Thông tin tài liệu
Mục Lục: Trang Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ Phần II NỘI DUNG Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Bài tập tổng hợp: Phần III- KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 3-6 6-7 - 19 20 - 23 24 25 - 27 27 – 31 31-33 34 -Các từ viết tắt: sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN) - Điều kiện xác định: (ĐKXĐ) Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vô tỷ đề tài lý thú vị đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi cịn đối tượng mà người đam mê tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại toán phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cạnh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp THCS Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi lớp học sinh ôn thi vào THPT hoc sinh trường THCS Yên Lạc Trong SKKN giới thiệu số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ơn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện Tôi hy vọng SKKN mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp tốn học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô em học sinh để chuyên đề ngày hồn thiện hơn! Mọi đóng góp xin gửi : duc.hanh.yendong@gmail.com Tôi xin cảm ơn! Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc PHẦN II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ * PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: f ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x ) f ( x) ≥ 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) ≥ n f ( x) = n g ( x) ⇔ g ( x) ≥ (n ∈ N * ) 4/ f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ (n ∈ N * ) 2n f ( x ) = g ( x ) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=3 2 x = x + = (x − 1) x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ ⇔ 2 x + = x x ≥ ⇔ x − 2x − = HD: (1) ⇔ x ≥ ⇔ x = −1 ⇔ x = x = Bài 3: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 1 − x ≥ ⇔ 1 − x ≥ x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x) x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − x + −1 ≤x≤ −1 ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0 x2 + x = x = −7 Bài 4: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = HD:ĐK: PT ( ) x−2 =0 ⇔ ⇔ 1− x + = ( ) x = x = −17 (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt cho tương đương: x + 3x + x − = 3 10 10 − ⇔x+ ⇔x= ÷ = 3 3 Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : x = x + + = 3x 2 + + x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + + = −3 x 18 ( ) Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 Bài Giải biện luận phương trình: x − = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔ HD: Ta có: x − = x − m ⇔ x − = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2 + m2 + – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ < m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 Tóm lại: m2 + – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x = 2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x − = x − m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) x ≥ m x ≥ m ⇔ x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = HD: Ta có: x − = x − m ⇔ 2 – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2 + m2 + ≥m – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − Tóm lại: – Nếu ≤ m ≤ m ≤ − Phương trình có nghiệm: m2 + x= 2m – Nếu − < m ≤ m > : phương trình vơ nghiệm Bài 10 Giải biện luận theo tham số m phương trình: x − x = m − m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) = x − m =0 ⇔ x = − m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 5/ x + = − x − 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 8/ x − − = 10/ 13/ =0 16 x + 17 = x − 23 5x − + 19 3x + + − x = 11/ − x + = 14/ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Bài 2: Giải phương trình: b) x − x + = a) x − = x − d) + x + − x = e) 3x − + x − = g) x + = − x + h) 3x + − x + = x + Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + 3x − = 2m + x − x Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x + mx − = x − m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = e/ x − − x − 27 + x − 12 = −1 c/ 3x − x + = f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: Sử dụng đẳng thức sau: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) ≥ 0) f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = − g ( x ) ( f ( x) < 0) II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) x + ≥ HD: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + x ≥ −1 ⇔ (*) x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| Đặt y = – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ 2x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x + x − + x − x − = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 +1+ x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = 2/ x − x + = 3/ x − x + = x − 4/ x + x + = 5x + 