Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặp

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO KỸ NĂNG TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 11 THƠNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuận Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2017 MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 Nội dung Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp thực Hệ thống kiến thức Dạng phương pháp tính giới hạn hàm số Phân tích sai lầm học sinh thơng qua số ví dụ cụ thể Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Trang 1 1 2 2 11 11 12 12 12 12 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Theo A A Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học Ở trường phổ thơng, học sinh, giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo Ở cấp học Trung học Phổ thơng (THPT), mơn Tốn chia thành ba phân mơn: Hình học, Đại số Giải tích, Giải tích phân mơn khó hoàn toàn mẻ Nếu Đại số đặc trưng kiểu tư “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” học Giải tích, kiểu tư chủ yếu vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” khiến cho học sinh gặp nhiều khó khăn Phân mơn Giải tích chương trình THPT bắt đầu khái niệm “giới hạn” đầu học kỳ II lớp 11 Lúc này, em học sinh bước từ “mảnh đất hữu hạn” sang “mảnh đất vô hạn” với đại lượng vô bé, vô lớn trừu tượng Có thể nói khái niệm móng cho khái niệm khác Giải tích Và phạm vi chương trình THPT, lớp tốn quan trọng đạo hàm, tính biến thiên, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tiệm cận … hàm số có liên quan chặt chẽ với toán giới hạn Với ý nghĩa quan trọng, thiết trình học khái niệm “Giới hạn” làm lớp toán giới hạn, em học sinh lại dễ bị mắc sai lầm Nhà tâm lý giáo dục học J A Komensky khẳng định: “Bất kì sai lầm làm cho học sinh học giáo viên không ý tới sai lầm đó, cách hướng dẫn học sinh nhận sửa chữa, khắc phục sai lầm” A A Stoliar nhấn mạnh: “Không tiếc thời gian để phân tích lớp sai lầm học sinh” Bắt đầu từ năm học 2016- 2017, kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn đổi với hình thức thi trắc nghiệm, câu hỏi đề có bốn phương án trả lời để học sinh lựa chọn, có phương án ba phương án gây nhiễu, thời gian trả lời câu hỏi ngắn, chút sai lầm khiến học sinh lựa chọn phương án sai Vì vậy, nhằm giúp cho em học sinh biết cách tránh sai lầm đáng tiếc làm toán giới hạn hàm số để em học tập phân mơn Giải tích có hiệu cao, từ chất lượng dạy học mơn Tốn tốt hơn, tơi xin đóng góp sáng kiến kinh nghiệm: “Nâng cao kĩ tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thơng qua việc phân tích sai lầm thường gặp” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh lớp 11 giải tốn tính giới hạn hàm số, đồng thời đề xuất biện pháp sửa chữa sai lầm này, nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp 11 THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các sai lầm thường gặp giải tốn tính giới hạn hàm số thuộc nội dung Bài Giới hạn hàm số, chương IV Giới hạn, chương trình toán lớp 11 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ đối tượng nghiên cứu, để đạt mục đích đề tơi chủ yếu sử dụng phương pháp sau : - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp tìm hiểu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy Tôi sử dụng kiến thức Giới hạn hàm số thuộc chương IV Giới hạn chương trình mơn Tốn lớp 11 THPT để phân tích số sai lầm thường gặp tính giới hạn hàm số học sinh Cụ thể, xuất phát từ lời giải sai, tơi phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm đề xuất lời giải cho toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc nghiên cứu đề tài : “Nâng cao kĩ tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thơng qua việc phân tích sai lầm thường gặp” dựa sở lý luận sau đây: - Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung Giới hạn Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11: + Cho học sinh tiếp cận với khái niệm sở Giải tích: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số qua bước đầu hình thành kiểu tư tốn học gắn liền với vô hạn + Cung cấp số định lý làm công cụ cho việc nghiên cứu giới hạn hàm số Học sinh biết vận dụng định lý để giải số tập tính giới hạn - Dựa vào quan điểm nhà giáo dục học R.A.Axanop : “Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức kích thích việc học sinh phân tích cách có suy nghĩ nội dung sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc sai lầm tư duy, lý luận chất sai lầm” Thông qua sai lầm học sinh tiếp thu tri thức cách trọn vẹn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình dạy học nội dung giới hạn năm học trước, nhận thấy làm tính giới hạn, học sinh thường mắc sai lầm sau: - Hiểu khơng đầy đủ xác khái niệm giới hạn dẫn đến trình bày dùng sai kí hiệu giới hạn: thứ tự kí hiệu khơng đúng, khơng có kí hiệu lim, khơng có kí hiệu x → a hay x → +∞, x → −∞ kí hiệu lim - Thực phép biến đổi đại số sai, tính tốn sai - Không nắm vững giả thiết kết luận định lý giới hạn dẫn đến học sinh áp dụng định lý phạm vi giả thiết Do học sinh thực phép tính giới hạn cách tùy tiện - Không nắm vững phương pháp tìm giới hạn dạng vơ định dẫn đến thực phép tốn dạng vơ định phép toán đại số 2.3 Giải pháp thực Trước thực trạng nêu trên, nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm giải tốn tính giới hạn học sinh, thực giải pháp sau: Một trang bị đầy đủ, xác kiến thức khái niệm, định nghĩa, định lý giới hạn cho học sinh Hai chia tốn tính giới hạn theo dạng nêu phương pháp giải cho dạng Ba thông qua sai lầm học sinh tính giới hạn, tơi phân tích ngun nhân sai lầm nêu lời giải để từ đó, học sinh thêm lần nắm vững nội dung định nghĩa, định lí thành thục kĩ tính giới hạn hàm số, tránh sai lầm toán Cụ thể: Đầu tiên, cần trang bị cho học sinh hệ thông kiến thức 2.3.1 Hệ thống kiến thức 2.3.1.1 Các định nghĩa Giả sử K khoảng điểm x ∈ K , f(x) hàm số xác định K K \ { x } - Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn hàm số điểm): Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần tới x với dãy số (x n ) bất kì, x n ∈ K, x n ≠ x f (x) = L xn → x0 , ta có lim f (x n ) = L Kí hiệu: xlim →x - Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực): Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a, +∞) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần tới +∞ với dãy số (x n ) bất kì, x n > a x n → +∞ , ta có lim f (x n ) = L Kí hiệu: lim f (x) = L x →+∞ Định nghĩa tương tự giới hạn: lim f (x) = L x →−∞ - Định nghĩa (Giới hạn vơ cực hàm số): Ta nói hàm số f(x) có giới hạn dương vơ cực x dần tới x0 với dãy số ( xn ) bất kì, x n ∈ K, x n ≠ x x n → x , ta có lim f (x n ) = +∞ Kí hiệu: lim f (x) = +∞ x→x Định nghĩa tương tự giới hạn: lim f (x) = −∞ x→x0 - Định nghĩa (Giới hạn bên): • Cho hàm số f(x) xác định khoảng (x ,b) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải số thực L x dần tới x0 với dãy số (x n ) bất kì, f (x) = L x n ∈ (x , b) x n → x , ta có lim f (x n ) = L Kí hiệu: xlim →x + • Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a, x ) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái số thực L x dần tới x với dãy số (x n ) bất kì, x ∈ (a, x ) x → x , ta có lim f (x ) = L Kí hiệu: lim− f (x) = L n n n x→x0 2.3.1.2 Các quy tắc - Quy tắc 1: Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương, thức Cho lim f (x) = A; lim g(x) = B;A,B ∈ ¡ x→ x0 x →x f (x) + lim g(x) = A + B; [ f (x) + g(x)] = xlim Ta có: xlim →x →x x →x lim [ f (x) − g(x) ] = lim f (x) − lim g(x) = A − B; x →x x →x x →x lim [ f (x).g(x) ] = lim f (x) lim g(x) = A.B; x →x x →x x →x lim f (x) A Nếu B ≠ thì: lim f (x) = x →x = ; x → x g(x) lim g(x) B x→x0 f (x) = A Nếu f (x) ≥ với x ≠ x A ≥ xlim →x0 - Quy tắc 2: Liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực f (x).g(x) = ±∞;  xlim →x0  f (x) = A ≠ lim g(x) = ±∞  Nếu xlim f (x) →x0 x→x0 =  xlim  →x g(x) f (x) = A > lim g(x) = 0,g(x) > lim f (x) = +∞ Nếu xlim →x x→x0 x →x g(x) f (x) = A < lim g(x) = 0,g(x) > lim f (x) = −∞ Nếu xlim →x x→ x0 x → x g(x) f (x) = A > lim g(x) = 0,g(x) < lim f (x) = −∞ Nếu xlim →x x→x0 x →x g(x) f (x) = A < lim g(x) = 0,g(x) < lim f (x) = +∞ Nếu xlim →x x→ x0 x → x g(x) - Quy tắc 3: Liên hệ giới hạn giới hạn trái, giới hạn phải lim f (x) = A ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = A ∃ limf (x) x → x0 x→x x →x0 x→x0 Sau học sinh học định nghĩa, quy tắc tính giới hạn, tơi chia tốn tính giới hạn theo dạng sau: 2.3.2 Dạng phương pháp tính giới hạn hàm số Dạng 1: Cho f(x) hàm sơ cấp xác định D x ∈ D Tính lim f (x) x→x0 f (x) = f (x ) Phương pháp giải: xlim →x0 f (x) : xlim f (x ) = g(x ) = 0 →x g(x) Trường hợp 1: Nếu f(x) g(x) đa thức phương pháp giải là: - Phân tích f(x) g(x) thành tích nhân tử để làm xuất nhân tử chung dạng (x − x ) - Rút gọn biểu thức f (x) mức tối đa nhân tử chung dạng (x − x ) để đưa g(x) dạng giới hạn áp dụng quy tắc học Trường hợp 2: Nếu f(x), g(x) chứa thức bậc (thường chứa bậc hai bậc ba) phương pháp giải là: nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp nhằm trục nhân tử (x − x ) khỏi thức Chú ý cho học sinh biểu thức liên hợp Trường hợp 3: Nếu f(x) g(x) chứa thức khơng bậc, ví dụ f (x) = m u(x) − n v(x) (m ≠ n, m, n ∈ ¥ \ ) phương pháp giải là: Dạng : Giới hạn dạng vô định { } - Xác định số c = m u(x ) = n v(x ) - Biến đổi cách thêm, bớt số c vào biểu thức f(x):  m u(x) − c  −  n v(x) − c  m u(x) − c n v(x) − c f (x)     lim = lim = lim − lim x → x g(x) x→x0 x →x x →x g(x) g(x) g(x) đưa trường hợp lim f (x) = ±∞; f (x) ∞ x →∞ Dạng : Giới hạn dạng vơ định : lim  g(x) = ±∞ ∞ x →∞ g(x) lim x →∞ Phương pháp giải: - Chia tử mẫu cho x với lũy thừa cao có mặt mẫu [ f (x) − g(x) ] Dạng 4: Giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ : lim x →∞ lim f (x) = ±∞; x →∞  g(x) = ±∞ lim x →∞ f(x) g(x) có dạng thức, đồng thời giới hạn vô cực f(x) g(x) dấu Phương pháp giải: - Nhân chia biểu thức [f(x)-g(x)] với liên hợp để đưa giới hạn dạng f (x) = 0;  xlim →∞ (x→x ) lim [ f (x).g(x) ] Dạng 5: Giới hạn dạng vô định ∞.0 : x →∞  (x →x ) g(x) = ∞  xlim →∞ (x→x ) ∞ Trường hợp 1: Nếu x → ∞ phương pháp giải biến đổi giới hạn dạng ∞ Trường hợp 2: Nếu x → x phương pháp giải biến đổi giới hạn dạng Mặc dù học định nghĩa, quy tắc, phương pháp tính giới hạn q trình làm học sinh vấp phải số sai lầm Từ sai lầm học sinh, tơi phân tích cho em thấy lỗi sai đâu, hướng khắc phục Nhờ em rút học cho 2.3.3 Phân tích sai lầm học sinh thơng qua số ví dụ cụ thể Đầu tiên nói đến lỗi sai học sinh cách trình bày ví dụ đây: Ví dụ 1: Tính lim x + x →+∞ x + 1 + x +1 Học sinh giải sau: x = lim = x →+∞ • x + 1+ x Phân tích sai lầm: • - Lời giải có cách làm kết trình bày sai: thiếu kí hiệu 1+ x Giáo viên cần nhắc học sinh trình biến “ xlim ” đứng trước biểu thức →+∞ 1+ x đổi đại số biểu thức cần tính giới hạn cịn chưa kết thúc đằng trước biểu thức phải viết kí hiệu lim x →a 1 + x +1 x = lim = lim x →+∞ x + x →+∞ 1+ x Lời giải là: • Lỗi sai ví dụ lỗi sai mặt hình thức, thường gặp học sinh không cẩn thận Qua ví dụ này, giáo viên rèn luyện tính cẩn thận cho học sinh Ngồi lỗi sai mặt hình thức, học sinh thường vấp phải nhiều sai lầm phương pháp, quy tắc tính giới hạn, việc thực phép tốn khơng phải phép tốn đại số học sinh cịn sai phép biến đổi đại số ví dụ sau: Ví dụ 2: Tính lim − x x →−2 x + Học sinh giải sau: − x − (−2) lim = = = x →−2 x + • −2 + Phân tích sai lầm: • - Học sinh hiểu sai tính giới hạn hàm số f(x) x dần đến x0 tức thay x = x0 vào biểu thức f(x) 0 - Khơng có phép tốn nên khơng thể viết = 0 0 - Học sinh không nắm vững phương pháp giải giới hạn dạng vô định Lời giải là: • − x2 (2 − x)(2 + x) lim = lim = lim (2 − x) = − ( −2) = x →−2 x + x →−2 x →−2 x+2 Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau • x −3 lim ; x2 −1 x →−3 x + 2x − 15 lim ; a) x →1 b) x −1 x − 5x + ; c) x →3 x − 8x + 15 2x + Ví dụ 3: Tính lim x →+∞ x + lim Học sinh giải sau: • d) 8x − lim1 x → 6x − 5x + (2x + 5) +∞ 2x + xlim = →+∞ = = x →+∞ x + lim (x + 3) +∞ lim x →+∞ Phân tích sai lầm: • - Học sinh nghĩ: giới hạn thương thương giới hạn theo quy tắc (giới hạn tổng, hiệu, tích, thương) mà không để ý điều kiện áp dụng quy tắc là: tử mẫu phải có giới hạn hữu hạn - Học sinh coi +∞ số để từ rút gọn theo phép tốn đại số mà khơng hiểu +∞ kí hiệu biểu thị vô hạn - Học sinh không nắm vững phương pháp giải giới hạn dạng vô định ∞ ∞ 2x + Lời giải là: x = + = lim = lim x →+∞ x + x →+∞ 1+ • 1+ x Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau • x + 5x − x −3 lim ; lim ; 2 a) x →−∞ −3x − 10 b) x →−∞ x + 2x − 18 2+ x − 5x + lim ; c) x →+∞ −8x + 15 x + x2 + lim d) x →+∞ −5x + ( x + − x) Ví dụ 4: Tính xlim →+∞ Học sinh giải sau: • lim ( x + − x) = lim x + − lim x = +∞ − (+∞) = x →+∞ x →+∞ x →+∞ Phân tích sai lầm: • - Học sinh nghĩ: giới hạn hiệu hiệu giới hạn theo quy tắc (giới hạn tổng, hiệu, tích, thương) mà không để ý điều kiện áp dụng quy tắc là: giới hạn tách phải giới hạn hữu hạn - Học sinh coi +∞ số để từ triệt tiêu theo phép tốn đại số mà khơng hiểu +∞ kí hiệu biểu thị vô hạn - Học sinh không nắm vững phương pháp giải giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ Lời giải là: • lim ( x + − x) = lim ( x + − x).( x + + x) x +1 + x Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau x →+∞ x →+∞ = lim x →+∞ x +1 + x = • a) lim ( x + − x ); b) lim ( x + x + + x); c) lim ( 4x − 2x + − 2x − 1); d) lim ( x + − x) x →+∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x x →+∞ 2x + x + Học sinh giải sau: Ví dụ 5: Tính lim (x + 1) • lim (x + 1) x →+∞ x x = lim (x + 1) lim x →+∞ 2x + x + x →+∞ 2x + x + = lim (x + 1) lim x →+∞ x →+∞ x3 = ∞.0 = 1 2+ + x x Phân tích sai lầm: • - Học sinh nghĩ: giới hạn tích tích giới hạn theo quy tắc (giới hạn tổng, hiệu, tích, thương) mà khơng để ý điều kiện áp dụng quy tắc là: nhân tử phải có giới hạn hữu hạn - Học sinh coi ∞ số để từ thực phép nhân với số kết mà không hiểu +∞ khái niệm biểu thị vô hạn - Học sinh không nắm vững phương pháp giải giới hạn dạng vô định ∞.0 Lời giải là: • x (x + 1) x lim (x + 1) = lim = lim x →+∞ 2x + x + x →+∞ 2x + x + x →+∞  1 1 + ÷  x  x = = 1 2+ + x x Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau • a) c) lim (x + 2) x →+∞ lim+ ( x →2 x −1 ; x3 + x x (1 − 2x); x −4 b) d) lim (x + 1) x →−∞ 2x + ; x3 + x + lim + (x + 1) x →( −1) x x −1 x2 + x + Ví dụ 6: Tính lim x →−∞ 2x + Học sinh giải sau: • lim x →−∞ x2 + x + = lim x →−∞ 2x + x2 + x + 1 x2 + x +1 1+ + 2 x x x = x = lim = lim x →−∞ x →−∞ 2x + 2x + 3 2+ x x x Nhận xét: Lời giải thể học sinh biết nhận dạng giới hạn • nắm phương pháp giải trình thực lời giải bị mắc sai lầm Phân tích sai lầm: • - Sai lầm xuất học sinh đưa x vào bậc hai: x = x mà không ý x → −∞ , tức x < nên x = − x x ≥ 0; Học sinh cần lưu ý phép biến đổi đại số: x = x x = − x x < Lời giải là: • x2 + x + x2 + x + − x2 + x + x2 x lim = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x + 2x + 2x + x x 1 − 1+ + x x = − = lim x →−∞ 2+ x Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau • a) lim x →−∞ lim c) x →−∞ x2 + − x ; − 2x x + x2 + x 3x − x + b) ; lim ( x − x + + x + 1); x →−∞ lim d) x →−∞ 4x + 3x + 27x + 5x + x + x − x− neá ux > 1;  Ví dụ 7: Cho hàm số f (x) =  x −  neá ux ≤  Tính lim f (x) x →1 Học sinh giải sau: • x2 + x − (x − 1)(x + 2) = lim = lim(x + 2) = x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 limf (x) = lim x →1 10 Phân tích sai lầm: • - Ở lời giải trên, học sinh xét x>1, tức xét giới hạn phải x dần tới 1và coi giới hạn cần tính giới hạn phải Khi tính giới hạn dạng hàm số cho nhiều công thức, học sinh thường không nghĩ đến việc phải tính giới hạn phía Vì vậy, gặp dạng giới hạn này, giáo viên cần lưu ý cho học sinh Lời giải là: • x2 + x − (x − 1)(x + 2) lim+ f (x) = lim+ = lim+ = lim(x + 2) = 3; x →1 x →1 x →1 x →1+ x −1 x −1 lim− f (x) = lim− = x →1 x →1 ⇒ lim+ f (x) ≠ lim− f (x) Do khơng tồn lim f (x) x →1 x →1 x →1 Bài tập tương tự: •  a) Cho hàm số f(x) =       b) Cho hàm số g(x) =     Ví dụ 8: Tính lim x →2 x−1 x > 1; Tính lim f (x) x −1 x →1 x ≤ −4x + − x < −2; Tính lim g(x) x2 − x →−2 1 − x− x ≥ −2 x − 5x + 2x − 7x + 4x + Học sinh giải sau: • lim x →2 x − 5x + 2x − 7x + 4x + = lim x →2 (x − 2)(x − 3) (x − 2) (2x + 1) (x − 2)(x − 3) (x − 3) = lim =− x →2 x − 2x + x →2 2x + Phân tích sai lầm: = lim • - Học sinh coi x − (x-2) x → để rút gọn biểu thức mà không nghĩ đến việc xét dấu (x-2) tương ứng với hai trường hợp x → 2+ x → 2− 11 Lời giải là: • lim x →2 x − 5x + 2x − 7x + 4x + = lim x →2 (x − 2)(x − 3) (x − 2) (2x + 1) = lim x →2 (x − 2)(x − 3) x − 2x + Ta có: (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x − 3) (x − 3) lim+ = lim+ = lim+ =− x →2 x − 2x + x →2 (x − 2) 2x + x →2 2x + (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x − 3) (x − 3) lim− = lim− = lim− = x →2 x − 2x + x →2 −(x − 2) 2x + x →2 − 2x + (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x − 3) ⇒ lim+ ≠ lim− x →2 x − 2x + x →2 x − 2x + (x − 2)(x − 3) x − 5x + Do khơng tồn lim hay lim không tồn x →2 x →2 x − 2x + 2x − 7x + 4x + Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau • x + 3x + x − 3x − 10 lim ; lim ; x →−1 x →5 