-CHUYÊN ĐỀ BDHSG HÌNH 8-TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1 Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR HD Từ H kẻ Khi đó (1) Tương tự (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được Bài 2 Cho BHC có tù, Vẽ BE vuông góc với[.]

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho  ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H, CMR: BH BD  CH CE BC HD: A Từ H kẻ HK  BC Khi đó: D CH CK CKH CEB  g g     CH CE CK CB CB CE (1) Tương tự: BH BK BKH  BDC  g g     BH BD  BK BC BC BD (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: VT CK BC  BK BC  BC  BK  KC   BC E H B C K  Bài 2: Cho  BHC có BHC tù, Vẽ BE vng góc với CH E CD vng góc với BH D CMR: BH BD  CH CE BC D E HD: H HG  BC  CGH  CEB  g g  Kẻ: CH CG   CH CE  BC.CG => CB CE (1) BGH  BDC  g.g  Tương tự ta có: BH BG   BH BD  BC.BG => BC BD (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được:  BC.CG  BC.BG  BC  CG  GB   BC VT B C K 1   Bài 3: Cho  ABC có góc A 1200, AD đường phân giác CMR: AB AC AD HD: DE / / AB  E  AC   ADE Kẻ tam giác ABC có : B DE CE DE / / AB   AB CA AD AC  AE AE AD   1  1  AB AC AC AC AD AD 1   1    AB AC AB AC AD (đpcm) D 60 A E C Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm cạnh BC, AC, AB  ABC, AM AB ' AC '   biết AA’, BB’, CC’ đồng quy M, CMR: A ' M CB ' BC ' HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ D cắt CC’ E, Khi đó: E AM AE AE / / A ' C   A'M A 'C AME có (1) AM AD AD / / A ' B   A 'M A ' B AMD có (2) Từ (2) (2) ta có: AM AE AD AD  AE DE     A'M A ' C A ' B A ' C  A ' B BC (*) Chứng minh tương tự ta có: AB ' AD AD / / BC   B ' C BC AB 'D có (3) AC ' AE AE / / BC   AC ' E có: C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE     Từ (3) (4) ta có: B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC '    Từ (*) (**) => A ' M BC B ' C BC ' (đpcm) A D C' B' M B C A' (**) Bài 5: Cho  ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác đường thẳng AM, BM, CM cắc cạnh BC, AC, AB A’, B’, C’, AM BM CM   2 CMR: AA ' BB ' CC ' HD: A Từ A, M vẽ AH , MK  BC  AH / / MK A ' M MK MK BC S MBC    A ' A AH AH BC S ABC A ' AH có: A ' M AA ' AM AM S MBC  1   A ' A AA ' A ' A S ABC Mặt khác: S AM  1  MBC A' A S ABC Chứng minh tương tự: S S BM CM 1  MAC , 1  MAB BB ' S ABC CC ' S ABC Cộng theo vế ta đpcm C' B' M B H K A' C Bài 6: Cho  ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác, đường thẳng qua M trọng tâm G tam MA ' MB ' MC '   3 giác cắt BC, CA, AB A’, B’, C’, CMR : GA ' GB ' GC ' HD: Gọi AM cắt BC A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC D, với I trung điểm BC A A ' M MD MD / / GI   A 'GI có: A 'G GI (1) A1M MD MD MD / / GI     AI 3GI  A1A AI 3GI A1AI có (2) A ' M A1M  A1A Từ (1) (2) ta có: A ' G M C' Chứng minh tương tự ta có: A' B A1 B' G D C I MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M  A1M B1M C1M   ,   VT 3     GB ' B1B GC ' C1C  A1A B1B C1C  A1M B1M C1M   1  VT 3 mà ta có: từ => A1A B1B C1C Bài 7: Cho  ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H a, CMR:  AEF đồng dạng  ABC b, H giao đường phân giác  DEF c, BH BE  CH CF BC A HD: AEB  CFC  g g   F AE AB AE AF    AF AC AB AC a, Ta có: AEF ABC  c.g c  => b, Chứng minh tương tự ta có: CED CBA, (c.g.c) BFD BCA (c.g.c)   AEF  ABC  AEF  ABC CED => Do Mà:      BEF  AEF  BED  CED  BEF  900   BED E H B D C => HE phân giác góc E Chứng minh tương tự FH phân giác góc F, HD phân giác góc D BH BD   BH BE  BD.BC BC BE c, CH CD CDH  CFB  g g     CH CF CD.CB CB CF Cộng (1) (2) theo vế ta đpcm BHD  BCE  g g   (1) (2) Bài 8: Cho  ABC, AD đường phân giác tam giác, CMR : AD  AB AC  BD.DC HD: A Trên AD lấy điểm E cho: AEB  ACB  ABE ADC  g g  BE AB AE    AB AC  AD AE DC AD AC (1) lại có: BD DE BDE  ADC  g g     BD.DC  AD.DE AD DC  Lấy (1) - (2) theo vế ta được: B C D (2) AB AC  BD.DC  AD  AE  DE   AD E     Bài 10: Cho tứ giác ABCD, đó: ABC  ADC , ABC  BCD  180 , Gọi E giao điểm AB CD, CMR: AC CD.CE  AB AE B x HD: Trên nửa mặt phẳng bờ BE, N A   không chứa C vẽ tia Ex cho: BEx  ACB    => Ex cắt AC N => N  B  D E Ta có : C D AB AC   AB AE  AC AN AN AE (1) CD CA CAD  CEN  g.g     CD.CE CA.CN CN CE Tương tự : Lấy (2) - (1) theo vế ta đpcm ABC ANE  g g   (2) Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD CMR: Hệ thức: AB AE  AD AF  AC HD: B A  Vì AC đường chéo lớn => D  90  H  AC , Kẻ DH  AC H AHD AFC  g g  K =>  AD AH   AD AF  AC AH AC AF Tương tự kẻ  E D C (1) BK  AC  AKB AEC  g g  AB AK   AB AE  AC AK AC AE F (2) AD AF  AB AE  AC  AH  AK   AC AC  AC Cộng (1) (2) theo vế ta được: Vì ABK CDH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC Bài 12: Cho  ABC điểm O thuộc miền tam giác, đường thẳng qua O // với AB cắt BC D cắt AC G, đường thẳng qua O //BC cắt AB K AC F, đường thẳng đia qua O //AC cắt AB H BC E KH DE GF DG KF EH   2   1 a, CMR: AB BC AC b, CMR: AB BC AC A HD: KH KO  AB BC a, GF OF GOF  ABC  g g    AC BC KH DE GF KO DE OF      1 Nên AB BC AC BC BC BC b, Ta có: DG DC EH BE   AB BC AC BC , HKO  ABC  g g   G H O K B F D C E Khi đó: DG KF EH DC KF BE DE  EC  BD  EC  DB  DE 2BC        2 AB BC AC BC BC BC BC BC NC AC  1 Bài 13: Cho  ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD N, CMR : ND BC HD: A Vẽ DE / / BM ( E  AC ) NC MC  ND ME (*) AD AC  ABC có DC tia phân giác nên: DB BC (1) AD AE   DB EM ABM có DE//BM (2) AC AE  Từ (1) (2) ta có : BC ME (**) NC AC MC AE ME     1 Lấy (*) - (**), ta có : ND BC ME ME ME QDE có NM / / DE  E M D N B C DB EC FA 1 Bài 14: Cho  ABC có đường phân giác AD, BE, CF, CMR: DC EA FB HD: ABC có AD tia phân giác nên: A  DB AB  DC AC , EC BC FA AC  ,  Tương tự: EA AB FB BC , E F Nhân theo vế ta đpcm B D C Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC E, K, G CMR: a, AE EK EG 1   b, AE AK AG c, Khi a thay đổi tích BK DG có giá trị khơng đổi? HD: a, ABE có ADE có AM / / DG  AD / / BK  AE EB  EG ED (1) B A EB EK  ED EA (2) AE EK   AE  EK EG EG EA Từ (1) (2) ta có: E C D G K 1 AE AE     1 AK AG b, Từ: AE AK AG ADE có AD / / BC  Tương tự: AEB có a AE ED AE ED AE ED      EK EB AE  EK ED  EB AK DB AB / / DG  (3) AE BE AE BE AE BE      EG ED AE  EG BE  ED AG BD (4) AE AE ED BE    1 Khi đó: AK AG BD BD =>đpcm BK AB KC.AB KC CG AD.CG   BK    DG  CG AD DG KC c, ta có: KC CG Nhân theo vế ta  BK DG  AB AD không đổi BH CH CH AH AH BH   1 Bài 16: Cho  ABC nhọn, H trực tâm, CMR : AB AC BC.BA CA.CB HD: BH BC ' BC 'H BB ' A  g g    AB BB ' Ta có: BH CH BC '.CH S HBC    AB AC BB '.AC S ABC C' (1) CA ' H CC ' B  g g   Tương tự: CH AH CA ' AH S AHC    BC BA CC '.BA S ABC CH CA '  BC CC ' (2) A B' H B A' C AHB ' ACA '  g g   AH AB ' AB.BH AB '.BH S HAB     AC AA ' CA.CB AA '.CB S ABC (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta được: đpcm 10 ... MA ND MA đpcm Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N điểm AB, BC cho BM =BN, gọi G trọng tâm tam giác BMN, I trung điểm AN, P trung điểm MN a/ CMR:  GPI  GNCđồng dạng b/ CMR: IC vng góc với GI... Cx vng góc với AC cắt IF E, Gọi giao AH, AE với BI theo thứ tự G K a/  IHE  BHA đồng dạng b,  BHI  AHE đồng dạng c, AE vng góc với BI A HD: a, Ta có:  AHC vng cân H, I có I trung điểm AC =>... G theo thứ tự trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm  ABC a, Tìm  đồng dạng với  AHB b, CMR:  HAG đồng dạng với  OMG c, điểm H, O, G thẳng hàng A HD: a, Dự đoán AHB MON  g g