(SKKN HAY NHẤT) nâng cao kỹ năng tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11 bằng phương pháp vận dụng khoảng cách

MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc trung học phổ thơng, tốn liên quan đến góc khơng gian nội dung quan trọng, thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi cấp Thực tế cho thấy gặp toán tính góc đường thẳng mặt phẳng hay góc hai mặt phẳng số học sinh làm phần khơng nhiều Đặc biệt mơn tốn sử dụng phương pháp thi trắc nghiệm việc đưa đáp số nhanh xác quan trọng cần thiết Nhiều học sinh lúng túng việc xác định phương pháp để giải toán Đã có nhiều tài liệu đưa số phương pháp để tính góc đường thẳng mặt phẳng hay góc hai mặt phẳng Song phần lớn tài liệu chủ yếu lại đưa phương pháp dựng hình quen thuộc để xác định góc dựng hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng để tính góc đường thẳng mà mặt phẳng; dựng hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng điểm để tính góc hai mặt phẳng Tuy nhiên nhiều tốn việc dựng tỏ khó khăn, việc tính tốn dài dịng phức tạp Qua q trình tìm hiểu nghiên cứu tơi mạnh dạn chọn đề tài “Nâng cao kỹ tính góc không gian cho học sinh lớp 11 phương pháp vận dụng khoảng cách”, nhằm giúp em học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen gợi thêm hướng giải tốt gặp dạng toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Bồi dưỡng, nâng cao cho học sinh kỹ tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thơng qua ví dụ minh họa nhằm bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh phát triển khả tư duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết số kỹ tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng cách sử dụng khoảng cách 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng + Nếu phẳng + Nếu vng góc với góc đường thẳng gọi góc đường thẳng khơng vng góc với hình chiếu vng góc góc mặt cắt điểm I, ta lấy điểm ý khác với điểm Gọi ta nói góc đường thẳng khơng vng góc với * Khi mặt phẳng và hình chiếu mặt phẳng M tùy a H [1] I φ a' P 2.1.2 Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng a α b [1] β LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Giả sử hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến Từ điểm dựng  đường thẳng vng góc với dựng thẳng vng góc với đường b  Khi góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng c I a và [1] 2.1.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng Định nghĩa 1: Cho điểm đường thẳng Trong mặt phẳng gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm gọi khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí hiệu [1] O a  Định nghĩa 2: Cho điểm lên mặt phẳng H mặt phẳng Gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm gọi khoảng cách từ điểm [1] đến mặt phẳng kí hiệu O M H α LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com N M Tính chất 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng K H α M Tính chất 2: Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng N điểm I H α K 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng nghiên cứu vào giảng dạy tiến hành khảo sát chất lượng học tập học sinh hai lớp 11A6 11A8 trường THPT Hậu Lộc với đề thi tự luận sau: KIỂM TRA 45 PHÚT Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật Biết , cạnh bên a) Đường thẳng và Tính góc giữa: b) Hai mặt phẳng Lớp 11A 11A Sĩ Số KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % Kém SL % 38 2,6 13,1 16 42,1 12 31,6 10,6 40 7,5 20,0 18 45,0 22,5 5,0 Tôi nhận thấy đa phần học sinh không xác định góc cần tìm, số em xác định góc cách dựng hình, nhiên cách trình bày dài dịng tính tốn nhiều, kỹ vẽ hình cịn kém, tính tốn cịn nhiều sai sót LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Vận dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng Khi khơng vng góc với cắt điểm I, ta lấy điểm tùy ý khác với điểm Gọi hình chiếu vng góc góc M a H Khi I φ a' P Như vậy, bước để tính tính góc đường thẳng mặt phẳng thông qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Lấy điểm điểm và tính độ dài đoạn thẳng (Sử dụng tính chất khoảng cách để tính, khơng thiết phải xác định hình chiếu và ) theo cơng thức Ví dụ Cho hình chóp đường thẳng giao Bước 2: Tính khoảng cách Bước 3: Tính góc , với có Tính sin góc Phân tích: Theo tư thơng thường, học sinh xác định hình chiếu mặt phẳng mặt phẳng Sau quy tính góc hình chiếu của Tuy nhiên khó khăn tốn việc xác định hình chiếu mặt phẳng khơng đơn giản, giả sử có xác định tính độ dài phức tạp Chính thế, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ta tính khoảng cách từ chiếu đến mặt phẳng mà không cần phải xác định hình Lời giải Gọi Khi S , trung điểm hình chiếu lên , suy Vì nên H Gọi góc M O B Khi Ta có D A C , , Lại có Suy Nhận xét: Thơng thường để dễ dàng tính khoảng cách hay dựng hình chiếu từ chân đường vng góc đỉnh xuống mặt bên Tuy nhiên nhiều tốn phụ thuộc vào cách nhìn nhận người, vấn đề chọn điểm tơi trình bày phần nhận xét sau tập cụ thể Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng phẳng Gọi Tính có đáy trung điểm Gọi tam giác cạnh góc mặt [4] Lời giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi A' , trung điểm hình chiếu lên Khi suy C' B' Vì nên Do O M H Lại nên: A C I B Ta có Suy Nhận xét: Trong này, ta chuyển từ việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng tính khoảng cách từ điểm Lúc quy tính khoảng cách từ điểm tốn quen thuộc đáy đến mặt phẳng chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt Ví dụ Cho hình chóp , có đáy Cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Gọi phẳng đến mặt phẳng Khi hình bình hành, , , hai mặt phẳng góc tạo mặt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A B C D Lời giải Gọi hình chiếu hình chiếu lên Khi lên S , suy ra: K B C Ta có hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên suy O A H D Ta có Ta có Vậy chọn phương án A Nhận xét: Rõ ràng này, ta xác định góc đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng cách máy móc xác định hình chiếu lên phức tạp Ở ta khéo léo chuyển tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách sử dụng tính chất LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình lăng trụ có đáy Hình chiếu điểm A hình chữ nhật, lên mặt phẳng Tính góc đường thẳng B trùng với giao mặt phẳng C D Lời giải Gọi , giao điểm giao điểm , Gọi A' D' C' B' I hình chiếu lên A D O , ta có H C B Do trung điểm nên: Gọi góc đường thẳng Khi mặt phẳng Suy Vậy chọn phương án C Ví dụ Cho hình chóp vng góc với mặt phẳng cắt hình chóp Tính góc có đáy hình vng cạnh , Mặt phẳng chứa cạnh theo thiết diện tứ giác có diện tích mặt phẳng [8] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải Ta có theo giao tuyến S nên cắt song song với M N Đặt H Ta có , A D nên Tứ giác hình thang vng B Mặt khác, ta có C Do Giải phương trình ta Kẻ , ta chứng minh hay , mà Mặt khác, ta có Ta có Gọi góc mặt phẳng mặt phẳng , góc Ta có 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình thoi , đường thẳng thay đổi khác có Gọi vng góc với mặt phẳng Biết góc ( với bằng: A B số tự nhiên trung điểm lấy điểm có số đo lớn phân số tối giản) Khi tổng C D [4] Lời giải Gọi góc Vì S Suy F hình chiếu , hình chiếu , ta có H Gọi D E A Khi Đặt tam giác Tam giác vng Do C B vng nên có đường cao tam giác vng nên Khi 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu đẳng thức xảy Vậy lớn lớn Khi Vậy chọn phương án B 2.3.2 Giải pháp 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng Giả sử hai mặt phẳng theo giao tuyến Lấy cắt β H Dựng M Khi đó, suy Do góc α góc φ I Δ Từ suy : Như vậy, bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm thuộc hai mặt phẳng khơng nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm đến giao tuyến mặt phẳng lại Bước 3: Thay vào cơng thức tính kết luận 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, Hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy Cạnh Tính sin góc hai mặt phẳng Phân tích: Ở việc xác định góc hai mặt bên (SAC) (SCD) khơng thuận lợi, có xác định góc chúng việc tính tốn góc lại phức tạp Do đó, ta định hướng học sinh vận dụng khoảng cách để tính góc Theo cơng thức ta có hai mặt phẳng , với góc Như tốn quy việc tính khoảng cách từ A đến SC đến mặt phẳng đơn giản nhiều Lời giải Gọi hình chiếu A lên S SD, SC góc hai mặt phẳng Ta có: H K A D Lại có C B Nhận xét: Trong nhiều toán, việc xác định định tính góc hai mặt phẳng tương dối khó khăn Khi giải pháp tỏ vơ hiệu khơng cần xác định cụ thể góc cần tìm tính góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp , hình thang vng vng góc với mặt đáy, mặt phẳng A có đáy B Nếu góc góc mặt phẳng C và D Lời giải 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi trung điểm hình vng nên Gọi S Dễ có K hình chiếu lên H Ta có , D A I Suy B C Lại có nên Vậy chọn phương án A Ví dụ Cho hình chóp Xác định Gọi có đáy hình vng cạnh để góc hai mặt phẳng Lời giải hình chiếu Dễ [2] có A B K Khi đó: D Từ suy S H Ta có , góc hai mặt phẳng Ta có , C , 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để hai mặt phẳng tạo với góc Nhận xét: Ở việc xác định tính dễ dàng, vận dụng khoảng cách vào tính góc giải gọn nhẹ nhanh chóng Thay lựa chọn điểm trên, chọn điểm với vai trị hồn tồn tương tự Qua cách giải trên, dễ dàng nhận thấy không cần góc mà tính thơng qua khoảng cách Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác Gọi trung điểm cạnh Côsin góc tạo hai mặt phẳng A có B C D [6] Lời giải Vì nên mặt phẳng mặt phẳng Gọi B C P A hình chiếu vng góc E I lên Khi H Q Vì lăng trụ tam giác nên tam giác cân J K C' B' N M A' Suy (K trung điểm B'C') Ta có 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dễ thấy trọng tâm tam giác Từ ta có Suy , Khi Gọi góc tạo hai mặt phẳng Ta có Vậy chọn phương án B Nhận xét: Vai trò nên lựa chọn điểm để thực bước hồn tồn tương tự Ví dụ Cho hình lập phương Gọi Tính góc hai mặt phẳng A trung điểm cạnh B C D Lời giải Gọi góc hai mặt phẳng Kẻ cắt B' C' D' A' P N Ta có K B Khi C M H A Kẻ Suy Xét tam giác D vuông , đường cao , ta có 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kẻ Khi Trong tam giác vng : Vậy Vậy chọn phương án A Ví dụ Cho tứ diện D.ABC có DA vng góc với mặt phẳng (ABC) Hai mặt phẳng (DBA) (DBC) vng góc với nhau, Xác định góc (DCB) , góc , góc để góc hai mặt phẳng (DCA) [7] Lời giải D Do α 450 K Gọi hình chiếu A DB, DC Khi A H C Theo giả thiết ta tính B , 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lại có Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta nhận thấy việc tính góc hai mặt phẳng cách sử dụng khoảng cách thể tính ưu việt giải triệt để toán định hướng liên quan đến mối quan hệ góc đường thẳng mặt phẳng với góc hai mặt phẳng (như ví dụ 2), tính giá trị lượng giác góc hai mặt phẳng hình lăng trụ (như ví dụ 4, ví dụ 5), hay tốn định lượng góc mức độ vận dụng cao (như ví dụ 6) 2.3.3 Giải pháp 3: Bài tập tự luyện Mục đích: - Củng cố, khắc sâu kiến thức tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng cách sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Rèn luyện kỹ vẽ hình, kỹ tính tốn, tính cẩn thận độ xác làm cho học sinh Yêu cầu: - Học sinh hoàn thành tập giao tuần Bài tập tự luận Bài Cho hình chóp giác vng Tính góc có đáy ; tam nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng Bài Cho hình chóp có đáy , hình thoi tâm , cạnh , góc Tính góc Bài Cho khối lập phương điểm hình vng, Tính góc Gọi mặt phẳng mặt phẳng trung 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy , cạnh bên Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp Bài Cho lăng trụ tứ giác mặt phẳng đáy Một mặt phẳng góc hợp với cắt cạnh bên lăng trụ Tính diện tích thiết diện, biết cạnh đáy lăng trụ Bài tập trắc nghiệm Bài Cho tứ diện , có góc đường thẳng thỏa mãn phẳng A , , , điểm thuộc đoạn Tính sin góc đường thẳng mặt B Bài Cho hình chóp , mặt bên C A Bài Cho hình chóp vng góc với đáy Gọi mặt phẳng C B Bài Cho tam giác bằng? D có đáy hình vuông cạnh trung điểm cạnh , điểm cạnh , cơsin góc hai mặt phẳng D tam giác nằm mặt phẳng vng góc B cho có đáy hình chữ nhật với với mặt phẳng đáy Góc đường thẳng A C có cạnh Trên đường thẳng vng góc với D nằm mặt phẳng lấy nằm 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phía cho Góc bao nhiêu? A B Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật C D có Tính cosin góc hai mặt phẳng A B , C , D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào việc dạy số tiết tự chọn lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp dạy đề kiểm tra 45 phút: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Cho hình chóp có đáy hình thang vng vng góc với mặt phẳng mặt phẳng a) Đường thẳng , , Biết góc Tính góc giữa: b) Hai mặt phẳng KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ Lớp Số SL % SL % SL % SL % SL % 11A6 38 13 34,2 14 36,8 23,7 5,3 0 11A8 40 16 40,0 18 45,0 12,5 2,5 0 Thông qua bảng số liệu khẳng định điều: Việc triển khai sáng kiến kinh nghiệm thông qua buổi học tự chọn, bồi dưỡng mang lại kết tốt cho học sinh Thực tế cho thấy, học sinh hào hứng thích thú thực đề tài Đa số em tỏ say mê, hứng thú học tập, biết trình bày lời giải cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ Ngoài học sinh cịn thành thạo kỹ vẽ hình, nhận biết giả thiết nhanh chóng, tư vấn đề linh hoạt … KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kiến thức trình bày đề tài giảng dạy cho em học sinh trung bình lớp 11 Kết thu khả quan, em học tập cách say mê, hứng thú Qua trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, việc tổng kết rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy nhận thấy sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào cho đối tượng học sinh khối 11 học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, học sinh ôn thi vào đại học, cao đẳng trường THPT Hậu Lộc Tuy vậy, nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan khách quan nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý q thầy giáo em học sinh để đề tài ngày hoàn thiện 3.2 Kiến nghị Tổ chuyên môn cho phép sử dụng sáng kiến kinh nghiệm số lớp mà tác giả khơng giảng dạy để tăng thêm tính khách quan việc kiểm nghiệm kết Nhà trường cần có hỗ trợ cho sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng để khích lệ tinh thần nghiên cứu khoa học cán bộ, giáo viên Sở Giáo dục Đào tạo cần phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay đến nhà trường để giáo viên học hỏi XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Tuấn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Hình học 11, Nhà xuất giáo dục [2] Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Hình học nâng cao, Nhà xuất giáo dục [3] Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Bài tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục [4] Trần Hữu Nam (Tổng biên tập), Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục [5] Bộ đề thi THPT quốc gia mơn tốn, Bộ giáo dục đào tạo [6] Bộ đề minh họa, tham khảo kỳ thi THPT quốc gia mơn tốn, Bộ giáo dục đào tạo [7] Bộ đề tuyển sinh đại học mơn Tốn, Bộ giáo dục đào tạo [8] Tài liệu sưu tầm mạng Internet 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... cứu Bồi dưỡng, nâng cao cho học sinh kỹ tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thơng qua ví dụ minh họa nhằm bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh phát triển... tính góc khơng gian cho học sinh lớp 11 phương pháp vận dụng khoảng cách? ??, nhằm giúp em học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen gợi thêm hướng... xác định góc chúng việc tính tốn góc lại phức tạp Do đó, ta định hướng học sinh vận dụng khoảng cách để tính góc Theo cơng thức ta có hai mặt phẳng , với góc Như tốn quy việc tính khoảng cách từ