Đồ thị

1 Đồ thị Biên soạn TS Nguyễn Viết Đông 1 2 Những khái niệm và tính chất cơ bản v2 v3 v1 v4 3 V= {v1, v2, v3, v4} E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Những khái niệm và tính chất cơ bản e1= v1 v2, e2 =v1v[.]

Những khái niệm tính chất Đồ thị Biên soạn TS Nguyễn Viết Đông Những khái niệm tính chất Những khái niệm tính chất e1 e1= v1 v2, e2 =v1v2, e3 =v1v4, e4 =v2v3, e5 = v2v3, e6 = v2v4, e7 = v3v4 e2 O V= {v1, v2, v3, v4} E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} AB e4 e5 e6 v2 e4 v3 A e3 e2 e5 e7 • • E ={e1,e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} e6 B e8 v4 V= {O, A, B, AB} e7 v1 e1 e3 e9 Những khái niệm tính chất Định nghĩa đồ thị b a Định nghĩa1.Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm: i) V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh(vertex) G ii) E đa tập hợp gồm cặp không thứ tự hai đỉnh Mỗi phần tử E gọi cạnh(edge) G Ký hiệu uv d c e h k g Những khái niệm tính chất Chú ý • Ta nói cạnh uv nối u với v, cạnh uv kề với u,v • Nếu uv E ta nói đỉnh u kề đỉnh v • Hai cạnh nối cặp đỉnh gọi hai cạnh song song • Cạnh uu có hai đầu mút trùng gọi khuyên Những khái niệm tính chất b a • Định nghĩa Đồ thị vơ hướng khơng có cạnh song song khơng có khun gọi đơn đồ thị vơ hướng • Định nghĩa Đồ thị vô hướng cho phép có cạnh song song khơng có khun gọi đa đồ thị vơ hướng • Định nghĩa Đồ thị vơ hướng cho phép có cạnh song song có khuyên gọi giả đồ thị c e d h g k b a b a c d d c 10 Multigraph -A Non-Simple Graph Những khái niệmvà tính chấtcơ Simple Graph Definition A simple graph G = (V, E) consists of V, a nonempty set of vertices, and E, a set of unordered pairs of distinct elements of V called edges There can be multiple telephone lines between two computers in the network Detroit New York San Francisco Detroit Chicago New York Denver Washington San Francisco Los Angeles Chicago Denver Washington In a multigraph G = (V, E) two or more edges may connect the same pair of vertices Los Angeles 11 12 Pseudograph- A Non-Simple Graph Multiple Edges There can be telephone lines in the network from a computer Detroit to itself (for diagnostic use) Detroit New York New York San Francisco San Francisco Chicago Denver Chicago Washington Denver Los Angeles Washington Los Angeles Two edges are called multiple or parallel edges if they connect the same two distinct vertices In a pseudograph G = (V, E) two or more edges may connect the same pair of vertices, and in addition, an edge may connect a vertex to itself 13 14 Undirected Graphs Loops Detroit New York San Francisco pseudographs Chicago multigraphs Denver simple graphs Washington Los Angeles An edge is called a loop if it connects a vertex to itself 16 15 Những khái niệm tính chất Định nghĩa b Đa đồ thị có hướng G =(V,E) gồm: a i) V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh G ii)E đa tập hợp gồm cặp có thứ tự hai đỉnh Mỗi phần tử E gọi cung(cạnh)của G Ký hiệu uv b a d c d c Ta nói cung uv từ u đến v, cung uv kề với u,v 17 18 Những khái niệm tính chất Chú ý • Nếu uv cung ta nói: – Đỉnh u v kề – Đỉnh u gọi đỉnh đầu(gốc), đỉnh v đỉnh cuối (ngọn) cung uv.Đỉnh v đỉnh sau đỉnh u • Hai cung có gốc gọi cung song song • Cung có điểm gốc trùng gọi khuyên 19 20 Đường Euler - Đường Hamilton Qui tắc Khi chu trình Hamilton mà ta xây dựng qua đỉnh i xố tất cạnh kề với i mà ta chưa dùng(vì khơng dùng đến nữa) Điều lại cho ta số đỉnh bậc ta lại dùng qui tăc1 Qui tắc Khơng có đỉnh lập hay cạnh treo tạo nên sau áp dụng qui tắc Đường Euler-Đường Hamilton Điều kiện đủ cho đồ thị có hướng , đơn(khơng có khun khơng có cạnh song song chiều) ĐK Meyniel ij ji E  deg(i)+deg(j)2n-1 với i, j tùy ý ĐLMeyniel(1973) Nếu G đồ thị đơn, liên thông mạnh thoả ĐK Meyniel G đồ thị Hamilton ĐL Camion(1959) Nếu G đơn đồ thị đủ, liên thơng mạnh G Hamilton 161 Đường Euler-Đường Hamilton 162 Đường Euler-Đường Hamilton • Đề thi2004(ĐHKHTN) Đồ thi sau có Hamilton khơng? ĐLGhouila-Houri(1960) Nếu G đơn đồ thị liên thơng mạnh cho đỉnh có bậc khơng nhỏ n G Hamilton ĐL Woodall(1972) Cho G đơn đồ thị thoả ij E deg+(i)+deg-(j)n, với i,j G Hamilton 163 164 41 Đường Euler-Đường Hamilton Đường Euler-Đường Hamilton • Giả sử G có chu trình Hamilton H, theo qui tăc1,tất cạnh kề với đỉnh bậc H:12,14,23,36,47,78,69,89 Ta có chu trình 1,2,3,6,9,8,7,4,1 Vậy G không đồ thị Hamilton Đề thi 2005(ĐHKHTN).Cho G đồ thị không hướng, đơn, n 3(n số đỉnh), deg(i)+deg(j)n-1 Chứng minh G có đường Hamilton • Giải: Ta thêm vào đồ thị G đỉnh z nối z với đỉnh G cạnh, ta thu đồ thị G’ có n+1 đỉnh.Bậc đỉnh G’ lớn bậc cũ đơn vị(trừz), cịn bậc z n Do G’thì deg’(i)+deg’(j)=deg(i)+1+deg(j) +1 n-1+1+1 = n+1, i j khác z deg’ (i) + deg ’(z) = deg (i) + + n  n+1 ,với i khác z Theo ĐL Ore G’ đồ thị Hamilton,suy G có đường Hamilton 165 166 42 ... nghĩa Đồ thị vơ hướng khơng có cạnh song song khơng có khun gọi đơn đồ thị vơ hướng • Định nghĩa Đồ thị vơ hướng cho phép có cạnh song song khơng có khun gọi đa đồ thị vơ hướng • Định nghĩa Đồ thị. .. 1,2,3,6,9,8,7,4,1 Vậy G không đồ thị Hamilton Đề thi 2005(ĐHKHTN).Cho G đồ thị không hướng, đơn, n 3(n số đỉnh), deg(i)+deg(j)n-1 Chứng minh G có đường Hamilton • Giải: Ta thêm vào đồ thị G đỉnh z nối z... thoả ĐK Meyniel G đồ thị Hamilton ĐL Camion(1959) Nếu G đơn đồ thị đủ, liên thông mạnh G Hamilton 161 Đường Euler-Đường Hamilton 162 Đường Euler-Đường Hamilton • Đề thi2004(ĐHKHTN) Đồ thi sau có