Bài 1 Vectơ trong không gian A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tứ diện ABCD Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của[.]
Bài 1: Vectơ không gian A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 85 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Hãy vectơ có điểm đầu A điểm cuối đỉnh lại tứ diện Các vectơ có nằm mặt phẳng khơng? Lời giải: Các vectơ có điểm đầu A điểm cuối đỉnh lại tứ diện là: AB ; AC ; AD Các vectơ khơng nằm mặt phẳng Hoạt động trang 85 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hãy kể tên vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp vectơ AB Lời giải: Các vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp vectơ AB là: DC ; A'B' ; D'C' Hoạt động trang 86 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH Hãy thực phép toán sau (h.3.2): a) AB + CD + EF + GH ; b) BE − CH Lời giải: a) AB = CD CD = −AB EF = GH GH = −EF AB + CD + EF + GH = AB − AB + EF − EF = + = b) Tứ giác BCHE có BC = EH BC // EH nên hình bình hành BE = CH BE − CH = Hoạt động trang 87 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong khơng gian cho hai vectơ a ; b khác vectơ – không Hãy xác định vectơ m = 2a ; n = −3b ; p = m + n Lời giải: Hoạt động trang 89 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I K trung điểm cạnh AB BC Chứng minh đường thẳng IK ED song song với mặt phẳng (AFC) Từ suy ba vectơ AF ; IK ; ED đồng phẳng Lời giải: I K trung điểm cạnh AB BC Suy IK đường trung bình ABC nên IK∥ AC (ACF) suy IK // (ACF) Hình hộp ABCD.EFGH nên (ADHE) // (BCGF) Suy FC // ED (là đường chéo hình bình hành BCGF ADHE) Nên ED // (ACF) Ngoài AF (ACF) Suy ba vectơ AF ; IK ; ED đồng phẳng (vì giá chúng song song với mặt phẳng, chọn mặt phẳng song song với (ACF)) Hoạt động trang 89 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai vectơ a ; b khác vectơ Hãy xác định vectơ c = 2a − b giải thích ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng Lời giải: Ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng a ; b khơng phương có cặp số (2; -1) cho: c = 2a − b Hoạt động trang 89 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho ba vectơ a ; b ; c không gian Chứng minh ma + nb + pc = ba số m, n, p khác khơng ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng Lời giải: Giả sử p ta có: ma + nb + pc = ma + nb = − pc c=− m n a − b p p Do đó, ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng theo định lí B Bài tập Bài tập trang 91 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (P) cắt cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ I, K, L, M Xét vectơ có điểm đầu điểm I, K, L, M có điểm cuối đỉnh hình lăng trụ Hãy vectơ: a) Cùng phương với IA ; b) Cùng hướng với IA ; c) Ngược hướng với IA Lời giải: a) Các vectơ có điểm đầu điểm I, K, L, M có điểm cuối đỉnh hình lăng trụ mà phương với IA là: IA' ; KB ; KB' ; LC ; LC' ; MD ; MD' b) Các vectơ có điểm đầu điểm I, K, L, M có điểm cuối đỉnh hình lăng trụ mà hướng với IA là: KB ; LC ; MD c) Các vectơ có điểm đầu điểm I, K, L, M có điểm cuối đỉnh hình lăng trụ mà ngược hướng với IA là: IA' ; KB' ; LC' ; MD' Bài tập trang 91 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) AB + B'C' + DD' = AC' ; b) BD − D'D − B'D' = BB' ; c) AC + BA' + DB + C'D = Lời giải: a) Ta có: B ' C ' = BC ; DD' = CC ' AB + B'C' + DD' = AB + BC + CC ' = AC + CC ' = AC' b) BD − D'D − B ' D' = BD + DD' + D'B' = BD' + D'B' = BB' c) Ta có: BA’D’C hình bình hành BA' = CD' BDD’B’ hình bình hành DB = D'B' AB’C’D hình bình hành C'D = B'A AC + BA'+ DB + C'D = AC + CD' + D'B' + B'A = AD' + D'B' + B'A = AB' + B'A = Bài tập trang 91 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình bình hành ABCD Gọi S điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa hình bình hành Chứng minh SA + SC = SB + SD Lời giải: Gọi O tâm hình bình hành ABCD, ta có O trung điểm AC BD Khi đó: SA + SC = 2SO SA + SC = SB + SD (điều phải chứng minh) SB + SD = 2SO Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh rằng: a) MN = (AD + BC) ; b) MN = (AC + BD) Lời giải: a) MN = MA + AD + DN MN = MB + BC + CN Cộng vế ta được: ( ) ( ) ( 2MN = MA + MB + AD + BC + DN + CN ) Do M, N trung điểm AB, CD nên MA + MB = DN + CN = DN + ND = 2MN = + (AD + BC) + = AD + BC MN = (AD + BC) (điều phải chứng minh) b) MN = MA + AC + CN MN = MB + BD + DN Cộng vế ta được: ( ) ( ) ( ) MN = ( AC + BD ) (điều phải chứng minh) ( ) 2MN = MA + MB + AC + BD + CN + DN = + AC + BD + = AC + BD Bài tập trang 92 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Hãy xác định hai điểm E F cho: a) AE = AB + AC + AD ; b) AF = AB + AC − AD Lời giải: F B A G C E D a) Lấy điểm G cho AB + AC = AG Suy G đỉnh hình bình hành ABGC Ta có: AB + AC + AD = AE AG + AD = AE Suy E đỉnh hình bình hành ADEG Hay AE đường chéo hình hộp có ba cạnh AB, AC, AD b) Ta có: AB + AC − AD = AF AG − AD = AF DG = AF Vậy F đỉnh hình bình hành ADGF Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh DA + DB + DC = 3DG Lời giải: Theo quy tắc ba điểm ta có: DA = DG + GA DB = DG + GB DC = DG + GC DA + DB + DC = DG + GA + DG + GB + DG + GC = 3DG + (GA + GB + GC) = 3DG (do G trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + DC = ) Bài tập trang 92 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Gọi M N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn thẳng MN P điểm khơng gian Chứng minh rằng: a) IA + IB + IC + ID = ; b) PI = PA + PB + PC + PD Lời giải: ( ) A M I C B N D a) Vì M, N trung điểm AC BD nên: IA + IC = 2IM IB + ID = 2IN ( IA + IC + IB + ID = IM + IN ) Mà I trung điểm MN nên IM + IN = Do IA + IC + IB + ID = b) Ta có: Vế phải = PA + PB + PC + PD = PI + IA + PI + IB + PI + IC + PI + ID 4 = 4PI + IA + IB + IC + ID 4 ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) = 4PI = PI PI = PA + PB + PC + PD Bài tập trang 92 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tam giác ( ) ABC.A’B’C’ có AA' = a , AB = b , AC = c Hãy phân tích (hay biểu thị) vectơ B'C , BC' qua vectơ a ; b ; c Lời giải: B'C = B'A' + A'A + AC = −AB − AA' + AC = −b − a + c BC' = BA + AA' + A'C' = −AB + AA' + AC = −b + a + c Cách khác: ( ) B'C = AC − AB' = AC − AB + BB' = AC − AB − BB' = AC − AB − AA' = c − b − a BC' = AC ' − AB = AA' + A'C' − AB = AA' + AC − AB = a + c − b Bài tập trang 92 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS = −2MA đoạn BC lấy điểm N cho NB = − NC Chứng minh ba vectơ AB , MN , SC đồng phẳng Lời giải: Biểu diễn MN qua hai vectơ AB , SC : Ta có: 2 MN = MS + SC + CN = AS + SC + CB (1) 3 1 MN = MA + AB + BN = − AS + AB − CB (2) 3 Nhân (2) với cộng với (1) ta được: 3MN = SC + 2AB MN = SC + AB 3 Vậy AB , MN , SC đồng phẳng Bài tập 10 trang 92 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K giao điểm AH DE, I giao điểm BH DF Chứng minh ba vectơ AC , KI , FG đồng phẳng Lời giải: I = BH DF giao điểm hai đường chéo hình bình hành BDHF I trung điểm BH K giao điểm hai đường chéo hình bình hành ADHE K trung điểm AH Suy KI đường trung bình tam giác ABH KI∥ AB KI∥ ( ABCD ) Ta có: BCGF hình bình hành FG ∥ BC FG ∥ ( ABCD ) Từ (1) (2) suy ra: vectơ KI , FG song song với mặt phẳng (ABCD) chứa vectơ AC Vậy AC , KI , FG đồng phẳng ... trang 87 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai vectơ a ; b khác vectơ – không Hãy xác định vectơ m = 2a ; n = −3b ; p = m + n Lời giải: Hoạt động trang 89 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho... nb + pc = ma + nb = − pc c=− m n a − b p p Do đó, ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng theo định lí B Bài tập Bài tập trang 91 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Mặt... định vectơ c = 2a − b giải thích ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng Lời giải: Ba vectơ a ; b ; c đồng phẳng a ; b khơng phương có cặp số (2; -1) cho: c = 2a − b Hoạt động trang 89 SGK Tốn lớp 11 Hình