********* ÑEÀ CÖÔNG OÂN TAÄP HOÏC KÌ 1 – Toaùn 7 ********* CÁCH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CÁC BƯỚC GIẢI Bước 1 Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần) Bước 2 Biễu d[.]
CÁCH GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CÁC BƯỚC GIẢI: Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị ẩn đặt điều kiện cần) Bước 2: Biễu diễn đại lượng toán theo giả thiết ẩn số, từ lập pt hệ pt Bước 3: Giải phương trình hệ phương trình vừa lập Bước 4: Đối chiếu với điều kiện trả lời II CHUẨN BỊ TRƯỚC KHI GIẢI VÀO PHẦN BÀI LÀM: - Đọc hiểu đề toán (có thể dùng sơ đồ để minh họa) - Trong tốn có đối tượng? Nếu có đối tượng tham gia có khả xảy ra? - Trong tốn có đại lượng nào? Những đại lượng liên hệ với cơng thức nào? - Lập bảng tóm tắt gồm đại lượng (theo cột) đối tượng (theo dịng) Nếu có đối tượng , có 2, khả xảy cho đối tượng đó, ta viết khả theo dịng - Điền đại lượng biết vào ô trống Chọn ẩn số (thứ tự 1), biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn (kèm thứ tự) - Viết vào làm thứ tự bảng tóm tắt III Chú ý: 1/ Trong bảng tóm tắt, đại lượng dùng cơng thức biểu diễn so sánh đại lượng để lập pt 2/ Trong số học phải biết biểu diễn dạng tổng lũy thừa số 10 Ví dụ: a/ 68 = 6.10 + b/ ab = 10.a + b c/ 238 = 10 + 3.10 + d/ abc = a 102 + b.10 + c 3/ Trong tốn cơng việc làm chung - riêng Đối tượng A làm công việc x (giờ) đối tượng làm (cơng việc) … x Cả hai đối tượng làm công việc xong m (giờ) hai đối tượng làm (cơng việc) m + Bài tốn cho” Hai đối tượng làm chung xong công việc sau m (giờ) ” Thì có lời giải sau: Gọi thời gian đối tượng thứ làm xong công việc x (giờ) ĐK: Gọi thời gian đối tượng thứ hai làm xong công việc y (giờ) ĐK: Trong đối tượng thứ làm (công việc) x Trong đối tượng thứ hai làm (công việc) y Trong hai đối tượng làm (cơng việc) m 1 Ta có phương trình: x y m Như vậy: Giả thiết lại dùng để lập pt thứ hệ Do dạng tốn ta “có thể” khơng cần lập bảng tóm tắt nháp (làm thẳng vào phần làm) 4/ Ca nô (hay thuyền) chuyển động dịng nước chảy có loại vận tốc: Vận tốc thực (cịn gọi vận tốc riêng) ca nơ, vận tốc xi dịng; vận tốc ngược dịng vận tốc dịng nước thì: Vxi = Vthực + Vnước; Vngược = Vthực – Vnước; 2Vnước = Vxuôi – Vngược IV Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một tơ dự định từ A đến B với vận tốc xác định thời gian định Nếu vận tốc tơ giảm 10km/h thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc thời gian dự định ôtô? Nhận xét: - Bài tốn có đối tượng tham gia “Một tơ” có khả xảy là: dự định; với vận tốc giảm; với vận tốc tăng - Bài toán thuộc dạng chuyển động nên có đại lượng: Quãng đường: S (km), vận tốc: V( km/h) thời gian: t (h) với liên hệ S = V.t 45 30 (đổi: 45 phút = (giờ) = (giờ); 30 phút = (giờ) = (giờ).) 60 60 Trang - Bảng tóm tắt t(h) S(km) y(h) (2) xy (km) (3) 3 (y + ) (h) (5) (x – 10)(y + ) km (6) 4 V tăng (x + 10) (km/h) (7) 1 (y – ) (h) (8) (x + 10)(y – ) km (9) 2 Trong tốn này, xuất trống, chưa biết đại lượng Vậy ta chọn ẩn, biểu diễn đại lượng lại theo thứ tự ( ) từ đến Tương ứng ta có lời giải (Có thể ta giải gộp) Bài tốn đại lượng qng đường ta dùng cơng thức để biểu thị Vậy ta phải so sánh biểu thức quãng đường để lập hệ Vì quãng đường cố định nên biểu thức nhau: Ta có hệ: 3 x 10 y xy x 10 y xy 2 Hướng dẫn giải: Dự định V giảm v(km/h) x (km/h) (1) (x – 10) (km/h) (4) Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h), thời gian dự định ô tô y (km/h) (ĐK: x > 10; y > Quãng đường AB x.y (km) h), quãng đường (x – 10)(y + Nếu ô tô tăng vận tốc 10 km/h thời gian giảm 30 phút ( = h), quãng đường (x + 10)(y – Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h thời gian tăng 45 phút ( = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ) ) (km) ) (km) 3 x 10 y xy 3x - 40y 30 x 50 giải hệ ta (TMĐK) - x 20y 10 y 3 x 10 y xy 2 Vậy: Vận tốc dự định ô tô 50 km/h, thời gian dự định ô tô Ví dụ 2: Hai người làm cơng việc 7h12’ xong cơng việc N ếu người thứ làm 4h người thứ làm 3h đựơc 50% cơng việc Hỏi người làm xong? Nhận xét: 12 36 Hai người làm công việc 7h12’ = (giờ) = (giờ) Chỉ giả thiết ta có lời giải 60 GT: Nếu người thứ làm 4h, người thứ làm 3h 50% cơng việc Ta có pt thứ hai Hướng dẫn giải: 12 36 Đổi: 50% = ; 7h12’ = (giờ) = (giờ) 60 Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (h) (ĐK: x > 0) Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc y (h) (ĐK: y > 0) 1 Trong người thứ làm (công việc); người thứ hai làm (công việc) y x 1 36 Trong hai người làm 36 (công việc) Ta có pt: x y 36 4 4h người thứ làm (công việc); 3h người thứ làm đựơc (công việc),ta có pt: y x y x Trang 1 x y 36 Ta có hệ phương trình 1 x y Giải ta có: x = 12; y = 18 Trả lời: Ví dụ 3: Một thuyền xi ngược dịng khúc sông dài 40km hết 4h30’ Biết thời gian xi dịng 5km thời gian ngược dịng 4km Tính vận tốc thực thuyền vận tốc dòng nước? Nhận xét: Bài tốn dạng chuyển động Có đối tượng tham gia bài: Một thuyền Có hai trường hợp xảy ra: Đi xi, ngược Bảng tốm tắt: V(km/h) t(h) S(km) Xi dịng x + y (km/h) (3) 40 (km) 40 (h) (5) x y Ngược dòng x – y (km/h) (4) 40 (km ) 40 (h) (6) x y Trong bảng trên: Đại lượng toán hỏi khơng có bảng Vì ta phải chọn ẩn lời giải Sau điền ô trống bảng Đại lượng thời gian dùng công thức biểu diễn nên ta so sánh thời gian để lập hệ Hướng dẫn giải: Gọi vận thuyền nước yên lặng x km/h (x > y), vận tốc dòng nước y km/h (y > 0) 40 40 Thời gian thuyền xi dịng: (h); Thời gian thuyền ngược dòng : (h) x y x y xy x y 40 40 9 Vì thuyền xi ngược dịng khúc sơng dài 40 km hết 4h30’ h nên có pt xy x y 2 x y x y Ta có hệ phương trình: 40 40 x y x y Giải ta vận tốc thuyền x = 18 km/hvận tốc dòng nước là: y = 2km/h Ví dụ 4: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ tổ vượt mức 15% tổ vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ sản xuất chi tiết máy Nhận xét: Đây dạng toán thêm - bớt (Tương ứng + ; -) Bài toán tăng thêm theo % nên khó Nhắc lại tí kiến thức: + Tháng tháng đầu 15%, có nghĩa tháng đầu làm 100% tháng làm 100% + 15% = 115% = 115 1,15 tháng đầu 100 m m + số x x n n Bài tốn có hai đối tượng tham gia: Tổ tổ Có đại lượng: số chi tiết máy tháng 1; số chi tiết máy tháng 2; tổng số chi tiết máy hai tháng Bảng tóm tắt: số chi tiết máy tháng số chi tiết máy tháng Tổng Tổ x (1) 1,15x (3) 800 Tổ y (2) 1,20y (4) 945 Hướng dẫn giải: Gọi số sản phẩm tháng tổ x; số sản phẩm tháng tổ y (chi tiết máy) (x; y nguyên dương) Vì thời gian thuyền xi dịng 4km thời gian thuyền ngược dịng 5km nên ta có pt: Trang Số sản phẩm tháng tổ (100% + 15%) x = 1,15.x (chi tiết máy) Số sản phẩm tháng tổ (100% + 20%) y = 1,2.y (chi tiết máy) x y 800 Theo ta có hệ phương trình 1,15 x 1,2 y 945 Giải ta x = 300, y = 500 V BÀI TẬP TỰ GIẢI CĨ HƯỚNG DẨN: Bài 1: Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Hướng dẫn giải: x y 16 (9; 7) x y 2 Bài 2: Tìm số biết tổng chúng 1006 lấy số lớn chia cho số bé thương 2và số dư 124 Nhắc lại: Số bị chia = số chia Thương + số dư Hướng dẫn giải: Gọi số lớn x, số bé y (x, y thuộc N; x > y) x y 1006 Ta có hệ phương trình Giải ta số lớn 712 số bé 294 x 2 y 124 Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chia số cho tổng hai chữ số thương Nếu cộng tích hai chữ số với 25 số viết theo thứ tự ngược lại số cần tìm Hướng dẫn giải: Gọi chữ số hàng chục x, chữ số hàng đơn vị y 10 x y 6 Nếu lấy tích cộng thêm 25 ta có xy + 25 = 10y + x Nếu chia số cho tổng chữ số ta có x y 10 x y 6 Theo ta có hpt: Giải ta số 54 x y xy 25 10 y x Bài 4: Một người mua hai loại mặt hàng A B Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% mặt hàng B thêm 20% người phải trả 232 nghìn đồng Nhưng giảm giá hai mặt hàng 10% người phải trả tất 180 nghìn đồng Tính giá tiền loại lúc đầu? 110 x = 1,1x Hướng dẫn giải: Tăng giá mặt hàng A 10%, tức giá 110% giá cũ hay giá 100 Gọi giá mặt hàng A B x, y (x, y thuộc N*) 1,1x 1,2 y 232 Theo ta có hệ pt: Giải hệ pt ta x = 80, y = 120 0,9 x 0,9 y 180 Bài 5: Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 4h48’ đầy bể Nếu mở vịi thứ 9h sau mở tiếp vịi thứ 2, hai chảy sau 6/5h đầy bể Hỏi vịi chảy lâu đầy bể? Hướng dẫn giải: Gọi thời gian vòi vịi chảy đầy bể x, y (x, y > 0) 1 Trong vòi chảy x y 24 1 Nếu mở vòi thứ 9h mở tiếp vòi h ta có pt: ( ) 1 x x y 1 x y 24 ta có hệ pt 1 giải ta có vịi chảy hết 10,4 h vòi chảy 8h ( ) 1 x x y Bài 6: Hai vòi nước chảy vào bể nước 12h đầy bể Sau vịi chảy 8h người ta khố vịi lại cịn vịi tiếp tục chảy, tăng cơng suất lên gấp đơi nên vịi chảy đầy phần cịn lại bể sau 3,5 h Hỏi vòi chảy lâu đầy bể? Hướng dẫn giải: Trang Gọi thòi gian hai vòi chảy đầy bể x, y (ĐK: x, y > 0) 1 15 Trong 1h, 2vòi chảy (1) ; Mở vịi 8h khố vịi lại ta có pt: 1 (2) x y 12 x y 1 1 x y 12 Theo ta có hệ pt: 15 Giải hệ pt ta x = 28h, y = 21h 1 x y Bài 7: Hai tổ công nhân làm chung 12h hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với 4h sau tổ điều làm việc khác, tổ thứ làm tiếp 10h xong cơng việc Hỏi tổ làm sau xong công việc? Hướng dẫn giải: Gọi thời gian tổ 1, tổ làm xong cơng việc x, y (ĐK: x, y > 0) 1 Trong 1h hai đội làm x y 12 14 Hai đội làm chung 4h đội làm 10h xong cơng việc ta có pt: 1 x y 1 1 x y 12 Kết hợp ta có hệ pt: 14 (x = 60; y = 15) 1 x y Bài 8: Một hình chữ nhật có chu vi 70m, giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 5m diện tích khơng đổi Hãy tìm chiều rộng chiều dài? Hướng dẫn giải: Gọi chiều rộng x (m), chiều dài y (m) (ĐK: x, y > 0) Nửa chu vi 70 : = 35(m), tức x + y = 35 Khi chiều rộng tăng chiều giảm ta có (x – 3)(y + 5) = xy x y 35 Theo ta có hpt: Giải ta có x = 15; y = 20 ( x 3)( y 5) xy Bài 9: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB Hướng dẫn giải: Gọi thời gian dự định x (h), vận tốc xe lúc đầu y (km/h) (x, y > 0), chiều dài qđ AB xy (km) Khi xe chạy nhanh 10km thì: Vận tốc xe lúc là: y + 10 (km/h); Thời gian xe hết Quãng đường AB là: x – (giờ) Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) Khi xe chạy chậm 10km thì: Vận tốc xe lúc là: y – 10 (km/h); Thời gian xe hết Quãng đường AB là: x + (giờ) Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2) 10 x 3y 30 xy 10 x 3y 30 xy x 3 y 10 xy xy 10 x 5y 50 xy 10 x 5y 50 x 5 y 10 xy x 15 10 x 3y 30 2 y 80 y 40 Từ (1) (2) ta có hệ: Giải hệ phương trình ta được: x = 15; y = 40 Vậy thời gian xe dự định hết quãng đường AB 15 giờ, vận tốc xe lúc đầu 40km/h Quãng đường AB có độ dài là: 15 40 = 600 (km) Bài 10: Có 45 người gồm bác sĩ luật sư tuổi trung bình họ 40 Tính số bác sĩ luật sư biết tuổi trung bình bác sĩ 35 tuổi trưng bình luật sư 50 Hướng dẫn giải: Gọi số bác sĩ x (người); Gọi số luật sư y (người) (ĐK: x, y thuộc N*) x y 45 x 30 Theo ta có hpt: 35 x 50 y 40 Vậy số bác sĩ 30 người số luật sư 15 người y 15 45 Trang ... y > 0) 1 15 Trong 1h, 2vòi chảy (1) ; Mở vịi 8h khố vịi lại ta có pt: ? ?1 (2) x y 12 x y ? ?1 1 x y ? ?12 Theo ta có hệ pt: 15 Giải hệ pt ta x = 28h, y = 21h ? ?1 x y Bài 7: Hai... tháng đầu 15 %, có nghĩa tháng đầu làm 10 0% tháng làm 10 0% + 15 % = 11 5% = 11 5 ? ?1, 15 tháng đầu 10 0 m m + số x x n n Bài tốn có hai đối tượng tham gia: Tổ tổ Có đại lượng: số chi tiết máy tháng 1; số... x, y > 0) 1 Trong 1h hai đội làm x y 12 14 Hai đội làm chung 4h đội làm 10 h xong cơng việc ta có pt: ? ?1 x y ? ?1 1 x y ? ?12 Kết hợp ta có hệ pt: 14 (x = 60; y = 15 ) ? ?1 x y Bài