VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 6/2018), tr 36 40 36 XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG DẠY HỌC SỬ DỤNG TRỰC QUAN HỖ TRỢ HỌC SINH TRỰC GIÁC TOÁN HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Võ Xuân Mai Trường Đại học Đồng Tháp Ngày nhậ[.]
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì - 6/2018), tr 36-40 XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG DẠY HỌC SỬ DỤNG TRỰC QUAN HỖ TRỢ HỌC SINH TRỰC GIÁC TOÁN HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Võ Xuân Mai - Trường Đại học Đồng Tháp Ngày nhận bài: 20/02/2018; ngày sửa chữa: 12/04/2018; ngày duyệt đăng: 20/04/2018 Abstract: In this article, author presents the concept of mathematical intuition and the supportive role of visualization to student’s mathematical intuition in the problem solving Therefore, author builds suitable teaching situations with support of visualization to improve student’s mathematical intuition in solving problems while learning mathematics at high school Keywords: Mathematical intuition, visualization, mathematical teaching situations, problem solving Mở đầu Trong dạy học tốn, cách dạy giáo viên (GV) cách trình bày phần lớn nội dung sách giáo khoa dễ làm cho học sinh (HS) nghĩ toán học có chứng minh, suy luận diễn dịch tập rèn luyện Tuy nhiên, toán học việc phát sinh khái niệm hay mệnh đề không suy diễn, trình mà HS cần biết cách nhà toán học đạt kiến thức toán học Do đó, q trình dạy học, GV cần xây dựng tình nhằm tạo hội cho HS thấy hình thái khác tốn học với tư tưởng trực giác, sáng tạo, giúp người học biết trình hình thành kiến thức, trải nghiệm với việc phát mệnh đề mới, nhận thấy ý nghĩa, vẻ đẹp tri thức toán học trình tiếp cận kiến thức Bài viết trình bày ý tưởng xây dựng tình dạy học toán việc sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ người học trực giác phát hiện, hiểu biết vấn đề toán học giải vấn đề qua mối quan hệ hỗ trợ trực quan với trực giác tốn học (TGTH) Từ chúng tơi khuyến nghị việc xây dựng hợp lí tình dạy học tốn nói chung nhằm hỗ trợ việc phát triển khả TGTH cho HS góp phần cụ thể hóa định hướng phát triển lực người học giai đoạn đổi giáo dục Nội dung nghiên cứu 2.1 Khái niệm trực giác toán học Khái niệm TGTH có liên quan đến lĩnh vực triết học, tâm lí học, tốn học giáo dục học Các nhà triết học Bergson Spinoza cho có đối lập trực giác với lập luận, logic, quan điểm nhận thấy khái niệm đại TGTH sau Các nhà toán học Poincaré, Déscartes, Hadamard nhận định TGTH cách thức chứng minh hiểu biết vấn đề khái niệm Trong tâm lí học nhận thức, nhà tâm lí cống hiến cho việc nghiên cứu tiến trình nhìn thấu bên vật, định nghĩa hiểu biết vật, kinh nghiệm “à há” 36 sau khoảng thời gian giải vấn đề khơng thành cơng Nhà tâm lí học K Hamond đóng góp to lớn vào nghiên cứu trực giác, ông định nghĩa trực giác đối lập với tư phân tích “nghĩa thơng thường trực giác có trái ngược với q trình nhận thức mà làm cách để đưa câu trả lời, giải pháp hay ý tưởng với việc sử dụng q trình bước biện minh hợp lí có ý thức” [1; tr 29] Các nhà giáo dục học E Fischbein [2], R M Hogarth [3], V M Jagla [4] nghiên cứu việc vận dụng trực giác vào lĩnh vực giáo dục khẳng định trực giác hồn tồn dạy học được, cụ thể, Jagla tìm tịi cách thức để bồi dưỡng trực giác tưởng tượng dạy học, từ nâng cao giá trị sử dụng trực giác tưởng tượng GV trình dạy học Tác giả V Giardino cho TGTH loại nhận thức đặc biệt quan hệ nhà toán học hoạt động làm tốn họ, ơng cho “TGTH nhận thức đối tượng toán học TGTH liên quan đến khám phá chứng minh toán học: trực giác bao gồm chuẩn