Câu 1 Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1) CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN VÀO 10 Câu 1 Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P > Đáp án b) Với x > 0, x[.]
CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC ƠN VÀO 10 x Câu 1: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1) : x x - x 1 x- x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > Đáp án: x a) P = : x x - x 1 x- x x x1 x 1 x x x1 x1 x x1 x1 x x x 1 x - x1 x x x x-1 x - 1 x x > x Vậy với x > P > b) Với x > 0, x 1 Câu 2: Rút gọn biểu thức: 1 x+2 x x b a - ab a a b - b a ab - b A= x x + x 4 B = ( với x > 0, x ) ( với a > 0, b > 0, a b) Đáp án: x+2 x = A= x x + x 4 x = x x 2 x 2 x x-4 b a B= a b - b a a a ab ab b x b x ( x + 2) x x ( x 2) a b x-4 - ab a b a b a- b b ab a ab b - a a > 0, b > 0, a b a b a a a 1 : a1 a- a a-1 Câu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Đáp án: a a a a 1 a) A = : a a a a ( a 1) ( a 1)( a 1) a ( a 1) a > 0, a a < b) A < a x 6 x x-9 : Câu 4: Rút gọn biểu thức: A = với x 0, x 4, x x x x 1 - a a B 1- a 1 - a a với a ≥ a ≠ - a Đáp án: x3 x 3 3( x 2) x : A x 2 x3 x x 2 3 x 1 , với x 0, x 4, x x x x 1- a 1+ a +a 1- a + a B= 1- a 1+ a 1- a 1 = + a + a + a = + a + a = a a -1 a a + 1 a +2 : Câu 5: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1, a a + a a - a- a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Đáp án: a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ P = Ta có: a + a + 1 - a a - 1 a -1 a - a + 1 : a + a-2 a a + 1 a +1 (a - 2) a+ a +1-a+ a -1 a+2 = : a+2 a-2 a 2a - 2a + - 8 = =2b) Ta có: P = a+2 a+2 a+2 P nhận giá trị nguyên (a + 2) = a + = a + = a + = a + = 1 2 4 8 a = - 1; a = - a = ; a = - a = ; a = - a = ; a = - 10 Câu 6: Cho biểu thức A= x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Đáp án: a) ĐK: x 0 x 1 A= x x 1 3x = với x 0 x 1 x( x 1) x( x 1) b) Để A có giá trị nguyên x – ước x - = -3 x = -2 x – = -1 x = (loại) x–1=1 x=2 x – =3 x =4 Vậy biểu thức A có giá trị nguyên x = -2; x = x = x + : x - x - x x 1 x - Câu 7: Cho M = với x 0, x 1 a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Đáp án x + : x - x -1 x- x x +1 x x -1 + = : x ( x - 1) x - x +1 x -1 a) M = = = x-1 x : x -1 x +1 x -1 x +1 = x-1 x x -1 x - 1 x -1 x +1 x +1 x +1 x-1 x b) M > x - > (vì x > nên x > 0) x > (thoả mãn) Câu 8: Cho biểu thức: K = x 2x - x x -1 x - x với x >0 x 1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị biểu thức K x = + Đáp án: a) K = x x (2 x - 1) x - x ( x - 1) = x-2 x +1 = x -1 x -1 b) Khi x = + , ta có: K = 42 Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = x -1= +1 -1 = +1-1 = x -1 1- x + với x 0, x 1 : x x x + x Đáp án: B= x-1 : x x -1 x + +1 - x x - 1 x +1 = x x - 1 x x +1 x +1 = x x +1 x-1 x x-1+1- x x Câu 10: Cho biểu thức: P = a a a a a a a a với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P > - Đáp án: a) P = = a a a a 1a a a 1 a 1 a a a a 1 a a a a a a a a a ( a 1) a a a a a Vậy P = - a b) Ta có: P - a > - a < < a < Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: < a < Vậy P > -2 a < a < Câu 11: Rút gọn biểu thức B = x x x 1 x 1 x x với x 1 Đáp án x x x 1 B = 1 x Câu 12: Cho biểu thức A = x1 x x 1 x 1 x x : với a > 0, a x x x x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 2 Đáp án: x a) Ta có A = x x1 : x 1 = x x 1 x x x x 1 x b) x 2 x 1 x nên A = 1 2 2 2 1 x Câu 13: Cho biểu thức P = với x > : x 1 x + x 1 x+ x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > Đáp án: 1 x : x 1 x + x 1 x x 1 a) P = x+ x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x x 1 x 1 - x x 1 x x x 1-x - x x 3x > - x < x Vậy với x < P > a a a1 : Câu 14: Cho biểu thức A = với a > 0, a a 1 a + a a - b) Với x > a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Đáp án: a a a1 a a 1 : a) A = a ( a + 1) ( a - 1)( a 1) a 1 a + a 1 a a > 0, a a < b) A < a 1 Câu 15: Cho biểu thức P= 1 a a a3 với a > a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị a để P > Đáp án: a 3 a a . a a 3 a a a 3 a 2 a ( a 3) Vậy P = ( a 3)( a 3) a a 3 a 3 a) P = = b) Ta có: Vậy P > a 3 > a +3 0, a a = 2017 - 2016 a 1 a a : a 1 a 1 a (a 1) (a 1) ( a 1) ( a 1) a ( a 1) : : = a 1 a 1 ( a 1)(a 1) a (a 1)( a 1) a) A = = ( a 1) (a 1)( a 1) a 1 a 1 ( a 1) b) a = 2017 - 2016 ( 2016 1) a 2016 Vậy A = 2016 =12 14 Câu 17: Cho biểu thức: Q = x x x 1 x1 x 1 x a) Tìm tất giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q b) Tìm tất giá trị x để Q = - x - Đáp án: ĐKXĐ: x > 0; x a) Q = ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x x 4x x x.( x 1) x b) Q = - x => 4x + Câu 18: Cho biểu thức: P = x x (loai) x - = (thỏa mãn) 16 x a a 3 a 1 a 9 a a3 với a > 0, a a) Rút gọn b) Tìm a để P < Đáp án: a) P = a a 1 7 a a 3 a ( a 3)( a 3) = a ( a 3) ( a 1)( a 3) a 2a a a a a ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) = 3a a a ( a 3) a ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) a 3 Vậy P = a a 3 a a a a a b) P < a 3 x2 x x2 x x 1 x x 1 x x 1 Câu 19: Cho biểu thức: M = Rút gọn biểu thức M với x 0 Đáp án: x ( x 1) x ( x 1) +x+1 x x 1 x x 1 x ( x 1)( x x 1) x ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1 x x 1 M= = =x- x -x- x +x+1=x-2 Câu 20: Cho biểu thức: P = +1=( x - 1)2 x x2 x 2x x 1 x x 1 x với x > a) Rút gọi biểu thức P b) Tìm x để P = Đáp án: a) Ta có x2 + x x ( x 1) x ( x 1)(x x 1) nên P = x ( x 1)( x x 1) 1 x x 1 x ( x 1) x = x ( x 1) x x x Vậy P = x x b) P = x - x = Vậy x = P = x ( Câu 21: Rút gọn biểu thức: P= x - 1) = 1- x + x x = (loại) ; x = (t/m) 1 x với x 1 x >0 Đáp án: P= = 1 x 1 - x + x 1 + x - + x x - 1 1- x x = -2 x -1 = 1+ x x x 1- x C©u 22: Rót gän biĨu thøc P x x 2( x 3) x 3 x x x x Đáp ¸n: §iỊu kiƯn: x 0 x 0 x x 0 x 9 * Rót gän: C©u 23: Cho biÓu thøcA = x x 1 x x : x x x x víi x > vµ x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Đáp án: a) Ta có: A = x x 1 x ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x 1) x : x x : x x x ( x 1) x1 x = x x = x x x 1 x1 x x : x x x x = x x 1 x 1 x1 x : x1 x 2 b) A = => C©u 24: Cho P = x1 =3 x x 2 = : x x1 => 3x + x = x 2 x1 -2=0 x1 = 2 x x x => x = 2/3 x2 x 1 + - x 1 x x x x 1 x a/ Rót gän P b/ Chứng minh: P < Đáp án: a) Điều kiƯn: x 0 víi x vµ x 1 vµ x 1 x2 x 1 x 1 + x x x x ( x 1)( x 1) x2 x 1 = + ( x) x1 x x 1 P= = x ( x 1)( x 1) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) = x x x = ( x 1)( x x 1) x x 1 1 x < 3 x x 1 x + ; ( v× x + x + > ) b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P < x 0 ( x - 1)2 > ( Đúng x x 1) C©u 25: : Cho biĨu thøc D = a b a b 2ab a b : 1 ab ab ab a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = c) Tìm giá trị lớn D Đáp án a) - Điều kiện xác định D D= D= a b ab a 2b a a b ab : ab ab a a 1 b) a = 2 VËy D = 2( ( 1) a 1 22 3 4 1 c) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã a a D Vậy giá trị D x C©u 26: Cho biĨu thøc A = 4( x 1) x 4( x 1) x x 4( x 1) a) T×m điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Đáp án a) Điều kiện x thỏa mÃn x 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) 0 x 4( x 1) x 1 x 1 x 1 x 2 x > x KL: A xác định < x < x > b) Rót gän A A= ( x 1)2 ( x 1)2 x x ( x 2)2 A= x x 1 x x x Víi < x < Víi x > 2 1 x A= A= x KÕt luËn Víi < x < th× A = Víi x > A = Câu 27: x x Cho biÓu thøc M = x x x 6 x 1 x x a) Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b) Tìm x để M = c) Tìm x Z để M Z Đáp án: a) ĐK x 0; x 4; x 9 Rót gän M = x Biến đổi ta có kết quả: M = x x x 1 x x x x x x = x x x 3 x 1 x 2 x x 1 x x1 5 x b) M x x 5 x 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 c) M = x 1 x x 34 Do M z nªn x 1;4;16;25;49 x 1 x x lµ íc cđa x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x 4 x 1;16;25;49 Câu 28: Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A x x 3x , với x 0 x 9 x 3 x x b) Tìm giá trị x để A = tìm giá trị nhỏ A Đáp án: a) A = x ( x 3) x ( x 3) (3 x 9) x x x x x x = = ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) = = x x 3x x x 3x = x 3 x ( x 3)( x 3) x 3 x x 3( x 3) = x 3 ( x 3)( x 3) b) Tìm giá trị x để A = tìm giá trị nhỏ A 3 = x =9 x =6 x=36 (thoả mãn điều kiện) x 3 1 x 3 x 3 3 =1 Vậy giá trị lớn A 1, x=0 (thoả mãn điều kiện) x 3 A= a a a a Câu 29: Rút gọn biểu thức N với a 0 a 1 a a Đáp án: a a a ( a 1) a a a ( a 1) a; a Ta có: a 1 a 1 a1 a1 N 3 a 3 a 9 a Câu 30: Cho biểu thức: B = ( + )( - ) với b > 0; b≠ 10 a) Rút gọn B b) Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên Đáp án: a) Với b > 0; b 9 ( b 3)( b 3) - ( b 3)( b 3) b b ( b 3)( b 3) b 12 b ( b 3)( b 3) b = b 3 B= = nguyên b 3 c) B = b +3 ước b +3≥3 Nên b +3 = hay b =1 b=1 Vậy với b = B đạt giá trị nguyên x A x 3 x x x Câu 31: Rút gọn biểu thức: với x 0, x 9 Đáp án:Với ĐK: x 0, x 9 Ta có: x x 9 x x A A x x x 3 x x A x 3 x x x x 9 x A x Kết luận: Vậy với x 0, x 9 A 9x x 9 x x A x x 9x x x x 2 x x x x 1 x Câu 32: Cho biểu thức B x x x 1 Với giá trị x biểu thức xác định ? Hãy rút gọn biểu thức B Đáp án: x x x x x x 1 B x x x x = x x 2 x 1 x 1 x1 x 1 ĐK x>0 x 1 x x x Bài tập dạng to¸n rót gän Bài Cho biểu thức : A = x 2x x với ( x >0 x ≠ 1) x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 11 Bài Cho biểu thức : P = a4 a 4 a 2 4 a 2 a ( Với a ; a ) 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + Bài 3: Cho biểu thức A = x 1 x x x x1 x 1 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị x A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A = (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 ( Với x 0; x 1 ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bài 5: Cho biểu thức : B = x x 2 x 1 x 1/ Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B 2/ Tính giá trị B với x =3 3/ Tìm giá trị x để A Bài 6: Cho biểu thức : P = x 1 x 5 x 4 x x x 2 1/ Tìm TXĐ 2/ Rút gọn P 3/ Tìm x để P = Bài 7: Cho biểu thức: Q=( 1 a 1 ):( a1 a a a 2 ) a1 1/ Tìm TXĐ rút gọn Q 2/ Tìm a để Q dương 3/ Tính giá trị Biểu thức biết a = 9- a a a a a Bài 8: Cho biểu thức: M = a 2 a a 1/ Tìm ĐKXĐ M 2/ Rút gọn M 3/Tìm giá trị a để M = - Bài 9: Rút gọn biểu thức sau: 1 A1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x a a a a 1 a A2 : a a a a a x x A3 : x x x x x x kq: x x kq: 2a a2 kq: x x 1 x1 12 x A4 : x x x x 1 x a a b b b : a b a b a b a a a a a A6 : a b b a a b a b ab a a a a 1 a A7 1 : a a 1 a x1 x x 2 A8 : x x x x 1 kq: x x kq: a ab b a b A5 kq: kq: a b a( b a) x x x1 x x x 1 x 1 kq: x x x 6 x 3 x x xy y x y A10 xy : x y x y x x x x 1 x Bµi 10 Cho biĨu thøc: A : x x x x x A9 kq: x x1 1, Tìm ĐK XĐ biĨu thøc A 2, Rót gän A 3, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x 6 4, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A -3 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A nhỏ -1 7, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A lớn x 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A - Max 9, So sánh A với x Bài 11 Cho biÓu thøc: x x x B : x x x kq: x x 1, Tìm x để biểu thức B xác định 2, Rút gọn B 3, Tính giá trị biểu thøc B x = 11 4, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B -2 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B âm 7, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B nhỏ -2 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B lớn x x3 x x x x x x 1 Bµi 12 Cho biĨu thøc: C x kq: x 1, BiÓu thøc C xác định với giá trị x? 13 2, Rút gọn C 3, Tính giá trị biÓu thøc C x = 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C -3 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn 7, Tìm giá trị x để giá trị biĨu thøc C nhá nhÊt 8, So s¸nh C víi x x x 4 x x x 3 1 : Bµi 13 Cho biĨu thøc: D x x x x x 1, Tìm ĐK X§ cđa biĨu thøc D 2, Rót gän D 3, Tính giá trị biểu thức D x = 13 48 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D âm 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D nhỏ -2 7, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức D nhận giá trị nguyên 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D lớn 9, Tìm x để D nhá h¬n kq: x x a 1 a1 Bµi 14 Cho biĨu thøc: E a a a a : a a a 1 a 1, Tìm a để biĨu thøc E cã nghÜa 2, Rót gän E 3, Tính giá trị biểu thức E a = 24 4, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E -1 5, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E dơng 6, Tìm giá trị a để giá trị biĨu thøc E nhá h¬n a 7, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhá nhÊt 8, So s¸nh E víi a 1 a Bµi 15 Cho biÓu thøc: F a1 a a a 1 a kq: 4a 1, Tìm ĐK XĐ biểu thức F 2, Rút gọn F 3, Tính giá trị biĨu thøc F a= 2 4, T×m giá trị a để giá trị biểu thức F -1 5, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a 6, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ 7, Tìm giá trị a ®Ĩ F F 8, So s¸nh E víi ( F F a ) a 14 x x x2 x 1 M Bµi 16 Cho biĨu thøc: x x x 1 kq: x x 1, T×m x ®Ĩ M tån t¹i 2, Rót gän M 3, CMR nÕu ( x 0; x M ) 3, Tính giá trị biểu thức M x = 4/25 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M -1 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn -2 7, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn 9, Tìm x để M nhỏ -2x ; M lớn x 10, Tìm x để M lín h¬n x Bài 17: Cho biểu thức : P= x x 1 x 1 x ( với x ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x thoả mãn x 5 x 0 Bài 18: Cho biểu thức : P = a4 a 4 a 2 4 a 2 a ( Với a ; a ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính P a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = Bài 19: Cho hai biểu thức : A x y xy x y ; B= x yy x xy với x > 0; y > ; x y Tính A.B x2 x x1 : (với x 0; x 1 ) x x x x 1 x Bài 20: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức P b)Tìm giá trị x để P = Bài 21: Rút gọn biểu thức: a a 2 B = a 2 a (với a>0 , a 4) a 2 a Bài 22 Cho biểu thức : x2 x 2x x với x > P= x x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = 15 c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 23: Cho biểu thức: M = x x x x 1 x x với x 0, x 1 a) Thu gọn biểu thức M b) Tính M x = Bài 24: a) Rút gọn biểu thức : B = x x b) Tìm x B = – Bài 25: Cho biểu thức : P = x1 ( x > x 1) : x 1 x x 1 a4 a 4 a ( Với a ; a ) a 2 a a) Rút gọn biểu thức P b) Tính P a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = x x x với x > x ≠ x x x Bài 26: Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P > x y x y xy : Bài 27: a) Rút gọn biểu thức : Q = xy x y với x > ; y > x y b)Tính giá trị Q x = ; y = a a 1 a Bài 28: Cho biểu thức: P = A a a a 1 với a > , a ≠ a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a để A > a 2 a a 1 với a > ; a ≠ a a a 1 a Bài 29: Cho biểu thức : Q = a) Rút gọn biểu thức Q b) Chứng tỏ với giá trị 0 x ≠ 1) x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 11 Bài Cho biểu thức : P = a4... giá trị Biểu thức biết a = 9- a a a a a Bài 8: Cho biểu thức: M = a 2 a a 1/ Tìm ĐKXĐ M 2/ Rút gọn M 3/Tìm giá trị a để M = - Bài 9: Rút gọn biểu thức sau: