tai lieu toan hoc 11 hoc tap

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toánnhư sau B.

https://www.nbv.edu.vn/ Bài PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau:  Bước Kiểm tra mệnh đề với n   Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n  k  Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp Một cách đơn giản, ta hình dung sau: Mệnh đề n  nên theo kết bước 2, với n    Vì với n  nên lại theo kết bước 2, với n    3, Bằng cách ấy, ta khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n  * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên) thì:  Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n  p;  Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  p phải chứng minh với n  k  DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC… A Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P(n)  Q(n) ) với n  n0 , n0   ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q (n0 ) chứng minh P(n0 )  Q (n0 ) Bước 2: Giả sử P(k )  Q (k ); k  , k  n0 , ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) B Bài tập tự luận n(n  1) Câu Chứng minh với số tự nhiên n  ta ln có:     2n   n 1.3.5  2n  1 Câu 3.Chứng minh với n  , ta có bất đẳng thức:  2.4.6.2n 2n  Câu Chứng với số tự nhiên n  ta ln có:     n  n 1 Câu Câu x n ( x n 1  1)  x    Chứng minh với n  1, x  ta có bất đẳng thức:  Đẳng thức xảy xn    nào? n  f : , Cho hàm số số nguyên Chứng minh f ( x)  f ( y )  x y  f  x, y  (1)thìta có   f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  x  x   xn   f  xi  , i  1, n (2) n n   Trang https://www.nbv.edu.vn/ Câu Chứng minh với số tự nhiên n  , ta ln có n(n  1)(2n  1) a 12  22   (n  1)  n  n 2n  b    n   3 4.3n Câu a Chứng minh với số tự nhiên n  ta có:       cos  2n1 (n dấu căn) sin b Chứng minh đẳng thức sin x  sin x  sin nx  Câu nx (n  1) x sin 2 với x  k 2 với n  x sin Chứng minh với n  ta có bất đẳng thức: sin nx  n sin x x   Câu n  1 a Chứng minh với số tự nhiên n  , ta có : 1     n b 3n  3n  với số tự nhiên n  ; 2.4.6.2n  2n  với số tự nhiên n  ; c 1.3.5  2n  1 Câu 10 Cho hàm số f xác định với x thoả mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x) f ( y), x, y   (*) Chứng minh với số thực x số tự  nhiên n ta có: f  x    f   x   n    2n Câu 11 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: an  16n –15n –1 225 Câu 12 Chứng minh với số tự nhiên n  A(n)  n  3n  chia hết cho Câu 13 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: Bn   n  1 n   n  3   3n  3n Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Câu 15 Chứng minh tổng n – giác lồi (n  3) (n  2)1800 Câu 16 a Chứng minh với n  , ta ln có an   n  1 n    n  n  chia hết cho 2n b Cho a, b nghiệm phương trình x  27 x  14  Đặt S  n   a n  b n Chứng minh với số nguyên dương n S (n) số nguyên không chia hết cho 715 c Cho hàm số f :    thỏa f (1)  1, f (2)  f (n  2)  f (n  1)  f (n) Chứng minh rằng: f (n  1)  f (n  2) f (n)  (1) n n d Cho pn số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: 22  pn e Chứng minh số tự nhiên khơng vượt qua n ! biểu diễn thành tổng không n ước số đôi khác n ! Trang https://www.nbv.edu.vn/ Câu 17 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   Đặt an  x1n  x2n Chứng minh rằng: a an  6an 1  an  n  b an số nguyên an không chia hết cho với n  Câu 18 a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  ), ba mặt phẳng ln cắt khơng có bốn mặt phẳng có điểm chung Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền? b Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng đóhai đường thẳng ln cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng n2  n  thành miền Câu 19 a Cho a, b, c, d , m số tự nhiên cho a  d , (b  1)c , ab  a  c chia hết cho m Chứng minh xn  a.bn  cn  d chia hết cho m với số tự nhiên n Câu b Chứng minh từ n  số 2n số tự nhiên ln tìm hai số bội C Bài tập trắc nghiệm Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n  chia hết cho 7, n  * '' * sau:  Giả sử * với n  k , tức 8k  chia hết cho  Ta có: 8k 1    8k  1  , kết hợp với giả thiết 8k  chia hết suy 8k 1  chia hết cho Vậy đẳng thức * với n  * Câu Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp 1 1 Cho S n  với n * Mệnh đề sau đúng?     1 2  3  n  n  1 1 B S2  C S2  D S3  12 1 1 Cho S n  với n * Mệnh đề sau đúng?     1 2  3  n  n  1 A S3  Câu n 1 n n 1 n2 B Sn  C Sn  D Sn  n n 1 n2 n3 1 Cho S n  với n  * Mệnh đề sau đúng?    1 3   2n  1   2n  1 A Sn  Câu n 1 n n n2 B Sn  C Sn  D Sn  2n  2n  3n  2n   1    Cho Pn     1      với n  n   Mệnh đề sau đúng?     n  n 1 n 1 n 1 n 1 A P  B P  C P  D P  n2 2n n 2n Với n  * , hệ thức sau sai? A Sn  Câu Câu Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ n  n  1 B      2n  1  n A    n  C 12  22   n  n  n  1 2n  1 D 22  42  62     2n   Câu Xét hai mệnh đề sau: I) Với n  * , số n3  3n  5n chia hết cho II) Với n  * , ta có Mệnh đề đúng? A Chỉ I Câu Câu 2n  n  1 2n  1 1 13     n 1 n  2n 24 B Chỉ II C Khơng có D Cả I II Với n   , rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10   n  3n  1 * A S  n  n  1 B S  n  n   C S  n  n  1 D S  2n  n  1 Kí hiệu k !  k  k  1 2.1, k  * Với n  * , đặt S n  1.1! 2.2!  n.n ! Mệnh đề đúng? A S n  2.n ! B Sn   n  1 ! C Sn   n  1! D Sn   n  1 ! 2 Câu 10 Với n  * , đặt Tn  12  22  32    2n  M n  2  42  62    2n  Mệnh đề đúng? T 4n  A n  M n 2n  B Tn 4n   M n 2n  C Tn 8n   M n n 1 D Tn 2n   Mn n 1 Câu 11 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n  2n  với số nguyên n  p A p  B p  C p  D p  Câu 12 Tìm tất giá trị n  * cho 2n  n A n  B n  n  C n  D n  n  1 an  b Câu 13 Với số nguyên dương n , ta có: , a, b, c      3n  1 3n   cn  2.5 5.8 số nguyên Tính giá trị biểu thức T  ab  bc  ca A T  B T  C T  43 D T  42  an      Câu 14 Với số nguyên dương n  , ta có:          , a, b số      n  bn  nguyên Tính giá trị biểu thức T  a  b A P  B P  C P  20 3 Câu 15 Biết    n  an  bn  cn  dn  e, n  * D P  36 Tính giá trị biểu thức M  abcd e 1 D M  Câu 16 Biết số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3   n  n  1  a1n  b1n  c1n  d1 A M  B M  C M  1.2  2.5  3.8   n  3n  1  a2 n3  b2 n2  c2 n  d T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d Trang Tính giá trị biểu thức https://www.nbv.edu.vn/ D T  3 k k k Câu 17 Biết    n , n, k số nguyên dương Xét mệnh đề sau: A T  S1  B T  C M  n  n  1 2n  1  3n2  3n  1 n  n  1 n  n  1 n  n  1 2n  1 , S2  , S3  S4  30 Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D n  n  1 sai Câu 18 Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n !  2n 1 ” Một học sinh trình bày lời giải Câu toán bước sau: Câu 1, thấy có S3  Bước 1: Với n  , ta có: n !  1!  2n1  211  20  Vậy n !  2n 1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với n  k  , tức ta có k !  2k 1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , nghĩa phải chứng minh  k  1 !  k Bước : Ta có  k  1 !   k  1 k !  2.2k 1  k Vậy n !  2n 1 với số nguyên dương n Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước 1 an  bn     , a, b, c, d n số 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n   cn  dn  16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T   a  c  b  d  Câu 19 Biết : A T  75 B T  364 C T  300 D T  256 Câu 20 Tam giác ABC tam giác có độ dài cạnh Gọi A1 , B1 , C1 lần lượtlà trung điểm BC , CA, AB Gọi A2 , B2 , C2 lần lượtlà trung điểm B1C1 , C1 A1 , A1 B1 …Gọi An , Bn , Cn lần lượtlà trung điểm Bn 1Cn 1 , Cn 1 An 1 , An 1 Bn 1 Tính diện tích tam giác An BnCn ? 4n 3n n 2n 3 D   4 Câu 21 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Gọi A1 , B1 , C1 , D1 lần lượtlà trung điểm A AC , BC , CD, DA Gọi B C A2 , B2 , C2 , D2 lần lượtlà trung điểm A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1 …Gọi An , Bn , Cn , Dn lần lượtlà trung điểm An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 Tính diện tích tứ giác An Bn Cn Dn ? n 1 3 B n C n D   n 4 Câu 22 Trên mặt phẳng cho n đường trịn phân biệt, đơi cắt khơng có ba đường trịn giao điểm Các đường tròn chia mặt phẳng thành 92 miền rời Tìm n A 10 B 12 C D 11 Câu 23 S n  (n  1)(n  2)(n  3) (n  n) chia hết cho A A 2n B 3n C 4n D 2n1 n Câu 24 Có giá trị nguyên dương n, n  100 để un 2    2    n  số phương? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ A 50 B 30 C 49 D 49 Câu 25 Trên mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt qua điểm phân biệt, chia mặt phẳng thành 100 phần rời Tìm n A 50 B 40 C 20 D 25 Câu 26 Bài toán chứng minh A  4n  15n  chia hết cho phương pháp thích hợp nhất? A Đồng dư thức B Quy nạp C Tách hạng tử D Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2n2  32 n1  (1) với n số nguyên dương Một học sinh giải sau: Câu 27 Chứng minh B  7.2 Bước 1: Xét với n  ta có B  10  Bước 2: Giả sử (1) với n  k (k  , k  1) , đó: Bk  7.22 k 2  32 k 1  Bước 3: Chứng minh (1) với n  k  , hay ta cần chứng minh Bk 1  7.22( k 1)2  32( k 1)1  Thật Bk 1  7.22( k 1)  32( k 1)1   7.22 k 2  32 k 1  7.22 k 2.4  32 k 1.9  4(7.22 k  2.4  32 k 1 )  5.32 k 1   Bk  5.32 k 1  ( Bk  ) Vậy Bk 1  Bước 4: Vậy B  7.22 n 2  32 n1  với n số nguyên dương Lập luận đến bước nào? A Bước B Bước C Bước D Bước n Câu 28 Cho C   3n  ,Trong quy trình chứng minh C theo phương pháp quy nạp, giá trị a biểu thức Ck 1  7.Ck  a (2k  1) là: A 9 B C D 18 Câu 29 Với số nguyên dương n Sn  n  11n chia hết cho số sau đây? B A D 12 C Câu 30 Với số nguyên dương n Sn  n  3n  5n  chia hết cho số sau đây? B A C D 2n Câu 31 Với số nguyên dương n , a số nguyên dương cho trước, D  a  chia hết cho: B a  A a C a D a  Câu 32 Cho E  4k  a.k  , với a số tự nhiên Giá t m  a  rị nhỏ a để E là: A B C D Câu 33 Với số nguyên dương n Sn  4n  15n  chia hết cho số sau đây? A B C 2 D Câu 34 Với n  N * , tổng Sn      n thu gọn có dạng biểu thức sau đây? A C Trang n  n  1 n   n  n  1 2n  1 B D n  n   2n  1 n2  n  1 https://www.nbv.edu.vn/ Câu 35 Với số nguyên dương n Sn  42 n  32 n  chia hết cho số sau đây? A 23.3 B 22.3.7 C 2.32.7 D 2.3.7 Câu 36 Với n  * biểu thức S  n       n A n  n  1 B n  n  1 C n  n  1 D n  n  1 n   Câu 37 Biết với số nguyên dương n ta có     n  an  bn Tính A B C Câu 38 Tổng góc đa giác lồi n cạnh  n  3 là: A n.1800 B  n  11800 C  n  1800 a b D D  n  31800 Câu 39 Mệnh đề mệnh đề đúng? A 2n  n , n  * B n  n , n  * \ 1; 2;3; 4 C 2n  n , n  * D 2n  n , n   Câu 40 Với n  N * , tổng S n  1.2  2.3  3.4   n  n  1 thu gọn có dạng biểu thức sau đây? n  n  1 n   n  3 A C n  n  1 n   D B n  n  1 n   n2  3n  1 Câu 41 Với n  N * , tổng Sn  12  32  52    2n  1 thu gọn có dạng biểu thức sau đây? n  n  1 n  2n  1 n  4n  1 B C D Đáp số khác 3 Câu 42 Giả sử với n nguyên dương ta có: 1.4  2.7   n  3n  1  An3  Bn  Cn Tính A A B C ? A B C D Câu 43 Mệnh đề mệnh đề đúng? A Với số tự nhiên n , tồn đa thức P  n  cho cos n  Pn  cos   n  n  1 , n  * C 2n  n , n  * B    n  n D  n  1  n n1 , n  * Câu 44 Tìm tất số nguyên dương n cho 2n 1  n  3n A n  B n  C n  D n  BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang https://www.nbv.edu.vn/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://www.nbv.edu.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang https://www.nbv.edu.vn/   Bài PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương   Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên  n  *  là đúng với mọi  n  mà khơng thể  thử trực tiếp thì có thể làm như sau:   Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với  n     Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì  n  k   (gọi là giả thiết quy nạp),  chứng minh rằng nó cũng đúng với  n  k    Đó là phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt là phương pháp quy nạp.  Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi  n   nên theo kết quả ở  bước  2,  nó cũng đúng với  n     Vì nó đúng với  n   nên lại theo kết quả ở bước  2,  nó  đúng  với  n    3,   Bằng  cách  ấy,  ta  có  thể  khẳng  định  rằng  mệnh  đề  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên  n  *   2.  Chú  ý:  Nếu  phải  chứng minh  mệnh đề  là  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên  n  p   ( p   là  một  số  tự  nhiên) thì:    Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với  n  p;     Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì  n  k  p  và phải chứng minh rằng nó  cũng đúng với  n  k    DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC… A Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức  P(n)  Q(n)  (hoặc  P(n)  Q(n) ) đúng với  n  n0 ,  n0    ta  thực hiện các bước sau:  Bước 1: Tính  P(n0 ),  Q (n0 )  rồi chứng minh  P(n0 )  Q (n0 )   Bước 2: Giả sử  P(k )  Q (k );  k  , k  n0 , ta cần chứng minh  P(k  1)  Q(k  1)   B Bài tập tự luận Câu Chứng mình với mọi số tự nhiên  n   ta ln có:      n  n(n  1) Lời giải Đặt  P(n)      n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :  n(n  1)   Ta cần chứng minh  P(n)  Q(n)  n  , n    Q( n)  Bước 1: Với  n   ta có  P(1)  1,  Q(1)  1(1  1)  1   P(1)  Q(1)  (1)  đúng với  n    Bước 2: Giả sử  P(k )  Q(k )  với  k  , k   tức là:      k  k (k  1) (1)  Trang https://www.nbv.edu.vn/   Ta cần chứng minh  P (k  1)  Q(k  1) , tức là:      k  (k  1)  (k  1)(k  2) (2)  Thật vậy:  VT (2)  (1     k )  (k  1)   k (k  1)  (k  1) (Do đẳng thức (1))  k (k  1)(k  2)  (k  1)(  1)   VP(2)   2 Vậy đẳng thức chođúng với mọi  n     Câu Chứng minh với mọi số tự nhiên  n   ta ln có:      2n   n2 Lời giải   Với  n   ta có  VT  1,  VP     Suy ra  VT  VP   đẳng thức cho đúng với  n      Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  với  k  , k   tức là:      2k   k (1)  Ta cần chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  , tức là:      (2k  1)  (2k  1)   k  1 (2)  Thật vậy:  VT (2)  (1     2k  1)  (2k  1)    k  (2k  1) (Do đẳng thức (1))   (k  1)  VP(1.2)   Vậy đẳng thức chođúng với mọi  n    Câu Chứng minh rằng với  n  , ta có bất đẳng thức:  1.3.5  2n  1 2.4.6.2n  Lời giải 1   đúng.  * Với  n   ta có đẳng thức chotrở thành:    đẳng thức chođúng với  n    * Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  , tức là:  1.3.5  2k  1 (1)   2.4.6 2k 2k  Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  , tức là:  1.3.5  2k  1 2k  1  (2)  2.4.6 2k  2k   2k  Thật vậy, ta có:  VT (2)  1.3.5 (2k  1) 2k  1 2k  2k      2.4.6 2k 2k  2k  2k  2 k  2k  1   (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2   2k  2k     (luôn đúng)  Vậy đẳng thức chođúng với mọi số tự nhiên  n    Ta chứng minh:  Trang 2n  ...  (*) Chứng minh với số thực x số tự  nhiên n ta có: f  x    f   x   n    2n Câu 11 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: an  16n –15n –1 225 Câu 12 Chứng minh với số tự nhiên... đúng? T 4n  A n  M n 2n  B Tn 4n   M n 2n  C Tn 8n   M n n 1 D Tn 2n   Mn n 1 Câu 11 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n  2n  với số nguyên n  p A p  B p  C p  D p  Câu 12... ba đường tròn giao điểm Các đường tròn chia mặt phẳng thành 92 miền rời Tìm n A 10 B 12 C D 11 Câu 23 S n  (n  1)(n  2)(n  3) (n  n) chia hết cho A A 2n B 3n C 4n D 2n1 n Câu 24