Phương pháp phổ để giải số phương trình boltzmann cho các chất khí có độ nhớt

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐINH PHAN CAO NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP PHỔ ĐỂ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH BOLTZMANN CHO CÁC CHẤT KHÍ CĨ ĐỘ NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHÁNH HÒA - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐINH PHAN CAO NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP PHỔ ĐỂ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH BOLTZMANN CHO CÁC CHẤT KHÍ CĨ ĐỘ NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Công nghệ thông tin Mã số: 8480201 Quyết định giao đề tài: 453/QĐ-ĐHNT ngày 04/5/2019 Quyết định thành lập hội đồng: 1523/QĐ-ĐHNT ngày 27/11/2019 Ngày bảo vệ: 23/12/2019 Người hướng dẫn khoa học: GS Trần Minh Bình TS Nguyễn Đức Thuần Chủ tịch Hội đồng: TS Đinh Đồng Lưỡng Phòng Đào tạo sau đại học: KHÁNH HỊA - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết đề tài: "Phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann cho chất khí có độ nhớt" cơng trình nghiên cứu cá nhân đề xuất hướng dẫn GS Trần Minh Bình chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Tôi xin cam đoan lời hồn tồn thật tơi xin chịu toàn trách nhiệm lời cam đoan Khánh Hịa, Ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn ĐINH PHAN CAO NGUYÊN iii LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Quý Thầy, Cô Khoa Công nghệ thông tin trường Đại học Nha Trang quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS Trần Minh Bình đề xuất hướng dẫn thực nghiên cứu TS Nguyễn Đức Thuần tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tất bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! Khánh Hịa, Ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn ĐINH PHAN CAO NGUYÊN iv MỤC LỤC Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mục lục v Danh mục hình vii Trích yếu luận văn ix Chương Tổng quan Chương Cơ sở lý thuyết 2.1 Phương trình Boltzmann 2.1.1 Toán tử va chạm Boltzmann 2.1.2 Định lý Cauchy cho phương trình Boltzmann đồng 2.2 Không gian Lp 2.2.1 Các định nghĩa 2.2.2 Công thức Euler 2.2.3 Mơ hình cầu rắn 2.3 Biến đổi Fourier 10 2.3.1 Chuỗi Fourier lượng giác 10 2.3.2 Chuỗi Fourier hàm số mũ 13 2.3.3 Biến đổi Fourier 14 2.3.4 Hàm đặc biệt 19 2.3.5 Hàm delta 23 Chương Phương pháp số 27 3.1 Phương pháp phổ 27 3.2 Phương pháp phổ Fourier cho phương trình vi phân phần 28 3.3 Phép chiếu phổ phương trình Boltzmann 30 3.4 Thuật giải phương pháp phổ 31 v 3.5 Tính toán B(x,y) 32 3.5.1 Không gian chiều 32 3.5.2 Không gian chiều 33 Chương Thực nghiệm số 35 4.1 Biến đổi toán học 35 4.2 Không gian chiều 36 4.2.1 Chất khí khơng có ma sát phân tử 36 4.2.2 Chất khí có ma sát phân tử 37 4.2.3 Kết số 38 4.3 Không gian chiều 40 4.3.1 Chất khí khơng có ma sát phân tử 41 4.3.2 Chất khí có ma sát phân tử 41 4.3.3 Kết số 42 4.4 Một số kết khác 44 Chương Kết thảo luận 47 Danh mục cơng trình cơng bố 49 Danh mục tài liệu tham khảo 50 vi DANH MỤC HÌNH Hình 2.1 Va chạm hai hạt nhân đường thẳng Hình 2.2 Va chạm hai hạt nhân không gian chiều Hình 2.3 Quả cầu Svv∗ Hình 2.4 Hàm tuần hồn f 10 Hình 2.5 Hàm f (x) = Ax 11 Hình 2.6 Chuỗi Fourier với chu kỳ 1, 3, 10, 50 13 Hình 2.7 Hàm f (x) = ±A 15 Hình 2.8 Hàm tuần hồn bước lẻ 16 Hình 2.9 Hàm khơng tuần hồn bước lẻ 