ĐẠI học QUỐC GIA hà nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 1/3 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 01 Bài thi môn Giải Tích II Số tín chỉ 5 Hệ đào tạo Chính quy[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 01 Bài thi môn: Giải Tích II Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Số tín chỉ: Câu I (1.0đ) (0,25) Đặt x = ky, y  x  0, (0,50) Thay x = ky vào giới hạn ban đầu Ta thu giới hạn (0,25) Ta thấy với giá trị k khác ta thu giá trị giới hạn khác Do khơng tồn giới hạn cho Câu II (1.5đ) fx (0.25đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn: xe fy ye x x (0.25đ) Giải hệ trên, ta có điểm dừng: y y (1 x (2 x 2y ) 2 2y ) (0.25đ) Tính giá trị điểm dừng: (0.25đ) Trên biên miền (0.25đ) (0.25đ) So sánh, suy ra: Câu III (1.5đ) (0.25đ) Chuyển sang tọa độ trụ: (0.25đ) ;0 r 1; r (0.25đ) I d (0.25đ) (0.25đ) 3 (1 r y r s in z z J r dr zdz r 1 de r r )e 2 rcos re z x r e 0 r d (1 e r r ) (e 2) re 1 2 re 1/3 r dr r 2 (1 r ) dr (1 r )d e r (0.25đ) 3 2 1 de r 3 2 r e (e 2) Câu IV (1.5đ) (0.25đ) Gọi Chiều L chiều ngược chiều kim đồng hồ I L (0.25đ) Ta có: C P (x, y) 2x Q (x, y) (x J C AB 2y y) 2 cos x e y2 Qx L AB Py 4y 2(x K y) Dùng công thức Green đường cong kín L: J Pdx Q dy L (0.25đ) Đặt x Dr (x y )d xd y ; D { (x , y ): D {(r , J a r c o s ,y ):0 a + y b ,y 0} b r s in ,0 r (a cos x r b s in 1} ) a b r d r d Dr (0.25đ) ab (a cos b s in 4ab )d r dr (0.25đ) Tham số đường thẳng AB: a K Pdx Q dy (2 x I J cos x)dx 4a 4ab K 4a 3 s in a a a AB (0.25đ) Do đó: s in a a Câu V (1.5đ) (0.25đ) Ta có: I dxdy S (0.25đ) Xét I1 dxdy ydzdx I1 I2 S 4x Hình chiếu S xuống Oxy là: x, y (0.25đ) Chuyển sang tọa độ cực, đặt I2 y ydzdx x r cos y r s in 2r Hình chiếu S xuống Oxz là: x y I1 x d z 1 x, z 2/3 /2 J S S (0.25đ) Xét 2 rdr r 2 (0.25đ) Chuyển sang tọa độ cực, đặt x r cos ,z /2 I2 r s in J r d r 4r dr ( 1 ) (0.25đ) Pt không nhất: y y 2y k (0.25đ) 4r 1/ 2 d (4 4r ) 16 4r 3/2 I Câu VI (1.5đ) Pt nhất: y y 2y (0.25đ) Pt đặc trưng: k k 2x 2x 4e 2x 1, k (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y * ( x ) C 1e x C 2e 2x (0.25đ) Nghiệm riêng pt khơng tìm dạng: y(x) Ax Bx (0.25đ) Dùng phương pháp đồng thức: A C 1, B De C 2x 0, D (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: y(x) * y (x) y(x) C 1e x C 2e 2x x e 2x Câu VII (1.5đ) (0,25đ) Ta viết lại phương trình vi phân ban đầu thành (0,25đ) Đa thức đặc trưng k2 – 4k + = có nghiệm kép k = (0,25đ) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính Là (0,25đ) Vì sin3x sinx khơng phải nghiệm phương trình nên ta xét nghiệm riêng phương trình khơng có dạng (0,25đ) Thay y vào phương trình không đồng thức ta thu (0,25đ) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho - Hết - 3/3 ... (x) y(x) C 1e x C 2e 2x x e 2x Câu VII (1.5đ) (0,25đ) Ta viết lại phương trình vi phân ban đầu thành (0,25đ) Đa thức đặc trưng k2 – 4k + = có nghiệm kép k = (0,25đ) Nghiệm tổng quát phương trình