SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 10/6/2020 Môn thi TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) (Khôn[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH _ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ KHĨA THI NGÀY 10/6/2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + =b+ =c+ b c a a) Cho a = 1, tìm b, c b) Chứng minh a, b, c dương a = b = c Bài (3 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= +1 xy xz Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, AB lấy điểm M, N cho BM = BC; AN = AB a) Chứng minh MN vng góc với BC b) Gọi I giao điểm AM CN Tính góc BIC Bài (3 điểm) Giả sử a, b, c ba số đôi khác c ≠ Chứng minh phương trình x2 + ax + bc = phương trình x2 + bx + ca = có nghiệm chung nghiệm khác hai phương trình thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH Đường trịn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC D Đường thẳng qua D vng góc với AC cắt BC E a) Chứng minh BH = HE b) Đường thẳng qua E vng góc với BC cắt đường trịn (H) K, L Chứng minh CK, CL tiếp tuyến (H) Bài (2 điểm) Gọi S tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị khơng q 2020 Chứng minh S có hai số mà tổng chúng 2021 GỢI Ý Bài a + = b+ = c+ b c a a) Với a = 1, từ (1) ta có: (1) 1 1 1+ = b + = c + ⇒ = c b c b Thế vào 1 1+ = b + b c ta được: 2b2 – b – = b) Tính b = c = b = – c = – a + = b + a − b = − (*) b c⇔ c b 1 1 b + c = c + a b − c = a − c (**) 1 − c b 1 > c b * Giả sử a > b ⇒a – b > 0, từ (*) ⇒ >0⇒ ⇒c < b (do b, c > 0) ⇒b – c > 0, từ (**) 1 1 − > a c a c ⇒ >0⇒ ⇒a < c(do a, c > 0) mà c < b(cmt) ⇒a < b(mâu thuẫn với a > b) Vậy điều giả sử sai * Giả sử a < b Chứng minh tương tự, ta có a > b(mâu thuẫn với a < b) a + =b+1 b+ = b+1 b c b c Do a = b từ ⇒ ⇒b = c Bài x, y, z > 0; x + y + z = ⇒y + z = – x 1 + ≥ (*) a b a+b Chứng minh với a, b > Dấu “=” xảy ⇔a = b 1 4 4 16 P= + ≥ = = = = ≥ xy xz xy + xz x(y + z) x(3 − x) −x + 3x 9 − x− + Áp dụng , ta có: ( ) x = ⇔ y = z = ( 32) + 94 > − x− (do xy + xz > nên ) Dấu “=” xảy Bài a) Chứng minh MN ⊥ BC 1 2 3 3 Chứng minh BM = BC = AB = AN; BN = AB = BC = CM ∈ BC) ⇒∆NBS ⇒BS = BN 1 3 ⇒MS = BS – BM = BN – BM = BC – BC = BC = BM ⇒NM trung tuyến ∆NBS ⇒MN ⊥ BC · BIC b) Tính • Vẽ NS // AC (S · · AMC = CNB · · NIB = NMB = 900 (yttư) ⇒tứ giác BNIM nội tiếp ⇒ ∆AMC = ∆CNB(c.g.c) ⇒ · BIC ⇒ = 900 Bài x2 + ax + bc = (1), x2 + bx + ca = (2), x2 + cx + ab = (3) • Gọi x0, x1 nghiệm (1) x0, x2 nghiệm (2) (với x0 nghiệm chung x1 ≠ x2 :do (1) (2) có nghiệm chung) x 02 + ax + bc = ⇒ (a − b)x + c(b − a) = ⇒ (a − b)(x − c) = ⇒ x − c = ⇒ x = c 0 0 x 02 + bx + ca = • Ta có: a −b (do a, b, c ba số đôi khác nên a ≠ b ⇒ ≠ 0) Từ (1), ta có: c2 + ac + bc = ⇒a + b + c = (*)(do c≠ 0) x x1 = bc x 0x = ca x0 = c • Theo hệ thức Viète, từ (1) (2), ta có: mà ≠ nên x1 = b x2 = a • Từ x1= b từ (3): b2 + cb + ab = b(b + c + a) = b.0 = nên x1 = b nghiệm (3)(đpcm) • Từ x2 = a từ (3): a2 + ca + ab = a(a + c + b) = a.0 = nên x2 = a nghiệm (3) (đpcm) Bài a) Chứng minh BH = HE · · AEH = ADH • Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp ⇒ } mà HD = HA ⇒ΔAHD cân H ⇒ · · ADH = DAH , lại có: · · DAH = ABH nên suy ra: · · AEH = ABH ⇒ΔABE cân A mà AH đường cao ⇒BH = HE(đpcm) b) Chứng minh CK, CL tiếp tuyến (H) HC = HK HK HE • Ta có: HE.HC = HB.HC = HA2 = HK2 ⇒ · · HKC = HEK = 900 ⇒∆HKC ~ ∆HEK(c.g.c) ⇒ ⇒CK ⊥ HK K ∈ (H) ⇒CK tiếp tuyến (H) • Chứng minh tương tự CL tiếp tuyến (H)(đpcm) Bài • Chia số nguyên dương từ đến 2020 thành 1010 nhóm, nhóm có số cho tổng hai số 2021 Cụ thể: A = {(1; 2020); (2; 2019); (3; 2018); ; (1010; 1011)} • Ta có tập hợp S gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị khơng q 2020 * Trường hợp 1: Nếu 1010 số 1011 số S có số thuộc nhóm A tốn chứng minh(do số thuộc nhóm A có tổng 2021) * Trường hợp 2: Nếu 1010 số 1011 số S mà số thuộc 1010 nhóm khác A theo ngun lý Dirichlet số cịn lại phải thuộc nhóm A Khi có số thuộc nhóm số có tổng 2021(bài tốn chứng minh) Vậy S ln có hai số mà tổng chúng 2021 UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2019 - 2020 Mơn: Tốn Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi Câu Rút gọn biểu thức 2x − B A x − − x + x2 A B x x ∈ { 0;1;2} x ∈ { 1;2} A x +1 C.3 Câu Giá trị biểu thức C P= A ( x - x +1 )( ) ( 32 ) +1 bằng: D có giá trị số nguyên là: B Câu Cho số thực x thỏa mãn D Vô nghiệm − ( + 1) + + B Câu Số giá trị x để D 11 1 + =1 x+3+ x+2 x + + x +1 B 64 x ∈ { −1;0;1} là: C 10 A D có nghĩa là: Câu Giá trị lớn biểu thức Câu Số nghiệm phương trình x +1 để biểu thức C B D -1 2− x − P =1+ A kết là: C Câu Tập hợp giá trị nguyên x ∈ { −1;0;1;2} x> C 0≤ x≤5 D Giá trị lớn biểu thức là: x 8- x + ( - x ) x + P= A 22 B là: 22 C Câu Giá trị nhỏ biểu thức P = A D 1- x + 1+ x + x B C 3+ là: D 3− 1 1 1 1 + + + + + + + + + 2 3 99 1002 S= Câu Biểu thức Có giá trị bằng: A 98 B 99 C 98,49 D 99,49 Câu 10 Cho hình chữ nhật ABCD Từ D hạ đường vng góc với AC H Biết AB = 13 cm; DH = cm Khi BD bằng: A 169 10 cm B 169 11 cm C 169 12 cm D 169 17 cm Câu 11 Cho hình chữ nhật ABCD Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BD, cắt BD H Biết DH = 9cm; BH = 16cm Chu vi hình chữ nhật ABCD bằng: A 35 cm B 50 cm C 70 cm D 80 cm Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = cm; AC = 12 cm Khi độ dài CH là: A 8,4 cm B 9,2 cm ABC C 9,4 cm D 9,6 cm µ = 2B µ A Câu 13 Cho tam giác có , AC = 4,5 cm BC = cm Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Độ đài đoạn AE là: A 2,5 cm B 3,5 cm C cm D cm Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = : BC = 75 cm Khi BH bằng: A 28 cm B 36 cm C 48 cm D 52 cm Câu 15 Hình bình hành có hai cạnh cm cm, góc tạo hai cạnh 1500 Diện tích hình bình hành là: A 15 cm2 B 17 cm2 C 20 cm2 D 24 cm2 Câu 16 Giữa hai nhà (kho phân xưởng) nhà máy người ta xây dựng băng chuyền AB để chuyển vật liệu Khoảng cách hai tồ nhà 10m, cịn hai vòng quay băng chuyền đặt độ cao 8m 4m so với mặt đất Độ dài AB băng chuyền làm tròn đến chữ số thập phân thứ là: A 10,5 m B 10,6 m C 10,7 m D 10,8 m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho 3n +19 x + xy + y = x y số phương Bài (3,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: ( x - 3x + ) ( x +15x + 56 ) + = x ( x - ) + x ( x - 5) = x ( x + 3) Bài (4,0 điểm) ⊥ Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF AD ⊥ a) Chứng minh: DE = CF DE CF; b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy; c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c dương, thỏa mãn P = 4a + 6b + 3c biểu thức a +b+c=3 Tìm giá trị nhỏ -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi khơng giải thích thêm./ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2019 - 2020 Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu Câu B C B 10 C C 11 C A 12 D D 13 B D 14 C B 15 A B 16 D II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) x + xy + y = x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình 3n +19 n b) Tìm số tự nhiên cho số phương Nội dung cần đạt a) Thêm xy vào hai vế ta ⇔ ( x + y ) = xy ( xy + 1) x + xy + y = x y + xy Điểm 0,25 0,25 xy + xy Ta thấy hai số nguyên liên tiếp, có tích số phương nên tồn số xy + Xét = thay vào phương trình đầu ta có xy + + Xét = ta có xy = -1 nên ( x, y ) x2 + y2 = ⇒ x = y = (1; -1) (-1; 1) ( x, y ) Thử lại lấy giá trị (0; 0), (1; -1), (-1; 1) nghiệm phương trình cho 3n + 19 a2 a ∈ N a a2 ≡ = ( ) Dễ thấy chẵn nên (mod 4) b) Giả sử 3n ≡ Suy (mod 4) Mặt khác, Vậy n ≡ −1 n (mod 4) n = 2m m ∈ N 32 m + 19 = a số chẵn hay ( ).Ta có nên ( a −3 )( a+3 ) m (mod 4) nên 3n ≡ (−1) n m a − 3m = ⇒ m = 19 a + = 19 Từ tìm m = 2, suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 =4 Bài (3,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: ( x - 3x + ) ( x +15x + 56 ) + = x ( x - ) + x ( x - 5) = x ( x + 3) Nội dung cần đạt a) Phương trình viết lại: (x − 1)(x − 2)(x + 7)(x + 8) + = ⇔ (x + x − 16)(x + x − 7) + = 0(1) 2 Điểm 0,25 t = x2 + x − Đặt ta có (1) ⇔ t (t − 9) + = ⇔ (t − 1)(t − 8) = ⇒t 0,5 t =1 =8 t Với =1 ta có x + x − = ⇔ x + x + = 17 0,25 ⇔ (x + 3)2 = 17 Vậy x = −3 + 17 x = −3 − 17 t Với =8 ta có x + x − = ⇔ x + x + = 24 0,25 ⇔ (x + 3)2 = 24 Vậy x = −3 + 24 x = −3 − 24 Kết luận: tập nghiệm phương trình { x ∈ −3 − 17; −3 − 24; −3 + 17; −3 + 24 b) Điều kiện để phương trình có nghĩa : x ( x - ) + x ( x - ) = x ( x + 3) ⇔ x ( } 0,25 x ≤ −3; x = 0; x ≥ 0,25 ) x -2 + x -5 - x +3 = 0,25 x = ⇔ x = (t / m) Nếu ( ) x -2 + x -5 - x +3 = ⇔ x - + x -5 = x +3 Nếu Bình phương hai vế phương trình ta được: 0,25 ... 2 3 99 1002 S= Câu Biểu thức Có giá trị bằng: A 98 B 99 C 98 , 49 D 99 , 49 Câu 10 Cho hình chữ nhật ABCD Từ D hạ đường vng góc với AC H Biết AB = 13 cm; DH = cm Khi BD bằng: A 1 69 10 cm B 1 69 11... THANH SƠN PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 20 19 - 2020 Mơn: Tốn Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0... 8 ,4 cm B 9, 2 cm ABC C 9, 4 cm D 9, 6 cm µ = 2B µ A Câu 13 Cho tam giác có , AC = 4, 5 cm BC = cm Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Độ đài đoạn AE là: A 2,5 cm B 3,5 cm C cm D cm Câu 14