Giaûi phaùp höõu ích Toå Toaùn – Lyù Tröôøng THCS PHöôùc Caùt 1 GIAÛI PHAÙP HÖÕU ÍCH REØN LUYEÄN KYÕ NAÊNG VAÄN DUÏNG HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC VAØO GIAÛI TOAÙN ÑAÏI SOÁ 8 & 9 A) ÑAËT VAÁN ÑEÀ Toaùn hoïc coù[.]
Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát GIẢI PHÁP HỮU ÍCH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ & A) ĐẶT VẤN ĐỀ: Toán học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học, chìa khóa mở cửa tạo cho ngành khoa học khác, có khả to lớn việc phát triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện tư hình thành kỹ kỹ xảo phát huy tính tích cực học tập Do đòi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo phương pháp để dạy em học sinh giải toán nhiệm vụ trung tâm người thầy dạy toán Bảy đẳng thức đáng nhớ phận phân môn đại số áp dụng xuyên suốt trình học từ lớp trở lên Từ học sinh không nắm phương pháp nhớ vận dụng việc học thành việc học “vẹt” không vận dụng giải toán Qua năm thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh học thuộc đẳng thức đáng nhớ thực hành chiều rộng lẫn chiều sâu học sinh không vận dụng để đến kết mong muốn Phần trắc nghiệm khách quan, tự luận thông hiểu vận dụng học sinh đạt kết chưa cao Chính lý nên cần định hướng học sinh giải toán có áp dụng đẳng thức đáng nhớ nhằm hình thành tư lôgic, khả tổng hợp phân tích, tìm hướng giải, định hướng toán nhằm phát huy tính thông minh,sáng tạo học sinh để đến kết nhanh gọn mà đảm bảo tính xác, rèn luyện khả vận dụng thực tế cách thông minh, nhanh nhẹn Loại bỏ bước giải rườm rà nhằm tạo tự tin làm toán Làm tiền đề cho môn học đại số, tạo để học lên lớp trên, làm cho em tự tin học môn toán nhẹ nhàng học môn khác Vì để giúp học sinh thích thú say mê học dạng toán này,từ giúp học sinh học tốt môn đại số góp phần nâng cao chất lượng môn toán.Tôi xin đưa số giải pháp nhằm giúp em có phương pháp học làm toán, nắm kiến thức bản, cách tư phương pháp sử dụng linh hoạt Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát đẳng thức vào giải toán môn đại số lớp lớp Từ tạo tạo điều kiện để học sinh học tốt, lónh hội tốt kiến thức liên quan sau B) THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: 1/ Thực trạng: +Với ý nghóa tầm quan trọng việc vận dụng đẳng thức vào giải toán với thực tế giảng dạy, thân nhận thấy rằng: Đối với lớp học xong đẳng thức đáng nhớ hầu hết em ghi lại nội dung bảy đẳng thức cho em làm tập vận dụng có số học sinh giỏi hứng thú lại học sinh trung bình, yếu ngượng ngập, không tìm lời giải, chưa chịu khó suy nghó, chứng tỏ kiến thức mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước toán tự giải chưa có niềm tin Bên cạnh số học sinh chán nản tỏ sợ môn toán học tiết toán Đối với lớp đa số học sinh chưa hiểu nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng toán Kết nhiều tập phần thức bậc hai dạng A2 A không làm giải sai +Khả nhận dạng đẳng thức vận dụng để khai triển lũy thừa, phân tích cuả học sinh yếu nhận dạng trình biến đổi học sinh nhiều sai sót, nhầm lẫn đến kết sai Ví dụ: (2x + 3y)2 =2x2 + 2.2x.3y + 3y2 ; sai lầm đây:( 2x)2; ( 3y)2 +Nhiều học sinh không phân biệt đẳng thức như: “Bình phương hiệu hiệu hai bình phương ”, “tổng hai lập phương lập phương tổng ”, “Hiệu hai lập phương lập phương hiệu ” Ví dụ: Khi khai triển đẳng thức thường nhầm lẫn nhö sau: a) (x–3)2 = x2–32 b) (x–3)3 = x3–33 c) (x+3)3 = x3+33 +Bên cạnh nhiều học sinh hổng kiến thức thu gọn đa thức, khai triển lũy thừa nên vận dụng khai triển học sinh không tiếp tục thực phép tính lũy thừa để thu gọn Ví dụ:Khi khai triển (2x+y)2 = (2x)2 +2.2x.y+y2 học sinh dừng lại 2/ Nguyên nhân: Trong chương trình cải cách sách giáo khoa người học đáp ứng yêu cầu sách đưa ra, đối tượng học sinh vùng sâu, vùng xa, địa phương có điều kiện Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát kinh tế khó khăn nói chung học sinh trường THCS Phước Cát nói riêng Địa bàn cư trú rộng, xa trường kinh tế gia đình không ổn định, khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em Bên cạnh nhiều nguyên nhân khác như: Đối với học sinh: +Do đặc thù môn toán môn học đòi hỏi học sinh phải tư liên tục, phải có tính cần cù nhẫn nại, học phải đôi với hành phần lớn học sinh không đáp ứng yêu cầu Do nhiều học sinh bị từ lớp đặc biệt phép toán nhân chia cá lũy thừa, thu gọn đa thức,… +Bên cạnh đó, số học sinh ham chơi, lười học, ngồi lớp chưa tập trung có tâm lí chán nản sợ học môn toán Khi kiểm tra em lí thuyết thuộc hiểu yêu cầu làm tập vận dụng lúng túng khó khăn trình bày Cách học em nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối kiểm tra giáo viên Đối với giáo viên: +Trong trình giảng dạy lớp có đông học sinh cộng với thời gian hạn chế nên khó quan tâm đến đối tượng học sinh, vã lại số học sinh yếu lớp nhiều +Do trình giảng dạy giáo viên chưa trường xuyên quan tâm đến việc rèn luyện kỹ tính toán, nhận dạng đẳûng thức cho học sinh Chưa đưa phương pháp học phù hợp hiệu cho học sinh đơn vị kiến thức C) GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Xét thấy thực trạng nguyên nhân trên,trong thời gian qua nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn, sử dụng số giải pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ vận dụng đẳng thức vào giải toán sau: Xây dựng hệ thống ví dụ tập từ dễ đến khó, dễ cho học sinh trung bình, yếu Còn tập khó nâng cao dùng cho học sinh giỏi để đối tượng không cảm thấy nhàm chán, dạng toán đưa cách nhận dạng đẳng thức để vận dụng tìm lời giải thích hợp I/ NHẬN BIẾT CÁCH SỬ DỤNG MỘT CÁCH NHANH NHẸN CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC: 1/ Giúp học sinh cách nhận dạng đẳng thức: Để giúp học sinh rèn luyện kỹ vận dụng đẳng thức vào giải toán, trước hết giáo viên phải thường xuyên kiểm tra việc thuộc công thức Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát với việc phát biểu lời, hiểu rõ chất phải nắm đẳng thức có hai chiều biến đổi a/ Đối với “Bình phương tổng ”, “Bình phương hiệu ” khai triển vế phải đa thức hạng tử ( hạng tử có bậc 2) (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 vaø ngược lại A2 + 2.A.B + B2 =(A + B)2 (A – B)2 = A2– 2.A.B + B2 ngược lại A2–2.A.B + B2 =(A – B)2 b/ Đối với “Hiệu hai bình phương”thì vế trái bình phương biểu thức thứ trừ bình phương biểu thức thứ hai vế phải tích tổng hiệu hai biểu thức A2– B2 =(A – B).(A + B) ngược lại (A – B).(A + B) = A – B2 c/ Đối với “Lập phương tổng ”, “Lập phương hiệu ” khai triển vế phải đa thức hạng tử ( hạng tử có bậc 3) (A +B)3=A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 ngược lại A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 =(A+B)3 (A–B)3=A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 ngược lại A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 =(A–B)3 d/ Còn “Tổng hai lập phương ”và “Hiệu hai lập phương ” vế lại tích hai đa thức (một đa thức hạng tử đa thức hạng tử ) A3+B3= (A+B).(A2–A.B+B2) ngược lại (A+B).(A2–A.B+B2) = A3+B3 A3–B3= (A–B).(A2+A.B+B2) ngược lại (A–B).