SỞ GD VÀ ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 NĂM HỌC 2018 2019 MÔN TOÁN KHỐI 10 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3điểm) Giải phương trình[.]
SỞ GD VÀ ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI-VÒNG TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP NĂM HỌC: 2018-2019 MƠN TỐN: KHỐI 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ¡ : x + 12 x x + = 27 ( x + 1) Câu I:(3điểm) Giải phương trình sau ( x2 + x + 6)( x2 + x + 20) − 2m −1 = (1) Câu II: (3điểm) Cho phương trình: (1) x2 + x + ≤ m x Tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn: x3 + x3 y = Câu III:(3điểm) Giải hệ phương trình: xy3 = + x sin A = Câu IV:(6 điểm) a)Cho tam giác ABC có sin B + 2sin C cos B + cos C ¼ ,¼ BAC ABC , ¼ ACB kí hiệu số đo góc ABC vng tam giác ABC Chứng minh tam giác b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn M ∈ ( C ) ⇔ MA2 + MB + MC = BC ABCD Câu V:(2điểm) Cho hình vng AI BJ với A, B, C tương ứng ( C) Điểm K có tâm O bán kính R Chứng minh: I, J xác định bởi: AK Đường thẳng cắt Chứng minh: vng góc với Câu VI:(3điểm) a)Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 + + =1 a + ab + b b + bc + c c + ca + a S =a+b+c uur uuur uuu r uuur BI = BC , CJ = − CD CK Tìm giá trị lớn biểu thức b) Xét hình chữ nhật ABCD điểm M di động BC Phân giác góc DAM cắt BC N Hãy xác định vị trí M để AN MN đạt giá trị nhỏ … …….Hết…… … (Học sinh không sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm.) Đáp án hướng dẫn chấm Câu Câu I (3đ) Lời giải x + ≥ ⇔ x ≥ −1 điều kiện: Phương trình cho tương đương với: ( x + 12 x x + = 27 ( x + 1) = 36 ( + x ) ⇔ x + 3 + x = x ( 1) 2 x + + x = + x ⇔ ⇔ 9 + x = −2 x ( ) x + + x = −6 + x Ta có (1) Ta có (2) 9 ( + x ) = x x − x − = ⇔ ⇔ x ≥ x ≥ 4 x − 81x − 81 = 8 ( + x ) = x ⇔ ⇔ x ≤ x ≤ x= Vậy x = 3; Câu II (3điểm) 81 − 97 nghiệm phươ ( x + x + 6)( x + x + 20) − 2m − = (1) ⇔ ( x + x + 10)( x + x + 12) − 2m − = (2) t = x2 + x + Đặt: t≤0 suy Khi (2) trở thành: (t+1)(t + 3) -2m -1 = 0, (với t ≤ 0) (3 PT (1) có nghiệm x thỏa mãn đề pt (3) có Xét: t2 + 4t +2 = 2m ( Với t ≤ 0) (*) Xét hàm số: f(t) = t2 + 4t+2 ( với t ≤ 0) t f(t) Suy (*) có nghiệm khi: 2m ≥ -2 ⇔m ≥ -1 Kết luận: pt(1) có nghiệm x thỏa mãn đề khi: m ≥ -1 Câu III (3điểm) x3 + x3 y = (I ) xy3 = + x Giải hệ phương trình: 1 + y = t 1 + 2t = y x= t Đặt Khi hệ (I) trở thành: 2 (t − y )(t + ty + y + 2) = ⇔ 1 + 2t = y t − y = ⇔ 1 + 2t = y t = y ⇔ y − y −1 = t = y y = −1 ⇔ 1+ y = 1− y = −1 Suy hệ có nghiệm (x,y) là: (-1;-1);( CâuV (2điểm) A D ; B I C − +1 K J ); ( uuu r r uuur r AB = a, AD = b Đặt độ dài cạnh hình vng a, Giả sử uuur uuu r BK = xBJ , ta có: uur uuur AI , AK Vì , đ uur r r uuur uuu r uuur AI = a + b, AK = AB + BK = 1+ x = 3x ⇒ x = phương nên ta có: uur r r uuur r r AI = a + b, CK = a − b 5 Khi ta có: uur uuur r r r r 2 AI CK = (a + b)( a − b ) = a − a = 5 5 Xét: Câu IV (6điểm) Suy a) uur AI sin A = uuur CK vng góc với , hay AK vng với CK sin B + 2sin C ⇔a= cos B + cos C b + 2c a + c − b2 a + c2 − + 2ac 2ac 2 ⇔ 2a b + 2bc − 2b3 + a c + b c − c3 = 2b 2c + 4bc ⇔ ⇔ 2b ( a − c − b ) + c ( a − c − b ) = ⇔ ( a − c − b a − c − b = ⇔ ⇔ a = b2 + c2 2b + c = (VN) b)(3đ) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có: Khi đó: uuuur uuu r uuuu r uuur MA2 + MB + MC = BC ⇔ OM + OA + MO + OB ( ) ( uuuu r2 uuuu r uuu r uuur uuur ⇔ 3MO + MO OA + OB + OC = 3R ( ) s ) M N ⇔ OM = R C (do Câu VI (3điểm) a)(1,5đ)Ta có: ⇒ B uuu r uuu r uuur r OA + OB + OC = ) ⇔ M ∈( C) a ( ab + b ) ab a3 =a− =a− 2 2 a + ab + b a + ab + b a a3 a+b ≥a− 2 a + ab + b (1) Tương tự, ta có: b3 b+c ≥b− 2 b + bc + c c c+a ≥c− c + ca + a (2) A (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a ⇒ S ≤ 3, S = a = b = c =1 Vậy giá trị lớn biểu thức S D b)(1,5đ) ·AMN Đặt AB = a; AD = b; AM = m> 0, AN = n > m; · · MAD MAD Theo giả thiết ta có:AN phân giác góc ⇒ Vậy ∆ANM cân M ⇒MN = AM = m n = m + m − 2m Theo định lý cosin cho ∆ANM có: n = m 2(1 − cos α) ⇔ AN n m 2(1 − cos α) = = = 2(1 MN m m Theo ta có: A M α>900(vì M di động đoạn BC)⇒cosα≤0 ⇒ Ta có: AN AN = MN MN ⇒ đạt giá trị nhỏ , xảy ⇔cosα = ⇔α =90 ⇔M ≡B Chú ý: - Chấm phải bám biểm điểm cho, không thay đổi biểu điểm - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Ta có: ⇒ a ( ab + b ) ab ( a + b ) ab ( a + b ) a3 =a− =a− ≥a− 2 2 a + ab + b a + ab + b a + ab + b 3ab a3 a+b ≥a− a + ab + b (1) Tương tự, ta có: b3 b+c ≥b− 2 b + bc + c (2) c c+a ≥c− c + ca + a 3 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a ⇒ S ≤ 3, S = a = b = c =1 Vậy giá trị lớn biểu thức S sin A = sin B + 2sin C ⇔a= cos B + cos C b + 2c a + c − b2 a + c2 − b2 + 2ac 2ac 2 ⇔ 2a b + 2bc − 2b3 + a 2c + b 2c − c3 = 2b 2c + 4bc ⇔ 2a b − 2b + a 2c − c − 2bc − b 2c = ⇔ 2b ( a − c − b ) + c ( a − c − b ) = ⇔ ( a − c − b ) ( 2b + c ) = a − c − b = ⇔ ⇔ a = b2 + c2 2b + c = (VN) Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội-Huế), người ta cắm hai cọc AM BN cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song cách B 10 mét A thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa) Đặt giác kế đỉnh A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta M N 040' 51 45039' góc so với đường song song với mặt đất Hãy tính chiều cao cột cờ (làm tròn 0,01 mét) Trêng THPT hà huy Tổ :Toán gv: Phan Vn ng Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2018-2019 Môn :Toán 10 Câu (6 điểm) a) Giải phơng trình : x x2 −1 + x + x2 −1 = 2 3x − + x + ≥ ( x − ) ( x + ) b) Giải bất phơng trình : Câu (4,0 điểm) a) Tìm m để Phơng trình sau có nghiệm: ( m − 3) x + ( − m) x + m = b) Tìm m để hệ phơng trình: Câu3(2 điểm) x2 + y2 = x− y =m cã nghiƯm Cho cỈp sè thùc (x;y) tho¶ m·n diỊu kiƯn : x - 2y + = 0.Tìm giá trị P = x + y − x − 12 y + 45 + x + y − 10 x − 16 y + 89 nhá nhÊt cđa biĨu thøc : Câu4 (5 diểm) a) Cho tam giác ABC , gọi M,N lần lợt trung điểm AB,AC ; E ,F lần lợt uuur uuuu r uuur uuur ME = MN BF = BC 3 điểm thoả mÃn : , Chứng minh A,E,F thẳmg hàng b) Trong hệ toạ độ 0xy cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch b»ng Biết A(2;-3), B(3;-2) trọng tâm G thuộc đờng thẳng (d) : 3x- 6y - 8=0 Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam giác Cõu 5(3): a)Chng minh tam giác nhọn ABC ta ln có cos2 A + cos2 B + cos2 C ³ 6cos A.cos B cosC a b) Cho tam giác ABC thỏa mãn = b = 2c 6- Tính góc tam giác HÕt Hớng dẫn biểu điểm chấm Môn : Toán 10 C©u Néi dung BiĨu ... 45 + x + y − 10 x − 16 y + 89 P= ( x − 3) + ( y − 6) + ( x − 5) + ( y − 8) Biến đổi; Trong mặt phẳng toạ độ với hệ 0xy ta gọi đờng thẳng có phơng trình: x - 2y + = điểm M(x;y), A(3 ;6) , B(5;8)... = 150 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có trang, gồm câu) Câu a) Giải... 3x- 6y - 8=0 Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam gi¸c Câu 5(3đ): a)Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có cos2 A + cos2 B + cos2 C ³ 6cos A.cos B cosC a b) Cho tam giác ABC thỏa mãn = b = 2c 6-