(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp nâng cao kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN Người thực hiện: Lưu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2021 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Trang Mở đầu… 1.1 Lí chọn đề tài……………………… ……………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………… ………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Định nghĩa khoảng cách …………………………………………… 2.1.2 Định nghĩa góc………………… ………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.2.1 Thuận lợi……….…………………………………………………… 2.2.2 Khó khăn…………… ……………………………………………… 2.3 Giải vấn đề ……………………………………………………… 2.3.1 Các giải pháp tính nhanh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng……………………………………………………………………… 2.3.2 Một số ứng dụng quan trọng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng…………………………………………………… 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 20 Kết luận, kiến nghị……………………… 20 3.1 Kết luận……………………………………………………… 20 3.2 Kiến nghị……………….…………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo… 22 Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá cấp 23 Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên Phụ lục……………………………………………………………………… 24 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng mơn hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Thơng qua mơn học người học không rèn luyện kỹ giải tốn, trí tưởng tượng khơng gian giúp phát triển tư mà giúp rèn luyện cho người học đức tính phẩm chất tốt như: tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, tạo móng để theo học ngành kiến trúc nghệ thuật Bài toán góc khoảng cách hình khơng gian nằm phần cuối chương trình hình lớp 11 kết nối với nhiều mảng kiến thức chương trình hình lớp 12, toán quan trọng thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông đề thi chọn học sinh giỏi cấp Các dạng tốn góc khoảng cách phong phú đa dạng đòi hỏi người học phải có tư tốt, có trí tưởng tượng khơng gian phong phú, có khả tính tốn tốt Chính giải u cầu tốn góc khoảng cách trước đòi hỏi kỳ thi, thi trắc nghiệm cần nhanh xác thử thách không nhỏ cho người học Với mong muốn giúp học sinh dễ dàng giải yêu cầu nội tốn tính khoảng cách hình khơng gian ứng dụng để giải nhanh toán liên quan khác, nhằm phát triển tư nâng cao hứng thú học tập cho học sinh, lựa chọn đề tài: Một số giải pháp nâng cao kỹ giải tốn tính khoảng cách góc khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết hướng tới mục đích: - Giúp học sinh nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng biết ứng dụng thành thạo giải tốn tính khoảng cách khác - Giúp học sinh hiểu vận dụng phương pháp tính khoảng cách để giải nhanh số tốn tính góc khơng gian - Giúp học sinh phân dạng tập, tìm nhiều cách giải cho tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tốn tính khoảng cách góc khơng gian Các phương pháp thường sử dụng giải tốn hình khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu - Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập: nghiên cứu cách giải tốn tìm phương án tối ưu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa khoảng cách - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho điểm đường thẳng Trong mặt phẳng , gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm gọi khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm mặt phẳng Gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm mặt phẳng gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Kí hiệu: - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng song song với mặt phẳng thẳng mặt phẳng phẳng , kí hiệu Khoảng cách đường khoảng cách từ điểm đến mặt - Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳngsong song , khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu - Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung + Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo độ dài đoạn thẳng gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo Nhận xét UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 2.1.2 Định nghĩa góc - Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm song song với - - Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng mặt phẳng d α Nếu đường thẳng + d' A H φ O vng góc với mặt phẳng ta nói góc chúng Nếu đường thẳng khơng vng góc với mặt phẳng góc chúng góc đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng + mặt phẳng - Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi Các tốn góc khoảng cách không gian đề cập đến học sinh tìm hiểu quan hệ song song quan hệ vng góc khơng gian nên học sinh có kiến thức tảng định Theo toán vừa giúp củng cố kiến thức biết vừa giúp hiểu kỹ quan hệ khơng gian đa dạng mà gây hứng thú, tò mò cho người học 2.2.2 Khó khăn Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt phần hình khơng gian Một phần khả tưởng tượng không gian hạn chế nên kỹ vẽ hình khơng gian khơng tốt, nhiều học sinh chưa nắm vững khái niệm cách giải dạng tập nên chưa có khả vận dụng tổng hợp kiến thức, chưa phân loại tổng quát phương pháp giải cho dạng toán kể dạng đơn giản Nhiều học sinh e ngại học hình nên kỹ tính tốn khơng rèn luyện thường xun gặp nhiều khó khăn giải tốn góc khoảng cách không gian 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp tính nhanh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * Giải pháp thứ nhất: Để giải nhanh tốn góc, khoảng cách trước hết cần giúp học sinh nắm vững cách xác định đường cao hình khơng gian (thường hình chóp hình lăng trụ) Sau số trường hợp tiêu biểu cần khắc sâu cho học sinh: +) Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy: Đường cao hình chóp đường thẳng chứa cạnh bên vuông với mặt đáy cho +) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Đường cao hình chóp đường cao mặt bên qua đỉnh hình chóp hay chân đường cao thuộc giao tuyến mặt bên vng góc với mặt đáy UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S A H B C +) Hình chóp có hai mặt bên vng góc với mặt đáy: Đường cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt đáy S A D B C +) Hình chóp có cạnh bên : đường cao hình chóp đường qua đỉnh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy +) Hình chóp đều: Đường cao hình chóp đường thẳng nối đỉnh tâm đáy S A C O B +) Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc cạnh đáy mặt bên có diện tích nhau: hình chiếu đỉnh mặt đáy cách cạnh đa giác đáy UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều: Đường cao lăng trụ chứa cạnh bên lăng trụ Giải pháp thứ hai: Phần lớn tốn tính khoảng cách khơng gian chuyển tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cần cho học sinh rèn luyện thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Muốn trước hết cần giúp học sinh hiểu luyện tập thành thạo tốn tính khoảng cách sau đây: Bài tốn 1: Khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh đến mặt * bên Cho hình chóp phẳng Phương pháp: có Dựng khoảng cách từ +) Xác định giao tuyến mặt bên mặt đáy +) Từ điểm hình chiếu vng góc đỉnh , dựng +) Dựng Khoảng cách cần tìm đến mặt UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét: Nếu hình chóp có tam giác vng tứ diện tứ diện vng đỉnh , Vì tương ứng đường cao tam giác vng Ta có nên Suy Vậy áp dụng cơng thức để tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông đến mặt đáy tứ diện Do nhiều tốn tính khoảng cách kỹ phát sử dụng cơng thức tính khoảng cách tứ diện vng cần thiết, vừa dễ áp dụng vừa nhanh xác định kết Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác + Gọi , cân Tính khoảng cách từ điểm Lời giải trung điểm + Trong tam giác + Ta có Từ có Do tam giác , kẻ tam giác cạnh đến mặt phẳng nên ta suy Theo giả thiết, ta có + Tam giác vng + mà và , nên: Vậy Nhận xét: + + Ta có Tam giác vuông nên UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com xác định toán bản, để nhanh chóng có kết Như thay vào việc tính Ví dụ 2: Cho hình chóp có kết cần tìm có đáy cạnh bên hình thang vng , ; vng góc với đáy Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Lời giải + Gọi + trung điểm đoạn