BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN XUÂN THẮM KỸ THUẬT DỒN BIẾN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN XUÂN THẮM KỸ THUẬT DỒN BIẾN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN XUÂN THẮM KỸ THUẬT DỒN BIẾN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành : Mã số : Phương pháp toán sơ cấp 8460113 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN VŨ i Mục lục Mục lục i Mở đầu iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số bất đẳng thức sở 1.1.1 Bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình 1.1.2 Bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình Cơ sở giải tích 1.2.1 Supremum infimum tập hợp R n 1.2.2 Topo không gian R 1.2.3 Tính liên tục Kỹ thuật dồn biến 10 2.1 Một số kết tổng quát dồn biến 10 2.2 Dồn biến 15 2.3 Dồn biến biên 16 Ứng dụng 19 3.1 Bất đẳng thức biến với cực trị đạt đối xứng 19 3.2 Bất đẳng thức ba biến với cực trị đạt biên 25 3.3 Bất đẳng thức bốn biến 30 3.4 Dồn biến lớp hàm đơn điệu 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Mở đầu Bài toán cực trị chủ đề quan trọng có lịch sử lâu đời Nhờ nhiều nguồn tài liệu từ khắp nơi, người ta biết vấn đề quan tâm từ thời cổ đại Cho đến nay, chủ đề nghiên cứu rộng rãi, phần nhờ vào lĩnh vực ứng dụng đòi hỏi tìm kiếm phương án tốt Lớp toán liên quan bất đẳng thức cực trị xuất thường xun chương trình tốn bậc phổ thông, kỳ thi học sinh giỏi hay Olympic Tốn cấp Đối với phần đơng học sinh, tốn khó, chí hóc búa, vậy, cần thiết phải trang bị tảng kiến thức tương đối vững vàng giải Hiện nay, có nhiều tài liệu khác bàn chủ đề Với tốn khơng q khó, cần sử dụng cách tiếp cận bản, chẳng hạn, biến đổi tương đương, sử dụng chiều biến thiên hàm số, sử dụng tam thức bậc hai, đủ để giải Tuy nhiên, trường hợp tương đối phức tạp, tốn có tham gia nhiều đại lượng biến thiên, vấn đề khơng cịn đơn giản Lúc này, người ta nhiều cần đến số kỹ thuật đặc thù, dồn biến số Luận văn "Kỹ thuật dồn biến số vấn đề liên quan" tập trung vào số vấn đề xoay quanh phương pháp dồn biến, với mục tiêu làm rõ thêm tư tưởng thơng qua ví dụ cụ thể phù hợp Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn bao gồm ba chương tổ chức sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Hệ thống hóa số khái niệm kết làm sở cho nội dung trình bày sau Chương 2: Kỹ thuật dồn biến Trình bày cách hệ thống số vấn đề liên quan đến dồn biến toán cực trị Đầu tiên, tác giả phát biểu số kết iii tổng quát (mục 2.1), sau đó, khảo sát kĩ chiến lược dồn biến tình khác nhau, dồn biến nhau, dồn biến biên, Chương 3: Một số ứng dụng cụ thể Chương dành cho việc minh họa ứng dụng dồn biến vào toán bất đẳng thức cực trị sưu tầm từ nguồn khác để thông qua làm rõ phương pháp dồn biến nói chung Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Nguyễn Văn Vũ Xin chân thành cảm ơn thầy tận tình giúp đỡ tác giả xuyên suốt trình thực đề tài Tác giả đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa quản lý chun mơn (Khoa Sư phạm, Khoa Tốn Thống kê) quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 23 tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Cuối cùng, tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức sở Trong mục này, nhắc lại vài bất đẳng thức (BĐT) có liên quan nội dung phía sau bất đẳng thức liên hệ đại lượng trung bình, điều kiện Schur, bất đẳng thức Karamata, Chúng tham khảo tài liệu [1, 2] 1.1.1 Bất đẳng thức hai biến liên quan đến giá trị trung bình Kết BĐT đề cập chương trình trung học phổ thơng mà chứng minh đơn giản biến đổi trực tiếp Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM với biến) Với x1 , x2 khơng âm, ta có √ x1 x2 ≤ x1 + x2 (1.1) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 Sử dụng bất đẳng thức (1.1) x := x1 , y := y nhận kết sau Hệ 1.1.2 (Bất đẳng thức GM-HM với biến) Cho x1 , x2 số thực không âm, ta có x1 + x2 ≤ √ x1 x2 Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 Xuất phát từ AM-GM với số biến đổi phù hợp ta nhận kết sau Hệ 1.1.3 (Bất đẳng thức AM-QM với biến) Cho x, y số thực khơng âm, ta có x+y ≤ r x2 + y (1.2) Dấu đẳng thức xảy x = y Tổng kết lại, có chuỗi bất đẳng thức với hai biến x, y không âm sau min{x, y} ≤ 1.1.2 x + y ≤ √ x+y xy ≤ ≤ r x2 + y ≤ max{x, y} (1.3) Bất đẳng thức n biến liên quan đến giá trị trung bình Định lý 1.1.4 (BĐT AM-GM với n biến) Cho x1 , x2 , , xn số thực khơng âm, n ≥ Khi √ x1 + x2 + · · · + xn n x1 x2 xn ≤ n (1.4) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Chứng minh quy nạp kiểu Cauchy (1.4) hiển nhiên với n = Với n = 2, BĐT (1.1) chứng minh Định lý 1.1.1 Bây giờ, giả thiết (1.4) với n, ta chứng minh với n = 2k , k ≥ nguyên Áp dụng kết trường hợp n = 4, ta có: √ √ x1 x2 x3 x4 ≤ x1 x2 + √ x3 x4 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 Vậy bất đẳng thức (1.4) với n = Lại áp dụng kết (1.4) trường hợp n = 8, ta có √ √ x1 x2 · · · x8 ≤ x1 x2 x x4 + √ x5 x6 x7 x8 ≤ x1 + x2 + · · · + x8 - Giả thiết quy nạp Với n số thực không âm x1 , x2 , , xn , n ≥ 1, giả sử bất đẳng thức (1.4) - Cho 2n số thực không âm x1 , x2 , , xn , xn+1 , , x2n , ta xét 1 x1 + x2 + · · · + xn xn+1 + xn+2 + · · · + x2n 2n (x1 + x2 + · · · + a2n ) = + n n √ √ ≥ ( n x1 x2 · · · xn + n xn+1 xn+2 · · · x2n ) p√ √ n ≥ x1 x2 xn · n xn+1 xn+2 x2n √ = 2n x1 x2 x2n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = x2n hay √ x1 + x2 + · · · + x2n ≥ 2n x1 x2 x2n 2n (1.5) Từ trường hợp n = 1, n = (1.5) suy (1.4) với n = 2k , ∀k ≥ Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = x2n Tiếp theo, giả sử bất đẳng thức (1.4) với n số thực khơng âm, từ chứng minh với n − số không âm x1 , x2 , , xn−1 Đặt xn = x1 + x2 + · · · + xn−1 n−1 Ta có x1 + · · · + xn−1 x1 + · · · + xn−1 + n n−1 r ≥ n x1 xn−1 · x + · · · + x n−1 n−1 Hay x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ n−1 r Nâng lũy thừa bậc n hai vế ta x + x + · · · + x n n−1 n−1 Chia hai vế cho xn = n x1 xn−1 x + · · · + x n−1 ≥ x1 x2 xn−1 n−1 x + · · · x n−1 n−1 x1 + x2 + · · · + xn−1 ta n−1 x + x + · · · + x n−1 n−1 n−1 ≥ x1 x2 xn−1 Tiếp tục lấy bậc n − hai vế ta x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ n−1 √ n−1 x1 x2 xn−1 , Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn = x1 + x2 + · · · + xn−1 , n−1 x1 = x2 = · · · = xn−1 Sử dụng BĐT AM-GM số xk := xk ta nhận bất đẳng thức GM-HM hệ trực tiếp Hệ 1.1.5 (Bất đẳng thức GM-HM) Cho x1 , x2 , , xn số thực không âm, n ≥ 1, n 1 + + ··· + x1 x2 xn ≤ √ n x1 x2 xn (1.6) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Tương tự, ta có mở rộng AM-QM cho trường hợp n số sau Hệ 1.1.6 (Bất đẳng thức AM-QM) Cho x1 , x2 , , xn số thực không âm, n ≥ 1, đó: x1 + x2 + · · · + xn ≤ n r n x21 + x22 + · · · + x2n n (1.7) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Từ (1.4), (1.6), (1.7) có chuỗi bất đẳng thức với n biến x1 , x2 , , xn không âm {x1 , x2 , , xn } ≤ x1 + x2 + · · · + xn ≤ ≤ n r n √ n ≤ n x x xn ≤ 1 + + ··· + x1 x2 xn x21 + x22 + · · · + x2n ≤ max {x1 , x2 , , xn } n Sau ví dụ áp dụng kết cho ba biến Ví dụ 1.1.7 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần liên tiếp, ta có 1 ≤ 2x + y + z 1 + 2x y + z hay tương đương 1 ≤ 2x + y + z ≤ 1 + 2x 1 + + x 2y 2z 1 + y z , (1.8) (1.9) (1.10) Đẳng thức (1.8) xảy ( 2x = y + z ⇔x=y=z y=z Hồn tồn tương tự, ta có 1 ≤ x + 2y + z 1 ≤ x + y + 2z 1 + + 2x y 2z 1 + + 2x 2y z Cộng vế (1.8), (1.9), (1.10) ta 1 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 1 + + x y z Đẳng thức xảy x = y = z = = Định lý 1.1.8 (Điều kiện Schur) Điều kiện cần đủ để hai dãy số đơn điệu giảm {xk , yk : k = 1, 2, , n}, thỏa mãn điều kiện x1 ≥ y x1 + x2 ≥ y + y ········· x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 x1 + x2 + · · · + xn = y + y + · · · + y n chúng có phép biến đổi tuyến tính dạng yi = n X j=1 aij xj , i = 1, 2, , n, (1.11) ... lượng biến thiên, vấn đề khơng cịn đơn giản Lúc này, người ta nhiều cần đến số kỹ thuật đặc thù, dồn biến số Luận văn "Kỹ thuật dồn biến số vấn đề liên quan" tập trung vào số vấn đề xoay quanh... 1.2.3 Tính liên tục Kỹ thuật dồn biến 10 2.1 Một số kết tổng quát dồn biến 10 2.2 Dồn biến 15 2.3 Dồn biến biên ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN XUÂN THẮM KỸ THUẬT DỒN BIẾN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành : Mã số : Phương pháp toán sơ cấp 8460113 Người