x +1 x − 11x + 35x − 25 a) b) Trên giải pháp sử dụng để thực nghiệm lớp 11C, trường THPT Lê Viết Tạo Tôi nhận thấy việc áp dụng sáng kiến thu hiệu sau: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Trong năm học 2016- 2017, phân công dạy hai lớp học sinh có lực học tương đối đồng 11C 11E Tôi thực nghiệm sư phạm nội dung sáng kiến lớp 11C chọn lớp 11E lớp đối chứng Sau áp dụng giải pháp nêu SKKN, nhận thấy học sinh lớp 11C tiến nhiều so với lớp 11E giải tốn tìm giới hạn nói chung giới hạn hàm số nói riêng, thể qua điểm sau: - Học sinh có ý thức sử dụng xác khái niệm, quy tắc, phương pháp giải cho toán giới hạn hàm số - Học sinh có thói quen tự kiểm tra lời giải, biết nhận xét phân tích lời giải sai, biết sửa chữa lời giải sai để có lời giải - Trong tiết học, khơng khí học tập sơi nổi, tích cực Chất lượng học nâng cao, học sinh bị sai q trình làm nên hứng thú học tập môn hơn, lực giải tốn có nhiều tiến 12 Kết thu qua kiểm tra nội dung giới hạn hàm số hai lớp sau: Lớp 11C (41 hs) 11E (40 hs) Điểm 0- Điểm 4,5 Điểm 5- 6,5 Điểm 7- Điểm 8,5- 10 01 hs 13 20 03 hs 23 12 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp - Tơi trình bày chun đề buổi sinh hoạt chuyên môn tổ, đồng nghiệp thảo luận, ủng hộ áp dụng giảng dạy tạo nên hiệu ứng tích cực Kết luận, kiến nghị - Kết luận Trên kinh nghiệm mà đúc rút trình giảng dạy nội dung giới hạn trường THPT Lê Viết Tạo Đề tài hệ thống sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn tìm giới hạn hàm số, đồng thời phân tích nguyên nhân kiến thức chủ yếu gây nên sai lầm Đề tài nêu giải pháp nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh cách có hiệu Tôi mong đồng nghiệp quan tâm bổ sung, góp ý cho đề tài ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn - Kiến nghị Những sai lầm học sinh giải toán hiểu biết quan trọng giáo viên tốn Đó thực hiểu biết có tính nghề nghiệp Vì tơi đề nghị tổ mơn tốn trường phổ thơng đặt vấn đề nghiên cứu biên soạn thành chuyên đề dạng sai lầm học sinh q trình giải tốn tất nội dung tốn chương trình phổ thơng Mặc dù mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm tơi thiết nghĩ, q trình giảng dạy, việc phát sai lầm sửa chữa sai lầm cho học sinh từ tự luận cần thiết Điều để phương án lựa chọn học sinh câu hỏi trắc nghiệm kết trình nắm vững kiến thức, thành thạo kĩ năng, tư mạch lạc biết sàng lọc đúng, sai XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 13 Nguyễn Thị Thuận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2015, Đại số Giải tích 11, NXB Giáo dục [2] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2015, Đại số Giải tích nâng cao 11, NXB Giáo dục [3] Trần Phương- Nguyễn Đức Tấn, 2008, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 14 ... nghiệm: ? ?Nâng cao kĩ tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thơng qua việc phân tích sai lầm thường gặp? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh lớp 11 giải tốn tính giới hạn. .. tổng kết kinh nghiệm giảng dạy Tôi sử dụng kiến thức Giới hạn hàm số thuộc chương IV Giới hạn chương trình mơn Tốn lớp 11 THPT để phân tích số sai lầm thường gặp tính giới hạn hàm số học sinh Cụ... giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thơng qua việc phân tích sai lầm thường gặp? ?? dựa sở lý luận sau đây: - Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung Giới hạn Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11: + Cho học