5/ x − x + + x + x + = 7/ 6/ x − x + − x − x + = 10 8/ x2 − x + + x2 − x + = 10/ x −3− x − + x − x − =1 x2 − x + + x2 + x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 11/ 12/ x − + x − + x + + x − = x + − x + + x + 11 − x + = 13/ x + x − x + x + − = 15/ 17/ 19/ x − x + + x = 10 1 + x+ = 2 x+3 x + x −1 + x − x −1 = x+ x+ 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 16/ x − x + + x = 18/ x + x +1 − − = 20/ x − x + = − x 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = 22/ x + − x − = PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = t x = Thay vào tìm Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vaøx = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2 − 6x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với y ≤ 5) + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = ( )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x HD: ĐK: ≤ x ≤ Đặt y = − x phương trình trở thành: 2( 1− y) (y ) + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x + HD: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: 1 x − ÷+ x − = x x 1± Đặt t= x − , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5 y= ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔ y =1 x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔ Là nghiệm phương trình cho x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải quyết lớp đơn giản, đơi phương trình t lại q khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : ÷ + α ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp P ( x ) = A ( x ) B ( x ) nếu: Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: 4x2 − 2x + = x4 + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ ) u = 2v ± 37 phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ Tìm được: x = u = v 2 x + x + (*) Bài Giải phương trình : x − x + = − 4 2 2 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x (x + x + 1) ( x − x + 1) + x + 1) ( x − x + 1) 3 3 2 Đặt : u = x + x + u ≥ ÷ ; v = x − x + v ≥ ÷ 4 4 phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x + x − = x3 − (*) HD:Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − x + ( x + 2) − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 10 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v) ⇔ u = v ) ( ( ) 2 Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + x + x + = HD:pt ( ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ) ( −3 x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm đồng biến R, ta có x = − Ví Dụ 2: Giải phương trình: x + + x + + x + = HD: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt f ( x ) = x + + x + + x + Với x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: Giải phương trình: c) x − = + x − x e) x − + x + = a) x − + x − = b) x − = − x3 − x + d) x = − x + x − x3 f) x − + x + = − x PHƯƠNG PHÁP 6: Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 24 SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vơ nghiệm Bài 1:Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) HD: C1: ĐK x ≤ −2; x ≥ ( 1) ⇔ ⇔ x2 − x − x2 − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) =2x ( 2) =2x −3 −3 x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = x + Nếu x ≥ ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 3) Giải (3) ta tìm x x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = −2 x + Nếu x ≤ -2 ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = −2 x ( 4) Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x ≤ −2; x ≥ Nếu x ≥ ta chia hai vế cho x ta được: ( x + ) + ( x − 1) = x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x Nếu x ≤ -2 Đặt t = -x ⇒ t ≥ Thay vào phương trình ta −t ( −t + ) + −t ( −t − 1) = ⇔ t ( t − ) + t ( t + 1) = ( t) ( −t ) 2 Chia hai vế cho t ta ( t − ) + ( t + 1) = t Bình phương hai vế tìm t Sau tìm x Trong C1 ta sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung việc vận dụng theo C2 đơn giản Bài Giải phương trình sau : x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + HD: 2 Ta nhận thấy : ( 3x − x + 1) − ( 3x − 3x − 3) = −2 ( x − ) v (x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 25 Ta trục thức vế : −2 x + 3x − = x − x + + ( x − x + 1) x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau: x + 12 + = 3x + x + HD: Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ x + 12 + x2 − = 3( x − 2) + x2 + + x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài Giải phương trình : x − + x = x − HD :Đk x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình ( x − 3) ( x + 3x + ) = x2 − + x2 − + x3 − + ( ) x+3 x+3 1+ = 1+ ⇒ x − ( ) + ) +( x (x 2 + + ) ) = 3.x +2 (x − 3) = 27 x Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 26 x > x > ; x ( − 2x ) ≥ ⇒ ⇒ 4 4 ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x ) Giải hệ ta tìm x = 2 x2 = x+9 Bài 6:Giải phương trình: − + 2x ( x ≥ − HD:ĐK: x ≠ ( 2x2 + + x Pt ⇔ ) ) = x+9 ( − + 2x ) ( + + 2x ) x ( 18 + x + + x ) ⇔ = x+9 2 4x2 ⇔ + 2x = ⇔ x = − nghiệm Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) Tổng quát: α f ( x ) g ( x ) + β f ( x ) h ( x ) = λ f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + − BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất số thực x1; x2; …; x2013 thoả mãn: x1 − 12 + x2 − 22 + + 2013 x2013 − 20132 = ( x1 + x2 + + x2013 ) Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z − = ( x + y + z) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) x − + x +1 = x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x + − 10 − x = x − x2 − x + = ( )( ) x −3 4− x = 9− x x + 17 − x + x 17 − x = − x = x 3+x Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 27 27 x10 − x + 864 = 3x + x = x + x + − x Bài 4: Giải phương trình sau: x − x + + x − x + + x2 − x + = + 25 − x − 10 − x = ( − x) − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 ( x + 3) ( x − 3) ( x + 1) − ( x − 3) =2 x +1 +3= x −3 x + x + 20 = x + 10 10 − x = x − x − 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x − + = x − 20 − 3x + 3x − x + x = + x + 1− x = x + x − x − 12 = 48 + x 2x 2x − = +1 5− 3 +1 1 x + ÷− x + ÷+ = x x x − 20 + 2+ x + 2+ x 4x + + = x−5 − x − 45 = 2− x + − 2− x x − x2 − ( − x) = − x + x2 − =4 − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3−x 3+x a + b − x = + a − b − x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x x + x + − x + x + 28 = Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x 2 3 Giải phương trình sau: + + + x − = 855 Bài 6:Cho phương trình: x 6− x + x + = x x + 62− x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x − y = 48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9:Giải phương trình sau : 3 x − 14 x + − x − x − 20 = x + x + = x − x − 15 x −1 1 30 x − x ) = 2004 ( 2x + = 1− + x − x x x ( x − 1) ( x3 + = x3 + x + ) ( x + − = x + 3x + x + ( + x ) + 3 − x2 + ( − x ) = 2 ) ( ) 30060 x + + x − x − 10 = x − x − 10 x + x + 12 x + = 36 2008 x − x + = 2007 x − Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 28 ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 − − x ) x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x + 16 x + 18 + x − = x + 12 x + x − = x + x − + 3x3 − = x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = ( − x) ( − x) = x+ ( − x ) ( 10 − x ) x2 + = x − + 2x − x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x −1 + x +1 = x 3 (1− x ) x3 + = x − x2 x + x + = 2x + 3x2 + 3x + 2 x +x+2 = 3x + Bài 10: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x b) x − x + x + = −3 x − d) 3x + 15 x + x + x + = c) x − x + = x − x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = f) g) x + 3x + − 2 x + x + = − Bài 11: Giải phương trình: (1− x ) x3 + x+ x x −1 = = x ( − x2 ) 35 12 − x − 2x − x2 − x2 + = x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = h) x + x + 11 = 31 + − x2 ( − x ) − = + − x2 x +1 = −3 x−3 ( 1+ x) ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) 64 x − 112 x + 56 x − = − x Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + ( + x ) ( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + =m x 1− x Giải phương trình với m = + Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y = x + x −1 + x − x −1 x+ x+ x+ x = y y = + − x2 − 4x y = x + x + + x +1 Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 29 y = x + 2x − + x − 2x − y = x −1 − x − + x + − x − Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x = y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x + x = x (Vế trái có 100 dấu căn) Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: ( a+b x2 + − x )( − a−b = − 20 ) y + − y = Tính x + y Bài 20:Giải phương trình: x + + x = Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: x − y + y − z + z − x2 = Chứng minh rằng: x + y + z = Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b − c = a+b−c Chứng minh rằng: 2012 a + 2012 b − 2012 c = 2012 a + b − c Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: y = + 199 − x − x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a − b = 11 − 28 Bài 25:Giải phương trình: x + − x2 =1 − x2 Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: 1+ 1 1 1 20132 − + + + + + + + + = 12 22 22 32 k ( k + 1) 2013 Bài 27:Giải phương trình: 1/ + x − + − x − = 2/ x + x + x − x = x + 3/ x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 25 x + 125 x + 45 − 16 x + 80 + − =9 12 16 8/ x + 712671620 − 52408 x + 26022004 + x + 712619213 − 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 − 2010 x + x + Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 30 10/ ( x + 5)(2 − x) = x + 3x Bài 28:Giải phương trình sau: 15 x − x − = x − 15 x + 11 ( x + 5)(2 − x) = x + x (1 + x)(2 − x) = + x − x x + 17 − x + x 17 − x = 3x − + x − = x − + 3x − x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n − x + n (1 − x) = ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 − − x ) − x2 + − x2 = PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1)-Kết luận học sinh Qua việc dạy chuyên đề giải phương trình vơ tỉ hoc sinh lớp nói chung đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau dạy xong chuyên đề trắc nhiệm số học sinh thu kết - Học sinh khơng ngại gặp dạng tốn giải phương trình vô tỉ -Hoc sinh thấy hứng thú mơn tốn đặc biệt giải phương trình vơ tỉ - Sau kiểm tra đánh giá lần kết thu cụ thể sau: Điểm < 5 – < 6,5 6,5 - < 8-10 Từ -10 Đề SL % SL % SL % SL % SL % Đề 14 41,4 26,4 20,5 11,7 20 58,8 Đề 10 29,4 23,5 10 29,4 17,6 24 70,6 Đề 5,8 14 41,3 23,5 10 29,4 32 94,1 2) Bài học kinh nghiệm Từ kết cụ thể rút số kinh nghiệm cho thân cho đồng nghiệp hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ sau - Phương pháp giải phương trình vơ tỉ khơng khó học sinh giỏi, mà điều cần lưu ý giáo viên dạy toán + Cần phân dạng phương trình vơ tỉ, phương pháp giải cụ thể dạng với ví dụ cụ thể + Những dạng tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu gợi mở, giúp kích thích óc sáng tạo học sinh khơng q cao siêu trừu tượng + Hướng dẫn em trước giải phương trình cần phân loại dạng tốn, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích tốn tìm hiểu cách Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 31 giải, phán đoán cách giải, bước giải để em đến lời giải thông minh ngắn gọn + Rèn kĩ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp em sửa chữa sai lầm thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ ĐKXĐ + Trên sở làm số tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng tập nhà có nội dụng tương tự mở rộng để em tự giải qút phương trình vơ tỉ - Nếu có việc làm tơi tin tất em học sinh không cịn lúng túng giải phương trình đặc biệt pt vô tỉ 3) Điều kiện áp dụng Như trình bày kinh nghiệm áp dụng việc giảng dạy chuyên đề trường THCS sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, sở vững cho em học tốt chương trình cấp bơ mơn tốn đặc biệt học phương trình vơ tỉ Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ mà tơi đề cập sử dụng rộng rãi xong phần giúp học sinh lớp giáo viên dạy toán nâng cao chất lượng dạy học 4) Kết luận Sau thời gian tự nghiên cứu với phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm tập kết hợp với thực tế giảng dạy thấy sáng kiến kinh nghiệm góp phần giúp học sinh giải phương trình vơ tỉ bậc THCS phần giúp em hứng thú học tập hơn, khơng cịn sợ gặp dạng tốn Trong SKKN tơi cố gắng xếp phương pháp giải phương trình vơ tỉ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh vận dụng cách linh hoạt phương pháp cụ thể trường hợp định Qua học sinh đào sâu kiến thức, tìm tịi nhiều cách giải cho tốn, bên cạch ví dụ giúp học sinh rèn kĩ giải tốn dạng tốn khác nhau…, Tuy nhiên khơng phải tất đối tượng học sinh truyền tải nội dụng mà cần xác định đối tượng để cung cấp kiến thức phù hơp với trình độ quỹ thời gian học sinh Tốn giải phương trình nhắc đến nhiều loại sách đọc thêm tài liệu tham khảo giáo viên tốn thường vất vả việc sưu tầm tuyển chọn gây hứng thú học tập, lịng say mê học tốn học sinh Với mong muốn có tài liệu giúp học sinh dễ dàng học toán giải phương trình vơ tỉ tơi viết SKKN Do thời gian có hạn kinh nghiệm cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh sai sót cách trình bày hệ thống tâp Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 32 đưa hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học mong thầy bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Yên Lạc , ngày 15 tháng 03 năm 2013 Người viết sáng kiến kinh nghiệm (Ký, ghi rõ họ tên) Tạ Văn Đức Tài liệu tham khảo: Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 33 - Nâng cao phát triển toán - Tập - Vũ Hữu Bình - Tài liệu chun tốn lớp tập – Vũ Hữu Bình - Các đề thi học sinh giỏi tỉnh thành nước - Báo toán học tuổi trẻ -Bào toán tuổi thơ - Các trang báo mạng toán ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 34 Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 35 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 36 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TỈNH Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 37 Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 38 ... phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp THCS Sáng kiến kinh nghiệm '' ''Giải phương trình vơ tỉ'' '' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi. .. luận học sinh Qua việc dạy chun đề giải phương trình vơ tỉ hoc sinh lớp nói chung đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau dạy xong chuyên đề trắc nhiệm số học sinh thu kết - Học sinh không ngại... lớp học sinh ôn thi vào THPT hoc sinh trường THCS Yên Lạc Trong SKKN giới thi? ??u số phương pháp hay dùng để giải phương trình vơ tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Ngày đăng: 29/11/2022, 23:17
Xem thêm:
