑒 ′ )𝑑𝑒 𝑑𝑒 ′ {∫−𝑅 ∫−𝑅 𝑝𝑑−2 (𝑝′ )𝑑−2 𝐵̃ (𝑝, 𝑝′ )[𝑓(𝑣 + 𝑝′ 𝑒 ′ )𝑓(𝑣 + 𝑝𝑒) − 𝑓(𝑣 + 𝑝𝑒 + 𝑝′ 𝑒 ′ )𝑓(𝑣)]𝑑𝑝 𝑑𝑝′ } (3.1) Lấy A tập hợp cặp trực giao vectors đơn vị (𝑒, 𝑒 ′ ), (𝑒, 𝑒 ′ ) ∈ 𝐴 nên (−𝑒, 𝑒 ′ ), (𝑒, −𝑒 ′ ), (−𝑒, −𝑒 ′ ) thuộc A (thuộc tính tập A yêu cầu bảo tồn luật bảo tồn tốn tử) Bây định nghĩa 𝑅 𝑅 𝑄𝑅,𝐴 (𝑓, 𝑓)(𝑣) = ∫(𝑒,𝑒 ′ )∈𝐴{∫−𝑅 ∫−𝑅 𝑝𝑑−2 (𝑝′ )𝑑−2 𝐵̃ (𝑝, 𝑝′ )[𝑓(𝑣 + 𝑝′ 𝑒 ′ )𝑓(𝑣 + 𝑝𝑒) − 𝑓(𝑣 + 𝑝𝑒 + 𝑝′ 𝑒 ′ )𝑓(𝑣)]𝑑𝑝 𝑑𝑝′ } 𝑑𝐴, với 𝑑𝐴 ký hiệu độ đo A dĩ nhiên 𝑑𝐴(𝑒, 𝑒 ′ ) = 𝑑𝐴(−𝑒, 𝑒 ′ ) = 𝑑𝐴(𝑒, −𝑒 ′ ) = 𝑑𝐴(−𝑒, −𝑒 ′ ) Thay giá trị biến 𝑣 𝑝𝑒, 𝑝′ 𝑒 ′ , 𝑝𝑒 + 𝑝′ 𝑒 ′ đối xứng tập 𝐴, người ta dễ dàng lấy dạng yếu 𝑄𝑅,𝐴 Với hàm chu kỳ 𝜑 𝐷𝑇 , 𝑅 𝑅 ∫𝐷 𝑄𝑅,𝐴 (𝑓, 𝑓)𝜑(𝑣)𝑑𝑣 = 16 ∫𝑣∈𝐷 ∫(𝑒,𝑒 ′ )∈𝐴 ∫−𝑅 ∫−𝑅 𝑝𝑑−2 (𝑝′ )𝑑−2 𝐵̃ (𝑝, 𝑝′ )𝑓(𝑣 + 𝑝𝑒 + 𝑝′ 𝑒 ′ )[𝜑(𝑣 + 𝑇 𝑇 𝑝′ 𝑒 ′ ) + 𝜑(𝑣 + 𝑝𝑒) − 𝜑(𝑣 + 𝑝𝑒 + 𝑝′ 𝑒 ′ ) − 𝜑(𝑣)]𝑑𝑝 𝑑𝑝′ 𝑑𝐴 𝑑𝑣 Điều mang lại tính chất bảo tồn giống 𝑄𝑅 Tính tốn 𝐵̃ (𝑥, 𝑦) Giả sử 𝐵̃ (𝑥, 𝑦) tích hai hàm xác định a b 𝐵̃ (𝑥, 𝑦) = 𝑎(|𝑥|)𝑏(|𝑦|) Giả định chắn chấp nhận 𝐵̃ số Đây trường hợp phân tử Maxwellian không gian chiều cầu không gian chiều (hạt nhân thích hợp cho ứng dụng) Đầu tiên xử lý không gian chiều với 𝐵̃ = để giải thích phương pháp Với 𝑥 𝑦 tọa độ hình cầu, 𝑒 𝑒 ′ vectơ đơn vị tương ứng thỏa mãn 𝑥 = 𝑝𝑒 𝑦 = 𝑝′ 𝑒 ′ cho 𝑅 𝑅 ′ ′ 𝛽(𝑙, 𝑚) = ∫𝑒∈𝕊1 ∫𝑒 ′∈𝕊1 𝛿(𝑒 𝑒 ′ )[∫−𝑅 𝑒 𝑖𝑝(𝑙.𝑒) 𝑑𝑝][∫−𝑅 𝑒 𝑖𝑝 (𝑚.𝑒 ) 𝑑𝑝′ ]𝑑𝑒 𝑑𝑒 ′ Chúng biểu diễn 𝑅 𝜙𝑅2 (𝑠) = ∫ 𝑒 𝑖𝑝𝑠 𝑑𝑝, −𝑅 236 SCIENCE AND TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL NATURAL SCIENCES, VOL 2, ISSUE 6, 2018 với 𝑠𝜖𝑅 Do chúng tơi có 𝜋 𝛽(𝑙, 𝑚) = ∫ 𝜙𝑅2 (𝑙 𝑒𝜃 )𝜙𝑅2 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 ) 𝑑𝜃 Hàm 𝜃 → 𝜙𝑅2 (𝑙 𝑒𝜃 )𝜙𝑅2 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 ) hàm tuần hoàn [0, 𝜋] M số bất kỳ, ta xấp xỉ 𝜋 ∑𝑀−1 𝛼 (𝑙)𝛼𝑝′ (𝑚), 𝑀 𝑝=0 𝑝 𝛽(𝑙, 𝑚) = với 𝛼𝑝 (𝑙) = 𝜙𝑅2 (𝑙 𝑒𝜃 ), 𝛼𝑝′ (𝑚) = 𝜙𝑅2 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 ) , 𝑣à 𝜃𝑝 = 𝜋𝑝/𝑀 Nói chung theo giả định tách (3.2) 𝐵̃ , thu công thức tách biến 𝑀−1 𝛽(𝑙, 𝑚) = 𝜋 ∑ 𝛼𝑝 (𝑙)𝛼𝑝′ (𝑚) 𝑀 𝑝=0 với 𝛼𝑝 (𝑙) = 𝜙𝑅2 (𝑙 𝑒𝜃 ), 𝛼𝑝′ (𝑚) = 𝜙𝑅2 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 ) 𝑅 𝑅 ′ (𝑠) (𝑠) 𝜙𝑅,𝑎 = ∫ 𝑎(𝑝)𝑒 𝑖𝑝𝑠 𝑑𝑝 , 𝜙𝑅,𝑏 = ∫ 𝑏(𝑒 ′ )𝑒 𝑖𝑝 𝑠 𝑑𝑝′ 𝑣ớ𝑖 𝜃𝑝 = 𝜋𝑝/𝑀 −𝑅 −𝑅 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Kiểm tra số Với 𝑡 = 𝑞∆𝑡, ∆𝑡 > ta có 𝑓̂𝐾 (𝑞∆𝑡) = ∑𝑁𝑙+𝑚=𝑘, 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) 𝑓̂𝑙 (𝑞∆𝑡)𝑓̂𝑚 (𝑞∆𝑡) 𝑙,𝑚=−𝑁 Tính xấp xỉ ̂ ̂ 𝑓 ((𝑞+1)∆𝑡)−𝑓𝐾 (𝑞∆𝑡) 𝑓̂𝐾 (𝑞∆𝑡) = 𝐾 ∆𝑡 Do 𝑓̂𝐾 ((𝑞 + 1)∆𝑡) = 𝑓̂𝐾 (𝑞∆𝑡) + ∆𝑡 ∑𝑁𝑙+𝑚=𝑘, 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) 𝑓̂𝑙 (𝑞∆𝑡)𝑓̂𝑚 (𝑞∆𝑡) 𝑙,𝑚=−𝑁 (4.1) Đối với chất khí có độ nhớt/ma sát ta có 𝑓̂𝐾 ((𝑞 + 1)∆𝑡) = 𝑓̂𝐾 (𝑞∆𝑡) + ∆𝑡 ∑𝑁𝑙+𝑚=𝑘, 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) 𝑓̂𝑙 (𝑞∆𝑡)𝑓̂𝑚 (𝑞∆𝑡) − 𝜀𝑓̂𝐾 (𝑞∆𝑡) (4.2) 𝑙,𝑚=−𝑁 Trong không gian hai chiều 𝑑 = 2, sử dụng 𝑁 = 5, 𝑀 = 1, 𝑡 ∈ [0, 0.5], 𝑣 ∈ [−𝜋, 𝜋], 𝑎 = 𝑏 = 1, 𝑅 = 𝜋, 𝑓(0, 𝑣) = 𝑣2 𝜋𝜎 𝑒 (−𝑣 /𝜎 ) , (*) 𝜋 với 𝜎 = , 𝐷𝜋 ∈ [−𝜋, 𝜋]2, thay (*) vào (4.2) - Tại thời điểm 𝑞 = 𝑓̂𝑘 (0, 𝑣) = ∫ (2𝜋)2 𝐷 𝑣2 𝜋 𝜋𝜎 (−𝑣 2𝑒 /𝜎 ) −𝑖𝑘𝑣 𝑒 𝑑𝑣 = ∫ 𝑣2𝑒 𝜋5 𝐷 𝜋 ( −36𝑣2 ) −𝑖𝑘𝑣 𝜋2 𝑒 𝑑𝑣 , TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ: CHUN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN, TẬP 2, SỐ 6, 2018 237 - Tại thời điểm 𝑞 = ta có 𝑓̂𝐾 (∆𝑡, 𝑣) = 𝑓̂𝑘 (0, 𝑣) − 𝜀∆𝑡𝑓̂𝑘 (0, 𝑣) + ∆𝑡 ∑𝑁𝑙+𝑚=𝑘, 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) 𝑓̂𝑙 (0)𝑓̂𝑚 (0) = 𝑙,𝑚=−𝑁 𝜀∆𝑡 ∫ 𝑣2𝑒 −36𝑣2 ) −𝑖𝑘𝑣 𝜋2 ( 𝜋5 𝐷𝜋 𝑒 𝑑𝑣 + ∆𝑡 ∑𝑁𝑙+𝑚=𝑘, 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) 𝑙,𝑚=−𝑁 81 ∫ 𝑣2 𝑒 −36𝑣2 ) −𝑖𝑙𝑣 𝜋2 ( 𝜋10 𝐷𝜋 𝑒 ∫ 𝑣2𝑒 𝜋5 𝐷 𝑣2𝑒 ( −36𝑣2 ) −𝑖𝑘𝑣 𝜋2 𝜋 −36𝑣2 ) −𝑖𝑚𝑣 𝜋2 ( 𝑒 𝑒 𝑑𝑣 − 𝑑𝑣 , Trong 0 𝛽̂ (𝑙, 𝑚) = 𝜋 ∑ 2𝜋𝑆𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑙 𝑒𝜃 ))2𝜋𝑆𝑖𝑛𝑐(𝜋 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 )) + 𝜋 ∑ 2𝜋𝑆𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑚 𝑒𝜃 ))2𝜋𝑆𝑖𝑛𝑐(𝜋 (𝑚 𝑒𝜃+𝜋 )) 𝑝=0 𝑝=0 Các kết kiểm tra số Chúng tiến hành thử nghiệm với giá trị 𝜺 0; 0,1; 0,2 thu kết Hình Hàm mật độ 𝑓(𝑣, 𝑡) thời gian t = 0; 0,12, 0,24; 0,37; 0,5 𝜺 = Trong hình với 𝜀 = dung dịch đạt giá trị bảo hịa thời gian 𝑡 = 0,24 có giá trị 0,10 Hình Hàm mật độ 𝑓(𝑣, 𝑡) thời gian t = 0; 0,12; 0,24; 0,37; 0,5 𝜀 = 0,1 238 SCIENCE AND TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL NATURAL SCIENCES, VOL 2, ISSUE 6, 2018 Hình so sánh hàm mật độ chất hai trường hợp 𝜀 = 𝜀 = 0,1, hàm mật độ khí với 𝜀 = có giá trị thấp 0,3 𝑡 = 0,24; 0,4 𝑡 = 0,37 0,6 𝑡 = 0,50 Hình Hàm mật độ 𝑓(𝑣, 𝑡) thời gian t = 0; 0,12; 0,24; 0,37; 0,5 𝜀 = 0,2 So với trường hợp 𝜀 = với 𝜀 = 0,2 hàm mật độ khí có giá trị thấp 0,4 𝑡 = 0,24; 0,7 𝑡 = 0,37 0,9 𝑡 = 0,50 (Hình 3) Với 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ) ∈ [−40, 40], cho 𝑣2 = ta có 𝑣 = (𝑣1 , 0) ∈ [−40, 40], hình biểu diễn mặt cắt lớp hàm mật độ khí 𝑓 ba móc thời