Thông tin tài liệu
“Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.2.Một số ví dụ vận dụng …………… 2.3.3 Hệ thống tập tự luyện………………………………………………17 2.4 Hiệu sáng kiến 18 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ A.ĐẶT VẤN ĐỀ MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học lớp 12, tốn khối trịn xoay phương pháp tọa độ khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi THPT Quốc gia; đề thi học sinh giỏi năm gần Mặc dù phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập ít, dừng việc cung cấp tập chủ yếu, chưa có tài liệu hướng dẫn sử dụng kết hợp tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn toán với cách giải phần cịn gặp nhiều khó khăn Từ lý với ý tưởng, giải pháp mà thân tâm đắc tự rút q trình thực tế giảng dạy ơn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia (nay TN THPT), định chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2020 – 2021 hy vọng thông qua đề tài cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải để từ có định hướng tốt tìm lời giải tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hình thành cách tính nhanh, xác việc sử dụng kiến thức khối tròn xoay kết hợp với phương pháp tọa độ không gian nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực giải vấn đề - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học Kỹ vận dụng kiến thức định lý Pitago, bất đẳng thức Cauchy, ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, thể tích khối tứ diện,… - Phát triển trí tưởng tượng kỹ biểu diễn hình khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ Đối tượng nghiên cứu đề tài rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay để phát triển lực Toán học học sinh, qua khẳng định cần thiết phải xây dựng “bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay” chương trình giảng dạy Hình học lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần khối trịn xoay phương pháp tọa độ khơng gian để từ thấy tầm quan trọng việc kết hợp kiến thức khối tròn xoay với phương pháp tọa độ không gian việc nâng cao chất lượng dạy học Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Hình học 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Hình học 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong chương II sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình nón, cách xác định bán kính đường tròn thiết diện mặt phẳng mặt cầu, Với khái niệm đưa dạng toán sau: Dạng 1: Bài toán khối cầu ngoại tiếp khối nón, biết khối nón tích lớn Dạng 2: Bài toán khối cầu mặt phẳng cho thể tích khối tứ diện tích lớn Dạng 3: Bài tốn khối cầu mặt phẳng cho bán kính mặt cầu bán kính đường trịn thiết diện nhỏ Dạng 4: Các toán khác khối cầu liên quan đến khoảng cách điểm, khoảng cách điểm đường thẳng… Trong dạng tốn dạng tốn sử dụng kiến thức khối nón, khối cầu thể tích chúng, cịn dạng tốn dạng toán ta sử dụng khoảng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính bán kính mặt cầu bán kính đường trịn thiết diện 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Nga Sơn trường nằm phía nam huyện, có nhiều xã khó khăn thuộc vùng bãi ngang; nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn HHKG cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả đốn nhận, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình tốt, kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học môn HHKG Hơn việc áp dụng kiến thức khối tròn xoay phương pháp tọa độ không gian học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức hình giải tíchliên kết khối trịn xoay vào giải toán mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải Phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn cách giải khơng có sách giáo khoa Ngồi số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức Hệ thống kiến thức hình học khơng gian gồm: “ Mặt cầu, mặt nón” , “Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng, đường thẳng” Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M đường thẳng d Gọi H hình chiếu M d Khi d ( M , d) MH khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Kí hiệu Nhận xét: * M ' , MM ' d ( M , d) * Để tính d ( M , d) ta làm sau: d + Xác định hình chiếu H M d + Tính MH LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’ - Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M mặt phẳng P Gọi hình chiếu H M P Khi MH khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P Kí hiệu d ( M ,( P)) M P M' H + Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax By Cz D A B C2 điểm M x0 ; y ; z0 , khoảng cách từ M0 đến (P) là: d M ;( P) + Cho đường thẳng đến là: d M , + Cho mặt cầu (S) có phương trình: tâm I a ; b; c bán kính R 2.3.2 Hướng dẫn rèn luyện kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay 2.3.2.1 Sử dụng kiến thức mặt cầu, mặt nón kết hợp với kiến thức phương trình mặt phẳng để tìm lời giải cho tốn Phương pháp: Bước 1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) Bước 2: Tính bán kính khối nón, thể tích khối nón (N) Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy khối nón (N) Dạng 1: Bài tốn khối cầu ngoại tiếp khối nón, biết khối nón tích lớn Tìm phương trình mặt phẳng chứa đáy khối nón Ví dụ 12: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 2;1;3 B 6;5;5 Xét khối nón N có đỉnh A, đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi N tích lớn mặt phẳng chứa đường trịn đáy N có phương trình dạng x by cz d Giá trị b c d Ví dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ A 21 Phân tích: B 12 C 18 D 15 +Bước 1: Tính bán kính đáy hình nón (N) r theo h R +Bước 2: Tính thể thể tích khối nón +Bước 3: Tìm giá trị lớn thể tích khối nón, từ suy phương trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy khối nón Bài giải: Ta có: AB Gọi h, r chiều cao bán kính đáy hình nón (N), R bán kính mặt cầu ( S) đường kính AB Gọi I trung điểm AB H tâm đường tròn đáy hình nón (N) Để thể tích khối nón (N) lớn h R Ta có: r R IH Thể tích khối nón Dấu '' '' xảy h R h h Gọi H x; y ; z , đó: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ Phương trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy (N), qua H nhận AB làm vectơ pháp tuyến là: x 14 y 11 z 13 2x 2y z 21 b c d 18 2.3.2.2 Sử dụng kiến thức mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng kết hợp với kiến thức thể tích khối chóp để tìm lời giải cho tốn Dạng 2: Bài toán khối cầu mặt phẳng cho khối tứ diện tích lớn Xác định yếu tố có liên quan Phương pháp: Bước 1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) Bước 2: Tính thể tích khối tứ diện, tìm điều kiện để thể tích khối tứ diện lớn Bước 3: Tìm yếu tố theo u cầu tốn Ví dụ 22: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(0;1;9) mặt cầu S:x 32 y 42 z 25 Gọi (C ) giao tuyến (S ) với mặt phẳng ( Oxy) Lấy hai điểm M , N (C ) cho MN Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây? A 5;5;0 Phân tích: +Bước 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S), bán kính đường trịn (C) +Bước 2: Tính thể thể tích khối tứ diện OAMN +Bước 3: Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện, từ suy phương trình đường thẳng MN tọa độ điểm mà MN qua Bài giải: Ví dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ Lại có: IP 4; 4;2 Tọa độ điểm E nghiệm hệ EP Do: E 1;4;1 2; 2;1 Ví dụ thamKhi đó:khảoEItừ tài liệu tham khảo số max Phương trình mặt phẳng tiếp diện E là: x y z Ví dụ 84 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 có bán kính r Xét đường thẳng sử P , Q mặt phẳng chứa tiếp xúc với (S) M, N Khi độ dài MN ngắn nhất, tính khoảng cách từ điểm B 1;0; đến đường thẳng A 21 273 Phân tích: +Bước 1: Xác định phương mặt phẳng thiết diện mặt cầu qua điểm I, M, N Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng +Bước 2: Tìm giá trị nhỏ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng m +Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng Bài giải: M K I H N 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ Mặt phẳng thiết diện qua tâm I hai điểm M, N cắt đường thẳng H IH, d I ,IH Gọi K MN IH Suy ra: MN Ta có: u1; m; m , A 1;0;0 d Khi đó: d I, Xét hàm số f Ta có : Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có: IH m x t Đường thẳng có phương trình là: : y / z 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ Khoảng cách d B, Ví dụ 91 Trong khơng gian Oxyz, điểm M ( 1;1; 1) , N 3; 3;3 Mặt cầu S qua hai điểm M , N tiếp xúc với (P ) C Biết C ln thuộc đường trịn cố định Tính chu vi đường trịn A.12 B.8 C.8 D.12 Phân tích: +Bước 1: Viết phương trình tham số đường thẳng MN +Bước 2: Tìm tọa độ điểm D MN P +Bước 3: Từ tính chất phương tích, tìm bán kính R đường trịn suy chu vi Bài giải: MN Ta có: phương trình tham số đường thẳng D MN P , tọa độ điểm D nghiệm hệ: x y z qua 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ t x y 3 z D 3;3; 3 Do đó: theo tính chất phương tích ta DM DN DI R2 Mặt khác, DC tiếp tuyến mặt cầu (S) nên DC DI R DC DM DN 36 DC ( khơng đổi) Vậy C ln thuộc đường trịn cố định tâm D, bán kính R , suy chu vi đường trịn 12 Ví dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số Nhận xét: Trong q trình dạy học mơn hình học khơng gian, việc hình thành cho học sinh kỹ vẽ hình (biểu diễn hình khơng gian) cần thiết quan trọng Để làm tốt điều này, người giáo viên cần định hướng cho học sinh biểu diễn hình khơng gian nhiều góc độ khác để từ đưa góc nhìn tốt để vẽ hình Từ việc biểu diễn hình góc độ tốt hình thành cho em tư trừu tượng, khả tưởng tượng cao làm 2.3.3.Hệ thống tập tự luyện Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, số thực thay đổi, khác thỏa mãn khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A B Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, thỏa mãn A B Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thỏa mãn tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định.Tính khoảng cách từ điểm 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’ đến mặt phẳng (P) A Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng Biết m thay đổi đoạn định Tính bán kính mặt cầu A Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Biết mặt phẳng qua A,B tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có véc tơ pháp tuyến Tổng là: A B C D Bài tập 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt cầu Ba mặt phẳng thay đổi qua A đơi vng góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường trịn Tính tổng diện tích ba đường trịn tương ứng A Bài tập 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng tham số thực Biết a thay đổi tồn mặt cầu cố định qua điểm tiếp xúc với đường thẳng Tìm bán kính mặt cầu A Bài tập 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm Một đường thẳng thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt A, B Tính giá trị nhỏ biểu thức A nghiệm B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng tốn hình giải tích liên kết khối trịn xoay đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12A 12I đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Số HS thực nghiệm Lớp 12A 12I 43 41 Kết kiểm tra lần Lớp thực nghiệm 12A 12I Số HS 43 41 Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy Học sinh định hướng giải nhanh tốn hình giải tích liên kết khối trịn xoay sưu tầm từ đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước Học sinh rèn luyện thành thục kỹ liên kết khối kiến thức, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho toán, dạng toán Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy tơi thấy cách làm góp phần nâng cao 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, toán ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển trình dạy học Đối với dạng tốn người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Toán học cho em Tính góc phương pháp kỹ thuật giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn Tốn học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh ngiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích say mê học Tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯởNG ĐƠN VỊ Mai Phi Thường 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chuyên đề luyện thi vào đại học – Hình học - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục [2] Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2018 – Phan Đức Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam [4] Đề thi thử THPTQG trường THPT – Nguồn internet 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Phi Thường Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn TT 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’ giải số toán nhị thức Newton 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...? ?Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay? ??’ A.ĐẶT VẤN ĐỀ MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học lớp 12, tốn khối trịn xoay phương... tích liên kết khối tròn xoay? ??’ Đối tượng nghiên cứu đề tài rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay để phát triển lực Tốn học học sinh, qua khẳng định... liệu tham khảo số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ? ?Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay? ??’ A 21 Phân tích: B 12 C 18
Ngày đăng: 28/11/2022, 15:43
Xem thêm:
