Microsoft Word 00 a loinoidau TV (moi thang1 2016) docx ISSN 1859 1531 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108) 2016, Quyển 1 57 ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN METROPOLIS – HASTING CỦA PHƯƠNG PH[.]
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển 57 ỨNG DỤNG THUẬT TỐN METROPOLIS – HASTING CỦA PHƯƠNG PHÁP XÍCH MARKOV MONTE CARLO TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY USING METROPOLIS – HASTING ALGORITHM OF MARKOV CHAIN MONTE CARLO METHOD IN RELIABILITY ANALYSIS Đặng Công Thuật Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; dangcongthuat@dut.udn.vn Tóm tắt - Trong phân tích độ tin cậy, phương pháp mơ Monte Carlo (MCS) cung cấp công cụ đơn giản mạnh mẽ để ước lượng xác suất phá hủy kết cấu, không phụ thuộc vào độ phức tạp hàm trạng thái phá hủy kết cấu Tuy nhiên khơng thích hợp cho việc tính tốn xác suất bé, cần số lượng mẫu lớn số lượng phân tích kết cấu cần thiết lớn Một phương pháp tiên tiến xích Markov Monte Carlo (MCMC) bù đắp cho nhược điểm Bài viết trình bày ứng dụng Markov Chain phương pháp Monte Carlo (MCMC) dựa thuật toán Metropolis-Hastings để phân tích độ tin cậy kết cấu với tham số không chắn Bài báo minh chứng khả áp dụng phương pháp thơng qua hai ví dụ đơn giản Cuối cùng, so sánh hai phương pháp MCS MCMC thực để tính xác suất phá hủy hệ bậc tự phi tuyến chịu tác động gia tốc động đất mơ mơ hình Boore Abstract - In the reliability analysis literature, Monte Carlo simulation method offers a simple and robust means for estimating the failure probability for a specified structure and loading conditions regardless of the complexity of the performance functions However it is not suitable for finding small probabilities because of the number of samples, and hence the number of structure analyses required to achieve a given accuracy is proportional to 1/Pf A more advanced method is Markov Chain Monte Carlo (MCMC) which compensates for this drawback This article presents the application of the Markov Chain Monte Carlo method (MCMC) based on Metropolis–Hastings algorithm, which is developed by Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Teller, and Teller (1953) and generalized by Hastings (1970), to analyse the reliability of structures with uncertainty parameters The document illustrates the principles of the methodology on two simple examples Finally, a comparison of two simulation methods (MCS and MCMC) is done, which is employed for the estimation of failure probabilities for a nonlinear (Bouc-Wen type) single degree of freedom system subjected to seismic excitation generated by the Boore's model Từ khóa - mơ Monte Carlo; xích Markov Monte Carlo; thuật tốn Metropolis-Hastings; độ tin cậy; động đất Key words - Monte Carlo simulation; Markov Chain Monte Carlo; Metropolis–Hastings algorithm; reliability; earthquake Đặt vấn đề Các kết cấu cơng trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống, cảng biển ), trình sử dụng bình thường, chịu tác động ngẫu nhiên tải trọng động (ví dụ gió bão, động đất…) [1], [2] Bên cạnh đó, cần phải kể đến đồng thời yếu tố ngẫu nhiên vật liệu làm kết cấu, kích thước tải trọng tác dụng Điều dẫn đến ứng xử đầ u kết cấu dao động ngẫu nhiên, có số trường hợp ứng xử đầ u vượt giới hạn cho phép (ngưỡng thiệt hại) định trước như: chuyển vị vượt chuyển vị cho phép, ứng suất vượt ứng suất cho phép, v.v Xác suất trường hợp ứng xử đầ u vượt giới hạn cho phép gọi xác suất khơng an tồn kết cấu hay xác suất phá hủy kết cấu Khi đó, việc xác định xác suất phá hủy kết cấu có dao động ngẫu nhiên yếu tố đầ u vào gọi tốn phân tích độ tin cậy cho kết cấu Hiện nay, có nhiều phương pháp khác đề xuất để giải tốn phân tích độ tin cậy như: phương pháp độ tin cậy bậc (FORM-First Order Reliability Method), phương pháp độ tin cậy bậc hai (SORM-Second Order Reliability Method), phương pháp mô Monte Carlo (MCS - Monte Carlo Simulation) [3] v.v… Trong số đó, phương pháp MCS xem công cụ mạnh mẽ để ước lượng xác suất phá hủy kết Tuy nhiên sử dụng phương pháp để ước lượng xác suất bé lại khơng phù hợp số lượng mẫu cần thiết phải lớn số lượng phân tích kết cấu lớn để đạt độ xác cho trước Vì vậy, phương pháp tiên tiến xích Markov Monte Carlo (MCMC) bù đắp cho nhược điểm Nghiên cứu trình bày ứng dụng xích Markov Monte Carlo (MCMC) dựa thuật toán MetropolisHastings, phát triển Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Teller, Teller (1953) [4] tổng quát hóa Hastings (1970) [5], để phân tích độ tin cậy kết cấu với thơng số khơng chắn Mơ hình Boore [6] sử dụng để tạo gia tốc nền, trình dừng Gauss (second order stationary Gaussian process) sở để tạo kích ứng động ngẫu nhiên, đặc trung hàm mật độ phổ công suất (Power Spectral Density - PSD) chuyển động Sự phá hủy kết cấu trạng thái mà coi khơng cịn hoạt động bình thường Có nghĩa là, kết cấu vượt q ngưỡng giới hạn xảy phá hủy, ngưỡng giá trị tất định biến ngẫu nhiên Căn vào mơ hình tạo kích thích ngẫu nhiên, mơ hình số phân tích ứng xử kết cấu tiêu chí đánh giá phá hủy kết cấu, mục tiêu nghiên cứu đánh giá độ tin cậy (xác suất phá hủy) kết cấu dựa vào mơ xích Markov Monte Carlo Tổng quan toán độ tin cậy 2.1 Biến ngẫu nhiên hàm trạng thái phá hủy Sự không chắn luôn tồn điều kiện bình thường trình hoạt động kết cấu (gia cơng, thời tiết, sóng, tiếng ồn xung quanh, sóng ) tính chất kết cấu q trình chế tạo (mơ đun Young, kích thước ) Nếu ta gọi Z véctơ biến ngẫu nhiên (BNN) Đặng Cơng Thuật 58 thành phần véctơ biểu thị tham số không chắn tương ứng, Z = Z1, , Zn Các tiêu chuẩn phá hủy kết cấu trình bày hàm đặc tính hàm trạng thái giới hạn: G ( Z ) x0 xmax ( Z ) (1) Trong đó: xmax đáp ứng lớn phụ thuộc Z x0 ngưỡng phá hủy kết cấu Miền phá hủy định nghĩa Df G Z , xác suất phá hủy là: p f P G Z 0 D f pZ z dz (2) 2.2 Phương pháp phân tích độ tin cậy Trong trường hợp miền tích phân Df G Z không tường minh việc tính xác suất theo cơng thức (2) khó khăn Vì vậy, phương pháp mơ thường áp dụng trường hợp Thông thường, phương pháp mô Monte Carlo phương pháp sử dụng phổ biến mang lại kết tốt cho việc đánh giá xác suất phá hủy Tích phân (2) biễu diễn thơng qua số phá hủy I D sau: f p f Rn I Df pZ z dz = E I Df (3) với E kỳ vọng toán số phá hủy định nghĩa bởi: (4) Khi xác suất phá hủy kỳ vọng hàm số phá hủy trung bình mẫu I D : f (5) Trong N N f tổng số lần mô tổng số lần gây phá hủy kết cấu Phương sai (variance) p f xác định sau: var p f p f 1 p f N (6) hệ số biến thiên ước lượng là: cv Var p f E p f = 1 pf Np f Np f (7) p f 0 mô tối thiểu Nmin để đạt hệ số biển thiên cv: p f cv2 (8) Ví dụ, để đạt hệ số biến thiên cv 10% ước n2 lượng p f 10 cần phải có Nmin 10 n D1 D2 Dm Df (9) Ở đây, miền phá hủy Df định nghĩa thành m miền phá hủy trung gian Di với i 1, , m , miền Di+1 tập miền Di định nghĩa sau: Di G Z yi (10) với yi , i 1, m giá trị dương giảm dần tương ứng với hiệu hàm trạng thái giới hạn G( Z ) ym Xác suất phá hủy miền Df xác định sau: p f P D f P Dm Dm 1 P Dm 1 (11) m 1 P D1 P Di 1 Di i 1 Công thức (11) cho thấy rằng, việc tính tốn xác suất phá hủy thay việc xác định chuỗi xác suất điều kiện P Di 1 Di : i 1, , m 1 P D1 3.2 Quá trình thực Quá trình thực việc ước lượng xác suất phá hủy cần phải thực 02 công việc sau: Thiết lập miền phá hủy trung gian Di cách chọn ngưỡng phá hủy trung gian yi Theo kinh nghiệm Au Beck [7], [8], kích thước miền phá hủy trung gian chọn cho P Di 1 Di 0,1 0,2 Ước lượng xác suất điều kiện P Di 1 Di cách Từ biểu thức (7), nhận thấy ước tính xác suất bé p f 0 , ta cần phải có số lượng N Phương pháp xích Markov Monte Carlo dựa vào thuật toán Metropolis – Hasting 3.1 Cơ sở lý thuyết Nội dung phương pháp thay đánh giá miền phá hủy Df nhỏ (tương ứng xác suất phá hủy bé) cách xem xét chuỗi miền phá hủy trung gian, kích thước miền phá hủy trung gian tương đối lớn, xác định phương pháp mơ Monte Carlo với số lần mô chấp nhận được, kích thước tập ngày nhỏ (tập con) sau: 1 nÕu G Z I Df 0 nÕu G Z N N p f E I D f p f I D f f N k 1 N lượng xác suất bé ( 10 ) Để cải thiện hội tụ (giảm số lần mô phỏng), nghiên cứu này, áp dụng phương pháp mơ xích Markov dựa vào thuật tốn Metropolis – Hasting [4], [7] trình bày cụ thể 3 Như vậy, phương pháp không phù hợp cần ước sử dụng phương pháp mô xích Markov Monte Carlo dựa vào thuật tốn Metropolis - Hasting 3.3 Lựa chọn miền phá hủy trung gian Ví dụ, giả sử xét miền trung gian xác suấtP D1 , P Di 1 Di 0,1thì xác suất phá hủy p f P D f 104 Nếu dự kiến hệ số biến thiên cv = 10%, số lần mơ cần thiết để đạt xác suất 0,1 (trong tập con) 1 103, để đạt 101 0,12 xác suất 104 , phương pháp MCMC cần tối thiểu MCMC Nmin 103mô Trong đó, phương pháp Monte Carlo, xác suất phá hủy bé ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển MCS cần phải có Nmin Tóm lại, để ước lượng xác suất bé, đồng nghĩa với việc cần phải xác định ngưỡng phá hủy trung gian tương ứng với miền trung gian Khi đó, giá trị xác suất miền trung gian phải xác định với chi phí hợp lý theo số lần mơ 3.4 Thuật tốn Metropolis – Hasting Thuật tốn mơ Metropolis – Hastings sử dụng để lấy mẫu đáp ứng phân phối f(x) Mục tiêu thuật toán xây dựng xích Markov gồm dãy mẫu ngẫu nhiên cho hàm phân phối hội tụ đến hàm phân phối cho Các bước thuật toán Metropolis – Hastings tóm lược sau: Bước 1: Tạo trạng thái ban đầu từ mật độ xác suất ban đầu x q x D0 Bước 2: Với: i 1, - Sinh tráng thái x x cand q xi xi 1 Di - cand So sánh: Nếu u chấp nhận trạng thái sinh ngẫu i cand nhiên x x Ngược lại phủ nhận trạng thái vừa sinh i i 1 lấy x x Chi tiết thuật tốn xem tài liệu [9] [10] Ví dụ minh họa Chúng ta thực 03 ví dụ, xem xét lại 02 ví dụ nêu nghiên cứu Phoon [11] để kiểm chứng thuật toán chương trình Matlab 01 ví dụ kết cấu chịu tải trọng động ngẫu nhiên để minh chứng tính hiệu phương pháp MCMC so với MCS 4.1 Ví dụ 1: Hàm trạng thái giới hạn tuyến tính Xét hàm trạng thái phá hủy tuyến tính G(Z1, Z2 ) Z1 Z2, với Z1 Z2 biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật phân bố chuẩn Z1 7, 0;1, và Z2 3, 0;1, Khi xác suất phá hủy p f P G Z , Z2 xác định tích phân: pf 1 F Z ( x) Hình Miền phá hủy trung gian – Ví dụ Kết ước lượng xác suất phá hủy trình bày Bảng Chúng ta nhận thấy số lần mô khoản 500 lần sai số bé (nhỏ 5%) phương pháp MCMC với giá trị ước lượng xác phương pháp giải tích Bảng Xác suất phá hủy - Ví dụ giả thuyết Tính xác suất chấp nhận: f ( x cand )q xi 1 x cand cand i 1 x ,x 1, i 1 cand i 1 x f ( x )q x Sinh ngẫu nhiên giá trị u theo quy luật phân bố khoản [0,1]: u Uniform u;0,1 - , n: 59 4 106 10 0,12 Nsim 100 200 500 1000 2000 p MCMC 104 f 2,72 2,53 2,43 2,35 2,34 ERR (%) 16,67 8,20 3,97 0,64 0,42 ERR pf pf 100% : sai số tuyệt đối so với phương pháp giải tích 4.2 Ví dụ 2: Hàm trạng thái giới hạn phi tuyến Tương tự ví dụ trên, xét hàm trạng thái phá hủy phi tuyến G(Z1 , Z2 ) Z1 11 Z2 6, với Z1 Z2 biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật phân bố chuẩn Z1 8,5;0, 707 và Z2 5, 0;0, 707 Hình Miền phá hủy trung gian – Ví dụ Hình Bảng giới thiệu miền phá hủy trung gian sử dụng phương pháp MCMC giá trị xác suất phá hủy ước lượng theo phương pháp MCS MCMC Bảng Xác suất phá hủy – Ví dụ pZ ( x) dx 2,339 103 Nsim Mặt khác, áp dụng phương pháp MCMC với thuật tốn Metropolis – Hasting mơ tả trên, tính xác suất phá hủy tương ứng với số lần mô tập (miền Di) Hình mơ tả miền ngưỡng phá hủy trung gian p MCMC f p MCMC f 10 4 ERR (%) ERR pMCMC pMCS f f pMCS f 100 200 500 1000 2000 2,67 3,47 3,34 3,05 3,202 15,10 10,33 6,21 3,00 1,81 100% : sai số tuyệt đối so với phương pháp Monte Carlo với 107 lần mô Đặng Cơng Thuật 60 4.3 Ví dụ 3: Kết cấu chịu tác động tải trọng ngẫu nhiên 4.3.1 Mơ hình kết cấu Xét dao động hệ bậc tự phi tuyến BoucWen: x(t ) 20 x(t ) 02 x(t ) 1 (t ) a(t ) với (t ) C1x(t ) C2 x(t ) (t ) nd 1 (14) (t ) C3 x(t ) (t ) nd Trong đó, ω0 (rad/s) tần số góc tự nhiên; ζ hệ số cản nhớt; ω(t) chuyển vị (hysteretic displacement) đặc trưng cho tính phi tuyến hệ Bouc-Wen; α, C1, C2, C3, nd số; a(t) gia tốc g gia tốc trọng lực Giá trị tham số số sử dụng từ tài liệu [12]: ω0=5,9 (rad/s), ζ=2%; nd=1; C1 = 1, C2 = C3 = 0.5 cm, α=0,1 4.3.2 Mơ hình tải trọng Mơ hình Boore [6] lựa chọn để mô gia tốc trận động đất nghiên cứu Theo đó, chuyển động đất đặc trưng hàm quang phổ Y(M0,R,f) kết hợp nguồn gây động đất (E), đường dẫn (P), vị trí đặt cơng trình (G) dạng chuyển động (I): Y M , R, f E M , f P R, f G f I f tâm chấn đến cơng trình xét R = km thực Matlab [14] Hình Gia tốc trận động đất với M=7 R = km 4.3.3 Biến ngẫu nhiên ngưỡng thiệt hại kết cấu Trong ví dụ này, với việc sử dụng mơ hình Boore để tạo gia tốc nền, tốn có tất 2192 biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân bố chuẩn Như vậy, ta có véc tơ BNN Z = Z1, , Z2192 với pZ ( zi ) Normal zi ;0,1 i (1) Trong đó, M0 mômen địa chấn xác định thông qua độ lớn (Magnitude) M: M log M 10,7 (2) R khoảng cách từ tâm động đất đến cơng trình; f tần số Hình biễu diễn trường hợp phổ chuyển động cho trường hợp M = R = (km) Từ phổ Y(M0,R,f) này, tác giả Boore sử dụng phương pháp mô ngẫu nhiên để tạo gia tốc tương ứng Theo đó, chuyển động đất cơng trình phân bố ngẫu nhiên phụ thuộc vào độ lớn trận động đất (M) khoảng cách truyền sóng (R) Tính chất ngẫu nhiên mơ hình đặc trưng q trình ngẫu nhiên dừng Gauss thể qua mật độ phổ công suất (Power Spectral Density - PSD) Hàm mật độ PSD xem liệu đầu vào Nó bao gồm 2192 điểm (với trường hợp M=7 R=9 km), điểm biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân bố chuẩn Tài liệu [6] [13] trình bày chi tiết trình Hình Chuỗi sinh ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên mô gia tốc động đất Đáp ứng lớn kết cấu sử dụng chuyển vị lớn nhất, x max max x t Ngưỡng thiệt hại hàm trạng thái phá hủy công thức (1) mục xem xét x0 7,0(cm) 4.3.4 Kết Đối với phương pháp Monte Carlo (MCS), thực 105 mô Bảng giới thiệu hội tụ xác suất phá hủy theo hàm số lượng mơ Bên cạnh đó, khoảng tin cậy 95% trình bày Giá trị mục tiêu (với 2x105 mô phỏng) xác suất phá hủy 2,0 103và hệ số biến thiên xấp xỉ 0.1 Đối với phương pháp xích Markov Monte Carlo (MCMC), thay đổi số lượng mô tập từ N Sub 100, 200, , 2000 để khảo sát Số lượng lớn có nghĩa hệ số biến thiên tập nhỏ Bảng Giá trị xác suất phá hủy ước lượng NSub 100 200 500 1000 1500 2000 - 3 3 3 - Ntotal 280 560 1400 2800 4200 5600 2x105 pMCMC 103 f 4,10 3,45 2,20 1,16 1,78 1,85 - pMCS 103 f 7,14 3,57 3,56 2,85 2,85 2,50 2,00a m Hình Minh họa phổ chuyển động đất mơ hình Boore với M=7 R=9 km Hình giới thiệu minh họa gia tốc trận động đất có độ lớn (Magnitude) M = khoảng cách từ Ghi chú: aKhoản tin cậy 95% xác suất mục tiêu: 1,80;2,20 103 Nhìn vào kết tính tốn, dễ dàng nhận hội tụ phương pháp tập hợp nhanh ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển nhiều so với phương pháp Monte Carlo Trong khoảng 1400 mô phương pháp Monte Carlo, xác suất phá hủy khơng xác, kết ước lượng phương pháp tập hợp gần với giá trị mục tiêu Khi số lượng mô ≥ 2800, giá trị xác suất phương pháp MCMC luôn nằm khoảng tin cậy 95% phương pháp MCS với 2x105 mô 61 pháp MCMC cho kết đáng tin cậy so với phương pháp MCS với số lần mô đủ lớn Đặc biệt xác suất bé số lần mô hạn chế, phương pháp MCMC hội tụ nhanh MCS Điều chứng minh khả áp dụng tính hiệu phương pháp xích Markov Monte Carlo với thuật tốn Metropolis - Hasting TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Quan hệ xác suất phá hủy ngưỡng phá hủy Bên cạnh đó, dễ dàng thiết lập mối quan hệ xác suất phá hủy ngưỡng phá hủy trường hợp ngưỡng phá hủy thay đổi Hình biễu diễn mối quan hệ xác suất phá hủy p f ngưỡng phá hủy (x0) Kết cho thấy phù hợp lớn phương pháp Monte Carlo (đường nét đứt màu đen) phương pháp MCMC (đường màu đỏ) Kết luận Như vậy, báo giới thiệu thuật tốn Metropolis – Hasting dùng phương pháp xích Markov Monte Carlo (MCMC) ứng dụng ví dụ với trường hợp đầu hàm trạng thái phá hủy cho trước (tuyến tính phi tuyến) trường hợp kết cấu chịu tải trọng động với hai phương pháp Monte Carlo (MCS) MCMC Có thể nhận thấy tất trường hợp này, phương [1] M Lemaire, A Chateauneuf, and J C Mitteau, Fiabilité des structures: couplage mécano-fiabiliste statique Hermès Science Publications, 2005 [2] A Preumont, Vibrations aléatoires et analyse spectrale PPUR presses polytechniques, 1990 [3] A S Nowak and K R Collins, Reliability of structures CRC Press, 2012 [4] [N Metropolis, A W Rosenbluth, M N Rosenbluth, A H Teller, and E Teller, “Equation of state calculations by fast computing machines”, The journal of chemical physics, vol 21, no 6, pp 1087–1092, 1953 [5] W K Hastings, “Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications”, Biometrika, vol 57, no 1, pp 97–109, 1970 [6] D M Boore, “Simulation of Ground Motion Using the Stochastic Method”, Pure and Applied Geophysics, vol 160, no 3, pp 635– 676, Mar 2003 [7] S.-K Au and J L Beck, “Estimation of small failure probabilities in high dimensions by subset simulation”, Probabilistic Engineering Mechanics, vol 16, no 4, pp 263–277, Oct 2001 [8] S K Au, J Ching, and J L Beck, “Application of subset simulation methods to reliability benchmark problems”, Structural Safety, vol 29, no 3, pp 183–193, Jul 2007 [9] W R Gilks, Markov chain monte carlo Wiley Online Library, 2005 [10] G O Roberts, “Markov chain concepts related to sampling algorithms”, Markov chain Monte Carlo in practice, vol 57, 1996 [11] K.-K Phoon, Reliability-based design in geotechnical engineering: computations and applications CRC Press, 2008 [12] C Kafali and M Grigoriu, “Seismic fragility analysis: Application to simple linear and nonlinear systems”, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, vol 36, no 13, pp 1885–1900, 2007 [13] C.-T Dang, “Méthodes de construction des courbes de fragilité sismique par simulations numériques”, Université Blaise PascalClermont-Ferrand II, 2014 [14] C.-T Dang, Calcul des courbes de fragilité sismique Éditions universitaires européennes, 2015 (BBT nhận bài: 06/10/2016, phản biện xong: 19/10/2016) ... phá hủy ước lượng NSub 100 200 500 1000 1500 2000 - 3 3 3 - Ntotal 280 560 1400 2800 4200 5600 2x105 pMCMC 103 f 4,10 3,45 2,20 1,16 1,78 1,85 - pMCS 103 f 7,14 3,57 3,56 2,85 2,85 2,50 2,00a... 1885–1900, 2007 [13] C.-T Dang, “Méthodes de construction des courbes de fragilité sismique par simulations numériques”, Université Blaise PascalClermont-Ferrand II, 2014 [14] C.-T Dang, Calcul des... tối thiểu MCMC Nmin 103mô Trong đó, phương pháp Monte Carlo, xác suất phá hủy bé ISSN 185 9-1 531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển MCS cần phải có Nmin