SÁCH mô HÌNH TOÁN

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TRONG PHÂN TÍCH

TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

Định nghĩa mô hình toán kinh tế

Mô hình của một đối tƣợng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tƣợng đó theo cách hình dung, tưởng tượng, suy nghĩ của người lập mô hình Hiện thực khách quan này được người lập mô hình thể hiện, có thể bằng nhiều cách khác nhau nhƣ mô tả bằng lời nói, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành nào đó (ví dụ nhƣ biểu thức toán học, ngôn ngữ máy tính, bảng vẽ thiết kế của ngành xây dựng ) Nhƣ vậy, một mô hình gồm có hai phần là nội dung và hình thức thể hiện

Mô hình hóa một đối tƣợng nghiên cứu là việc xây dựng mô hình của đối tượng đó, nhằm làm nổi bật những đặc trưng quan trọng có ảnh hưởng đến việc nghiên cứu Cùng một đối tƣợng nhƣng nếu mục đích nghiên cứu khác nhau, có thể nhận đƣợc những mô hình khác nhau Mô hình còn phụ thuộc vào tƣ duy, trình độ, sự hiểu biết về đối tượng của người lập mô hình Một mô hình tốt chứa đựng đủ những yếu tố cơ bản của hiện tƣợng khách quan có liên quan đến vấn đề nghiên cứu sẽ giúp cho các kết luận rút ra từ việc phân tích mô hình phù hợp với thực tiễn ở một mức độ tin cậy cao

Mô hình toán kinh tế là mô hình nghiên cứu các vấn đề trong lĩnh vực kinh tế được thể hiện dưới hình thức toán học Khi nghiên cứu một vấn đề kinh tế, người nghiên cứu không thể đồng thời xét tất cả các yếu tố kinh tế cũng nhƣ tất cả các vấn đề liên quan vì điều này quá phức tạp, vượt khỏi sự hiểu biết của người nghiên cứu Hơn nữa, các yếu tố, những mối liên hệ đó không phải đều có sức ảnh hưởng như nhau đến bài toán kinh tế đặt ra Vì thế, người lập mô hình cần chọn lựa các yếu tố cơ bản nhất để xem xét

Ví dụ : Khi nghiên cứu, phân tích sự hình thành giá cả của hàng hóa A trên thị trường, ta có thể sử dụng hai mô hình:

Mô hình 1: Giả định các yếu tố nhƣ điều kiện sản xuất, thu nhập, sở thích của người tiêu dùng, các chính sách tiêu thụ, thuế của nhà nước đã cho trước và không thay đổi Lƣợng cung (S) và lƣợng cầu (D) hàng hóa A phụ thuộc vào mức giá p nên ta có các hàm cung và cầu lần lượt là S = S(p) và D = D(p) Vì người bán sẵn lòng bán nhiều hơn với mức giá cao hơn nên ta có S là hàm tăng, nghĩa là S‟(p)>0 Người mua có xu hướng mua ít đi nếu giá tăng nên D là hàm giảm, D‟(p) 0

 Tác động của các yếu tố sản xuất đến sản lượng:

Trong ngắn hạn, doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một số yếu tố sản xuất Nếu doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi yếu tố i thì việc sử dụng yếu tố i có lợi nhất là khi năng suất trung bình của yếu tố i đạt cực đại

 X  Điều kiện cần của tối ƣu là: i 0 i

 Bằng tính toán ta tìm đƣợc một điều kiện tương đương là: ( ) i i

 tức là năng suất trung bình bằng năng suất biên của yếu tố i

Ví dụ: Giả sử ta có hàm sản xuất QK 2 L 3 trong đó K là vốn, L là số lƣợng lao động đƣợc sử dụng Tại K = 4, nếu trong ngắn hạn, chỉ thay đổi đƣợc lực lƣợng lao động thì việc sử dụng lao động sẽ có lợi nhất ở mức mà Q Q

  Giải phương trình ta được L = 2

Trong dài hạn, doanh nghiệp có thể thay đổi đƣợc tất cả các yếu tố sản xuất Vấn đề đƣợc đặt ra là nếu tăng mức sử dụng các yếu tố sản xuất X X 1 , 2 , ,X n lên  lần thì sản lượng QF X X( 1 , 2 , ,X n )có tăng lên tương ứng không

 Nếu F(X)F X( ) thì ta nói doanh nghiệp tăng quy mô có hiệu quả

 Nếu F(X)F X( ) thì ta nói doanh nghiệp tăng quy mô không hiệu quả

 Nếu F(X)F X( ) thì ta nói doanh nghiệp tăng quy mô không thay đổi hiệu quả

Ví dụ: Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp dạng Cobb – Douglas

QaK L   Bằng cách dựa vào điều kiện Q    K , L    Q K L ( , ), sau khi tính toán ta nhận đƣợc kết quả doanh nghiệp này sẽ tăng quy mô có hiệu quả khi và chỉ khi

  1 ii) Mô hình tối thiểu hoá chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước

Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất QF X X( 1 , 2 , ,X n ) Q 0 là mức sản lƣợng doanh nghiệp dự kiến sản xuất Đơn giá bán của các yếu tố sản xuất lần lƣợt là

1, 2, , n w w w Vấn đề đƣợc đặt ra là, cần sử dụng các yếu tố sản xuất với mức bao nhiêu để chi phí doanh nghiệp phải trả cho các yếu tố sản xuất là thấp nhất nhƣng doanh nghiệp vẫn sản xuất đƣợc sản lƣợng nhƣ dự kiến

Vấn đề trên đƣợc mô hình hoá nhƣ sau: Tìm X X 1 , 2 , ,X n sao cho

Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị của hàm nhiều biến có một điều kiện ràng buộc này

- Điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ phương trình:

- Kết hơp điều kiện (2) và (3) ta sẽ giải đƣợc nghiệm X i

Ngoài ra, ta còn chứng minh đƣợc ( ) i i

Ví dụ: Cho hàm sản xuất Q25K 0,5 0,5 L với giá p K = 12, p L = 3 Tìm K, L để doanh nghiệp sản xuất với chi phí nhỏ nhất nhƣng vẫn sản xuất đƣợc sản lƣợng Q 0 1250

Giải: Để sản xuất sản lƣợng Q 0 = 1250 với chi phí nhỏ nhất, ta sử dụng điều kiện (3) đƣợc viết lại thành K

K  Kết hợp điều kiện 25K 0,5 0,5 L 1250 ta tìm đƣợc

Kiểm tra điều kiện đủ, ta lập ma trận Hess trong phương pháp nhân tử Lagrange thì đƣợc

Ta có detH = 37,5 > 0 nên K = 25, L = 100 là nghiệm của mô hình tối ƣu iii) Mô hình tối đa hoá sản lượng QF X X( 1 , 2 , ,X n ) với chi phí sản xuất c 0 cho trước:

Ta cũng sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tương tự như trên với các bước như sau:

- Điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ phương trình:

Ví dụ: Một xí nghiệp có hàm sản xuất là Q(K, L)= 2K 0,3 0,5 L (K, L là lƣợng vốn và lao động xí nghiệp sử dụng để tạo ra đƣợc Q sản lƣợng) Biết giá các yếu tố sản xuất là p K =3 và p L =8

Với tổng chi phí sản xuất là 128, vấn đề đặt ra là xí nghiệp sẽ sử dụng các yếu tố K, L nhƣ thế nào để sản xuất đƣợc sản lƣợng lớn nhất

Ta thấy điều kiện cần để sản lƣợng lớn nhất là K

Kết hợp điều kiện 3K8L128 ta đƣợc L = 10, K = 16

Kiểm tra điều kiện đủ ta đƣợc K = 16, L = 10 cũng chính là nghiệm của mô hình tối ƣu iv) Mô hình tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp

 Trường hợp doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm

Lợi nhuận bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí Nếu doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm thì hàm tổng doanh thu TR, tổng chi phí TC và từ đó hàm lợi nhuận

 là hàm một biến của sản lƣợng Q Vấn đề là doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt tối đa

    Điều kiện cần để  đạt max là d 0 dQ

  suy ra dTR dTC dQ  dQ hay MR = MC (4)

Ví dụ: Một doanh nghiệp có hàm doanh thu TR58Q0,5Q 2 và hàm chi phí

TC 3Q  Q  Q với Q là sản lƣợng Tìm Q để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa

Khi đó, điều kiện cần để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa là MR = MC tức là: 58 Q Q 2 17Q97 Giải phương trình ta được 2 nghiệm Q = 3 và Q = 13

Kiểm tra điều kiện đủ ta thấy ''(13) 0 nên nghiệm tối ƣu là Q = 13

 Trong điều kiện thị trường cạnh tranh hoàn hảo, giá bán của sản phẩm do thị trường quyết định tức là giá bán p là hằng số, không phụ thuộc vào sản lượng doanh nghiệp sản xuất Khi đó MR = p Điều kiện (4) tương đương p = MC

Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên là:

Với giá bán sản phẩm là p = 39, mức sản lượng tối ưu là nghiệm của phương trình 39 = 2Q 2 12Q25 Giải phương trình ta được Q = 7 cũng là điều kiện đủ cho mô hình tối ƣu

 Trong điều kiện doanh nghiệp độc quyền, giá bán sản phẩm là p = p(Q) Khi đó, MR p Q Q'( )  p Q( ) do đó (4) tương đương p Q Q'( )  p Q( )MC

Ví dụ: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngƣợc: p = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí là TC 1,5Q 2 Điều kiện cần để lợi nhuận đạt tối ƣu: (-2)Q + 490 – 2Q = 3Q hay Q = 70 Ngoài ra ''(70) 7 < 0 nên Q = 70 cũng thoả điều kiện đủ của mô hình

Một vấn đề nữa cũng cần đặt ra là, doanh nghiệp cần sản xuất sản phẩm với mức sử dụng các yếu tố sản xuất nhƣ thế nào để doanh nghiệp đạt tối đa trong các

26 trường hợp doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo và doanh nghiệp độc quyền Để đơn giản ta xét trường hợp hoạt động trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo

Ta có hàm lợi nhuận của doanh nghiệp:

    Điều kiện cần để lợi nhuận đạt tối đa là: 0

 nên giá các yếu tố sản xuất sẽ tác động ngƣợc chiều đến lợi nhuận tối ƣu

Ví dụ: Một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất

QK L biết 2 yếu tố vốn K và lao động L có đơn giá lần lƣợt là p K = 600, p L = 300, giá bán sản phẩm là p = 6000 Để thu đƣợc lợi nhuận tối đa, điều kiện cần là:

Kiểm tra điều kiện đủ: KK '  1500K  1,5 , KL '' 0, LL '  75L  1,5 do đó

  là nghiệm của mô hình

Giá vốn, giá lao động tác động ngƣợc chiều đến lợi nhuận tối đa

 Trường hợp doanh nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm hoặc cung cấp sản phẩm trên các thị trường riêng biệt

Lợi nhuận của doanh nghiệp: 1 2

Mô hình cân bằng

3.2.1 Khái niệm về mô hình cân bằng

Mô hình cân bằng kinh tế là mô hình mô tả trạng thái cân bằng của hệ thống kinh tế Phần chính của mô hình là một hệ thống các phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các biến số ở trạng thái cân bằng Nói cách khác mô hình cân bằng kinh tế là mô hình mô tả trạng thái cân bằng của các hành vi của các tác nhân kinh tế trong quá trình sản xuất, tiêu thụ sản phầm, quá trình điều tiết của nhà nước

Phân tích mô hình cân bằng kinh tế gồm các bước sau đây:

- Lập mô hình cân bằng kinh tế

- Phân tích mô hình, gồm:

32 o Giải mô hình: tìm nghiệm của mô hình cân bằng chính là tìm trạng thái cân bằng Giải mô hình còn trả lời câu hỏi trạng thái cân bằng có tồn tại hay không, nếu tồn tại thì có duy nhất không? o Phân tích so sánh (tĩnh hoặc động): trong khuôn khổ môn học chỉ xét đến các phân tích so sánh tĩnh, là việc phân tích tác động của các biến ngoại sinh tới các biến nội sinh ở trạng thái cân bằng o Các công cụ toán học trong phân tích: phần cơ bản của mô hình cân bằng là một hệ phương trình (đại số hoặc vi phân) nên các công cụ có thể được sử dụng ở mục này là các công cụ của đại số tuyến tính, giải tích (tìm đạo hàm của hàm ẩn, chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến )

3.2.2 Phân loại mô hình cân bằng i) Mô hình cân bằng thị trường riêng

Mô hình cân bằng thị trường riêng là mô hình mô tả cân bằng của một thị trường hàng hóa riêng lẻ, các yếu tố khác trong đó có sự hoạt động của các thị trường khác đƣợc xem là yếu tố ngoại sinh

 Đối với thị trường cạnh tranh hoàn hảo

Xét thị trường cạnh tranh hoàn hảo trong ngắn hạn, khi đó công nghệ sản xuất và giá các yếu tố đầu vào xem nhƣ không đổi Vì thế mức cung của doanh nghiệp chỉ phụ thuộc vào giá bán hàng hóa trên thị trường và mức giá này được coi là yếu tố ngoại sinh đối với mỗi doanh nghiệp tham gia trên thị trường Giả sử p là giá của hàng hóa A, S(p) là hàm cung của thị trường hàng hóa A thì S(p) là hàm đồng biến đối với p Về phía người tiêu dùng, vì xét trong ngắn hạn nên xem như thu nhập và sở thích của người tiêu dùng là không đổi, vì thế mức cầu chỉ phụ thuộc giá của hàng hóa A trên thị trường Gọi D(p) là hàm cầu của thị trường đối với hàng hóa A, khi đó D(p) nghịch biến theo p

Sự cân bằng của thị trường riêng là sự gặp nhau giữa cung và cầu, nghĩa là S(p) = D(p) Tóm lại, mô hình cân bằng thị trường riêng là:

Nghiệm của mô hình là (p*,S*, D*) thỏa hệ phương trình trên gọi là trạng thái cân bằng của thị trường trong đó, p* được gọi là giá cân bằng, S* = D* được gọi là lượng cân bằng trên thị trường Sự tồn tại trạng thái cân bằng của thị trường được đảm bảo nhờ định lý sau đây: Định lý: Nếu S(p) liên tục theo p và bị chặn trên, D(p) có hàm ngược liên tục thì tồn tại p* ≥ 0 sao cho S(p*)=D(p*)

Sự liên tục của các hàm S(p) và D(p) thường được đảm bảo trong quá trình xây dựng các hàm cung, cầu Mặt khác, D(p) là hàm nghịch biến theo p nên sẽ có hàm ngƣợc và hàm ngƣợc này cũng liên tục S(p) có thể giả định bị chặn trên vì sự khan hiếm của các nguồn lực sản xuất Vì thế, tất cả các giả thiết của định lý đều thỏa mãn nên trạng thái cân bằng của thị trường cạnh tranh hoàn hảo luôn tồn tại

 Đối với thị trường độc quyền

Vì là đơn vị duy nhất cung ứng hàng hóa trên thị trường nên doanh nghiệp có quyền ấn định giá và khối lượng hàng hóa; người tiêu dùng thụ động trong việc xác định mức cầu theo giá bán Vì thế đối với thị trường độc quyền, nếu hàm cầu ngược của người tiêu dùng là p= p(Q), với Q nghịch biến theo p thì mức cung của doanh nghiệp độc quyền sẽ thỏa mãn phương trình: MR(Q) = MC(Q) với MR‟(Q) < MC‟(Q)

Hệ điều kiện này nhằm đảm bảo lợi nhuận của doanh nghiệp độc quyền là lớn nhất với MR(Q) = dTR(Q) d

Mô hình cân bằng thị trường là:

 Điểm cân bằng này luôn tồn tại vì chỉ do phía cung quyết định ii) Mô hình cân bằng vĩ mô

Một nền kinh tế thị trường được xem như một hệ thống được phân thành 4 thị trường gộp là thị trường hàng hóa dịch vụ, thị trường tiền tê, thị trường vốn và thị trường lao động Với nền kinh tế mở, bên cạnh các thị trường nội địa kể trên, nền kinh tế của một quốc gia còn có mối liên hệ với thị trường quốc tế Vì tính đơn giản của môn học, trong khuôn khổ của tài liệu chỉ đề cập đến thị trường hàng hóa dịch vụ và thị trường tiền tệ

Mô hình cân bằng vĩ mô đƣợc áp dụng trong việc phân tích kinh tế vĩ mô và phân tích các chính sách can thiệp của nhà nước đối với nền kinh tế Thông thường, khi sử dụng mô hình toán kinh tế để phân tích chính sách, thường đề cập đến chính sách tài khóa (liên quan đến các vấn đề thu, chi ngân sách, tăng giảm các khoản thuế ) và chính sách tiền tệ (liên quan đến việc mở rộng hay thắt chặt cung tiền bằng các nghiệp vụ thích hợp) Các biến trong mô hình là các biến gộp nhƣ mức sản lƣợng, thu nhập, đầu tƣ, lãi suất

 Mô hình cân bằng trên thị trường hàng hóa – dịch vụ (Mô hình IS)

Mức cầu: là mức cầu tổng hợp về hàng hóa dịch vụ của nền kinh tế gồm các bộ phận sau đây:

- Mức cầu cho tiêu dùng của dân cƣ (C): bao gồm hai phần là tiêu dùng tự định (không phụ thuộc thu nhập Y) và thu nhập khả dụng (phần thu nhập sau khi trừ đi thuế T)

- Mức cầu cho đầu tư khu vực tư nhân (I): thông thường đầu tư phụ thuộc vào lãi suất r và là hàm nghịch biến theo lãi suất Đầu tư thường gồm hai phần là đầu tư tự định (I 0 không phụ thuộc lãi suất) và phần đầu tƣ phụ thuộc lãi suất I(r)

- Mức cầu cho chi tiêu của Chính phủ (G): vì mục tiêu sử dụng mô hình để phân tích chính sách tài khóa của nhà nước nên chi tiêu của Chính phủ được xem như là biến ngoại sinh

- Mức cầu cho hoạt động xuất khẩu (EX) và nhập khẩu (IM): Vì nhu cầu tiêu dùng trong nước về hàng hóa nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập nên thông thường IM được xem là hàm theo thu nhập Y và là hàm đồng biến Để đơn giản vấn đề phân tích, hàm xuất khẩu cũng đƣợc xem là hàm số theo thu nhập Y (mặc dù giá trị xuất khẩu phụ thuộc vào lãi suất, tỷ giá hối đoái và thuế) Trong mô hình phân tích kinh tế vĩ mô, có thể dùng hàm xuất khẩu ròng NX=EX – IM để xem xét mức cầu về hàng hóa dịch vụ liên quan đến thị trường bên ngoài một quốc gia NX còn đƣợc gọi là cán cân thương mại của một quốc gia

Nhƣ vậy, tổng cộng các mức cầu trên, ta có hàm chi tiêu E = C + I + G + NX

Mức cung: mức cung hàng hóa dịch vụ đƣợc xem là biến ngoại sinh đối với thị trường hàng hóa dịch vụ Ký hiệu Q là mức sản lượng hàng hóa dịch vụ được cung ứng trên thị trường Vì Q được tính theo giá cố định nên Q chính là thu nhập Y Điều kiện cân bằng trên thị trường hàng hóa dịch vụ:

NX = EX – IM = EX 0 + EX(Y) – IM 0 – IM(Y)

Y = E Các biến ngoại sinh của mô hình là C 0 , I 0 , G, EX 0 , IM 0 , T, r

Giải mô hình là giải phương trình Y = E, tìm mức thu nhập Y* theo các biến trong mô hình Phân tích chính sách tài khóa chính là phân tích tác động của biến ngoại sinh G và T lên mức sản lƣợng Q (hay thu nhập Y*)

NHẬP MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Một số tình huống dẫn đến việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT)

Một nhà sản xuất có ý định đưa ra thị trường một loại phân bón mới được pha trộn từ hai hợp chất A và B

Thành phần của hai hợp chất A và B nhƣ sau:

Kali Ni tơ Phốt pho Magiê

Vì nhiều lí do, những điều kiện sau là bắt buộc cho loại phân bón mới:

- Bán dưới dạng túi 20kg

- Chứa ít nhất 20% ni tơ

Biết rằng chi phí cho hợp chất A là 3000 đồng 1kg, cho hợp chất B là 2500 đồng 1kg

Bài toán đặt ra cho nhà sản xuất là tìm một phương án sản xuất loại phân bón mới từ hai hợp chất A, B thỏa các yêu cầu trên với chi phí bỏ ra là nhỏ nhất có thể

Vì phân bón được sản xuất dưới dạng túi nên ta gọi x 1 , x 2 lần lượt là số kg hợp chất A, B có trong một túi phân bón đƣợc sản xuất Để phù hợp thực tế rõ ràng ta có điều kiện x 1 0, x 2 0

Vì mỗi túi phân bón có trọng lƣợng 20kg nên: x 1 x 2 20

Khối lƣợng các chất kali, nitơ, phốt pho, magie trong mỗi túi là:

Vì mỗi túi phải chứa ít nhất 25% kali, 20% nitơ, 10% magiê nên ta có các điều kiện:

0,1x 0,05x 0,1 20 Tổng chi phí mà nhà sản xuất cần phải bỏ ra để sản xuất một túi phân bón là:

3000x 2500x Yêu cầu bài toán là chi phí sản xuất bỏ ra là nhỏ nhất nên ta có điều kiện:

Như vậy, mô hình toán học của bài toán lập phương án sản xuất tối ưu trên là bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Bài toán 2: Một công ty A dự định dành 500 triệu đồng để quảng cáo sản phẩm trong một tháng Các phương tiện quảng cáo được xem xét là truyền hình, truyền thanh, internet với chi phí nhƣ sau:

Phương tiện Chi phí 1 lần

Số lần quảng cáo tối đa trong tháng

Dự đoán số người tiếp cận quảng cáo 1 lần

Vì lí do tiếp thị, qua kinh nghiệm thấy rằng tối thiểu phải có 20 lần quảng cáo qua truyền hình và 30 lần quảng cáo qua truyền thanh và 40 lần quảng cáo qua internet trong 1 tháng Hãy xác định kế hoạch quảng cáo sao cho công ty có lợi nhất

Gọi x 1 , x 2 , x 3 lần lƣợt là số lần thực hiện quảng cáo qua truyền hình, truyền thanh và internet Vì thực hiện quảng cáo nhằm để người tiêu dùng biết đến sản phẩm nên mục tiêu của công ty là số người tiếp cận quảng cáo nhiều nhất: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 9000x 1 + 4000x 2 + 14000x 3 → max

Theo các giả thiết ta có:

Vì số lần quảng cáo là số tự nhiên nên x ; x ; x 1 2 3 

Vậy mô hình toán học của bài toán xác định kế hoạch quảng cáo là f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 9000x 1 + 4000x 2 + 14000x 3 → max

Mô hình toán học thu đƣợc từ hai bài toán trên chính là các ví dụ về bài toán quy hoạch tuyến tính

Một ứng dụng rất hữu ích của bài toán quy hoạch tuyến tính trong lĩnh vực kinh tế là trong vấn đề quản trị danh mục đầu tƣ Nhà đầu tƣ cần phải thiết kế một danh mục đầu tư nhằm thoả mãn một số điều kiện cho trước Sau đây là một số mô hình tối ƣu:

- Tối thiểu hoá rủi ro trên mức lợi nhuận cho phép

- Tối đa hoá lợi nhuận trên mức rủi ro cho phép

- Tối đa hoá mức hữu dụng

- Tối đa hoá lợi suất trên mức Duration cho phép

- Tối đa hoá độ lồi trên mức Duration cho phép

- Tối đa hoá tiền lãi trên tổng số tiền đầu tư cho trước

Ngân hàng của bạn có nghĩa vụ trả nợ theo thời gian và theo giá trị trong bảng sau:

Sau Lƣợng tiền cần trả nợ (đồng)

Sau Lƣợng tiền cần trả nợ (đồng)

2 năm 75 triệu 4 năm 160 triệu Để tận dụng nguồn vốn, Ngân hàng định dùng chiến lƣợc đầu tƣ vào danh mục trái phiếu (TP) với các loại trái phiếu phát hành mới hiện có nhƣ sau:

- TP coupon A, 2 năm, lãi suất coupon: 10%, mệnh giá: 100 ngàn đồng, trả lãi hằng năm

- TP chiết khấu B có thời hạn 2 năm, mệnh giá 100 ngàn đồng

- TP coupon C 4 năm, lãi suất coupon: 10,5%, mệnh giá: 100 ngàn đồng, trả lãi hàng năm

- TP zero-coupon D 4 năm, lãi suất trả lãi 9%/năm, mệnh giá 100 ngàn đồng

- TP chiết khấu E có thời hạn 3 năm, mệnh giá 100 ngàn đồng

Lãi suất thị trường r = 9% Bạn hãy tính giúp lãnh đạo xác định một danh mục đầu tƣ sao cho tổng số tiền chi ra cho danh mục này là bé nhất

Gọi x x 1 , 2 , ,x 5 lần lƣợt là số lƣợng trái phiếu đầu tƣ vào mỗi loại A, B, C, D,

Ta tính đƣợc giá trị các loại trái phiếu lần lƣợt là: 101.759, 84.168, 104860, 100.000, 77.218 đồng

Ta cũng tính đƣợc lƣợng tiền thu đƣợc hàng năm nếu đầu tƣ vào các loại trái phiếu:

Do đó ta có bài toán QHTT nhƣ sau:

Một số khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn số x , x , , x có dạng: 1 2 n

(1) đƣợc gọi là hàm mục tiêu của bài toán

(2) được gọi là hệ ràng buộc chính của bài toán Mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong (2) được gọi là một ràng buộc của bài toán

(3) đƣợc gọi là hệ ràng buộc dấu của bài toán

(2) và (3) đƣợc gọi là hệ ràng buộc của bài toán

Một số khái niệm khác:

Phương án của bài toán là vectơ n chiều xx , x , , x1 2 n  thỏa hệ ràng buộc của bài toán Tập X gồm tất cả các phương án của bài toán được gọi là tập phương án

Phương án x thỏa một ràng buộc nào đó với dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chặt ràng buộc đó Ngƣợc lại, nếu x thỏa một ràng buộc với dấu “>” hoặc “