17 Hình 2.10 Hàm khơng tuần hồn bước lẻ chu kỳ N L 17 Hình 2.11 Hàm Gaussian 19 Hình 2.12 Xấp xỉ Gaussian (a) 19 Hình 2.13 Xấp xỉ Gaussian (b) 20 Hình 2.14 Tổng từ k = −4 đến k = với ∆k = 20 Hình 2.15 Xấp xỉ Gaussian (b) 21 Hình 2.16 Hàm hệ số mũ 21 Hình 2.17 Biến đổi Fourier hàm hệ số mũ 22 Hình 2.18 Hàm sóng vuông 22 Hình 2.19 Biến đổi Fourier hàm sóng vng 23 Hình 2.20 Hàm sóng vng cao mỏng 23 Hình 2.21 Biến đổi Fourier Gaussian với a = 0.02 25 Hình 2.22 Biến đổi Fourier Lorentzian với b = 0.1 25 Hình 2.23 Biến đổi Fourier hàm sóng vuông với a = 40 26 Hình 3.1 Biểu diễn hình học va chạm (v, v∗ ) ↔ (v , v∗ ) 31 Hình 4.1 Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = 38 Hình 4.2 Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = 0.1 38 Hình 4.3 Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = 0.2 39 Hình 4.4 Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 39 vii Hình 4.5 Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0.24 t = 0.5, với ε = 0, 0.1, 0.2 40 Hình 4.6 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, 0.1, 0.2 40 Hình 4.7 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 42 Hình 4.8 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.2 43 Hình 4.9 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.5 43 Hình 4.10 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 44 Hình 4.11 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 44 Hình 4.12 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 45 Hình 4.13 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = 45 Hình 4.14 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = 46 viii TRÍCH YẾU LUẬN VĂN Phương trình Boltzmann mô tả chuyển động phân tử chất khí lý tưởng Nghiệm số phương trình có tầm quan trọng nhiều ứng dụng, đặc biệt ngành Vật Lý học Phương trình Boltzmann tiếng có dạng ∂f + ξ · ∇x f = Q(f ) ∂t Có hai phương pháp sử dụng để tìm nghiệm cho phương trình Boltzmann phương pháp xác suất Monte Carlo phương pháp phổ Phương pháp xác suất Monte Carlo phương pháp sử dụng biến số ngẫu nhiên để tìm nghiệm cho phương trình, nhiên tốc độ độ xác phương pháp chưa đáp ứng nhu cầu thật tế Phương pháp phổ sử dụng công cụ phương pháp biến đổi Fourier Trong luận văn đề xuất phương pháp giải tích số - phương pháp phổ cho phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử Đây phương pháp số phương trình Boltzmann cho chất có ma sát Chúng biểu diễn giá trị hàm mật độ chất khí so sánh kết trường hợp có ma sát phân tử trường hợp khơng có ma sát khơng gian chiều Chúng tơi dự đốn giá trị hàm mật độ chất khí có ma sát phân tử va chạm giảm dần 0, giá trị ma sát lớn tốc độ giảm giá trị hàm mật độ chất khí nhanh Phương pháp nghiên cứu tiến hành biến đổi đại số lập trình mơ nghiệm phương trình Boltzmann cho chất khí lý tưởng Kế thừa kết chúng tơi tiếp tục tiến hành lập trình mơ nghiệm phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử theo đề xuất Các bước nghiên cứu cụ thể sau: - Bước 1: Tìm hiểu phương trình Boltzmann biển đổi Fourier - Bước 2: Khai triển bước biến đổi đại số phép chiếu phổ phương trình Boltzmann cho trường hợp chất khí lý tưởng sau lập trình mơ kết nghiệm số phương trình Boltzmann cho chất khí lý tưởng - Bước 3: Kế thừa kết thu từ bước khai triển mơ nghiệm số phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử ix - Bước 4: Dự đoán kết nghiệm số phương trình Boltzmann cho chất khí lý tưởng Chúng tơi sử dụng ngơn ngữ lập trình Python để mơ kết này, ngôn ngữ tối ưu cho việc mơ thuật tốn nhờ thư viện toán học khổng lồ cộng đồng lớn Kết thực nghiệm xác theo dự đốn chúng tơi Tuy nhiên, luận văn chúng tơi chưa chứng minh tốn học cho đắn đề xuất Đây hướng nghiên cứu chúng tơi trình bày đề tài Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Tổng quan Trong chương tổng quan cơng trình nghiên cứu, lý thuyết xu nghiên cưu nhà khoa học liên quan đến phương trình Boltzmann • Chương Cơ sở lý thuyết Chúng tơi trình bày sở lý thuyết sử dụng luận văn bao gồm lý thuyết toán học sử dụng thuật giải phương trình Boltzmann lý thuyết tốn học biến đổi Fourier • Chương Phương pháp phổ Trong chương trình bày sở lý thuyết bước biến đổi đại số để giải số cho phương trình Boltzmann • Chương Kiểm tra số Sau phép đổi đại số cho hàm f (0) chọn, tiến hành lập trình mơ kết kiểm tra số phương trình Boltzmann không gian chiều hai trường hợp chất khí có khơng có ma sát phân tử • Chương kết luận kiến nghị Từ khóa: Phương trình Boltzmann, giải tích số, phương pháp phổ, ma sát phân tử, hàm mật độ x 4.2.3 Kết số Hình 4.1: Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = Với ε = dung dịch đạt giá trị bảo hòa thời gian t = 0.24 có giá trị 0.10 Hình 4.2: Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = 0.1 So với trường hợp ε = với ε = 0.1 hàm mật độ khí có giá trị thấp 0.3 t = 0.24, 0.4 t = 0.37 0.6 t = 0.50 38 Hình 4.3: Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 ε = 0.2 So với trường hợp ε = với ε = 0.2 hàm mật độ khí có giá trị thấp 0.4 t = 0.24, 0.7 t = 0.37 0.9 t = 0.50 Với v = (v1 , v2 ) ∈ [−40, 40], chọn v2 = ta có v = (v1 , 0) ∈ [−40, 40], ta có biểu diễn mặt cát lớp hàm mật độ khí f ba móc thời gian t = 0, 0.24, 0.5 ứng với giá trị f ε = 0, 0.1, 0.2 Hình 4.4: Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = Tại thời gian t = giá trị hàm mật độ chất khí ba trường hợp ε = 0, 0.1, 0.2 39 (a) f (v, t) thời gian t = 0.24 (b) f (v, t) thời gian t = 0.5 Hình 4.5: Hàm mật độ f (v, t) thời gian t = 0.24 t = 0.5, với ε = 0, 0.1, 0.2 Hình 4.6: Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, 0.1, 0.2 Hình 4.5 4.6 biểu diễn hàm mật độ chất khí có xu hướng giảm dần trường hợp chất khí có ma sát phân tử (ε = 0.1, 0.2) đạt trạng thái bảo hịa khơng có ma sát phân tử (ε = 0) 4.3 Không gian chiều Tương tư kiểm tra số không gian chiều, chọn hàm f không âm tùy ý thỏa mãn phương trình Boltzmann (2.2) f (0, v) = 2(2πσ ) e− |v−2σe1 |2 2σ 40 + e− |v+2σe1 |2 2σ , (**) với d = 3, λ = 2√ ,σ 3+ = λ π6 , Dπ ∈ [−π, π] , v = (v1 , v2 , v3 ) Chọn α = 0, Cα = ˆ m) = β(l, √ √ 16π , ta có 2π(2λπ) r2 Sinc(ξr)Sinc(ηr) dr, ξ = |l + m| λπ, η = |l − m| λπ Với N = 5, ∆t = 0.5, v ∈ [−π, π], tiến hành bước biến đổi đại số để mơ hàm mật độ chất khí trường hợp chất khí khơng có ma sát phân tử (khí lý tưởng) chất khí có ma sát phân tử 4.3.1 Chất khí khơng có ma sát phân tử Thay (**) vào (4.2) ta có - Tại thời điểm q = fˆk (0, v) = (2π)3 e 2(2πσ ) − |v−2σe1 |2 2σ − +e |v+2σe1 |2 2σ e−ikv dv Dπ - Tại thời điểm q = 1 (2π)3 fˆk (0, v) = − e 2(2πσ ) |v−2σe1 |2 2σ − +e |v+2σe1 |2 2σ e−ikv dv Dπ N + ∆t l+m=k, l,m=−N 4.3.2 √ 2π(2λπ)3 r2 Sinc(ξr)Sinc(ηr) drfˆl (q∆t)fˆm (q∆t) Chất khí có ma sát phân tử Thay (**) vào (4.3) ta có - Tại thời điểm q = fˆk (0, v) = 1 (2π)3 2(2πσ ) Dπ 41 e− |v−2σe1 |2 2σ + e− |v+2σe1 |2 2σ e−ikv dv - Tại thời điểm q = 1 (2π)3 fˆk (0, v) = e− 2(2πσ ) |v−2σe1 |2 2σ + e− |v+2σe1 |2 2σ e−ikv dv Dπ N + ∆t l+m=k, l,m=−N −ε (2π)3 √ 2π(2λπ)3 r2 Sinc(ξr)Sinc(ηr) drfˆl (q∆t)fˆm (q∆t) 2(2πσ ) e− |v−2σe1 |2 2σ + e− |v+2σe1 |2 2σ e−ikv dv Dπ 4.3.3 Kết số Hình 4.7: Hàm mật độ f (v, t) với ε = Với ε = dung dịch đạt giá trị bảo hòa thời gian t = 0.37 có giá trị 0.6 42 Hình 4.8: Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.2 So với trường hợp ε = với ε = 0.1 hàm mật độ khí có giá trị thấp 0.04 t = 0.24, 0.17 t = 0.4 0.8 t = 0.50 Hình 4.9: Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.5 So với trường hợp ε = với ε = 0.1 hàm mật độ khí có giá trị thấp 0.06 t = 0.24, 0.27 t = 0.6 0.9 t = 0.50 Nhận xét: thời điểm ban đầu q = giá trị hàm mật độ f (v) với giá trị ε có giá trị xấp xỉ 0.8 Tại thời điểm q = 2, 5, 10, 15 giá trị xấp xỉ tương ứng f (v) với ε = 0.1 0.33, 0.15, 0.06, 0.00, với ε = 0.5 0.12, 0.00, 0.0, 0.0 Rõ ràng, giá trị hàm mật độ f (v) với ε = 0.5 nhỏ 43 tốc độ giảm nhanh so với ε = 0.1 4.4 Một số kết khác Chọn N = 2, M = 1, t ∈ [0, 0.5] , v ∈ [−π, π] , a = b = 1, R = π f (0, v) = v −v22 eσ , πσ • Kiểm tra 1: N = 2, Hình 4.10: Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = • Kiểm tra 2: N = Hình 4.11: Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = • Kiểm tra 3: N = 44 (*) Hình 4.12: Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = Nhân xét: hàm mật độ chất khí đảm bảo tính chất hàm sóng vuông Với N nhỏ, hàm mật độ dày ngắn, với N lớn hàm mật độ cao nhỏ dần góc tọa độ Hình 4.13: Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = 45 Hình 4.14: Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = Với N lớn hàm mật độ chất khí thỏa mãn tính chất bảo hịa sau thời gian t, nhiên giá trị góc tọa độ không đạt giá trị cao so với N = Việc chọn giá trị N phù hợp định hình dáng hàm mật độ chất khí 46 CHƯƠNG KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Trong không gian chiều, thuật giải theo phương pháp cổ điển có độ phức tạp O(N ) phương pháp phổ có độphức tạp O(M N ) Trong không gian chiều, phương pháp cổ điển O(N ) (nhờ đối xứng ma trận, xem [7]) phương pháp phổ O(M N ) Trong trình va chạm phân tử có ma sát, phân tử dần động tác dụng lực ma sát chuyển hóa chủ yếu thành nhiệt Hàm mật độ chất khí trở động phân tử bị chuyển hóa hồn tồn thành nhiệt Với kết thí nghiệm chúng tơi thấy ma sát làm hàm mật độ khí nhỏ hơn, điều mong đợi Hàm mật độ khí giảm theo tỉ lệ nghịch với giá trị ma sát ε Kết đồng hai trường hợp không gian chiều chiều kiểm tra số Độ phức tạp phương pháp phổ tốt không gian chiều không đáng kể không gian chiều Việc chọn giá trị biến N M có ảnh hưởng quan trọng đến hình dạng hàm mật độ khí lỗi cưa xuất hiện tượng Gibbs biến đổi Fourier Trong luận văn giới thiệu phương pháp phổ để giải phương trình Boltzmann Phương pháp sử dụng phép biến đổi Fourier để biến đổi phương trình Boltzmann sau phép biến đổi đại số tìm nghiệm phương trình Biến đổi Fourier thuật toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ Đối với ngành Công nghệ thơng tin nói riêng, ứng dụng phổ biến lĩnh vực xử lý ảnh xử lý âm Trong luận văn chúng tơi trình bày số sở lý thuyết tốn học trình bày ứng dụng tiêu biểu phép biến đổi Ngồi chúng tơi đề xuất phương pháp