(A2+A.B+B2) = A3–B3 2/ Giúp học sinh nhận biết cách sử dụng cách nhanh nhẹn bảy đẳng thức: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động Muốn vậy, giáo viên cần truyền thụ cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại điều quên, biết cách tìm tòi để phát kiến thức mới.Trong phân môn đại số thường dùng quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cần coi trọng phương pháp có tính chất tiên đoán Học sinh cần rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quay lạ quen,….việc nắm vững tri thức, phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tìm sáng tạo học sinh 2.1/ Trước áp dụng đẳng thức vào giải dạng toán cần củng cố, ôn lại đẳng thức cách liên tục thường xuyên có hệ thống Vídụ1:Hoàn thiện đẳng thức sau: a/ (? + B)2 = A2 + 2.A.? + B2 b/ (A – ? )2 = A2 –?+B2 c/ A2–?2= (A+B).(? –B) d/ (A + B)3 = ?3 + ? +3.A.B2 + ?3 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát e/ (A – ?)3 = A3–3.A2.B+?– B3 f/ ?3 + B3= (A + B).(?2–? + B2) g/ A3–?3 = (?–B).(A2 + ? + B2) Sau học sinh hoàn thiện ví dụ, giáo viên cho học sinh vận dụng mức khó Ví dụ 2: Điền vào dấu ? a/ (? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 Muốn điền vào ? để x2 + ? + 4y2 thành bình phương tổng x 2+? +4y2 phải có dạng A2+2.A.B+B2 Ta thấy A2 = x2 hay A = x B2 = 4y2 = (2y)2 hay B = 2y Suy ta phải điền thêm vào ? là: 2.A.B = 2.x.2y = 4xy Do ta có: (x+2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 Tương tự cho học sinh nhận biết tập: b/ (?–?)2=a2– 6ab +? c/ (? + ?)2 = ? + m + d/ ? – 16y4 = (x + ?).(x – ? ) e/ 25x2–? = (?+3b).(? –3b) 2.2/ Khi giải tập việc học thuộc hằngđẳng thức,các em cần ý đến giá trị, chẳng hạn: (A + B)2 = A2+2.A.B+B2 A,B biểu thức không nghó đơn số hay biến Ví dụ3: Tính a/ 1132 – 132 = (113 + 13).(113 – 13) = 126.100 = 12.600 b/ 9502 – 8502 = (950 + 850).(950 – 850 ) = 1800.100 = 180.000 c/Q = (x + 3)2– 2.(x + 3).( x – ) + (x – )2 với x = 3.75 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát sa vào chi tiết,ta thấy biểu thức có dạng: Bình phương biểu thức thứ cộng bình phương biểu thức thứ hai trừ tích hai lần hai biểu thức đó, ta nhận thấy A = x + vaø B = x – Q= [(x + ) – ( x – )]2 = (x + – x + 7)2 = 102 = 100 Như thấy rõ vấn đề biểu thức học sinh thực giải tập cách nhẹ nhàng Ví dụ 4: Tìm chỗ sai phép khai triển đẳng thức sau: a/ (x + 2y)2 = x2 + 2.xy + 2y2 b/ (5 – x )2 = 52 – x2 c/ (2x + 3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Ví dụ 5:Trong khẳng định sau khẳng định : a/ (3x – )2 = (1 – x)2 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát b/ (x – )3 = (2 – x )3 c/ (x + 1)3 = (1 + x )3 d/ x2 – = – x e/ (x – )2 = x2 – x + 3/ Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng đẳng thức vào giải toán? Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu Tôi cho học sinh (trung bình khá) lên bảng làm tập sau: Bài tập: a/ Viết công thức bình phương tổng hai biểu thức ? b/ Khai triển: (x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Kết thực sau: a/ (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b/ (x + 1)2 = x2 + 2x + (2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Điều chứng chỏ biểu thức A, B đẳng thức số gồm biến em dễ dàng vận dụng đẳng thức vào tập Tuy nhiên A, B biểu thức phức tạp em lại hay mắc phải sai lầm tập Vậy làm để em hạn chế tối đa sai lầm trên? Trước hết lưu ý em phải sử dụng dấu ngoặc lũy thừa biểu thức ta viết đẳng thức dạng: ( Ví dụ1: ( + x )2 = +2 + 2 = 2x + 2x 3y + 3y = 4x2 +12xy+9y2 Sau hướng dẫn yêu cầu học sinh đứng chỗ sửa chỗ sai làm bạn, kết quả: (2x+3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Qua tiết học đó, phần lớn em vận dụng vào làm tập khai triển lũy thừa vận dụng vào đẳng thức Ví dụ2: Khai triển (2x + 3y)3 ? Kết quả: (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2 3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 2x Giải pháp hữu ích + + 3y )2 Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát II/CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 8& 1/ Thông hiểu, nắm vững đẳng thức để giải tập SGK: 1.1 /Dùng đẳng thức để thực nhanh phép nhân đa thức: Trong dạng toán nhân đa thức với đa thức thương hay vận dụng đẳng thức nhằm mục đích có kết nhanh gọn độ xác cao,… Ví dụ 1: Thực phép nhân sau: a/ (x – ).(x + ) b/ (3x + y ).(3x – y ) c/ (x + ).(x2 – x + ) d/ (2 – x).(4 + 6x + 9x2) Để làm dạng toán thường vận dụng chủ yếu đẳng thức sau: (A + B).(A – B) =A2 – B2 (A + B).(A2 – A B + B2) = A3 + B3 (A – B ).(A2 + A.B + B2) = A3 – B3 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn vào phép nhân hai đa thức : +Nếu hai đa thức có hai hạng tử, đa thức có dạng tổng, đa thức có dạng hiệu, ta dùng đẳng thức (A + B).(A – B) =A2 – B2 Chẳng hạn: b/ (3x + y).(3x – y ) Phép nhân (3x + y).(3x – y) có dạng (A + B ).(A – B ) nên ta thấy A = 3x B= y Do : (3x + y).(3x – y ) = (3x)2 – y = 9x2 – y2 +Nếu đa thức thứ có dạng tổng hai hạng tử, đa thức thứ hai có dạng bình phương thiếu hiệu hai hạng tử trên, ta dùng: (A + B).(A – A B + B2) = A3+B3 Chẳng hạn: c/ (x + 3).(x2 – x + 9) Ta thaáy (x + 3).(x2 – x + ) = (x + ).(x2 – 3.x + 32) coù daïng (A + B).(A2 – A B + B2) suy ra:A = x ; B = Do : (x + ).(x2 – x + 9) = x3 + 33 = x3+ 27 +Nếu đa thức thứ có hiệu đa thức thứ hai có dạng bình phương thiếu tổng hai hạng tử đa thức thứ nhất, ta dùng: (A – B ).(A2 + A.B +B2) = A3 – B 1.2/Dùng đăûng thức để tính nhẩm tính nhanh giá trị biểu thức: Trong trình tính toán, giải tập việc tính nhẩm số, tính nhanh cần thiết nhằm giúp học sinh tự tin rút ngắn thời gian làm tập Ví dụ1: Tính nhẩm bình phương số tự nhiên có tận chữ số 5( Bài 17/11SGK T8) Sau chứng minh xong đẳng thức: ( 10a + )2 = 100a.(a + 1) + 25 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát Ta gọi số tự nhiên có tận chữ số là: a5 = 10a + 5.Do để tính (a5) Ta tính tích 100a.(a + 1) cộng thêm 25 Tức là: ta lấy số chục a nhân với số lớn đơn vị (a+1) viết thêm 25 vào bên phải kết Chẳng hạn: Tính 25 =? , Ta tính tích a.(a + 1) = 2(2 + ) = 2.3 = 6, viết thêm 25 vào bên phải 6, ta 252 = 625 Tương tự: 652 = 4225 ; 952 = 9025,… Ví dụ2:Tính nhanh: a/ 1012 b/ 1992 c/ 97.103 Để tính nhanh bình phương số, ta vận dụng hai đẳng thức đầu tiên.Ta viết số cần tính dạng tổng hiệu số trong phải có số tròn trăm, tròn chục Chẳng hạn: 1012 = (100+1)2 =? ; 1992 = (200 – )2 = ? Để tính nhanh tích hai số, ta viết số dạng tổng hai số, số dạng hiệu hai số, để làm điều ta tìm số hai số cần tính biến đổi áp dụng đẳng thức (A + B).(A – B) =A2 – B Chẳng hạn: 97.103 = (100 – ).(100 + ) = ? Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ 342 + 662 + 2.34.66 b/ 742 + 242 – 48.74 c/ x2 + 4x + taïi x = 998 d/ x3 + 3x2 + 3x + taïi x = 999 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng biểu thức để vận dụng đẳng thức thích hợp Ta thấy biểu thức câu a có dạng : bình phương số thứ cộng bình phương số thứ hai cộng hai lần tích hai số nên giống vế đẳng thức “Bình phương tổng ” Ở A = 34; B = 66, ñoù: 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000 Còn câu b có dạng câu a trừ hai lần tích hai số Ta thấy 48.74 = 2.24.74 đó: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500 Đối với câu c, d giáo viên hướng học sinh phân tích: Câu c: A2 = x2 nên A = x ;B2 = nên B = 2AB = 2.x.2 = 4x Do x2 + 4x + = (x + )2 Taïi x = 998 giá trị biểu thức (998 + 2)2 = 10002 = 1000.000 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát Câu d: A3 = x3 nên A = x ; B3 = neân B = vaø 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x Do đó: x3 + 3x2 + 3x + = (x + )3 , taïi x = 999 gía trị biểu thức (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000 1.3/ Dùng đăûng thức để khai triển lũy thừa biểu thức: Để củng cố lại đẳng thức , giúp học sinh tự tin giải dạng toán liên quan đến khai triển lũy thừa,tạo tiền đề cho em giải dạng toán nâng cao Ví dụ : Khai triển lũy thừa sau: a/ (x + 2y )2 b/ (2x – y )2 c/ (x - 2 ) d/ (x + )3 e/ (5x – )3 f/ (x + y + z )2 Giaùo viên hướng dẫn học sinh nhận biết biểu thức cần khai triển thuộc vế đẳng thức phải xác định biểu thức tương ứng với A, B công thức đẳng thức, sau thay biểu thức bỡi A, B vế lại tính.(lưu ý: lũy thừa đơn thức có hệ số khác đa thức phải cho vào ngoặc).Chẳng hạn: Triển khai (x + 2y )2 = ? Có dạng (A + B )2 suy A = x; B = 2y Do (x + 2y )2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 = … Đối với (x + y + z )2 ,ta xem A = x + y , B = z hoaëc A = x , B = y + z Khi đó: (x + y + z )2 = [(x + y)+z]2= (x+y)2+2.(x+y).z+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz Tương tự ta triển khai lũy thừa đa thức gồm nhiều hạng tử 1.4/ Vận dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức: Để rút gọn biểu thức ta vận dụng quy tắc học để thực thứ tự phép tính biểu thức cần rút gọn có dạng có dạng vế đẳng thức nên vận dụng đẳng thức để có kết nhanh gọn độ xác cao Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau (Bài 34,78/33 SGK T8) a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 b/ (2x+1)2 +(3x-1)2 +2.(2x+1).(3x-1) Giaùo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát sa vào chi tiết,ta thấy đặt A=x+y+z B=x+y Biểu thức cho có dạng A2 - 2.A.B + B2 nên kết (A-B)2 Do đó: a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 =[(x+y+z)-(x+y)]2= (x+y+z+-x-y)2 = z2 Tương tự câu b đặt A = 2x + vaø B =3x – biểu thức cho có dạng A2 + B2 + 2.A.B nên kết (A + B )2 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát 1.5/ Vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử: Để làm dạng toán cần cho học sinh hiểu phân tích đa thức thành nhân tử ( biến đổi đa thức thành tích nhiều đa thức khác Trước hết giáo viên chuẩn bị bảng phụ viết sẵn vế đẳng thức yêu cầu học sinh điền vế lại: A2 + 2.A.B + B2 = A2 – A.B + B2 = A2 – B2 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 = A3 – 3.A2.B + 3.A.B2– B3 = A3 + B3 = A3 – B3 = Qua điền khuyết giúp linh hoạt biến đổi hai vế hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Để làm thành thạo dạng toán giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng đa thức cần phân tích về: + Bậc đa thức +Số hạng tử đa thức ( dấu hạng tử) Chẳng hạn: +Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến đẳng thức thứ ba + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến đẳng thức thứ tư năm + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức cuối Lưu ý: Khi nhận dược đa thức thuộc đẳng thức nào, ta tìm đa thức hai hạng tử có dạng bình phương lập phương để xác định hai biểu thức tương ứng với hai biểu thức A, B công thức đẳng thức Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ x2+4x+4 f/ x3+9x2+27x+27 b/ x2-6x+9 g/ x3-3x2+3x -1 c/ 4x2-4x+1 h/ x3+8 d/ x2 -25 k/ 27x3 –y3 e/ 16x2- Hướng dẫn: Ta thấy, biểu thức x2 + 4x + đa thức bậc 2, ba hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ A2 +2.A.B + B2, A2 = x2 nên A = x ; Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 10 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát B2 = = 22 nên B = 2AB = 2.x.2 = 4x Do x2 + 4x + = (x + 2)2 , Tương tự cho câu b, c Đối với câu e/ 16x2– đa thức bậc 2, hai hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ ba A2 – B2 , A2 =16x2 = (4x)2 neân A = 4x ; B2 = nên B = Do đó16x2 –1 = (4x + 1).(4x – ) Đối với câu k/ 27x3 – y3 đa thức bậc 3, hai hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ bảy A3 – B3 , A3 = 27x3 = (3x)3 neân A = 3x ; B3 = y3 nên B = y Do đó: 27x3 – y3=(3x – y )(9x2 + xy + 9), tương tự cho câu h Đối với câu f/ x3 + 9x2 + 27x + 27 đa thức bậc 3, bốn hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ tư A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, A3 = x3neân A = x ; B3 = 27 = 33 nên B = và3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; và3A.B2 = 3.x32 = 27x Do x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 , tương tự cho câu g 1.6/ Vận dụng đẳng thức để thực phép chia: Ví dụ: Thực phép chia (bài 68/31 SGK toán 8) a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y ) b/ (125x3 + ) : (5x + ) c/ ( x2 – xy + y2) : (y – x ) d/( 4x2 – y2) : (2x – y ) Phương pháp giải: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, xuất nhân tử đa thức chia Cụï thể: a/ ( x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = (x + y) b/ (125x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1) (25x2 –5 x + 1) : (5x + 1) = ( 25x2 –5x +1) c/ ( x2 – xy + y2) : (y – x ) = (y – x )2: ( y – x ) = (y – x ) d/( 4x2 – y2): (2x – y ) = (2x – y) (2x + 3y ) :(2x – y ) = (2x + 3y) 1.7/ Vận dụng đẳng thức để tìm x đẳng thức: Nếu đẳng thức chứa x có vế phải 0, ta phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa dạng phương trình tích (vận dụng kiến thức tích nhân tử nhân tử 0) Cụ thể:Tìm x biết: a/ ( x2-2x+1) = ( x-1) = x-1 =0 x =1 b/ 64x - 49 = Giải pháp hữu ích (8x – )(8x + ) = 8x – = hoaëc 8x + = x 7 hoaëc x 8 Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 11 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát III/ VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI: Một số đẳng thức tổng quát dành cho học sinh giỏi: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc An – Bn =(A –B )(An-1 + An-2 B +….+A.Bn-2 + Bn-1) An + Bn =(A +B )(An-1 – An-2 B +An-3.B –….–A.Bn-2 + Bn-1) với n lẻ n(n 1) n-2 A B + … +nABn-1 + Bn n(n 1) n-2 (A–B)n = An – n.An-1.B + A B – … +nABn-1 – Bn (A + B)n = An +n.An-1.B + Từ đẳng thức trênta có tính chất chia hết sau: An – Bn A – B với n N vaø A ≠ B An + Bn A + B với n lẻ A ≠ - B A2n – B2n A2 – B2 với n N vaø A ≠ B vaø A ≠ - B 1) Chứng minh biểu thức dương âm : Ví dụ: Chứng minh (bài 18/5SBT 82/33 SGK) a/ x2 – x + 10 > với moïi x b/ 4x – x2 – < với x Phương pháp giải : Để chứng minh A(x) > x, ta biến đổi A(x) = B(x) + b (b > 0) > x, B(x)2 ≥ x Để chứng minh A(x) < x, ta biến đổi A(x) = - {B(x) + b (b > 0) }< x, B(x)2 +b > x Do đó: x2 – x + 10 = x2 – x + + = (x – )2 + > x 4x - x2 – = - [ x2 – x + 5] = -[x2 – x + + 1] = - [(x – )2 + 1] < x 2) Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức: Để làm dạng toán (chủ yếu dành cho học sinh giỏi) ta cần giải thích cụm từ giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức gì? Sau hướng dẫn cách thực hiện: Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần : Chứng minh A ≤ t với t số Chỉ dấu “=” xảy Kết luận: Giá trị lớn A t(kí hiệu maxA) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần : Chứng minh A ≥ m với m số Chỉ dấu “=” xảy Kết luận: Giá trị nhỏ A m (kí hiệu minA) Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 12 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát Cụ thể xét ví dụ sau: Ví dụ 1:Tìm giá trị nhỏ ( bài19/5 SBT) a/ P= x2 – x + b/ Q= x2 + y2 – x + 6y + 10 Phương pháp giải: Để tìm Min P, ta biến đổi P(x) = K(x)2 + a Vì K(x)2 ≥ x neân P(x) = K(x)2 + a ≥ a , MinP = a K(x)=0 a/ P= x2 – x + = x2 – x + + = (x – )2 + ≥ vaäy MinP = x – = b/ Q = x2 + y2 – x + 6y + 10 = x2 - x + + + y2 + 6y + 3 ) + ( y + 3)2 + ≥ 4 Vaäy Min Q = x – = = (x - Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn ( 20/5 SBT) a/ A = 4x – x2 + b/ B =x – x2 Phương pháp giải: Để tìm Max P, ta biến đổi P(x) = a – K(x)2 Vì K(x)2 ≥ x neân P(x) = a – K(x)2 ≤ a , MaxP = a K(x) = a/ A = 4x – x2 + = – [x2 – x – ] = – [x2 – x + – ] = – [(x – )2 – ] = - ( x – )2 ≤ Vaäy Max = x – = 1 4 b/ B = x – x2 = – [x2 – x ]= – [x2 – x + - ]=– [(x – Vaäy MaxB = 1 1 ) – ]= – (x – )2 ≤ 4 1 x – = 3) Vận dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa thức : a)Rút gọn thức: A x 10 x 25 ( x 5) B 42 C x 2 x ( x 3) Phương pháp giải: p dụng đẳng thức A2 = A đưa biểu thức bên dấu dạng (A + B )2 (A – B )2 Cụ thể: Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 13 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát A x 10 x 25 ( x 5) = ( x 5) x x x 5 3 B 42 = 1 2 3.1 12 1 C x 2 x ( x 3) = x x 1 = = x x 1 x 3 x 3 b) Rút gọn: M 3 847 6 27 847 27 Phương pháp giải: Vì biểu thức cần tính chứa tổng hai bậc ba, ta phải làm cách lũy thừa ba vế Cụ thể: Ñaët a = 847 ; b = 6 27 847 a.b = 27 847 847 ; Khi đó: a3 6 27 27 b3 6 847 27 847 847 125 3 ; = 36 27 27 27 (a + b )3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 M 12 M M3 – 5M – 12 = (M – )( M2 + 3M + 4) = M = hoaëc M2 + 3M + = , maø M2 + 3M + = vô nghiệm Vậy M = c)Tìm x để biểu thức y x x 2008 (x ≥ 2008) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó? Phương pháp giải: Vì toán tìm giá trị nhỏ nên ta biến đổi biểu thức dạng bình phương tổng hay hiệu để đến kết luận Cụ thể: y ( x 2008) x 2008 2008 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 14 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Caùt 1 x 2008 2008 2007 2 4 Vậy y đạt giá trị nhỏ 2007 x 2008 1 x 2008 d)Trục thức mẫu: C A B C A B A B Daïng 1) p dụng Với A 0 ; B 0 ; A B Ví dụ: Trục thức mẫu biểu thức sau: a) 10 10 2 2 2 = 2 2 22 b) 10 2 10 7 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B 2); A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B 2); Ví dụ: Trục thức mẫu: Dạng 2) Aùp duïng 3.( 1) ( a) 3 3 ( 1)( 1) b) 1 1) 1( 1) 3 3 ( 1)( 1) 4./ Aùp duïng đẳng thức vào giải toán số học: Ví dụ 1: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Ta coù: (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 – 3n2 + 3n – + n3 + n3 + 3n2 + 3n + = 3n3 +6n = 3n(n2 – 1)+9n Vì 3n(n2 – 1) = 3.n.(n-1).(n+1) chia hết cho 9n chia hết cho Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết hiệu bình phương chúng 40 Giải: Hai số lẻ liên tiếp có dạng: 2n+1 2n+3 Theo giả thiết ta có: (2n+3)2 – (2n+1)2 = 40 (2n + + 2n +1).(2n + – 2n – 1) = 40 2.(4n + 4) = 40 n +1 =5 => n = Vậy hai số là:9 11 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 15 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát a/ 7.52n + 12.6n 19 (n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 (n N) Giaûi: a) Ta coù: 7.52n + 12.6n = 7(25n – 6n ) +19.6n 19 Vì (25n – 6n ) (25 – ) nên (25n – 6n ) 19 19.6n 19 b) Ta coù: 11n+2 + 122n+1 = 112.11n +12.122n = 133.11n – 12.11n +12.144n =133.11n + 12.