gian 𝑡 = 0; 0,24; 0,5 ứng với giá trị 𝑓 𝜀 = 0; 0,1; 0,2 Hình So sánh hàm mật độ 𝑓(𝑣, 𝑡) thời gian 𝑡 = 0,24; 𝑣à 0,5 với 𝜀 = 0; 0,1; 0,2 Với kết thí nghiệm chúng tơi thấy độ nhớt làm hàm mật độ khí nhỏ hơn, điều chúng tơi mong đợi Hàm mật độ khí giảm giá trị độ nhớt 𝜀 lớn Lời cảm ơn: Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Trần Minh Bình đề xuất hướng dẫn thực nghiên cứu báo TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ: CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN, TẬP 2, SỐ 6, 2018 239 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Germain, A.D Ionescu, M.B Tran, “Optimal local well-posedness theory for the kinetic wave equation”, arXiv preprint arXiv:1711.05587, 2017 [2] T.T Nguyen, M.B Tran, “Uniform in time lower bound for solutions to a quantum boltzmann equation of bosons”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Available online 27 June 2018 [3] A Soffer and M.B Tran, “On the dynamics of finite temperature trapped bose gases”, Advances in Mathematics, vol 325, pp 533–607, 2018 [4] A Soffer, M.B Tran, “On coupling kinetic and schrodinger equations”, Journal of Differential Equations, vol 265, no 5, pp 2243–2279, 2018 [5] S Muralikrishnan, M.B Tran, T.B Thanh, “An Iterative HDG Framework for Partial Differential Equations”, SIAM Journal on Scientific Computing, vol 39, no 5, pp S782–S808, 2017 [6] T.T Nguyen, M.B Tran, “On the Kinetic Equation in Zakharov's Wave Turbulence Theory for Capillary Waves”, SIAM J Math Anal., vol 50, no 2, 2020–2047, 2018 [7] S Muralikrishnan, M.B Tran, T.B Thanh, “An improved iterative HDG approach for partial differential equations”, Journal of Computational Physics, vol 367, pp 295–321, 2018 [8] S Jin, M.B Tran, “Quantum hydrodynamic approximations to the nite temperature trapped bose gases”, Physica D: Nonlinear Phenomena, vol 380–381, pp 45–57, 2018 [9] M.B Tran, “Convergence to Equilibrium of Some Kinetic Models”, Journal of Differential Equations, vol 255, no 3, pp 405– 440, 2013 [10] M Escobedo, M.B Tran, “Convergence to equilibrium of a linearized quantum Boltzmann equation for bosons at very low temperature”, Kinetic and Related Models, vol 8, no 3, pp 493–531, 2015 [11] I.M Gamba, L.M Smith, M.B Tran, “On the wave turbulence theory for stratified flows in the ocean”, arXiv preprint arXiv:1709.08266, 2017 [12] R Alonso, I.M Gamba, M.B Tran, “The Cauchy problem and BEC stability for the quantum Boltzmann-Condensation system for bosons at very low temperature”, arXiv preprint arXiv:1609.07467, 2016 [13] G Craciun, M.B Tran, “A reaction network approach to the convergence to equilibrium of quantum boltzmann equations for bose gases”, arXiv preprint arXiv:1608.05438, 2016 [14] L.E Reichl, M.B Tran, “A kinetic model for very low temperature dilute bose gases”, arXiv preprint arXiv:1709.09982, 2017 [15] M.B Tran, G Craciun, L.M Smith, S Boldyrev, “A reaction network approach to the theory of acoustic wave turbulence”, submitted [16] A Soffer, M.B Tran, “On the energy cascade of acoustic wave turbulence: Beyond Kolmogorov-Zakharov solutions”, submitted [17] D Benedetto, E Caglioti, M Pulvirenti, “A kinetic equation for granular media”, M2AN Math Model Numer Anal., vol 31, pp 615–641, 1997 [18] Erratum: “A kinetic equation for granular media”, M2AN Math Model Numer Anal., vol 33, no 2, pp 439–441, 1999 [19] G.A Bird, “Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows”, Oxford Engineering Science Series, vol 42, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1994 [20] A Bobylev, S Rjasanow, “Difference scheme for the Boltzmann equation based on the fast Fourier transform”, European J Mech B Fluids, vol 16, no 2, pp 293–306, 1997 [21] A.V Bobylev, “The theory of the nonlinear spatially uniform Boltzmann equation for Maxwell molecules”, Mathematical Physics Reviews, vol 7, Harwood Academic Publ., Chur, pp 111–233, 1988 [22] A.V Bobylev, S Rjasanow, “Fast deterministic method of solving the Boltzmann equation for hard spheres”, Eur J Mech B Fluids, vol 18, no 5, pp 869–887, 1999 [23] A.V Bobylev, S Rjasanow, “Numerical solution of the Boltzmann equation using a fully conservative difference scheme based on the fast Fourier transform”, Transport Theory Statist Phys., vol 29, no 3-5, pp 289–310, 2000 [24] C Canuto, M.Y Hussaini, A Quarteroni, T.A Zang, “Spectral methods in fluid dynamics”, Springer Series in Computational Physics, Springer-Verlag, New York, 1988 [25] T Carleman, “Sur la théorie de l’équation intégrodifférentielle de Boltzmann, Acta Math., vol 60, 1932 [26] C Cercignani, “Theory and application of the Boltzmann equation”, Elsevier, New York, 1975 [27] C Cercignani, R Illner, M Pulvirenti, “The mathematical theory of dilute gases”, Applied Mathematical Sciences, vol 106, Springer-Verlag, New York, 1994 [28] P Degond, B Lucquin-Desreux, “The Fokker-Planck asymptotics of the Boltzmann collision operator in the Coulomb case”, 240 SCIENCE AND TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL NATURAL SCIENCES, VOL 2, ISSUE 6, 2018 M3AS, no 2, pp 167–182, 1992 [29] M Escobedo, S Mischler, “On a quantum Boltzmann equation for a gas of photons”, J Math Pures Appl., no 9, pp 417–515, 2001 [30] F Filbet, G Russo, “High order numerical methods for the space nonhomogeneous Boltzmann equation”, J Comput Phys., vol 186, no 2, pp 457–480, 2003 [31] I Ibragimov, S Rjasanow, “Numerical solution of the Boltzmann equation on the uniform grid”, Computing, vol 69, no 2, pp 163–186, 2002 [32] P.A Markowich, C.A Ringhofer, C Schmeiser, “Semiconductor equations”, SpringerVerlag, Vienna, 1990 [33] K Nanbu, “Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation”, I Monocomponent gases, J Phys Soc Japan, vol 52, pp 2042–2049, 1983 [34] L Pareschi, B Perthame, “A Fourier spectral method for homogeneous Boltzmann equations”, Transport Theory Statist Phys., vol 25, no 3-5, pp 369–382, 1996 [35] L Pareschi, G Russo, “Numerical solution of the Boltzmann equation”, I Spectrally accurate approximation of the collision operator, SIAM J Numer Anal., vol 37, no 4, pp 1217–1245, 2000 [36] L Pareschi, G Russo, “On the stability of spectral methods for the homogeneous Boltzmann equation”, Transport Theory Statist Phys., vol 29, no 3–5, 431–447, 2000 Spectral method for the Boltzmann equation for gases with viscosity Dinh Phan Cao Nguyen Nha Trang University Corresponding author: nguyendpc@ntu.edu.vn Received: 24-08-2018; Accepted: 09-11-2018; Published: 31-12-2018 Abstract—We propose in this paper a spectral method for the Boltzmann equation for gases with viscosity/friction We describe the density of particles and compare the results in the case of gases with friction and rarefied gas This is the first numerical result for the equation We show numerically that under the presence of the viscosity, the solution dissipates to The larger the viscosity is, the faster the solution converges to Keywords—Boltzmann equation, numerical analysis, spectral methods, molecular friction, density function