giải tích số cho phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử lập trình mơ giả thuyết Kết mô điều mong đợi, hàm mật độ chất khí giảm giá trị ma sát lớn 47 Phương trình Boltzmann có vị trí quan trọng nhiều ứng dụng, đặc biệt ngành Vật lý học Các cơng trình nghiên cứu trước áp dụng chất khí lý tưởng, phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử nhà khoa học giới nghiên cứu tạo nên nhiều ứng dụng Luận văn trình bày hướng tiếp cận nhà khoa học giới thuộc trường phái Boltzmann 48 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ Đinh Phan Cao Ngun, "Phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann cho chất khí có độ nhớt", Chun San Khoa Học Tự Nhiên, Tạp Chí Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2018 Đinh Phan Cao Nguyên, "Phương pháp phổ để giải số phương trình Boltzmann cho chất khí có độ nhớt khơng gian chiều", Tạp chí khoa học Đại học Văn Lang, vol 13, pp 88–95, 2019 49 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng nước Bird, G A Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows Oxford Engineering Science Series 42 (1994) Bobylev, A V The theory of the nonlinear spatially uniform Boltzmann equation for Maxwell molecules Mathematical physics reviews 7, 111–233 (1988) C Canuto M.Y Hussaini, A Q & Zang, T Spectral Methods in Fluid Dynamics Springer-Verlag, New York (1988) Craciun, G & Tran, M.-B A reaction network approach to the convergence to equilibrium of quantum boltzmann equations for bose gases arXiv preprint arXiv 1608.05438 (2016) Degond, P & Lucquin-Desreux, B The Fokker-Planck asymptotics of the Boltzmann collision operator in the Coulomb case M3AS 2, 167–182 (1992) E Foster J Loheac, M.-B T A Structure Preserving Scheme for the Kolmogorov Fokker Planck Equation Journal of Computational Physics 330, 319–339 (2017) E Gabetta, L P & Toscani, G Relaxation schemes for nonlinear kinetic equations SIAM J Numer Anal 34, 2168–2194, no 6, 2168–2194 (1997) Escobedo, M & Mischler, S On a quantum Boltzmann equation for a gas of photons J Math Pures Appl 9, 417–515 (2001) Escobedo, M & Tran, M.-B Convergence to equilibrium of a linearized quantum Boltzmann equation for bosons at very low temperature Kinetic and Related Models 8(3), 493–531 (2015) 10 Filbet, F & Russo, G High order numerical methods for the space nonhomogeneous Boltzmann equation J Comput Phys 186, 457–480 (2003) 11 I M Gamba, L M S & Tran, M.-B On the wave turbulence theory for stratified flows in the ocean arXiv preprint arXiv 1709.08266 (2017) 50 12 J.-A Carrillo S Mancini, M.-B T On the exponential convergence rate for a nongradient Fokker-Planck equation in Computational Neuroscience Journal of Elliptic and Parabolic Equations 1, 271–279 (2015) 13 Jin, S & Tran, M.-B Quantum hydrodynamic approximations to the nite temperature trapped bose gases Physica D: Nonlinear Phenomena 380–381, 45–57 (2018) 14 L Gerardo-Giorda, M.-B T Parallelizing the Kolmogorov-Fokker-Planck equation ESAIM Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 49, 395–420 (2015) 15 M.-B Tran G Craciun, L M S & Boldyrev, S A reaction network approach to the theory of acoustic wave turbulence submitted 16 Nguyen, T T & Tran, M.-B On the Kinetic Equation in Zakharov’s Wave Turbulence Theory for Capillary Waves SIAM J Math Anal 50(2), 2020–2047 (2018) 17 Nguyen, T T & Tran, M.-B Uniform in time lower bound for solutions to a quantum boltzmann equation of bosons Archive for Rational Mechanics and Analysis, Available online (2018) 18 P Germain, A D I & Tran, M.-B Optimal local well-posedness theory for the kinetic wave equation arXiv preprint arXiv 1711.05587 (2017) 19 Pareschi, L & Perthame, B A Fourier spectral method for homogeneous Boltzmann equations Transport Theory Statist Phys 25 3-5, 369–382 (1996) 20 Pareschi, L & Russo, G Numerical solution of the Boltzmann equation I Spectrally accurate approximation of the collision operator, SIAM J Numer Anal 37, 1217–1245 (2000) 21 Pareschi, L & Russo, G On the stability of spectral methods for the homogeneous Boltzmann equation Transport Theory Statist Phys 29, 431–447 (2000) 22 R Alonso, I M G & Tran, M.-B The Cauchy problem and BEC stability for the quantum Boltzmann-Condensation system for bosons at very low temperature arXiv preprint arXiv 1609.07467 (2016) 23 Reichl, L E & Tran, M.-B A kinetic model for very low temperature dilute bose gases arXiv preprint arXiv 1709.09982 (2017) 51 24 S Muralikrishnan M.-B Tran, T B.-T An Iterative HDG Framework for Partial Differential Equations SIAM Journal on Scientific Computing 39 no 5, S782–S808 (2017) 25 S Muralikrishnan M.-B Tran, T B.-T An improved iterative HDG approach for partial differential equations Journal of Computational Physics 367, 295–321 (2018) 26 Soffer, A & Tran, M.-B On the energy cascade of acoustic wave turbulence: Beyond Kolmogorov-Zakharov solutions arXiv preprint arXiv 1811.06951 27 Soffer, A & Tran, M.-B On coupling kinetic and schrodinger equations Journal of Differential Equations 265 (5), 2243–2279 (2018) 28 Soffer, A & Tran, M.-B On the dynamics of finite temperature trapped bose gases Advances in Mathematics 325, 533–607 (2018) 29 Tran, M.-B Parallel Schwarz waveform relaxation method for a semilinear heat equation in a cylindrical domain Comptes Rendus Mathematiques 348, 795–799 (2010) 30 Tran, M.-B A parallel four step domain decomposition scheme for coupled forward backward stochastic differential equations Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 96, 377–394 (2011) 31 Tran, M.-B Convergence to Equilibrium of Some Kinetic Models Journal of Differential Equations 255, 405–440 (2013) 32 Tran, M.-B Nonlinear approximation theory for the homogeneous Boltzmann equation arXiv preprint arXiv 1305.1667 (2013) 33 Tran, M.-B Parallel Schwarz waveform relaxation algorithm for an n-dimensional semilinear heat equation ESAIM Mathematical Modelling and Numerical Analysis 48, pp795–813 (2014) 34 Yves Pomeau, M.-B T Statistical Physics of Non Equilibrium Quantum Phenomena Springer Books (2018) 52 ... xuất phương pháp để giải phương trình Boltzmann chất khí có ma sát phân tử Phương trình có dạng ∂f + ξ · ∇x f = Q(f ) + εf, ∂t Trong ε hệ số ma sát Luận văn kết giải tích số cho phương trình Boltzmann. .. cho phương trình Boltzmann phương pháp xác suất Monte Carlo phương pháp phổ Phương pháp xác suất Monte Carlo phương pháp sử dụng biến số ngẫu nhiên để tìm nghiệm cho phương trình, nhiên tốc độ. .. phương trình Boltzmann cho chất khí có ma sát phân tử Đây phương pháp số phương trình Boltzmann cho chất có ma sát Chúng biểu diễn giá trị hàm mật độ chất khí so sánh kết trường hợp có ma sát phân