(144n – 11n) 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11 ) nên (144n – 11n) 133 D/ KẾT QUẢ: Trong năm học 2008-2009 Tôi nhà trường phân công giảng dạy môn toán Rút kinh nghiệm năm trước chất lượng học sinh thấp nên năm học dạy đẳng thức mạnh dạn vận dụng giải pháp vào giảng dạy thu kết đáng khích lệ: - Đa số em nắm kỹ vận dụng đẳng thức vào giải dạng toán như: tính nhẩm, tính nhanh, thực phép nhân, phép chia, chứng minh, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, - Bên cạnh số học sinh kỹ phân loại dạng toán lúng túng, kỹ vận dụng chưa thành thạo, áp dụng máy móc, chưa chịu khó học tập, ý thức học tập vã lại hổng nặng kiến thức lớp Những kết chứng tỏ việc vận dụng kinh nghiệm nêu rong thời gian chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa thật cao đạt theo mong muốn có khởi sắc chất lượng học tập, số học sinh yếu giảm Và kiến thức khắc sâu hơn, em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán E/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Giáo viên phải chuẩn bị chu đáo dạng tập phương pháp giải dạng giáo viên đưa hệ thống tập đơn giản sau nâng cao để học sinh tư cách có hệ thống.ngoài cách vận dụng đẳng thức giáo viên giới thiệu cách giải thông thường Giáo viên phải có lòng nhiệt tình, hăng say tìm tòi học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn, tìm hiểu thực tế đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh yếu để có kế hoạch phụ đạo lấp chỗ hổng kiến thức cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi kịp thời, dạy cần phải kết hợp yếu tố sau: - Dạy cách suy nghó, dạy học sinh thành thạo thao tác tư duy( phân tích, tổng hợp, tương tự, ) Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 16 Tổ: Toán – Lý Trường THCS PHước Cát - Vừa giảng, vừa luyện, vừa vận kiến thức cách tốt để học sinh nắm kiến thức - Đừng bỏ qua mà khai thác câu trả lời học sinh, khuyến khích câu trả lời tốt - Cần có quan điểm tư quan trọng kiến thưc, nắm vững phương pháp tốt thuộc lý thuyết - Tạo mối quan hệ hợp lý dạy kiến thức dạy kỹ năng, phương pháp suy nghó hành động Là người giáo viên trường THCS, công việc giảng dạy khôâng đảm bảo truyền đạt hết kiến thức sách giáo khoa,đó điều kiện cần chưa đủ, mà đòi hỏi người thầy giáo phải sâu vào vấn đề cụ thể, nghiên cứu nghiêm túc có hiểu biết sâu sắc để giúp đỡ em đạt kết cao hơn, đưa chất lượng học tập lên cao Toán học phức tạp, gồøm nhiều dạng toán, dạng toán lại có nhiều cách giải khác cách giải nhanh ngắn gọn nhất, khoa học điều học sinh làm mà phụ thuộc vào việc nắm kiến thức, vận dụng kiến thức cho phù hợp với đối tượng học sinh Trên số giải pháp nhằm rèn luyện kỹ vận dụng đẳng thức vào giải dạng toán mà thực hiện, chắn có nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến quý đồng nghiệp để giải pháp hoàn chỉnh Người thực Đặng Quang Định Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 17 Tổ: Toán – Lý Giải pháp hữu ích Trường THCS PHước Cát Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 18 Tổ: Toán – Lý Giải pháp hữu ích Trường THCS PHước Cát Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 19 Tổ: Toán – Lý Giải pháp hữu ích Trường THCS PHước Cát Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 20 ... Lý Giải pháp hữu ích Trường THCS PHước Cát Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 18 Tổ: Toán – Lý Giải pháp hữu ích Trường THCS PHước Cát Gv thực hiện: Đặng Quang Định Trang 19 Tổ: Toán – Lý Giải. .. dụng đẳng thức vào giải dạng toán mà thực hiện, chắn có nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến quý đồng nghiệp để giải pháp hoàn chỉnh Người thực Đặng Quang Định Giải pháp hữu ích Gv thực hiện:... trị đó? Phương pháp giải: Vì toán tìm giá trị nhỏ nên ta biến đổi biểu thức dạng bình phương tổng hay hiệu để đến kết luận Cụ thể: y ( x 2008) x 2008 2008 Giải pháp hữu ích Gv thực hiện: