ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 1/3 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 02 Bài thi môn Giải Tích II Số tín chỉ 5 Hệ đào tạo Chính quy[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 02 Bài thi môn: Giải Tích II Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Số tín chỉ: Câu I (1.0đ) (0.5đ) xy ( x x x y) y (0.5đ) Do đó: y 0, ( x, y) li m (x,y) (0, ) f ( x, y) f (0, ) , nên hàm số liên tục (0,0) ( ,0 ) Câu II (1.5đ) fx (0.25đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn: fy (0.25đ) Giải hệ trên, ta có điểm dừng: (0.25đ) Trên biên miền ye xy xe xy Khi đó: lập hàm Lagrange: L ( x , y ) Lx (0.25đ) Điểm dừng hàm Lagrange: L y x xy e ye xy x xe xy y 4y (x 4y (0.25đ) Giải hệ trên, ta có điểm dừng: (0.25đ) So sánh, suy ra: Câu III (1.5đ) (0.25đ) Giao mặt là: x y (0.25đ) Chuyển sang tọa độ trụ: (0.25đ) I d (0.25đ) re r r re ;0 2 dr zdz r r (1 r )dr (1 r )d e r 1/3 r 1; r z r 2 1) (0.25đ) (1 r )e r 1 e r d (1 r ) re r dr 0 (0.25đ) 3 de r 3 e r (e 2) 0 Câu IV (1.5đ) (0.25đ) Ta có: (0.25đ) P (x, y) (1 Q (x, y) e Py xy xy )e y x e xy Py xe Qx xe xy x ye xy x ye xy xy Qx (0.25đ) Suy ra, tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Do đó: I (1 xy )e xy dx (e y x e xy )dy (1 OA x y )e xy dx (e y x e xy )d y ; A ( ,1) AB 1 y (0.25đ) e dy (0.25đ) x (1 x )e d x y e 1 x xe 0 (0.25đ) e Câu V (1.5đ) (0.25đ) Ta có: I dxdy x zdydz S (0.25đ) Xét I1 I1 I2 S dxdy 4x Hình chiếu S xuống Oxy là: x, y Chuyển sang tọa độ cực, đặt: x r cos , y r sin J /2 x r cos , y r s in J 2r I1 I2 x zd yd z x y 2 2r 1 d (0.25đ) Xét y S (0.25đ) 2 rdr r 2 y Hình chiếu S xuống Oyz là: 2 4z y z S y, z Chuyển sang tọa độ cực, đặt y r cos ,z r s in J 2r x y 4z 4 4r (0.25đ) /2 I2 d (0.25đ) /2 2r r r s in dr s in d I 15 15 (r 30 2/3 r )dr /2 cos r 3 r 5 15 Câu VI (1.5đ) (0.25đ) Pt không nhất: y Pt nhất: y 2y y (0.25đ) Pt đặc trưng: k 2y y k x 4x x 4e 2k 1 (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y * ( x ) C 1e x C xe x (0.25đ) Nghiệm riêng pt không tìm dạng: y(x) Ax Bx (0.25đ) Dùng phương pháp đồng thức: A C 1, B De x 0,C 3, D e (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: y(x) * y (x) y(x) C 1e x C xe x x x Câu VII (1.5đ) (0,25đ) Xét phương trình y’’ – y = Đa thức đặc trưng k2 – = có nghiệm phân biệt k1 = k2 = -1 (0,25đ) Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (0,25đ) Xét phương trình vi phân khơng Ta thấy k = ± 2i nghiệm đa thức đặc trưng (0,25đ) Do ta xét nghiệm riêng có dạng (0,25đ) Đạo hàm thay vào phương trình vi phân sử dụng phép đồng thức ta thu (0,25đ) Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân - Hết - 3/3 ... khơng Ta thấy k = ± 2i nghiệm đa thức đặc trưng (0,25đ) Do ta xét nghiệm riêng có dạng (0,25đ) Đạo hàm thay vào phương trình vi phân sử dụng phép đồng thức ta thu (0,25đ) Vậy nghiệm tổng quát phương