bị cách vô thức giống ấp ủ, sau soi sáng phương tiện mà đạt kết mới” [5; tr 29] Ben-Zeev Star [6], Y H Cho S Y Hong [7] có quan niệm TGTH, “TGTH hiểu nhận thức cách rõ ràng đối tượng tốn học mà khơng cần lập luận phân tích có ý thức” [7; tr 156] Còn theo Fischbein, “TGTH tượng hiển nhiên đáng tin cậy chất mà khơng cần địi hỏi chứng minh đắn hay hợp lí việc chấp nhận yếu tố toán học” [2; tr 14] Trong tác phẩm V A Krutexki, ông đưa kết chất TGTH người học sau: trực giác xem bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được; trực quan cảm tính; kết vận động cách thức hành động khái quát cấu trúc rút gọn Hiện tượng cuối thực chất, q trình quy nạp hồn tồn có ý thức Krutexki cho “Trong nhiều trường hợp, bừng sáng đột VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì - 6/2018), tr 36-40 ngột HS có lực giải thích ảnh hưởng vô thức kinh nghiệm khứ mà sở chúng lực khái quát hóa đối tượng, quan hệ, phép toán học lực tư cấu trúc rút gọn” [8; tr 15-16] Như vậy, qua phân tích quan niệm TGTH tác giả, hiểu TGTH nhận thức đối tượng, quan hệ tốn học mà khơng cần chứng minh đắn, rõ ràng có giản lược bước lập luận phân tích mà nắm bắt kết vấn đề toán học 2.2 Mối liên hệ trực quan trực giác toán học dạy học toán Con đường từ trực quan đến trừu tượng, từ trừu tượng đến thực tiễn cụ thể đường giúp người nhận thức kiến thức, lĩnh hội giới, khẳng định theo V I Lênin: Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng trở thực tiễn đường biện chứng nhận thức chân lí, nhận thức thực khách quan Tốn học khoa học mang tính trừu tượng cao phản ánh tính thực tiễn đa dạng, toán học bắt nguồn từ thực tiễn trở lại phục vụ vào sống nên hoạt động nhận thức toán học cần trọng giải đắn mâu thuẫn thống biện chứng trực quan trừu tượng Do dạy học tốn, tiếp xúc với vấn đề phức tạp, trừu tượng, trình nhận thức HS diễn dễ dàng HS thấy hình ảnh trực quan vấn đề, sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn đề phức tạp, tìm mơ hình cụ thể biểu diễn cho vấn đề làm cho vấn đề trở nên đơn giản, gần gũi từ nhận thức cách giải phát ý nghĩa vấn đề Theo V A Karpunin, “biểu đặc trưng trước hết trực giác bừng sáng (được biểu có đột biến chất trình nhận thức tốn học), ngồi trực giác nhận thức toán học liên hệ với cảm nhận trực quan Thuật ngữ cảm nhận trực quan mang tính trội cảm tính nhận thức tốn học, xem trực giác bừng sáng tiến hành sau xem xét qua cảm nhận trực quan Chúng ý nghĩa liên hệ chặt chẽ lẫn không loại trừ nhau, không xem bật quan hệ định đó” [9; tr 123] Giardino cho rằng, TGTH trực quan toán học đặc trưng loại tiếp cận trực tiếp yếu tố toán học chúng dựa tảng kiến thức kinh nghiệm mà cá nhân tích lũy từ trước Bằng cơng cụ khơng thức, TGTH trực quan có ý nghĩa quan trọng việc khám phá, sáng tạo toán học, theo Giardino “nếu khơng có TGTH trực quan tốn học, thật khó tìm 37 thấy cách thức khác để xem xét đóng góp lập luận khơng thức nói chung tiến trình nghiên cứu tốn học” [5; tr 30] Trực quan phương tiện cung cấp thơng tin cho chủ thể hình thành biểu tượng từ thấy chung, tổng quát đối tượng cho thơng qua hình ảnh trực quan giúp trực giác phát vấn đề, hình thành kết luận Tuy nhiên, trực giác, nhà tốn học nắm bắt tốt họ khơng nhìn thấy (bằng mắt) Giardino khẳng định “TGTH trực quan toán học kết nối với nhau, thực ra, cách khác để mô tả TGTH khả chức quan sát không ngừng, phương tiện khác nhiều mắt” [5; tr 30] Như vậy, xem xét trực quan, chủ thể nhận thức quan sát tri giác đối tượng, quan hệ toán học, dựa vốn hiểu biết có mà hình thành biểu tượng xuất trực giác việc nắm bắt ngay, hiểu chất đối tượng, quan hệ tốn học mà khơng cần sử dụng bước lập luận logic Do việc sử dụng trực quan có vai trị hỗ trợ đến hình thành TGTH HS thơng qua việc hình dung hình ảnh trực quan hay phát mơ hình tương thích vấn đề tốn học trừu tượng 2.3 Xây dựng tình dạy học tốn sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ người học trực giác phát chất vấn đề hay giải vấn đề Việc sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ người học trực giác phát chất vấn đề giải vấn đề xác định mức độ “trực giác cảm nhận trực quan” (intuition by visual perception), HS trực giác đối tượng, quan hệ toán học qua việc quan sát tượng bên đối tượng, quan hệ tốn học cách có mục đích ý nghĩa để chủ thể nhận thức thu nhận thơng tin từ tình cho nắm bắt đối tượng, quan hệ toán học Đây nhận thức cảm nhận trực quan chưa phải hiểu biết sâu sắc rõ ràng chất vấn đề nên kết trực giác dẫn đến nhận thức sai lầm Tuy nhiên, cho nhận thức sai mang đến ý nghĩa cần thiết giáo dục, “vai trị trực giác dạy học tốn cung cấp cho người học dự đốn mang tính giáo dục, hiển nhiên dự đốn sai; hai trường hợp có khả kích thích tư tốn học người học cách hiệu quả, dự đốn sai dẫn đến tiến triển định trình nhận thức HS” [10; tr 48] Theo Ben-Zeev Star, có hai hướng tiếp cận chất trực giác: là, khám phá trực giác đắn loài người hai là, nghiên cứu trực giác sai lầm hay nhận thức sai lầm Piaget cho “Bằng việc khám phá nguồn gốc sai lầm, người VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì - 6/2018), tr 36-40 học nhiều biểu diễn tinh thần nhiều việc khảo sát biểu diễn đắn Bằng việc xem xét chất sai lầm, làm tỏa chút ánh sáng TGTH” [6; tr 38], Ben-Zeev Star kết luận “nhận thức sai lầm qua trực giác cảm nhận trực quan mang lại nhiều giá trị nói chung cho khám phá cách thức mà người hiểu trình bày vấn đề cách chất” [6; tr 38] Do đó, xây dựng tình dạy học với công cụ trực quan nhằm hỗ trợ HS trực giác giải vấn đề, GV cần trọng việc tạo niềm tin, động viên người học tự tiếp cận, khám phá, phát vấn đề, tạo hội cho HS suy nghĩ, trải nghiệm nhiều hơn, coi trọng lực tư tìm tịi, suy đoán, trực giác vận dụng kiến thức giải vấn đề Theo Kapur, “khi GV cho phép HS giải vấn đề tốn học mà khơng có dẫn trực tiếp, HS thể vấn đề với nhiều cách khác linh hoạt khám phá giải pháp đa dạng dựa kiến thức kinh nghiệm có họ Dù trực giác đơi dẫn đến kết sai lầm, GV nên khuyến khích HS sử dụng trực giác họ việc thể giải vấn đề kinh nghiệm thất bại sản sinh việc học tập có ý nghĩa” [7; tr 155] Kết luận viết mình, R L Wilder nhấn mạnh “phương pháp dạy học đại cần nhận vai trò trực giác cách thay việc dạy “làm này, làm kia” “điều nên làm tiếp theo” Đó cách tiếp cận để tảng trực giác sẵn sàng phát triển, với cách hiểu biết phê phán kiến thức thấm nhuần đắn HS” [11; tr 610] Để xây dựng tình dạy học sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ HS trực giác giải vấn đề, GV ý lựa chọn vấn đề, tri thức tốn học thơng qua cơng cụ trực quan hình ảnh, biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, mơ hình, để người học tự phát hình thành kiến thức giải vấn đề Trước hết, GV cần xác định không gian vấn đề (problem space) khó khăn nhận thức HS, từ khuyến khích HS đưa phán đốn vấn đề; tạo hội cho HS biểu diễn, giải thích hiểu biết chất vấn đề tốn học thơng qua hình ảnh tiếp nhận quan sát; giúp HS hình dung hình ảnh, mơ hình trực quan để giải vấn đề Trong tình dạy học đó, “khả học tập qua trực giác HS biểu chỗ tạo kết nối trực quan trừu tượng, chuyển hóa vấn đề xét với kiến thức toán học, định hướng đường lối, phát ý tưởng giải vấn đề, hiểu biết giải thích ý nghĩa vấn đề, mô tả thảo luận giai đoạn trình giải Thơng qua hoạt động đó, người học đạt cách thức giải vấn đề kết quả, giải pháp vấn đề 38 Điều giúp họ vận dụng vào tình họ đối mặt với vấn đề trường học” [12; tr 6] Trên sở đó, chúng tơi cho phát triển khả TGTH cho HS thơng qua việc xây dựng tình dạy học sử dụng trực quan sau: - Xây dựng tình chứa hình ảnh trực quan cho trước hỗ trợ HS trực giác phát chất vấn đề tốn học - Xây dựng tình giúp HS hình dung hình ảnh trực quan vấn đề từ trực giác giải vấn đề tốn học - Xây dựng tình thực tiễn giúp HS trực giác phát mơ hình trực quan vấn đề từ kiến thức toán học từ giải vấn đề Sau ví dụ minh họa cho tình dạy học đề xuất: Ví dụ Sau HS học xong “Dãy số” (Đại số Giải tích 11 nâng cao) [13], GV cho HS tiến hành giải vấn đề sau: “Hãy quan sát hình trả lời câu hỏi sau: 1) Có hình vng bước hình trên?; 2) Hình dung hình bước tiếp theo? Số hình vng bước bao nhiêu?; 3) Dự đốn số hình vng bước thứ 10? Tìm biểu thức biểu diễn số hình vng cho bước thứ n? Kiến thức tốn học thể qua hình vẽ trên?” - Không gian vấn đề HS liên quan đến tốn: Kiến thức kinh nghiệm Hình có HS dãy số tính chất (dãy số tăng giảm, dãy số bị chặn), xác định số hạng dãy số cho dạng tổng quát truy hồi, phương pháp xét tính tăng, giảm, bị chặn dãy số cho - Xác định khó khăn nhận thức HS: HS biết tính chất dãy số dạng tốn học túy nhiên khó nhận tốn có liên quan đến kiến thức “Dãy số” cho dạng khác Bài toán địi hỏi HS phải thấy tri thức tốn học ẩn chứa phát quy luật dãy số đó, số hình vng bước n số hạng thứ n dãy số, chẳng hạn u1 = 7, u2 = 15, u3 = 27 ba số hạng đầu dãy, cần phát biểu diễn tổng quát dãy số thơng qua hình ảnh trực quan cho - Giải vấn đề trực quan: Qua hoạt động quan sát trực quan, HS giải câu thứ toán cách dễ dàng: số hình vng tương ứng bước 7, 15, 27 Tuy nhiên để giải hai câu khơng đơn việc quan sát hình vẽ đếm số hình vng mà HS cần có xem xét VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì - 6/2018), tr 36-40 kĩ lưỡng hiểu cách cho hình vng bước nào, tức cần quan sát có chủ đích có khuynh hướng bỏ qua chi tiết khơng từ tìm quy luật hình để xác định số hình vng bước - Dự đoán kết vấn đề: HS dự đốn nhiều câu trả lời khác (đúng sai) sau quan sát hình vẽ cho hình dung hình vẽ với số hình vng bước - Hoạt động mô tả thảo luận: HS giải thích lại đưa dự đoán thảo luận phương án trả lời từ tìm câu trả lời tốt (về quy luật hình vng) - Trực giác phát tri thức giải vấn đề: Khi trao đổi nhau, HS phát qua quan sát thay đổi hình vng màu để phát quy luật hình bước thứ n: số hình vng màu tím bước 1, 2, 1, 4, số hình vng bước n n2 (quy luật di chuyển theo đường chéo hình vng); số hình vuông màu xanh màu đỏ bước 1, 2, 1, 2, bước thứ n số hình vng n (quy luật di chuyển theo hàng dọc hàng ngang), số hình vng màu trắng giữ ngun khơng thay đổi sau bước Từ HS suy hình bước thứ (có thể vẽ hình đó) số hình vng bước Việc hình dung hình bước thứ nhờ nắm bắt quy luật hình cho thể khả trực giác HS thông qua quan sát trực quan Khái qt hóa q trình, HS nhận biểu thức biểu diễn số hình vng bước thứ n 2n2 + 2n + - Kiến thức toán học vận dụng toán: Kiến thức tốn học ẩn tàng hoạt động tốn tìm số hạng dãy số Nhận xét: Bài tốn tìm số hạng dãy số xây dựng qua ví dụ giúp HS thấy chất vấn đề toán học thơng qua hình ảnh trực quan Nếu đơn phát biểu toán dạng tường minh toán học túy “Cho dãy số (un) với un = 2n2 + 2n + Tìm số hạng thứ số hạng thứ 10 dãy số” toán trở nên đơn giản HS lớp 11 (bài tốn dạng tìm số hạng dãy cho dạng tường minh xem tập 9, 10, 15 [13; tr 105109]) với mức độ yêu cầu HS thay số vào biểu thức tính tốn, hoạt động coi trọng kĩ tính tốn Nhưng thông qua hoạt động trực quan, HS không đơn giản cần có kĩ tính tốn mà HS phải nắm bắt trực quan để hiểu vấn đề, trực giác phát quy luật cho dãy số hiểu biểu diễn khác dãy số Ví dụ Sau học xong “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng” (Hình học 11 nâng cao) [14], GV 39 cho HS giải toán sau: “Xác định thiết diện hình lập phương mặt phẳng trung trực đường chéo hình lập phương đó” giúp HS hình dung hình ảnh trực quan vấn đề trực giác giải vấn đề tốn học - Khơng gian vấn đề HS liên quan đến toán: Vốn hiểu biết kinh nghiệm có HS hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, định lí tính chất liên quan đến quan hệ vng góc, khái niệm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng, cách xác định thiết diện hình cắt mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu cụ thể - Tình nhận thức gây khó khăn toán HS: dù HS biết cách xác định thiết diện hình sau vẽ xong hình lập phương, HS chưa cung cấp nhiều thơng tin toán để thực bước tiếp theo, gây khó khăn để người học vẽ giao tuyến mặt phẳng trung trực với mặt hình lập phương Đối với tốn thuộc loại dựng hình này, HS cần phải phát yếu tố quan trọng hình cần dựng trước, từ vẽ hình GV u cầu HS hình dung mặt phẳng trung trực đường chéo có tính chất đặc biệt, có quan hệ với mặt phẳng không? - HS trực giác thấy kết vấn đề thơng qua việc hình dung hình ảnh trực quan: Trong tình bắt buộc HS phải tưởng tượng hình, nhìn thấy mặt phẳng trung trực đường chéo cần dựng với tính chất gì, xác định trước sau thực thao tác phân tích cụ thể hình vẽ trực quan Cụ thể là, giả sử cần xác định thiết diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ mặt phẳng trung trực () đường chéo AC’ (Hiển nhiên HS chọn đường chéo khác hình lập phương) Mặt phẳng () qua tâm O hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ vng góc với đường chéo AC’ Liên tưởng đến kết toán biết trước đó: hai mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) song song với vng góc AC’, (BDA’) (B’D’C) chia AC’ làm ba đoạn trọng tâm G G’ hai tam giác BDA’ B’D’C (kết tập 37 [14; tr 68]) Từ em nhận thấy mối quan hệ ba mặt phẳng thông qua tưởng tượng trực giác hình học, mặt phẳng () cần dựng song song với mặt phẳng (BDA’) (B’D’C), mặt phẳng () qua trung điểm cạnh BC CD, A’B’ A’D’, BB’ DD’ (vì () qua trung điểm O AC’ song song (BDA’), (B’D’C)) - Mô tả đường lối giải vấn đề: Từ hoạt động hình dung mặt phẳng trung trực có yếu tố xác định, HS sử dụng hình ảnh trực quan để minh họa VJE Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì - 6/2018), tr 36-40 cho hình dung u cầu HS mơ tả bước dựng hình: mặt phẳng (A’BCD’) vẽ đường thẳng qua O song song với A’B cắt BC M B C A’D’ M, Q tiếp D N A tục dựng giao tuyến S () với hình lập phương từ O P suy thiết diện hình lập B' C' R phương cắt mặt phẳng trung trực đường chéo A' D' Q AC’ hình lục giác MNPQRS (hình 2) - Hoạt động kiểm chứng suy diễn với thao tác chứng minh tốn: Cho HS chứng minh AC’ vng góc (BDA’) (hoặc AC’ vng góc (B’D’C)) chứng minh thiết diện qua trung điểm mặt phẳng trung trực AC’: Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh BC, CD, DD’, A’D’, A’B’ BB’ Ta có tứ giác AMC’Q hình thoi nên M Q thuộc mặt phẳng trung trực AC’, tương tự cho điểm cịn lại Vậy thiết diện cần tìm lục giác MNPQRS Nhận xét: Trong ví dụ trên, hoạt động hình dung thấy kết mặt phẳng trung trực qua trung điểm cạnh hình lập phương thể khả trực giác qua tưởng tượng hình ảnh não HS, mà việc hình dung đơi đưa kết sai lầm Tuy nhiên, ta thấy việc nhìn thấy đầu hình ảnh đối tượng nhờ vốn hiểu biết kiến thức kinh nghiệm có để nhận đặc điểm thiết diện giúp HS phát đường lối giải toán, suy cách dựng thiết diện hình lập phương mặt phẳng trung trực đường chéo Như vậy, việc tưởng tượng tâm trí số tính chất hay nhờ trực giác hình dung kết quả, sản phẩm cuối mang yếu tố định tốn khơng mang tính quy trình Nhờ kết nối trí tưởng tượng trực quan giúp phát chiến lược giải quyết, HS thực bước lập luận logic, phân tích dùng suy luận để kiểm chứng sau Kết luận Bài viết xây dựng tình dạy học tốn với việc sử dụng trực quan tình chứa hình ảnh cho trước, tình giúp HS hình dung hình ảnh trực quan vấn đề tình thực tiễn giúp HS trực giác phát mơ hình trực quan vấn đề Với tình dạy học đó, GV giúp HS thể khả dự đoán, suy luận trực giác với việc trải nghiệm nhiều việc giải vấn đề Tuy nhiên, GV cần quan tâm đến việc thiết kế tình hoạt động nhận thức cho HS cho đảm bảo thống mặt đối lập trực quan tính logic chặt chẽ, khơng q lạm dụng trực quan, 40 xác định mức độ trực quan để HS nhận thức trừu tượng giúp phát vấn đề giải vấn đề Tài liệu tham khảo [1] Birgerstam P (2002) Intuition - The way to meaningful knowledge Studies in Higher Education, Vol 27(4), pp 431-444 [2] Fischbein E (1987) Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach D Reidel Publishing Company [3] Hogarth R M (2001) Educating Intuition University of Chicago Press [4] Jagla V M (1994) Teachers’ Everyday use of Imagination and Intuition: In Pursuit of the Elusive Image State University of New York Press [5] Giardino V (2010) Intuition and visualization in mathematical problem solving Topoi, Vol 29(1), pp 29-39 [6] Ben-Zeev T - Star J (2001) Intuitive Mathematics: Theoretical and Educational Implications Understanding and teaching intuitive mind: student and teacher learning, pp 29-55 [7] Cho Y H - Hong S Y (2015) Mathematical intuition and Storytelling for Meaningful Learning Disciplinary Intuitions and the Design of Learning Environments, Springer Science Singapore, pp 155-168 [8] Krutexki V A (1973) Tâm lí lực toán học học sinh NXB Giáo dục [9] Karpunin V A (1974) Tư hình thức trực giác nhận thức toán học NXB Đại học Tổng hợp Xtalincrat (Tiếng Nga) [10] Đào Tam - Võ Xuân Mai (2016) Hướng tới hiểu biết trực giác vai trị trực giác dạy học tốn Tạp chí Giáo dục, số 389, tr 46-49 [11] Wilder R L (1967) The role of Intuition Science, Vol 156 (3775), pp 605-610 [12] Nguyen Phuong Chi - Vo Xuan Mai (2017) Learning by intuiting - The way to solve unforeseen problems in mathematics education Vietnam Journal of Science, Hanoi National University of Education, June 2017, pp 3-8 [13] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2008) Đại số Giải tích 11 nâng cao NXB Giáo dục [14] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ biên) (2009) Hình học 11 Nâng cao NXB Giáo dục [15] Đào Tam - Võ Xuân Mai (2016) Đảm bảo cân đối tư trực giác tư phân tích cho học sinh dạy học tốn Tạp chí Khoa học Giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam, số 134, tr 46-49 ... ảnh trực quan hay phát mơ hình tương thích vấn đề tốn học trừu tượng 2.3 Xây dựng tình dạy học toán sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ người học trực giác phát chất vấn đề hay giải vấn đề Việc sử dụng. .. việc xây dựng tình dạy học sử dụng trực quan sau: - Xây dựng tình chứa hình ảnh trực quan cho trước hỗ trợ HS trực giác phát chất vấn đề tốn học - Xây dựng tình giúp HS hình dung hình ảnh trực quan. .. quan vấn đề từ trực giác giải vấn đề tốn học - Xây dựng tình thực tiễn giúp HS trực giác phát mơ hình trực quan vấn đề từ kiến thức tốn học từ giải vấn đề Sau ví dụ minh họa cho tình dạy học đề