Tổ hợp, xác suất ppt

Tổ hợp - Xác suất Các bài toán về công thức , k k n n C A và n P D05: Tính giá trị của biểu thức 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + , biết rằng 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = . ĐS: 5n = và 3 4 M = B07: Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k n n n n n C C C + + +   + + =  ÷ +   . D03 (dự bị): Tìm n biết 2 2 2 3 3 3 2 100 n n n n n n n n C C C C C C − − + + = ĐS: n = 4 A04 (dự bị): Cho tập A gồm n phần tử, 7n ≥ . Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A. ĐS: 7 3 2 11 n n C C n= ⇔ = A05 (dự bị): Tìm { } 0;1;2; ;2005k ∈ sao cho 2005 k C đạt giá trị lớn nhất. ĐS: 1002 1003k k= ∨ = B05 (dự bị): Tìm n biết 2 2 2 6 12 n n n n P A P A+ − = . ĐS: n = 2 hoặc n = 3 Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên: Chứng minh rằng * 2 2 1 , 2 2 1 n n n C n n > ∀ ∈ + ¥ . Gợi ý: 2 2 1.3.5 (2 1) 2 2.4.6 (2 ) n n n C n n − = và 2 1 2 1 2 2 1 n n n n − − < + Đại học An ninh: Giải phương trình 4 4 2 143 0 4 n n n A P P + + − < . Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải hệ phương trình 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   . ĐS: x = 5; y = 2 Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải bất phương trình 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + Các bài toán chọn số A03 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau? ĐS: 952 số A03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? ĐS: 192 số B03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị? ĐS: 108 số D03 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. ĐS: 90720 số D04 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 2156 gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 311 số nghia_metal@yahoo.com Tổ hợp - Xác suất B05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8? ĐS: 1440 số D05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và 5? ĐS: 1200 số A06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các chữ số tự nhiên đó. ĐS: 96 số và tổng S = 2599980 B06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và chúng đứng cạnh nhau? ĐS: 360 số D06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có 5 chữ số khác nhau. ĐS: 360 số D07 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có 4 chữ số khác nhau. ĐS: 420 số A07 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm có 4 chữ số khác nhau? ĐS: 2016 số A08 (dự bị): Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của E? ĐS: 320 số Toán học & Tuổi trẻ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số và chia hết cho 4? ĐS: 1620 số Đại học An ninh 2001: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. ĐS: 720 số Đại học Huế 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần? ĐS: 8676 số Đại học Ngoại thương TP HCM 2001: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 số Đại học Quốc gia TP HCM 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt không quá một lần. ĐS: 11340 số Các bài toán chọn người, chọn đồ vật B04: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? ĐS: 56875 B05: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gổm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? ĐS: 207900 nghia_metal@yahoo.com Tổ hợp - Xác suất D06: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225 D02 (dự bị): Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. ĐS: 41811 cách B03 (dự bị): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 462 cách D05 (dự bị): Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ? ĐS: 3 5 4 4 5 3 5 10 5 10 5 10 C C C C C C+ + D06 (dự bị): Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ và 26 nam. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? ĐS: 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 7 26 4 19 7 26 5 18 7 26 5 18 C C C C C C C C C C C C+ + Chuyên Lê Quý Đôn - TP Hồ Chí Minh: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu? ĐS: 42910 cách Đại học Cần Thơ 2001: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? ĐS: Học viện Chính trị Quốc gia 2001: Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau? b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam? ĐS: a. 120 cách b. 66 cách Học viện Kỹ thuật quân sự 2001: Một nhóm 16 học sinh gồm 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ (không phân biệt tổ 1 với tổ 2) , mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. ĐS: 3780 cách Các bài toán hình học B06 (dự bị): Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có n điểm phân biệt ( 2n ≥ ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. ĐS: 2 2 10 10 2800 20 n C nC n+ = ⇔ = A07 (dự bị): Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439 tam giác. ĐS: 3 3 3 6 3 439 10 n n C C C n + − − = ⇔ = nghia_metal@yahoo.com Tổ hợp - Xác suất NHỊ THỨC NEWTON ***** A04: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức của 8 2 1 (1 )x x   + −   . ĐS: 238 D04: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 4 1 x x   +  ÷   với 0x > . ĐS: 35 A06: Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 1 n x x   +  ÷   với 0x ≠ , biết rằng: 1 2 20 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − . ĐS: 10n = và hệ số bằng 210. D07: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức của 5 2 10 (1 2 ) (1 3 )x x x x− + + . ĐS: 4 4 3 3 5 10 ( 2) 3 3320C C− + = A08: Cho khai triển 0 1 (1 2 ) n n n x a a x a x+ = + + + , trong đó * n ∈¥ và các hệ số 0 1 , , , n a a a thỏa mãn hệ thức 1 0 4096 2 2 n n a a a + + + = . Tìm n và số lớn nhất trong các số 0 1 , , , n a a a . ĐS: 12n = và số lớn nhất là 8 8 8 12 2 126720a C= = . D08: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2 1 2 2 1 2 2048 n n n n C C C − + + + + = . ĐS: 6n = A12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 n n n C C − = . Tìm số hạng chứa 5 x trong khai triển nhị thức Newton của 2 1 14 n nx x   −  ÷   với 0x ≠ . ĐS: 7n = và số hạng cần tìm là 5 35 16 x− A02 (dự bị): Giả sử 0 1 (1 ) n n n x a a x a x+ = + + + . Biết rằng ( ) 1 1 1 1 2 9 24 k k k a a a k n − + = = ≤ ≤ − . Tính n. ĐS: 10n = D02 (dự bị): Cho ( ) ( ) 10 11 10 9 1 2 11 1 2 x x x a x a x a+ + = + + + + . Tính 5 a . ĐS: 5 672a = B04 (dự bị): Biết rằng 100 100 0 1 100 (2 ) x a a x a x+ = + + + . Chứng minh rằng 2 3 a a< . Với giá trị nào của k thì 1k k a a + < ( ) 0 99k≤ ≤ ? ĐS: 2 98 3 97 2 3 100 100 2 2 6 98a a C C< ⇔ < ⇔ < ; 1 0 32 k k a a k + < ⇔ ≤ ≤ B04 (dự bị): Giả sử 0 1 (1 2 ) n n n x a a x a x+ = + + + . Biết rằng 0 1 729 n a a a+ + + = . Tìm n và số lớn nhất trong các số 0 1 , , , n a a a . ĐS: 6n = và số lớn nhất là 4 4 4 12 2a C= . D04 (dự bị): Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của 1 n x x   +  ÷   tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24. Hãy tính tổng các hệ số của các số hạng chứa k x với 0k > và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương. nghia_metal@yahoo.com Tổ hợp - Xác suất ĐS: 23n = và 0 1 11 11 2 23 23 23 (2 )S C C C= + + + = A05 (dự bị): Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của ( ) 2 2 3 n x− , biết rằng: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1024 n n n n n C C C C + + + + + + + + + = ĐS: 5n = và hệ số bằng 3 7 3 10 3 2C− . B07 (dự bị): Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của ( ) 2 2 n x + , biết 3 2 1 8 49 n n n A C C− + = . ĐS: 7n = và hệ số bằng 280. A08 (dự bị): Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của ( ) 2 1 3 n x+ , biết 3 2 2 100 n n A A+ = . ĐS: 5n = và hệ số bằng 61236. Đại học Vinh: Giả sử 2 3 0 1 1 2(1 ) 3(1 ) (1 ) n n n x x x n x a a x a x− + − + − + + − = + + + . Tính hệ số 8 a , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3 1 7 1 n n C C n + = . ĐS: 9n = và 8 8 8 8 9 8 9 89a C C= + = Thạch Thành I - Thanh Hóa: Giả sử ( ) 10 2 12 0 1 12 1 1 2 4 x x x a a x a x   + + + = + + +  ÷   . Tính hệ số 8 a . ĐS: 8 31680a = Tam Dương - Vĩnh Phúc: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 10 3 2 2 x x x   +  ÷   với 0x > . ĐS: 3360 Đại học Quốc gia Hà Nội: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 17 4 3 3 2 1 x x   +  ÷   với 0x > . ĐS: 8 17 C Hàm Rồng - Thanh Hóa: Tìm hệ số của 9 x trong khai triển nhị thức Newton của 3 2 2 3 n x x   −  ÷   , biết n là số tự nhiên thỏa mãn 5 4 3 2 5 2 11 3 3 6 n n n n n C C C C C + + + + = . ĐS: 8n = và số hạng cần tìm là 9 448 27 x− Tứ Kỳ - Hải Dương: Tìm hệ số của 4 x trong khai triển nhị thức Newton của ( ) 8 2 1 x x+ + . ĐS: 266 Liên Hà - Hà Nội: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của 5 3 1 n x x   +  ÷   với 0x > , biết rằng 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + . ĐS: 12n = và hệ số là 495 Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của 1 2 n x x   +  ÷   với 0x > , biết rằng 2 1 1 4 6 n n n A C n − + − = + . ĐS: 12n = và hệ số là 4 8 12 2C nghia_metal@yahoo.com Tổ hợp - Xác suất Đại học Nông nghiệp: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Newton của 40 2 2 1 x x   +  ÷   với 0x ≠ . ĐS: Đại học Thủy lợi: 9 10 14 14 0 1 14 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) P x x x x a a x a x= + + + + + + = + + + . Tính 9 a . ĐS: 9 3003a = Đại học Y Dược TP HCM: Với n là số nguyên dương, chứng minh các hệ thức sau: 0 1 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1. 2 2. n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C − + + + = + + + = + + + HẾT nghia_metal@yahoo.com . chia số học sinh đó thành 2 tổ (không phân biệt tổ 1 với tổ 2) , mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh. 26 nam. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi