Giải toán 11 chương 4 giới hạn

Bài 1 Giới hạn của dãy số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho dãy số (un) với n 1 u n = Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển 1 1 1 1 1 1, , , , , , , 2 3[.]

Bài 1: Giới hạn dãy số A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với u n = n 1 1 , Biểu diễn (un) dạng khai triển: 1, , , , , , 100 Biểu diễn (un) trục số (h.46): a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới thay đổi n trở nên lớn b) Bắt đầu từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un đến nhỏ 0,01? 0,001? Gọi u1 bề dày tờ giấy, u2 bề dày xếp giấy gồm hai tờ, u3 bề dày xếp giấy gồm ba tờ, …, un bề dày xếp giấy gồm n tờ Tiếp tục ta dãy số vô hạn (un) Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) số chồng giấy u1 … u1000 … u1000000 … u1000000000 … un … 0,1 … 100 … 100000 … 100000000 … n 10 … Lời giải: a) Khoảng cách từ un tới trở nên nhỏ (gần 0) n trở nên lớn b) Ta có: 1  0,01    n  100 n n 100 Do từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ un đến nhỏ 0,01 1  0,001    n  1000 n n 1000 Do từ số hạng thứ 1001 khoảng cách từ un đến nhỏ 0,001 Hoạt động trang 117 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có nhiều tờ giấy chồng nhau, tờ có bề dày 0,1 mm Ta xếp chồng liên tiếp tờ lên tờ khác (h.48) Giả sử thực việc xếp giấy cách vô hạn a) Quan sát bảng nhận xét giá trị u n n tăng lên vô hạn b) Với n ta đạt chồng giấy có bề dày lớn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách thời điểm xác định 384 000 km hay 384.109 mm) Lời giải: a) Giá trị un lớn n tăng lên vơ hạn n 9 10 b) Ta có: u n  384.10   384.10  n  384.10 10 Vậy cần n > 384.109 tờ giấy để đạt chồng giấy có dày lớn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng B Bài tập Bài tập trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T = 24 000 năm nửa số chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khỏe người (T gọi chu kì bán rã) Gọi (un) khối lượng chất phóng xạ cịn sót lại sau chu kì thứ n a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) b) Chứng minh (un) có giới hạn c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau năm khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu khơng cịn độc hại người, cho biết chất phóng xạ khơng độc hại khối lượng chất phóng xạ lại bé 10-6 g Lời giải: a) Ta có: Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ cịn Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ cịn Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ 1 = 22 1 = 23 1 Do u1 = ;u = ;u = ; 2 Từ ta dự đốn cơng thức u n = ( n  1) 2n Điều chứng minh đơn giản quy nạp Vậy u n = , n  N* 2n n 1 b) lim u n = lim   = 2 c) Đổi 10−6 g = Để chất phóng xạ khơng cịn độc hại, ta cần tìm n để 1 u n = n   2n  109  n  30 10 Nói cách khác, sau chu kì thứ 30 (nghĩa sau 30.24000 = 720000 (năm)), khơng cịn lo lắng độc hại khối lượng chất phóng xạ cịn lại Bài tập trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết dãy số (un) thỏa mãn u n −  với n Chứng minh lim un = n Lời giải: 1 = nên theo định nghĩa nhỏ số dương A bé tùy ý, n n kể từ số hạng N0 trở Vì lim  1 1  A  n   n  Chọn N =   + , tức từ số hạng thứ n mà n n3 A A  A > N0 nhỏ A) n ( Hiển nhiên công thức với n = 1 Giả sử công thức với k  1, tức có u k = k , ta chứng minh cơng thức với n = k + 1, tức cần chứng minh: u k +1 = k +1 u 1 1 Ta có u k +1 = k = k : = k  = k +1 2 2 1  kg = kg 106 103 10 Mà u n −   1 nên u n −  A với n  N =   + n3  A Theo định nghĩa dãy số có giới hạn lim(un – 1) =  limu n = (điều phải chứng minh) Cách khác Sử dụng định lý sau: n Cho hai dãy số (un) (vn) Nếu có u n  v n limvn = limun = Cụ thể: Vì u n −  1 lim = nên lim ( u n − 1) =  lim u n = n n Bài tập trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: a) lim 6n − ; 3n + b) lim 3n + n − ; 2n + c) lim 3n + 5.4n ; 4n + 2n n 9n − n + d) lim = lim 4n − 1   1 n2  − +  9− + n n   n n = = = lim 2 4  4− n4 −  n n  Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Để trang hồng cho hộ mình, chuột Mickey định tô màu miếng hình vng cạnh 1, tơ màu xám hình vng nhỏ đánh số 1,2,3,…,n,…, cạnh hình vng nửa cạnh hình vng trước (h.51) d) lim 3   +5 0+5 + 5.4 4 lim n = lim = = =5 n + 2n 1+ 1 1+   2 n 9n − n + 4n − Lời giải: 1  lim  −  n6 −  6−   6n − n 6−0 n   n = =2 = = lim a) lim = lim 2  3+ 2 3n +   3+ lim  +  n3 +  n n n   3n + n − = lim b) lim 2n + 1   n2  + −  3+ − 3+ 0−0 n n   n n = = = lim 1  2+0 2 2+ n 2+  n n   c) Chia tử mẫu phân thức cho 4n ta được: Giả sử quy trình tơ màu Mickey diễn vơ hạn a) Gọi un diện tích hình vng màu xám thứ n Tính u1, u2, u3 un b) Tính limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Lời giải: a) Do hình vng lớn có cạnh 1, hình vng màu xám thứ có cạnh nửa cạnh hình vng lớn nên: Hình vng thứ có cạnh 1 1 nên u1 =   = 2 Hình vng thứ hai có cạnh 1 1 nên u =   = 4 Hình vng thứ ba có cạnh 1 1 nên u =   = 8 Tương tự, ta có u n = 4n a = 1,0202020… = + 0,02 + 0,0002 + 0,000002 + … =1+ 2 + + + + 100 1002 100n 2 2 , ,, , cấp số nhân lùi vô hạn có: u1 = ,q = 100 1002 100n 100 100 2 101 100  a =1+ =1+ = 99 99 1− 100 Vì b) Dãy số (un) cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 q = 4 u1 Do limSn = = = 1− q 1− Vậy a = Bài tập trang 122 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính tổng Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: 1 ( −1) − + + n −1 + 10 102 10 a) lim(n3 + 2n2 – n + 1); n S = −1 + b) lim(–n2 + 5n – 2); Lời giải: Do đó: ) − n + n) n2 − n − n ; n2 Lời giải: 1 (−1) n u S = −1 + − + + n −1 +  = = 10 10 10 1− q −1 −10 =   11 1−  −   10  −10 11 Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho số thập phân vô hạn tuần hồn a = 1,020202 (chu kì 02) Hãy viết a dạng phân số Lời giải: Ta có: ( d) lim ( c) lim Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = –1 q = − 10 Vậy S = 101 99 1  a) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = lim n 1 + − +  n n n   Vì lim n = + 1 1  lim 1 + − +  = + lim − lim + lim = > n n n n   n n Vậy lim ( n + 2n − n + 1) = + 2  b) lim (– n2 + 5n – 2) = limn  −1 + −  n n   a) lim Vì lim n = + b) Vì lim v n = +  lim 5 2  lim  −1 + −  = −1 + lim − lim = –1 < n n n n   Vậy lim ( −n + 5n − ) = − c) lim ) ( Vậy lim n − n − n = lim ( ) n2 − n − n = n2 − n − n2 n −n +n = lim −n  1 n 1 −  + n  n = lim −1 −1 = 1− +1 n −1      1 n − n + n = lim  n 1 −  + n  = lim  n − + n    n n         = lim n  − + 1 n   d) lim ) (   Vì limn = + lim  − + 1 = + =  n   Vậy lim ( ) n − n + n = + Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết limu n = 3, lim = + Tính giới hạn: a) lim 3u n − ; un + b) lim + v2n − Lời giải: 3u n − 3limu n − 3.3 − = =2 = +1 limu n + un + 1 =0   2 v 2n  +  lim + lim + vn  v n v n2 vn + +  = =0 = lim = = lim lim 1 1− − 1  2 − lim − v n 1 −  v 2n v 2n    2n +  b) lim ( f ( x n ) − ) = lim  −  = lim n →+ n →+ n →+ n n   Bài 2: Giới hạn hàm số A Các câu hỏi hoạt động 2x − 2x x −1 Hoạt động trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hàm số f ( x ) = Cho biến x giá trị khác lập thành dãy số (xn), x n → bảng sau: Ta có: lim n →+ =0 n  lim ( f ( x n ) − ) = n →+  lim f ( x n ) = x x1 = x2 = f(x) f(x1) f(x2) x3 = x4 = f(x3) f(x4) n →+ … n +1 xn = n … →1 … f(xn) … →? Khi đó, giá trị tương ứng hàm số f(x1), f(x2), …f(xn),… thành lập dãy số mà ta kí hiệu (f(xn)) 2n + a) Chứng minh f ( x n ) = 2x n = n lim f(xn) = lim 2xn = 2lim xn = 2.1 = Hoạt động trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ví dụ 4, cần thay số số để hàm số có giới hạn – x → Lời giải: Để hàm số có giới hạn –2 x = lim f (x) = lim− f (x) = −2 hay 5.1 + c = –2  c = – b) Tìm giới hạn dãy số (f(xn)) x →1+ Chứng minh với dãy số ( x n ) , x n  x n → 1, ta ln có Vậy cần thay –7 để hàm số có giới hạn –2 x = f ( x n ) → (Với tính chất thể câu 2, ta nói hàm số f ( x n ) = giới hạn x dần tới 1) 2x + 2x có x −1 x →1 Hoạt động trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = thị hình 52 Lời giải: a) f ( x n ) = 2x 2n − 2x n 2x n ( x n − 1) = = 2x n xn −1 xn −1 Ta có: x n = n +1 n  f ( x n ) = 2x n = n + 2n + = n n Quan sát đồ thị cho biết: có đồ x−2 - Khi biến x dần tới dương vô cực, f(x) dần tới giá trị - Khi biến x dần tới âm vơ cực, f(x) dần tới giá trị Lời giải: - Khi biến x dần tới dương vơ cực, f(x) dần tới giá trị dương vô cực   x 2n  −  −5 x − 5x  = lim x n = lim  n Ta có limf ( x n ) = lim xn +   1+ x 2n 1 +  x n  xn  n −5 0−5 x 2n = = −5 = +0 + lim xn lim - Khi biến x dần tới âm vơ cực, f(x) dần tới giá trị âm vô cực B Bài tập Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa, tìm giới hạn sau: a) lim x →4 x +1 ; 3x − Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số − 5x x2 + b) lim x →+ − 5x = −5 x →+ x + Vậy lim  x + neu x  f (x ) =  neu x  2x Lời giải: x +1 a) Hàm số f (x) = xác định D = 3x − 2 \   ta có x =  D 3 Giả sử (xn) dãy số x n  D;x n  x n → n → + hay lim x n = x +1 lim x n + +1 Ta có limf ( x n ) = lim n = = = 3x n − 3lim x n − 3.4 − 2 Vậy lim x →4 x +1 = 3x − 2 b) Hàm số f (x) = − 5x xác định x2 + 1 , (vn) với v n = − n n Tính lim un, lim vn, lim f(un) lim f(vn) Từ có kết luận giới hạn hàm số cho x → ? Lời giải: lim u n = lim =0 n  1 lim v n = lim  −  =  n Giả sử (xn) dãy số x n → + n → + hay lim x n = +  lim = xn dãy số với u n = un =   1 + 1 =   f (un ) = +  limf ( u n ) = lim  n n  n   2 = −   f ( v n ) = −  limf ( v n ) = lim  −  = n n  n Do limf ( u n ) = nên lim+ f (x) = 1   vì: lim x + = lim x 1 +  = + x →+ x →+ x   ( x →0 limf ( ) = nên lim− f (x) = x →0 ) Cách khác: Do lim+ f (x)  lim− f (x) nên không tồn giới hạn hàm số x = x →0 x →0 17 lim = lim x →+ x + x →+ Vậy hàm số cho khơng có giới hạn x → Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính giới hạn sau : x2 −1 x →−3 x + − x2 x →−2 x + c) lim 17 x →+ x + f) lim b) lim a) lim 2x − ; x →+ − x d) lim x +3 −3 x−6 x →6 −2x + x − f) lim = lim x →+ x →+ 3+ x −2x + x − x →+ 3+ x e) lim x − (−3)2 − = = −4 x →−3 x + −3 + 1   Và lim  −2 + −  = −2 + − = −2  x →+ x x   a) lim − x2 (2 − x)(2 + x) = lim = lim (2 − x) = − (−2) = x →−2 x + x →−2 x →−2 x+2 b) lim x →6 = lim x →6 x +3 −3 = lim x →6 x−6 x−6 (x − 6) ( ( x +3 −3 ( x − 6) ( )( x +3 +3 x +3 +3 ) ) = lim x →6 x +3−9 (x − 6) 1 = = = lim x →6 6+3 +3 x+3+3 x +3 +3 ) 6  x2 −  2− 2−0 2x − x  x = = −2 = lim = lim d) lim x →+ − x x →+   x →+ − − x  − 1 x x  17 =0 e) lim x →+ x + 1   1 x  −2 + −  −2 + − x x   = lim x x x →+ 1 2 + x  2+  x2 x x x  1 Vì lim  +  = 0; +  x → + x →+ x x x x  Lời giải: c) lim 17 17 x2 = =0 = lim x x →+ 1   1+ 1+ x  1 +  x  x  x2  ( x +3 +3 ) 1 −2 + − −2x + x − x x = − Vậy lim = lim x →+ x →+ 3+ x + x2 x Cách khác: −2x + x − lim = lim x →+ x →+ 3+ x 1   1   x  −2 + −   −2 + x − x  x x   = lim  x   x →+ 3  +1   x  + 1  x  x  Mà lim x = + x →+ 1 1 − −2 + lim − lim −2 + − x →+ x x →+ x x x2 = = = −2  3 +1 +1 lim + x →+ x x −2 + lim x →+ −2x + x − = − x →+ 3+ x Nên lim Bài tập trang 132 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau : a) lim 3x − ; (x − 2)2 b) lim− 2x − ; x −1 c) lim+ 2x − x −1 x →2 x →1 x →1 Lời giải: a) Ta có lim(x − 2)2 = (x – 2)2 > với x  lim(3x − 5) = 3.2 − =  x →2 Do lim x →2 x →2 3x − = + (x − 2)2 Do lim− x →1 lim f (x) với f(x) xét khoảng ( −; −3) x →1 x →3+ Lời giải: c) Ta có lim(x − 7) = 2.1 − = −5  − 1) = x – > với x  lim(2x + + Do lim+ x →1 lim f (x) với f(x) xét khoảng (–3; 3) x →3− lim f (x) với f(x) xét khoảng (–3; 3) 2x − = + x −1 x →1 b) Kiểm tra nhận xét cách tính giới hạn sau: x →− b) Ta có lim(x − 7) = 2.1 − = −5  − 1) = x – < với x  lim(2x − − x →1 a) Quan sát đồ thị nêu nhận xét giá trị hàm số cho x → − , x → 3− , x → 3+ x →1 2x − = − x −1 x+2 Bài tập trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = có đồ x −9 thị hình 53 a) Quan sát đồ thị ta thấy x → − f (x) → Khi x → 3− f (x) → − Khi x → 3+ f (x) → + b) x+2 = lim +) lim f (x) = lim x →− x →− x − x →− 1  x2  +  +  x x  = lim x x = + = 9  x→− 1−  1− x 1 −  x  x  +) lim− f (x) = lim− x →3 x →3 x+2 x2 −   Vì lim x = − lim  −2 + −  = −2  x →− x →− x x   Vì lim(x + 2) = + =  lim− ( x − ) = ; x2 – < x < − x →3 x →3 nên lim− f (x) = −   Vậy lim x  −2 + −  = + x →− x x   x →3 c) lim x+2 +) lim + f (x) = lim + x →( −3) x →( −3) x − x →− ( ) Vì lim + (x + 2) = −3 + = −1  lim + x − = ; x – < x > –3 x →( −3) x →( −3) 2 Nên lim + f (x) = + x →( −3) (   = lim  − x − +  x →− x x    Vì lim (−x) = + lim  − + x →− x →− x x  Bài tập trang 133 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính: a) lim ( x − x + x − 1) ; )   x − 2x + = lim x 1 − +  = lim | x | − + x →− x →− x x  x x  ) Vậy lim ( d) lim x +1 + x = lim x →+ − 2x x →−   =1  x − 2x + = + x →+ b) lim ( −2x + 3x − ) ; x →− c) lim x − 2x + ; x →+   x 1 +  + x  x  − 2x x →− x +1 + x − 2x d) lim x →+ Lời giải: 1   a) lim ( x − x + x − 1) = lim x 1 − + −  lim x = + x →+ x →+ x x  x →+  x 1   lim 1 − + −  =  x x   x x →+ Vậy lim ( x − x + x − 1) = + x →+   b) lim ( −2x + 3x − 5) = lim x  −2 + −  x →− x →− x x   = lim 1 x 1+ + x +x x x2 = lim x →+ − 2x − 2x | x | 1+ x →+   1 x  + + 1 1+ +1 x 1+1 x  = lim = = −1 = lim  x →+ x →+ 5 −2   −2 x − 2 x x  Vậy lim x →+ x2 + + x = −1 − 2x Bài tập trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f Gọi d d’ khoảng cách từ vật thật AB từ ảnh A’B’ tới 1 quang tâm O thấu kính (h.54) Cơng thức thấu kính + = d d' f +) lim− (d) = lim− d →f d →f fd d−f − f ) = 0;d → f − = f  lim(d Vì lim(fd) − − d →f d →f df d−f 0  lim− (d) = − d →f Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần tiêu điểm F cho d ln nhỏ f ảnh dần tới âm vơ sực a) Tìm biểu thức xác định hàm số d' = (d) b) Tìm lim+ (d) , lim− (d) lim (d) Giải thích ý nghĩa kết tìm d →f d →+ d →f Lời giải: a) d−f fd 1 1 1  d' = + =  = −  = d' fd d−f d d' f d' f d Vậy d ' = (d) = fd d−f b) +) lim+ (d) = lim+ d →f d →f fd d−f − f ) = 0;d → f + = f  lim(d Vì lim(fd) + + d →f d →f d f d−f 0  lim+ (d) = + d →f Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần tiêu điểm F cho d ln lớn f ảnh dần tới dương vơ cực +) lim (d) = lim d →+ d →+ fd f = lim =f d − f d→+ − f d Ý nghĩa: Nếu vật thật AB xa vô cực so với thấu kính ảnh tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ vng góc với trục chính) Bài 3: Hàm số liên tục A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 135 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f(x) = x2 − x + neu x  −1  g(x) = 2 neu −  x  có đồ thị hình 55 − x + neu x   Đồ thị hàm số g(x) gián đoạn x = Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức xác định h(x) cho Ví dụ 2, cần thay số số để hàm số liên tục tập số thực ? Lời giải: Để hàm số liên tục phải liên tục x = hay limh(x) = h(1)  h(1) = x →1 Vậy cần thay số số để hàm số liên tục Hoạt động trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] với f(a) f(b) trái dấu Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hồnh điểm thuộc khoảng (a; b) không? Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox điểm nằm khoảng (a; b)” Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị hàm số y = f(x) phải cắt trục hồnh Ox điểm nằm khoảng (a; b)” a) Tính giá trị hàm số x = so sánh với giới hạn (nếu có) hàm số x → Bạn Tuấn cho rằng: “Đồ thị hàm số y = f(x) khơng cắt trục hồnh khoảng (a; b), chẳng hạn đường parabol hình (h.58) Câu trả lời bạn đúng, sao? b) Nêu nhận xét đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = (Hàm số y = f(x) gọi liên tục x = hàm số y = g(x) không liên tục điểm này) Lời giải: a) f (1) = 12 = = limf (x) x →1 Vì x = nên g(1) = –12 + = –1 + = Lại có: limg(x) = lim ( −x + ) = limg(x) = lim(2) = x →1+ x →1+ x →1− x →1− nên limg(x)  limg(x) không tồn giới hạn limg(x) x →1− x →1+ b) Đồ thị hàm số f(x) liên tục x = x →1 Lời giải: - Bạn Lan nói f(a) f(b) trái dấu nên tồn giá trị x cho f(x) = 0, đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành điểm - Bạn Hưng sai có giá trị x cho f(x) = - Đường parabol h.58 đồ thị hàm số y = x suy đồ thị hàm số y = f(x) b) Trong biểu thức xác định g(x) trên, cần thay số số để hàm số liên tục x0 = nửa nằm nửa nằm trục hồnh Khi f(a) f(b) dấu, mâu Lời giải: thuẫn với điều kiện f(a) f(b) trái dấu Ví dụ Tuấn sai a) Ta có: Hoạt động trang 139 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy tìm hai số a b thỏa mãn < a < b < 2, cho phương trình Ví dụ có nghiệm thuộc khoảng (a; b) limg(x) = lim x →2 x →2 Lời giải: Ta có: f(x) = x3 + 2x – 5 Chọn a = ,b = thỏa mãn < a < b < 4 (x − 2) ( x + 2x + ) x3 − = lim x − x →2 x−2 = lim ( x + 2x + ) = 22 + 2.2 + = 12 x →2 Lại có: g(2) =  limg(x)  g(2) x →2 Vì limg(x)  g(2) nên hàm số y = g(x) gián đoạn x = x →2 35 5 5 7   247 Ta thấy: f   = −  0,f   =  nên f    f    64 4 4  4   64 5 7 Vậy khoảng  ;  phương trình f(x) = có nghiệm 4 4 B Bài tập Bài tập trang 140 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f(x) = x3 + 2x – x0 = Lời giải: Hàm số f(x) = x3 + 2x – xác định R x =   limf (x) = + 2.3 − = 32 Ta có:  x →3  limf (x) = f (3) x →3  f (3) = + 2.3 − = 32 b) Để hàm số y = g(x) liên tục x0 =  limg(x) = g(2) = 12 x →2 Vậy ta cần thay số số 12 Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số 3x + neu x  −1 f (x) =   x − neu x  −1 a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Từ nêu nhận xét tính liên tục hàm số tập xác định b) Khẳng định nhận xét chứng minh Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đường thẳng y = 3x + với x < −1 qua hai điểm (−2; −4) (−1; −1) Xóa Vậy hàm số cho liên tục điểm x0 = phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng x  −1 ta đồ thị hàm số Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Xét tính liên tục hàm số y =  x3 − neu x   g(x) x0 = 2, biết g(x) =  x − 5 neu x = y = 3x + với x < −1 Vẽ Parabol y = x2 − với x  −1 có đỉnh (0; −1) qua hai điểm (−1; 0); (1; 0) Xóa phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng x < −1, ta đồ thị hàm số y = x − với x  −1 Ta có đồ thị hình sau: lim f (x) = lim (3x + 2) = 3(−1) + = −1 x →−1− x →−1− lim f (x) = lim ( x − 1) = (−1) − = x →−1+ x →−1+ Vì lim f (x)  lim f (x) nên không tồn limf (x) x →−1− x →−1+ x →−1 Vậy hàm số gián đoạn x0 = −1 Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = x +1 x2 + x − g(x) = tan x + sin x Với hàm số, xác định khoảng hàm số liên tục Lời giải: +) Hàm số f (x) = x +1 xác định khi: x +x −6  x  −3 D= x2 + x −    x  \ −3;2 Hàm số f(x) hàm phân thức nên liên tục khoảng xác định Tập xác định: D = Từ đồ thị, ta thấy: Đồ thị hàm số y = f(x) đường không liền nét mà bị đứt quãng x0 = −1 Vậy hàm số cho liên tục khoảng ( −; −1) ( −1; + ) b) +) Nếu x < −1: f(x) = 3x + liên tục (−; −1) (vì hàm đa thức nên Vậy f(x) liên tục khoảng ( −, −3) ,(−3, 2) ( 2,+ ) +) Hàm số g(x) = tan x + sin x xác định cos x   x  (k  )  + k , Hàm số g(x) hàm lượng giác nên liên tục khoảng xác định liên tục tập xác định nó)     Vậy g(x) liên tục khoảng  − + k; + k  với k    +) Nếu x > −1: f(x) = x2 – liên tục (−1; +) (vì hàm đa thức nên liên Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Ý kiến sau hay sai? tục tập xác định nó) +) Xét tính liên tục hàm số x = −1; “Nếu hàm số y = f(x) liên tục điểm x0 hàm số y = g(x) không liên tục x0, y = f(x) + g(x) hàm số khơng liên tục x0” Ta có: Lời giải: Ý kiến Ta có: Giả sử phản chứng hàm số y = f(x) + g(x) liên tục x0 g(0) = cos(0) – = – = Đặt h(x) = f(x) + g(x) liên tục x = x0     g   = cos − = − 2 2    g(x) = h(x) − f(x) Vì y = h(x) y = f(x) liên tục x0  h(x); −f(x) hàm số liên tục x0 Theo giả sử ta có hàm số h(x) + [−f(x)] = h(x) − f(x) = g(x) phải liên tục x0 Điều trái với giả thiết y = g(x) không liên tục x0 Vậy giả sử ban đầu sai Chứng tỏ y = f(x) + g(x) không liên tục x0 Bài tập trang 141 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Chứng minh phương trình: a) 2x3 – 6x + = có hai nghiệm; b) cosx = x có nghiệm Lời giải: a) Xét hàm số f(x) = 2x3 – 6x + hàm đa thức nên liên tục Ta có: f(0) = 2.03 – 6.0 +1 = f(1) = 2.13 – 6.1 +1 = –3 f(–2) = 2.(–2)3 – 6.(–2) +1 = –3 f(0).f(1) = 1.(–3) < nên phương trình có nghiệm x  (0;1) f(0).f(–2) = 1.(–3) < nên phương trình có nghiệm x1  (−2;0) Mà (0;1)  (−2;0) =   x  x1  Phương trình f(x) = có hai nghiệm b) cosx = x  cosx – x = Xét hàm số g(x) = cosx – x xác định nên liên tục     g(0).g   = 1. −  = −  nên phương trình cho có nghiệm thuộc 2  2    khoảng  0;   2 Vậy phương trình cho có nghiệm A = lim Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy lập bảng liệt kê giới hạn đặc biệt dãy số giới hạn đặc biệt hàm số Lời giải: 3n − ; n+2 H = lim ( Một vài giới hạn đặc biệt dãy số hàm số: N = lim n −2 ; 3n + O = lim 3n − 5.4n − 4n Ôn tập chương Giới hạn dãy số lim = n lim k = 0,k  * n lim qn = 0, |q| < lim c = c limn k = +,k  * limq n = +,q  Giới hạn hàm số lim x = x0 x →x lim c=c x →x c = 0,k  * xk lim x k = + (nếu k chẵn) x →− lim x → lim x k = − (nếu k lẻ) x →− Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết u n –  v n với n limvn = Có kết luận giới hạn dãy số (un)? Lời giải: Vì limvn = nên |vn| nhỏ số dương  bé tùy ý, kể từ số hạng trở Nghĩa v n   kể từ số hạng trở  u n −  v n  v n   hay u n –   bé tùy ý kể từ số hạng trở  lim(un − 2) = (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)  lim un = Cách khác: Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp sau: Với n  * , ta có: u n −  v n  − v n  u n −  v n Mà lim(−vn) = lim(vn) = nên lim(un – 2) =  lim un – lim2 =  lim un = Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tên học sinh mã hóa số 1530 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, H, N, O với: ) n + 2n − n ; Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng Lời giải: 1  n3 −  3− 3−0 3n − n  n +) A = lim = lim = lim = =3 n+2  2 1+ 1+ n 1 +  n  n +) H = lim = ( ) n + 2n − n = lim 2 + lim + n = (n + 2n ) − n n + 2n + n = lim 2n = lim   2 1+ +1 n  + + 1 n n   =1 1+ +1  2 n −  − n n n −2 n n = 0−0 =0  +) N = lim = lim = lim 7 3+ 3n +  3+ n3 +  n n  n n   n  3 3   −  −5 n n   0−5 − 5.4    = lim   = lim = =5 +) O = lim n −1 1  1− − 4n  n − 1 4n 4  Vậy số 1530 mã số chữ HOAN tên học sinh cần tìm x + −3 + x + 5x + (x + 2)(x + 3) = lim = = = lim x →−3 x →−3 x + 3x x −3 x(x + 3) Bài tập trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Có nhận xét cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn? b) lim x →−3 b) Cho ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số âm cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số dương tính tổng cấp số nhân Vậy lim x →−3 Lời giải: a) Công bội q cấp số nhân lùi vô hạn phải thỏa mãn |q| < c) lim x → 4− x + 5x + = x + 3x 2x − x−4 Ta có: lim ( 2x − 5) = 2.4 − =  b) x → 4− +) Ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có công bội số âm: −1 −1  1 u n =  −  cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = cơng bội q = 3  3 n   x −  0, x  Và  lim x − ) =   x →4 ( − 2x − = − x−4 −1 u1 = =− Tổng Sn = 1− q 1+ Vậy lim +) Ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số dương: 1  Vì lim x = + lim  −1 + − +  = −1  x →+ x →+ x x x   x → 4− 1  d) lim ( − x + x − 2x + 1) = lim x  −1 + − +  x →+ x →+ x x x   n 1 1 u n =   cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = công bội q = 4 4 u1 Tổng Sn = = = 1− q 1− Bài tập trang 142 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: x+3 a) lim ; x →2 x2 + x + x + 5x + b) lim ; x →−3 x + 3x c) lim 2x − ; x−4 d) lim ( − x + x − 2x + 1) ; e) xlim →− x+3 3x − f) xlim →− x → 4− Lời giải: a) lim x →2 x+3 2+3 = = x + x + 22 + + x →+ Vậy lim ( − x + x − 2x + 1) = − x →+ 3  x 1 +  1+ 1+ x+3 x  x = = = xlim e) lim = xlim →− x →− →− −3 − 1 3x −  3− x3 −  x x  Vậy xlim →− x+3 = 3x −  4 x 1 − +  − x | x | 1− + − x x − 2x + − x x x   x x = xlim = xlim f) xlim →− →− →− 3x − 3x − 3x − x − 2x + − x 3x − = xlim →−   4 x  − − + − 1 + −x − 1− + −1 x x   = lim x x x x = xlim →− x →− 1  3x − 3− x3 −  x x  −x − = − − + − −2 = 3−0 Vậy xlim →− − x2 f (x) = lim = xlim +) xlim →+ x →+ →+ x2 x − 2x + − x −2 = 3x − Bài tập trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai hàm số f (x) = g(x) = − x2 x2 x3 + x + x2 x3 + x + g(x) = xlim +) xlim = xlim →+ →+ →+ x2  1 1 x 1 + +  1+ +  x x  = lim x x = + x →+ 3  x   x x   b) Gọi (C1) (C2) hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) a) Tính limf (x) , limg(x) , lim f (x) lim g(x) x →0   x  − 1 x  = lim  − 1 = −1  x →+  x2 x  x →+ x →0 Vì lim f (x) = −1 nên (C1) có nhánh vơ tận tiến gầ đến đường thẳng y = -1 x →  x →+ x →+ b) Hai đường cong sau (h.60) đồ thị hai hàm số cho Từ kết câu a), xác định xem đường cong đồ thị hàm số Vì lim g(x) = + nên (C2) có nhánh vô tận lên x → + x →+ Dựa vào đặc điểm (C1) (C2) ta có (C1) đồ thị b (C2) đồ thị a Bài tập trang 143 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Xét tính liên tục  x2 − x − neu x   g(x) =  x − 5 − x neu x  hàm số Lời giải: Ta có: lim g(x) = lim x →2 + x →2 + x2 − x − (x − 2)(x + 1) = lim = lim(x + 1) = (1) x →2 x →2 x−2 x−2 + + limg(x) = lim(5 − x) = (2) Lời giải: x →2− a) x →2− g(2) = – = (3) (x) = lim +) limf x →0 x →0 1− x = + x2 Từ (1), (2) (3) suy ra: limg(x) = g(2) x →2 Vì: lim (1 − x ) =  lim x = 0;x  0, x  x →0 x →0 Do hàm số y = g(x) liên tục x0 = x3 + x + = lim = + +) limg(x) x →0 x →0 x2 hữu tỉ xác định (2, +) nên hàm số g(x) liên tục hai khoảng (−,2) (2, +) Vì: lim ( x + x + 1) =  0,lim x = 0, x  0, x  x →0 x →0 Mặt khác (−,2) , g(x) hàm đa thức (2, +) , g(x) hàm số phân thức Vậy hàm số y = g(x) liên tục Bài tập trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm nằm khoảng (–2; 5) Lời giải:  Dãy số un không tãng không giảm Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2, ta có: +) Câu B sai Hàm số f(x) hàm số đa thức liên tục f (0) = −2  f (1) = − + − =    f (2) = − 3.2 + 5.2 − = −8  f (3) = 35 − 3.34 + 5.3 − = 13  f (0).f (1)  (1)   f (1).f (2)  (2) f (2).f (3)  (3)  Do f(x) có nghiệm khoảng (0, 1); nghiệm khoảng (1, 2); “Nếu (un) dãy số tăng lim ( u n ) = + ” mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số (un) với u n = − 1   1 Xét hiệu: u n +1 − u n = 1 − = 0  − 1 −  = −  n +   n  n n + n(n + 1)  un dãy số tăng  1 lim u n = lim 1 −  =  n +) Câu C sai, xem phần ví dụ sau: nghiệm khoảng (2, 3) Mà khoảng (0, 1); (1, 2) (2, 3) đôi khơng có điểm chung Hai dãy số u n = Vậy phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm khoảng (– 2, 5) lim u n = lim n2 , = n +1 n+2 n2 = lim n+2 Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mệnh đề sau mệnh đề đúng? (A) Một dãy số có giới hạn ln ln tăng ln ln giảm (B) Nếu (un) dãy số tăng limu n = + (C) Nếu limu n = + lim = + lim(un – vn) = (D) Nếu un = an −1 < a < lim un = Lời giải: +) Câu A sai: “Một dãy số có giới hạn ln tăng giảm” mệnh đề sai Xét phần ví dụ sau: (−1) n (−1) n =0 Dãy số: u n = có lim n n 1 Ta có: u1 = −1  u = ,u =  u = − 2 n n2 = lim = +  2 + n  + 2 n n n n  lim = lim(n + 1) = + 2  n  −3 −   n2  −3n − n  − (n + 1)  = lim = lim Nhưng lim ( u n − v n ) = lim  n+2  2 n +  n 1 +   n n = lim = −3  1+ n −3 − +) Câu D lim qn = |q| < Do đó: −1 < a < lim an = Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm 10 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với + + + + n Mệnh đề sau mệnh đề đúng? un = n2 + un = u1 (1 − q n ) 1− q (A) lim un = 0; (B) lim u n =  lim u n = lim ; ( ) ( ) n n  − 1 1 −      = = −1 1− 2   nên lim ( 2) n − 1  −1 ( 2) n = + = + (C) lim un = 1; Vì (D) Dãy (un) khơng có giới hạn n → + Chọn đáp án C Lời giải: Bài tập trắc nghiệm 12 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chọn phương án đúng: −3x − lim x →1 x −1 n(n + 1) Vì + + + + n = Nên u n = − Bài tập trắc nghiệm 11 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với: + + ( 2) x →1−  x −  0, x  lim x − = )  x →1 ( − ( 2)  lim −3x − = + x −1 n Chọn đáp án D Chọn mệnh đề mệnh đề sau: (A) lim u n = + (D) + Ta có lim ( −3x − 1) = −4  Chọn đáp án B ( 2) (C) −3 Lời giải:  1 n 1 +  1+ n(n + 1) n  n Do limu n = lim = lim = lim = 2 2 2(n + 1) 2 2+ n 2 +  n n   un = + (B) − (A) −1 n(n + 1) 2(n + 1) + + ( 2) n + = Bài tập trắc nghiệm 13 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: 1− ; (B) limu n = − ; (C) limu n = + ; (D) Dãy số (un) khơng có giới hạn n → + Cho hàm số f (x) = − x2 x lim f (x) bằng: x →− Lời giải: (A) + Ta có (un) tổng n số hạng cấp số nhân có số hạng đầu u1 = Lời giải: công bội q = nên: Ta có: (B) (C) − (D) −1 ... 7   247 Ta thấy: f   = −  0,f   =  nên f    f    64 ? ?4? ?? ? ?4? ??  4? ??   64 5 7 Vậy khoảng  ;  phương trình f(x) = có nghiệm ? ?4 4 B Bài tập Bài tập trang 140 SGK Toán lớp 11 Đại... A = lim Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy lập bảng liệt kê giới hạn đặc biệt dãy số giới hạn đặc biệt hàm số Lời giải: 3n − ; n+2 H = lim ( Một vài giới hạn đặc biệt dãy số hàm số:... SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: a) lim 6n − ; 3n + b) lim 3n + n − ; 2n + c) lim 3n + 5.4n ; 4n + 2n n 9n − n + d) lim = lim 4n − 1   1 n2  − +  9− + n n   n n = = = lim 2 4  4? ??