Ta có: trung tuyến nên vuông ; + Kẻ + Suy ra: + vng Ta có nên Do đó: nên ta có: Từ ta được: Nhận xét: Có thể chuyển khoảng cách cần tìm tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy tứ diện vuông theo cách sau đây: + + Trong mặt phẳng , gọi UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng tam giác vng cân ; Tính khoảng cách hai đường thẳng + Gọi + Ta có trung điểm có độ dài cạnh bên , đáy Gọi trung điểm cạnh Lời giải Vì tứ diện vng nên ta có Vậy * Ứng dụng tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng - Ứng dụng tính góc đường thẳng mặt phẳng d A α + Cho đường thẳng mặt phẳng Điểm , gọi + mặt phẳng , với hình chiếu Gọi Khi góc Như tính góc đường thẳng mặt phẳng thơng qua tính khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng (khác giao điểm đường thẳng mặt phẳng) đến mặt phẳng Dưới ví dụ áp dụng phương pháp 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a tâm đáy trung điểm SA, BC Biết M,N O MN , ( ABCD) 600 Gọi Đặt SAC) Tính sin + Do + Gọi Lời giải hình chóp nên trung điểm đường trung bình nên Ta có: + Trong : + Ta có: + Do Suy ra: Vậy: - Ứng dụng tính góc hai mặt phẳng 18 MN , ( UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Cho hai mặt phẳng phân biệt không song song + Điểm góc hai mặt phẳng tùy ý thuộc Gọi và Gọi tương ứng hình chiếu Ta có vng Như xác định góc hai mặt phẳng thơng qua việc xác định khoảng cách từ điểm tùy ý mặt phẳng đến mặt phẳng đến giao tuyến hai mặt phẳng Với phương pháp tính nhanh góc hai mặt phẳng toán mà việc xác định góc hai mặt phẳng gặp nhiều khó khăn Ví dụ 1: Cho hình chóp có vng góc với đáy đáy tam giác + vuông thuộc Gọi tia phân giác góc góc hai mặt phẳng Lời giải Tính , S K H C A I N Ta có: Suy tam giác + vng , ta có: Kẻ đường cao tam giác , ta có: + + Gọi góc Suy 19 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Do + Trong + Ta có tia phân giác đáy, kẻ Kẻ đường cao tam giác vuông vuông cân Suy Vậy nên Thơng thường để tính góc hai mặt phẳng xác dịnh góc hai mặt phẳng đó, gắn vào tam giác cụ thể để tính Tuy nhiên việc xác định góc hai mặt phẳng Nhận xét: nhiều cịn khó tính góc hai mặt phẳng đó, trường hợp sử dụng khoảng cách cách giải giúp ta nhanh chóng tìm lời giải cho toán Chúng ta luyện tập thêm để thấy rõ điều (xem tập phần phụ lục) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau rèn luyện toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, học sinh biết vận dụng linh hoạt vào tốn tính khoảng cách tương tự Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Hầu hết em biết nhận dạng nhanh toán biết áp dụng để làm nhanh trắc nghiệm Một hiệu mà tơi nhận thấy học sinh sau rèn luyện toán ứng dụng toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hiểu kỹ quan hệ hình khơng gian, hứng thú với việc giải tốn hình khơng gian Học sinh nhận thấy tầm quan trọng việc nắm vững lý thuyết bước giải toán Biết tính góc khơng gian thơng qua tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà không cần xác định cụ thể góc Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài đưa phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, có chia dạng cho dễ tiếp cận Ứng với dạng có hệ thống ví dụ với lưu ý cách giải phù hợp, với mức độ khó tăng dần nên phù hợp cho học sinh luyện tập Các ví dụ thường có nhiều cách tiếp cận khác để học sinh biết cách so sánh lựa chọn cách làm tối ưu cho cụ thể nhờ mà rèn luyện tư linh hoạt tính sáng tạo giải tốn Trên sở tìm hiểu phương pháp tính khoảng cách tính góc khơng gian, đề tài làm rõ phương pháp tính góc hiệu sử dụng khoảng cách Qua học sinh thấy rõ mối liên hệ dạng toán khác tạo động lực để học sinh tìm tịi sáng tạo phương pháp giải toán trình học tập 20 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đề tài cho thấy sử dụng công thức khoảng cách tính góc hình khơng gian phương pháp mạnh, giúp giải nhanh chóng, hiệu nhiều tập khác kể tập mức vận dụng vận dụng cao mà việc xác định góc gặp khó khăn Đề tài cịn mở rộng theo hướng giải tập tổng hợp liên quan đến góc khoảng cách , thể tích hình khơng gian Các vấn đề giá trị lớn nhất, nhỏ góc , khoảng cách… 3.2 Kiến nghị Sở Giáo dục đào tạo tổ chức hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung cách khơi dạy đam mê tìm tịi sáng tạo học tập Trên kinh nghiệm nhỏ tơi q trình dạy học phương pháp tính góc khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh THPT chun đề dạy học Tốn, khơng tránh khỏi cịn có thiếu sót Tơi mong nhận đánh giá góp ý Hội đồng khoa học ngành đồng nghiệp để đề tài hồn thiện có tính ứng dụng thực tiễn hiệu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Lưu Thị Thủy 21 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11 [2] Nhiều tác giả, SBT Hình học 11 Nguyễn Anh Trường – Nguyễn Tấn Siêng , Chuyên đề giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [4] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [3] [5] Đề thi thử tốt nghiệp THPT trường THPT toàn quốc [6] Nguồn Internet 22 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Phương pháp véctơ khai thác phát triển tốn hình học không gian lớp 23 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phụ lục I Bài tốn tính khoảng cách Câu Cho hình chóp Biết có đáy hình thang cân, đáy lớn Hình chiếu vng góc , đỉnh lên mặt phẳng đáy thẳng trùng với trung điểm cạnh , góc Tính khoảng cách từ điểm đến đường A Câu Cho lăng trụ tam giác Hình chiếu vng góc mặt phẳng trung điểm cạnh Góc đường thẳng mặt phẳng là trung điểm cạnh Khoảng cách từ đến đường thẳng A B Câu 3.Cho hình chóp tứ giác C Gọi D có tất các cạnh Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A Câu 4.Cho hình chóp , thẳng có đáy hình thang vng vng góc với mặt phẳng tạo với mặt phẳng góc , , đường Khoảng cách từ đến mặt phẳng A Câu 5.Cho hình chóp có đáy hình thoi tâm Hai mặt phẳng A đến mặt phẳng B , vng góc với mặt phẳng đáy.Góc hai mặt phẳng khoảng cách từ cạnh Tính C D 24 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Câu Cho hình chóp Cạnh bên điểm A có đáy hình chữ nhật với vng góc với mặt đáy Gọi , trung Tính khoảng cách từ B C Câu Cho hình lăng trụ có diện tích đến mặt phẳng D tích Gọi , tam giác trung điểm cạnh Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A Câu Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, , tam giác tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi trung điểm Tính khoảng cách hai đường thẳng A Câu Cho hình lăng trụ Hình chiếu vng góc điểm thẳng A Câu 10 Cho lăng trụ đứng tam giác cân , cách hai đường thẳng có đáy tam giác vuông , trung điểm A B II Bài tốn tính góc khơng gian Câu Cho hình chóp tứ giác Gọi đường thẳng , C , đáy cótâm trung điểm mặt phẳng Tính khoảng D cạnh , Tính góc 25 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A Câu Cho hình chóp đáy phẳng A Câu Cho hình chóp tứ giác đều, biết Gọi Tính A Câu Cho hình lăng trụ bên trung điểm cạnh phẳng A Câu Cho hình chóp trung Gọi A Câu Cho hình chóp có đáy hình thoi khơng hình vng, Biết thể tích khối chóp góc hai mặt phẳng A Câu Cho hình chóp , cạnh bên điểm cạnh Góc hai mặt phẳng A .T 26 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Câu Cho lăng trụ có đáy tam giác đều, hình chiếu mặt phẳng trùng với trung điểm cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc Gọi điểm thuộc cạnh cho Tính góc A thẳng vng góc với trung điểm A Biết , , , Gọi , Tính cosin góc hai mặt phẳng B C D 27 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thành thạo giải tốn tính khoảng cách khác - Giúp học sinh hiểu vận dụng phương pháp tính khoảng cách để giải nhanh số toán tính góc khơng gian - Giúp học sinh phân dạng tập, tìm nhiều cách giải cho... nên kỹ tính tốn khơng rèn luyện thường xun gặp nhiều khó khăn giải tốn góc khoảng cách khơng gian 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp tính nhanh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * Giải pháp. .. dàng giải yêu cầu nội toán tính khoảng cách hình khơng gian ứng dụng để giải nhanh toán liên quan khác, nhằm phát triển tư nâng cao hứng thú học tập cho học sinh, lựa chọn đề tài: Một số giải pháp