Các dạng toán trong giải tích Dãy số thực Hàm số Giới hạn và liên tục Đạo hàm và Vi phân Tích phân Phương trình vi phân 1.1 T½nh ch§t d¢y sè 1. Kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè fang sau khi n õ lîn. a. an = 2n2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 13 : : : 1 − n1 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n
CC DNG BI TON THÜC T íi sèng Vêt lỵ K thuêt Y tá, sinh hồc Mổi trữớng Kinh doanh, kinh tá Chữỡng DY Sẩ THĩC 1.1 Tẵnh chĐt dÂy số KhÊo sĂt tẵnh ỡn iằu cừa cĂc dÂy số a b {an } sau an = 2n2 + n an = n+2 n c õ lỵn an = 1 1− 1− − n Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n−1 n+2 (b) 1 an = − 1− − n 1.2 Giợi hÔn dÂy số Tẵnh giợi hÔn cĂc dÂy sè an = {an } sau: 3n2 + 2n + n2 − 4n + 2 an = 1 + + + 1.2 2.3 n(n + 1) 1.3 D¢y 1.3.1 X¡c ành cỉng thùc d¢y Cho an = n+1 , n2 x¡c ành cæng thùc a2k , a2k−1 , a3k+2 , ak2 1.3.2 DÂy v giợi hÔn Cho an = n2 − 2n + , n2 x¡c ành giỵi hÔn cừa cĂc dÂy Cho {an } xĂc ành bði: a2k = k2 (−1)k , a2k+1 = k−2 k +1 ak+1 , a2k−1 , a2k , ak2 Tẳm giợi hÔn cừa an Chữỡng HM Sẩ 2.1 Thnh lêp hm số, ỵ nghắa hm số v ỗ th (ị nghắa hm số)Theo mởt nghiản cựu M tứ nôm 1997, ữợc tẵnh phƯn trôm dƠn số cừa M theo ở tuời b mc b»nh Alzheimer cho bði h m sè P (x) = 0.0726x2 + 0.7902x + 4.9623, â x l sè nôm v a Tẵnh giĂ tr cừa x=0 P (8), ≤ x ≤ 25 l mèc 65 tuêi Häi giĂ tr ny nõi lản iÃu gẳ? b Cõ bao nhiảu phƯn trôm dƠn số ở tuời 90 b mc b»nh n y B i to¡n v· chi ph½, doanh thu, lủi nhuên (ị nghắa hm số) Mởt nh sÊn xuĐt thiát b lồc nữợc cõ chi phẵ cố nh hng thĂng l 10.000USD, v chi phẵ lữu ởng sÊn xuĐt x thiát b l C(x) = 0.0001x2 + 10x, N¸u gi¡ b¡n méi thi¸t bà l h m lđi nhuªn P (x) (0 ≤ x ≤ 40.000) p(x) = −0.0005x + 20, (0 ≤ x ≤ 40.000), t¼m h m doanh thu R(x) v h ng th¡ng cõa cỉng ty ¸n lúc no thẳ lủi nhuên cừa cổng ty Ôt 10.000 USD ( ỗ th): Sau hẵt khõi thuốc lĂ, nicotine nhanh chõng xƠm nhêp vo mĂu.Trong mởt trữớng hủp cử th, quĂ trẳnh o thÊi nicotine diạn nhữ ỗ th hẳnh cÔnh.Họi sau mĐy giớ lữủng nicotine giÊm cỏn mởt nỷa? Náu ỗ th cưt trửc honh thẳ iÃu ny cõ ỵ nghắa gẳ? (Hm tuyán tẵnh) Lữủng adrenaline cỡ th thay ời rĐt nhanh Gi£ sû ban ¦u cì thº câ 15mg adrenaline, lêp hm số mổ tÊ lữủng adrenaline A= f(t) cỡ th theo thới gian t (phút) vợi cĂc trữớng hđp sau: a A t«ng 0.4mg méi b A gi£m 0.4mg méi HM SÈ 2.2 Mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa h m sè (H m tuy¸n tẵnh) Trong nhỳng ký Olympic Ưu tiản, mổn nhÊy so, mực so cao nhĐt m ngữới vổ ch Ôt ÷đc cho bði h m sè h(t) = 130 + 2t, õ h tẵnh bơng inches v t tẵnh theo nôm, t=0 tữỡng ựng nôm 1990 a HÂy cho biát ỵ nghắa giao im cừa ỗ th hm số trản vợi trửc tung b HÂy cho biát ỵ nghắa hằ số gõc a=2 cừa ỗ th hm số h(t) (H m mơ) D¥n sè cõa mët th nh A v o n«m 2008 l 50.000 Méi n«m t l» gia t«ng l 4,5 a Lêp mởt hm số mổ tÊ dƠn số tứ nôm 2008 cừa thnh phố ny b DƠn số vo nôm 2018 l bao nhiảu? c Khi no thẳ dƠn số Ôt 100.000? (Hm nhiÃu biu thực) Mởt cỷa hng photo copy niảm yát giĂ nhữ sau: 200 ỗng cho mội bÊn copy cho 100 bÊn Ưu tiản (cù giĐy A4), 170 ỗng mội bÊn vữủt mốc 100 Vi¸t h m sè mỉ t£ têng sè ti·n photo copy x bÊn, biát rơng cõ mởt khoÊn phẵ cố ành cho méi l¦n photo copy ð cûa h ng n y l 5000 ỗng 2.2 MiÃn xĂc nh, miÃn giĂ tr cõa h m sè T¼m mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa c¡c h m sè sau: f (x) = ln(1 − x − 2x2 ) Mët gia ¼nh dü ành tê chùc ti»c ð mët nh h ng Mùc phöc vử chung cho bỳa tiằc (mt bơng, trang trẵ, ) l triằu ỗng Nh hng nhên tối thiºu b n, méi b n 10 ng÷íi Gi¡ cho méi khĂch ôn l 250 ngn ỗng Gia ẳnh dỹ tẵnh chi tèi a 25 tri»u N¸u gåi x l sè kh¡ch míi, búa ti»c T¼m mi·n x¡c ành D v mi·n gi¡ trà R cõa C(x) l chi ph½ cho C 2.3 H m sè hñp Cho h m sè f : R → [−1, 1], f (x) = sin(x), g : (0, +∞) → R, g(x) = ln(x) T¼m c¡c biºu thùc Cho h m sè g ◦ f (x) f (x) = v f ◦ g(x) (n¸u tỗn tÔi) x+1 , g(x) = x3 + x x2 T¼m g ◦ f (x), f ◦ g(x) v i·u ki»n x¡c ành cõa biºu thùc n y Mët nghiản cựu cho thĐy mực ở khẵ CO trung bẳnh hng ngy khổng khẵ tÔi khu vỹc X cõ p nghẳn dƠn l C(p) = 0.5p + (%) Ngữới ta cụng ữợc tẵnh rơng, sau p(t) = 10 + 0.1t2 t n«m kº tø thíi iºm hi»n tÔi, dƠn số khu vỹc ny s l (nghẳn) Tẳm mực CO trung bẳnh hng ngy theo số nôm k tứ thới im hiằn tÔi v cho biát án n o th¼ mùc CO trung b¼nh h ng ng y s³ Ôt 6.8 % HM Sẩ 2.4 Hm số ngữủc 2.4 H m sè ng÷đc Cho Chùng minh x+1 x−2 T¼m f −1 (x) f : (2, +∞) → (1, +∞) , f (x) = P = f (t), f l mët song ¡nh â P l số lữủng loi chim trản mởt hỏn Êo ( ỡn v nghẳn), 2007 HÂy cho biát a f (4) ỵ nghắa l gẳ? b f (4) ỵ nghắa l gẳ? Cho hm số y = f (x) cõ ỗ th nhữ hẳnh v v ỗ th A, B, C HÂy cho biát ỗ th no l cừa f t l số nôm tẵnh tứ nôm Chữỡng GIẻI HN V LIN TệC 3.1 Giợi hÔn hm số ex cos(x) x0 x Tẳm giợi hÔn sau (náu cõ): lim Mởt ngữới kinh doanh bĐt ởng sÊn ữợc tẵnh rơng sau t nôm k tứ thới im hiằn tÔi, số thỷa Đt m ta bĂn i ữủc cho dữợi dÔng hm số S(t) = −2t3 + 19t2 − 8t − −t2 + 8t − Häi sau n«m, sè thûa Đt bĂn ữủc l bao nhiảu? 3.2 Vổ lợn, vổ b Tẳm mởt hm số tữỡng ữỡng dÔng ax x0 Tẳm mởt hm số tữỡng ữỡng dÔng ax x + cừa f (x) = x ln(1 + 2x) cõa f (x) = x + ln(x) So s¡nh bªc c¡c vỉ cịng b² ho°c vỉ cịng lỵn sau: a f (x) = x2 − sin(x), g(x) = x cos(x), x → b f (x) = ln(1 − 2x2 + x3 ), g(x) = x − 2x , x → + Mởt cốc c phả chựa 100mg caffeine ữủc o thÊi liản tửc khọi cỡ th vợi tốc ë 17% méi gií a Chùng minh l÷đng caffein cán lÔi cỡ th sau t giớ ữủc tẵnh bi cổng thực P (t) = 100e0.17t b Kát luên gẳ t ừ lợn 3.3 Tẳm tiằm cên cừa ÷íng cong y = f (x) √ f (x) = x2 + 3x − 2 f (x) = (x + 2)e− x GIỴI HN V LIN TƯC 3.4 H m sè li¶n tưc 3.4 H m sè liản tửc Xt tẵnh liản tửc trĂi, liản tửc ph£i, li¶n tưc cõa c¡c h m sè sau sin(x) , x 6= 0, |x| f (x) = 1, x = 0, tÔi x = 0, x = Mët cỉng ty t½nh ph½ 7.5 /l½t cho mởt loÔi sỡn cho tĐt cÊ cĂc ỡn t hng 50 l½t trð xng v 6.75 /l½t cho c¡c ìn hng trản 50 lẵt t P (x) a Tẳm chi ph½ mua 40 l½t, 50 l½t, 60 l½t b P khổng liản tửc tÔi Ơu? l chi phẵ cổng ty mua x lẵt sỡn Chữỡng O HM V VI PHN 4.1 Ôo hm cừa hm số y = f (x) 4.1.1 Tẵnh Ôo hm tÔi cĂc im ÷đc ch¿ f (x) = x.2x−x , x0 = −1 f (x) = (x − 2) |x| , x0 = 1, x0 = 4.1.2 Þ nghắa thỹc tá cừa Ôo hm Mởt thũng hẳnh trử chựa cỏn lÔi sau t 1000 lẵt nữợc Thũng b thừng Ăy v nữợc thoĂt ngoi Th tẵch nữợc giƠy ữủc cho bi phữỡng trẳnh : t V (t) = 1000 − 60 , t 60 a Tẳm tốc ở nữợc thoĂt ngoi theo thới gian t b TÔi cĂc thíi iºm 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, x¡c nh vên tốc dỏng nữợc thoĂt v lữủng nữợc cỏn lÔi Mởt nh sÊn xuĐt cho biát tờng chi phẵ (tẵnh bơng ngn USD) sÊn xuĐt x ỡn s£n ph©m A l C(x) = 6x2 + 2x + 10 Tẳm chi phẵ cên biản sÊn xuĐt 10 ỡn v sÊn phâm A 4.1.3 ị nghắa hẳnh hồc cừa Ôo hm Tẳm hằ số gõc tiáp tuyán cừa ỗ th hm số Tẳm tĐt cÊ cĂc im trản ữớng cong ữớng thng f (x) = x2 + x tÔi x0 = y = f (x) = 2x3 − x2 − 7x − m tÔi õ tiáp tuyán song song vợi y = 3x 4.1.4 CĂc php toĂn Ôo hm A Bốn php toĂn Vợi mol khẵ lỵ tững, phữỡng trẳnh trÔng thĂi cho bi P V = 8.31T , â P (KP ascal), V (Lit), T (Kenvin) TÔi thới im nhiằt ở Ôt ữủc 300K v th tẵch khẵ Ôt 100L , vên tốc tông nhiằt l 0.1K/s v vên tốc tông th tẵch l 0.2L/s , tẵnh tốc ở thay ời cừa Ăp suĐt P O HM V VI PHN 4.2 Ôo hm cĐp cao cừa hm số y = f (x) B Ôo hm hm hủp Cho f (x) v g(x) cõ Ôo hm tÔi mồi im v k(x) = f (x) + g(3x − 2), t½nh h0 (1) v f (0) = 2, g (−2) = °t h(x) = x.f (x2 − 1), k (0) Mët gi¸ng d¦u bà rá r¿ ngo i khìi, l m tr£i mët m ng dƯu hẳnh trỏn trản mt nữợc TÔi thới im t (tẵnh bơng phút) sau bưt Ưu rỏ r, bĂn kẵnh cừa vát dƯu trỏn (tẵnh bơng mt) ữủc cho bði R(t) = 4t T¼m tèc ë thay êi di»n tẵch cừa vát dƯu loang theo thới gian C Ôo h m h m ng÷đc Cho f : R → R, f (x) = sinh(x) T¼m 0 f −1 (0) Trong mởt ủt dch bằnh lan truyÃn mÔnh, số ca mưc mợi ngy thự t (tẵnh tứ ngy thống kả Ưu tiản) l hm số S(t) HÂy nảu ỵ ngh¾a cõa 0 S −1 (20) = 4.2 Ôo hm cĐp cao cừa hm số y = f (x) 4.2.1 Tẵnh giĂ tr Ôo hm cĐp cao tÔi im cử th Tẵnh f 2 Tẵnh f (5) (1) 00 vợi vợi f (x) = arcsin( − x2 ) x+1 f (x) = x 4.2.2 ị nghắa cừa Ôo hm cĐp CĂc ỗ th dữợi Ơy mổ tÊ quÂng ữớng, vên tốc v gia tốc cừa mởt chuyn ởng HÂy phƠn biằt ỗ th cừa Ôi l÷đng n y Gi£ sû f (t) l nhi»t ë trung b¼nh cõa th nh A v o th¡ng thù t cõa n«m V o thíi iºm t0 ∈ (2, 3), f (t0 ) = 2, f 00 (t0 ) < 0, iÃu ny cõ ỵ nghắa gẳ? 4.3 Sỹ khÊ vi v vi ph¥n 4.3.1 Sè gia cõa h m sè v vi phƠn cĐp 1 Cho f (x) = x2 − 3x + 2, t½nh ∆f (−1) v df (1) náu x = 0.01 ìợc lữủng sỹ thay ời th tẵch cừa mởt hẳnh nõn cõ bĂn kẵnh R = 20cm chi·u cao t«ng/gi£m 1cm O HM V VI PH N 4.4 Khai triºn Taylor 4.3.2 X§p x tuyán tẵnh Dũng xĐp x tuyán tẵnh tẵnh gƯn úng ln(1.02) PhƠn bõn cõ th lm thay ời sÊn lữủng cƠy trỗng Mởt nghiản cựu Kenya trản ngổ cho biát sÊn lữủng cừa ngổ (tÔi a phữỡng cử th) theo số kg phƠn bõn (x) ữủc biu diạn dÔng õ f tẵnh theo shilling GiÊ sỷ a Nảu ỵ nghắa f (5) = 11500 f v cõ Ôo hm tÔi mồi y = f (x), x > f (5) = 350 b ìợc tẵnh sÊn lữủng ngổ theo cĂc giĂ tr  cho cƠu trản náu sỷ dửng 5.2kg phƠn bân 4.4 Khai triºn Taylor 4.4.1 T¼m khai triºn Taylor/Maclaurin Tẳm khai trin Maclaurin cĐp cừa Tẳm khai triºn Taylor c§p cõa f (x) = ln(2 + x) f (x) = x ln(x) lƠn cên x = 4.5 Kh£o s¡t h m sè y = f (x) 4.5.1 Bi toĂn và chiÃu bián thiản v cỹc tr Tẳm cĂc khoÊng tông/giÊm cừa hm số f (x) = x (1 + T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau p 3 Gi£ sû f (x) f (x) = liản tửc v cõ ỗ cõa √ x) (x − 1)(x + 2)2 f (x) nhữ hẳnh dữợi, hÂy ch c¡c iºm cüc trà cõa 4.5.2 B i to¡n v· t½nh lỗi lóm v im uốn Tẳm tĐt cÊ cĂc iºm n cõa ÷íng cong Cho h m sè a f (x) f 00 (xA ) cõ ỗ th nhữ hẳnh v HÂy cho biát dữỡng hay Ơm? b Tẳm c¡c kho£ng t«ng/gi£m cõa c f (x) y = x2 ln(x) f (x) câ bao nhi¶u iºm cüc Ôi, bao nhiảu im cỹc tiu, cĂc khoÊng no? 4.5.3 V ỗ th hm số y = f (x) 10 f (x) O HM V VI PH N 4.6 x+1 f (x) = √ x2 − H m sè cho bi phữỡng trẳnh tham số f (x) = √ x3 − 2x2 + 4.5.4 B i to¡n tẳm min-max Tẳm giĂ tr lợn nhĐt giĂ tr nhä nh§t cõa c¡c h m sè sau a f (x) = xe− x2 , x∈R b f (x) = arctan 1−x 1+x , x ∈ [0, 1] Ngữới ta muốn treo phẵa trản v chẵnh giỳa mởt bỗn cọ hẳnh trỏn cõ bĂn kẵnh 2m Biát rơng cữớng ở Ănh sĂng i án mp sin (c l hơng số phử thuởc nguỗn sĂng, cho bi C = c l2 nhữ hẳnh v) Tẳm l C Ôt giĂ tr lợn nhĐt bỗn v l 4.6 Hm số cho bi phữỡng trẳnh tham số 4.6.1 ị nghắa cừa ữớng cong tham số XĂc nh chiÃu ữớng i trản qu Ôo náu chuyn ởng cừa vêt cho bi phữỡng trẳnh tham số vợi t l thíi gian x(t) = sin(t) t ∈ [0, π] y(t) = sin2 (t) cos(t) H¼nh dữợi l ỗ th cừa hm số cho bi cĂc phữỡng trẳnh tham số x = x(t) , t ∈ [a, b], a < b y = y(t) HÂy xĂc nh cĂc ỗ th trản tữỡng ựng vợi tẵnh chĐt no cừa (I) x0 (t) > y (t) > (II) x0 (t) < (III) y (t) > x(y), y(t), ∀t ∈ (a, b) x0 (t) > y (t) < 11 (IV) dữợi Ơy: x0 (t) < y (t) < O HM V VI PHN 4.6 Hm số cho bi phữỡng trẳnh tham số 4.6.2 Ôo hm cừa hm số y = y(x) xĂc nh bi phữỡng trẳnh tham số Tẵnh y (x) n¸u y(x) x¡c x(t) = t2 + t nh bi cĂc phữỡng trẳnh tham số tÔix = y(t) = 0.3t ln(t) Tẳm hằ số gõc tiáp tuyán cừa ữớng cong tham số sau tÔi x=0 x(t) = tet y(t) = tet Viát phữỡng trẳnh tiáp tuyán vợi ÷íng cong tham sè t=π x(t) = t − sin(t) y(t) = − cos(t) 4.6.3 T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè y = y(x) cho bi phữỡng trẳnh tham số x(t) = 3t − t3 t ∈ [0, 1] y(t) = 4t t4 4.6.4 Tẳm tiằm cên cõa c¡c ÷íng cong tham sè x(t) = t − t y(t) = t2 + + t 4.6.5 V³ ÷íng cong tham sè x(t) = t − sin(t) t ∈ [−π, π] y(t) = − cos(t) 12 Ch÷ìng TCH PHN 5.1 Tẵch phƠn bĐt nh 5.1.1 Tẵnh tẵch phƠn Dũng cĂc phữỡng phĂp ời bián số v tẵch phƠn tứng phƯn tẵnh cĂc tẵch phƠn sau Z a Z x2 e−x dx b x arctan(x)dx Tẵnh tẵch phƠn cĂc hm hỳu t sau Z a 3x − dx x + 2x − dx Z b x2 + 2x + Tẵnh tẵch phƠn cĂc hm vổ t sau dx Z a x+ √ Z b x √ xdx x2 + Z c √ dx x x2 − 5.1.2 ị nghắa nguyản hm Náu gồi C(t) l mực CO2 bẳnh quƠn khổng khẵ tẵnh theo t lằ phƯn triằu (%) v t l thới gian tẵnh theo nôm thẳ mổ hẳnh khẵ thÊi ny tứ nôm 1950 (tÔi mởt khu vỹc no õ) cho bi cổng thùc: C (t) = 0.5 + 0.03t, t=0 t÷ìng ựng nôm 1950 Náu C vo nôm 1950 l 311%, tẳm C(t) Tẳm mởt hm số f ỗ th i qua im biát rơng hằ số gõc tiáp tuyán tÔi im (x, f (x)) bĐt ký cừa ỗ th l x2 − x + v (−1, 1) 5.2 Tẵch phƠn xĂc nh 5.2.1 Bi toĂn dăn và tẵch phƠn Nghiản cựu và mởt chừng vi rút thẵ nghiằm cho thĐy tốc ở gia tông số l÷đng cõa lo i n y sau t gií kº tø thíi im hiằn tÔi l v(t) = + 0.1t2 Tẵnh tờng số vi khuân 20 giớ Ưu tiản k tứ thới im hiằn tÔi 13 TCH PHN 5.2 Tẵch phƠn xĂc nh 5.2.2 Tẵnh gƯn úng nhớ tờng tẵch phƠn ìợc tẵnh giĂ tr cừa cĂc tẵch phƠn sau bơng tờng Riemnn vợi phƠn hoÔch Ãu 10 oÔn chia v dũng cĂch: tờng trĂi, tờng phÊi, tờng trung tƠm Z1 x2 d x ìợc tẵnh mực tiảu thử dƯu thổ trản thá giợi 25 nôm tứ 1985 án 2010 dỹa vo bÊng thống kả sau, sỷ dửng tờng Riemann trĂi Nôm 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Mực tiảu thử (t thũng/nôm) 20.9 23.3 25.6 28.0 30.7 31.7 5.2.3 Tẵch phƠn xĂc nh v di»n t½ch mi·n ph¯ng H m sè f câ ỗ th f0 nhữ hẳnh v, biát f (0) = 2, i·n c¡c gi¡ trà v o b£ng sau x f (x) H m số f cõ ỗ th f0 nhữ hẳnh v, biát t«ng gi£m v c¡c iºm cüc trà cõa f (0) = 10 phĂc hồa ỗ th cừa f ỗng thới ch¿ rã c¡c kho£ng f 5.2.4 Gi¡ trà trung b¼nh Tẵnh giĂ tr trung bẳnh cừa f f (x) = x2 + x + 1, x ∈ [0, 2], tẳm tĐt cÊ cĂc giĂ tr x0 [0, 1] m tÔi õ Ôt giĂ tr trung bẳnh 5.2.5 nh lỵ cỡ bÊn cừa vi tẵch phƠn Zx Tẵnh Ôo hm cừa f (x) = t2 e3t+1 dt tÔi x0 = 5.2.6 C¡c ùng dưng h¼nh håc cừa tẵch phƠn xĂc nh Tẵnh diằn tẵch cĂc miÃn phng D cho bi cĂc iÃu kiằn giợi hÔn nhữ dữợi a y = 2x , y = 3x , ≤ x ≤ (f1 , f2 , [a, b]) b x + y = 2, x = √ y, y = (f1 , f2 , f3 ) c y = − 2x2 , y = 2x (f1 , f2 ) d x2 + y ≤ 2, y ≥ x2 , x ≤ (≤, ≥) T½nh thº t½ch trán xoay mi·n ph¯ng sau quay quanh tröc 14 Ox, Oy : x + y = 2, x = √ y, y = TCH PHN 5.3 Tẵch phƠn suy rởng Cho ữớng cong (C): y= tÔo (C) quay quanh x (12 − x), ≤ x ≤ c¡c trưc Ox, Oy T½nh ë d i cung v diằn tẵch mt trỏn xoay ữủc 5.3 Tẵch phƠn suy rởng 5.3.1 Tẵnh tẵch phƠn suy rởng + Z dx x2 + +∞ Z xex dx Tẵnh diằn tẵch miÃn phng giợi hÔn bi ữớng cong y= 12 e x x3 v trưc Ox tr¶n mi·n 5.3.2 Kh£o s¡t sü hëi tö +∞ Z 1 x+1 dx x + 3x2 + +∞ Z x − cos dx x Z1 15 √ dx x − x2 x ≥ Ch÷ìng PHìèNG TRNH VI PHN 6.1 Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp 6.1.1 Tẳm nghiằm tờng quĂt Phữỡng trẳnh t¡ch bi¸n: 3y y = 2x + Phữỡng trẳnh ữa và tĂch bián: y = (2x 3y + 1)2 Phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt ( ng cĐp): Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh: Phữỡng trẳnh Bernoulli: y0 = y + 2xy = xe−x y0 − x−y x+y y =− 2x 2y 6.1.2 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy (1 + y ) − xyy = 0; y(1) = 6.1.3 B i toĂn thỹc tá DÔng tỹ thnh lêp bi toĂn a Bi toĂn hẳnh hồc i Bi toĂn liản quan án tiáp tuyán, phĂp tuyán( ỡn giÊn) Tẳm mởt ữớng cong y = f (x) i qua im (3,2) Biát rơng oÔn chưn cừa tiáp tuyán (vợi ữớng cong tÔi im bĐt ký) trản hai trửc tồa ở luổn b chia ỉi bði ti¸p iºm ii B i to¡n v· q Ôo trỹc giao (mợi) Tẳm qu Ôo trỹc giao cừa hồ ữớng cong (P) cõ phữỡng trẳnh y = k x2 b Bi toĂn dƠn số i Mổ hẳnh tông trững tỹ nhiản P (t) = kP (t) (DÔng ny sinh viản cõ th lêp tứ hm mụ m khỉng c¦n qua ptvp.) Mët th nh câ 226 ngn dƠn vo nôm 1996 Tốc ở gia tông dƠn số tỹ nhiản cừa thnh phố ny l 0.08%/nôm Tẳm phữỡng trẳnh vi phƠn mổ tÊ dƠn số cừa thnh phố ny HÂy cho biảt sau bao lƠu thẳ dƠn số Ôt 228 ngn dƠn 16 PHìèNG TRNH VI PHN ii Phữỡng trẳnh Logistic 6.2 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hằ số hơng P (t) P (t) = k − L Trong mët hỗ nữợc thiản nhiản ban Ưu cõ 400 cĂ Số cĂ tối a cõ th sinh sống hỗ l 10.000 Biát sau nôm số cĂ tông gĐp lƯn Tẳm số cĂ sau t nôm Sau bao nhiảu nôm, cố cĂ hỗ s Ôt 5000 c Bi toĂn hỏa tan (tĂch bián/tuyán tẵnh) i Trong thũng chựa 100 lẵt nữợc Ngữới ta bỡm vo thũng nữợc muối cõ nỗng ở 0.4kg/l vợi tốc ở 5l/phút, hộn hủp ữủc bỡm cụng vợi tốc ở 5l/phút Sỹ ỗng chĐt cừa hộn hủp ữủc Êm bÊo bơng cĂch khuĐy Ãu Tẳm lữủng muối thũng sau 20 phút ii Trong thũng chựa 100 lẵt nữợc muối nỗng ở 0.5kg/l Ngữới ta bỡm nữợc vo thũng vợi tèc ë 5l/phót, hđp ch£y vỵi tèc ë 3l/phút Sỹ ỗng chĐt cừa hộn hủp ữủc Êm bÊo bơng cĂch khuĐy Ãu Tẳm lữủng muối thũng sau 20 phút iii Trong thũng chựa 100 lẵt nữợc Ngữới ta bỡm vo thũng hộn hủp nữợc muối cõ nỗng ở 0.4kg/l vợi tốc ở 5l/phút, hộn hủp ữủc bỡm vợi tốc ở 3l/phút Sỹ ỗng chĐt cừa hộn hủp ữủc Êm bÊo bơng cĂch khuĐy Ãu Tẳm lữủng mi thịng sau 20 Gåi y(t) l l÷đng muối cỏn lÔi thũng sau t phút Tẳm lữủng muối cỏn lÔi thũng sau 20 phút d Bi toĂn và quy luêt giÊm nhiằt (phĂt biu lÔi quy luêt) Vên tốc nguởi lÔnh cừa mởt vêt khổng khẵ t lằ vợi hiằu giỳa nhiằt ở cừa vêt v nhiằt ở khổng khẵ Tẳm quy luêt giÊm nhiằt cừa vêt náu nhiằt ở cừa khổng khẵ l 20 C, nhiằt ở ban Ưu cừa vêt l 100 C, sau 10 nhi»t ë cõa vªt cán 60◦ C DÔng cho sđn phữỡng trẳnh (tũy ỵ) a Cữớng ở dỏng iằn I mÔch cõ cuởn cÊm vỵi tø dung L (Henry), i»n trð R (Ohm), hi»u iằn thá V (volt) thọa mÂn phữỡng trẳnh L dI dt + RI = U Tẳm cữớng ở dỏng iằn sau 10 giƠy, náu U = 4(v), R = 10(), L = 2(H), I(0) = b Mởt loÔi thuốc truyÃn qua ữớng tắnh mÔch cho bằnh nhƠn vợi tốc ở v1 (t) Thuốc ữủc chuyn hõa vợi tốc ở sau t gií kº v2 (t) = y(t)(mg/ml)/gií, vỵi y(t) = 1+sin(t)(mg/ml)/giớ l nỗng ở thuốc mĂu tứ lúc thuốc ữủc ữa vo tắnh mÔch, tẵnh bơng mg/ml Tốc ở thay ời nỗng ở thuốc mĂu sau t gií l y (t) = v1 (t) − v2 (t) XĂc nh nỗng ở thuốc mĂu sau giớ 6.2 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hằ số hơng 6.2.1 Tẳm nghiằm phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt y 00 − 3y + 2y = y 00 − 2y + 2y = y 00 − 2y + y = y 00 − 3y − 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = −2 6.2.2 T¼m nghiằm riảng bơng phữỡng phĂp bián thiản hơng số y 00 + 4y + 4y = e−2x ln(x) 17 PHìèNG TRNH VI PHN 6.3 Hằ ptvp tuyán tẵnh cĐp hằ số hơng 6.2.3 Tẳm nghiằm riảng bơng phữỡng ph¡p h» sè b§t ành y 00 − 5y + 6y = x + y 00 − 2y + 5y = 3e2x y 00 − y = cos(x) − sin(x) y 00 + 3y − 4y = (2x + 1)e−x y 00 + 3y = x cos(x) − sin(x) ( T*SC) y 00 − y = ex [2 cos(x) + sin(x)] (M*SC) (SC) y 00 − y = 2x − ( T*M) y 00 − 2y + y = 3ex (∗x2 ) y 00 + 5y + 6y = ex + sin(2x) ( T) (M) (*x1 ) 6.2.4 Nguyản lỵ chỗng chĐt nghiằm y 00 + y = 2x + 3ex y 00 − 2y = x + cos(x) 6.2.5 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy y 00 + 7y + 10y = x + 2, y(0) = 0, y (0) = 6.3 Hằ ptvp tuyán tẵnh cĐp hằ số hơng Dũng phữỡng phĂp khỷ tẳm nghiằm tờng quĂt cừa hằ phữỡng trẳnh: x0 (t) = 3x(t) + y(t) − 2t y (t) = 2x(t) + 4y(t) + t Tẳm nghiằm cừa hằ phữỡng tr¼nh x0 (t) = 3x(t) + y(t) − 2t thäa i·u ki»n y (t) = 2x(t) + 4y(t) + t − 18 x(0) = 1, y(0) = −2 ... 1 an = − 1? ?? − n 1. 2 Giợi hÔn dÂy số Tẵnh giợi hÔn cĂc d¢y sè an = {an } sau: 3n2 + 2n + n2 − 4n + 2 an = 1 + + + 1. 2 2.3 n(n + 1) 1. 3 D¢y 1. 3 .1 X¡c ành cỉng thùc d¢y Cho an = n +1 , n2... y= 12 e x x3 v trưc Ox tr¶n mi·n 5.3.2 Kh£o s¡t sü hëi tö +∞ Z 1 x +1 dx x + 3x2 + +∞ Z x − cos dx x Z1 15 √ dx x − x2 x ≥ Chữỡng PHìèNG TRNH VI PHN 6 .1 Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp 6 .1. 1 Tẳm... nôm 19 50 Náu C vo nôm 19 50 l 311 %, tẳm C(t) Tẳm mởt hm số f ỗ th i qua im biát rơng hằ số gõc tiáp tuyán tÔi im (x, f (x)) bĐt ký cừa ỗ l x2 − x + v (? ?1, 1) 5.2 Tẵch phƠn xĂc nh 5.2.1