Microsoft Word 00 a loinoidau TV (moi thang1 2016) docx 6 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng KHÔI PHỤC TÍN HIỆU, HÌNH ẢNH THEO PHƯƠNG PHÁP “LẤY MẪU NÉN” SIGNAL AND IMAGE RECONSTRUCTION US[.]
6 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng KHƠI PHỤC TÍN HIỆU, HÌNH ẢNH THEO PHƯƠNG PHÁP “LẤY MẪU NÉN” SIGNAL AND IMAGE RECONSTRUCTION USING COMPRESSIVE SENSING Nguyễn Văn Điền1, Hồ Phước Tiến2, Nguyễn Tấn Hưng2 Trường Đại học Cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh; nguyenvandien@iuh.edu.vn Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; {hptien, hung.nguyen}@dut.edu.vn Tóm tắt - “Lấy mẫu nén” (Compressed Sensing) vấn đề quan tâm thời gian vừa qua, cho phép khơi phục lại xác tín hiệu gốc với số lượng nhỏ mẫu đo đạc Phương pháp mở nhiều ứng dụng lĩnh vực khác chụp ảnh y khoa, xử lý tín hiệu xử lý ảnh Bài báo phân tích tốn khơi phục tín hiệu hình ảnh phương pháp “lấy mẫu nén” cách giải tốn Trong đó, báo tập trung vào phương pháp GPSR (Gradient Projection for Sparse Reconstruction) Kết thí nghiệm báo cho thấy giải thuật GPSR khơi phục tín hiệu thưa với độ xác cao thời gian thực nhanh Đồng thời, việc kết hợp GPSR kiểu định dạng khác cho ma trận lấy mẫu, ta khơi phục hình ảnh mà khơng bị hiệu ứng khối, hiệu ứng nhịe đường viền có độ xác cao Abstract - Compressed Sensing (CS) has been of great interest since it allows exact reconstruction of a sparse signal from a small number of measurements This method leads to many important applications in different domains such as medical imaging (for example Computerized Tomography), signal and image processing The paper will analyse the problem of compressed sensing signal reconstruction and its solution We will focus particularly on the Gradient Projection for Sparse Reconstruction (GPSR) method, which reveals many advantages such as high precision and efficient implementation Experimental results suggest that GPSR method offers a fast signal reconstruction with high precision In addition, by combining GPSR and different types of sampling matrix, we can reconstruct images without block artifacts, false contouring and high PSNR Từ khóa - tín hiệu thưa; khơi phục ảnh, tín hiệu; “lấy mẫu nén”; ma trận cấu trúc; GPSR Key words - Sparse signal; image reconstruction; signal; compressive sensing; structurally random matrices; GPSR (Gradient projection for sparse reconstruction) Giới thiệu Khơi phục tín hiệu toán quan trọng ngành kĩ thuật quan tâm từ sớm Định lý lấy mẫu tiếng Shannon (hay Nyquist), kể từ đời đóng vai trị trụ cột lĩnh vực này, phát biểu “để khôi phục nguyên vẹn tín hiệu gốc tần số lấy mẫu phải lớn hai lần tần số lớn tín hiệu” [1] Hệ là, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT - Discrete Fourier Transform), ta cần N tần số để khơi phục lại ngun vẹn tín hiệu ban đầu chứa N mẫu miền thời gian Bên cạnh đó, việc khơi phục tín hiệu từ số lượng nhỏ mẫu đo đạc thu hút nhiều nghiên cứu thời gian qua, từ lĩnh vực tốn ứng dụng đến xử lý tín hiệu, xử lý ảnh Cụ thể, xét phép biến đổi tuyến tính sau: = (1) với A ma trận lấy mẫu kích thước MxN, vector x tín hiệu gốc có kích thước N, y vector đo đạc có kích thước M (vector y truyền thông qua vệ tinh kênh truyền Hình 1) Thơng thường, M nhỏ N nhiều, làm để khôi phục lại x biết y A? Ta biết rằng, trường hợp này, ta có M phương trình để tìm N nghiệm, M nhỏ N nên khơng có nghiệm Ta minh họa trường hợp phép biến đổi DFT với y lấy M tần số số N tần số từ phép biến đổi DFT đầy đủ Câu hỏi đặt liệu khơi phục lại tín hiệu x từ M tần số tín hiệu y đo được? Điều thú vị E Candes T Tao [2] cho thấy câu trả lời cho câu hỏi khẳng định trường hợp x tín hiệu thưa (sparse), tức x có độ dài N chứa k phần tử khác không Hệ số “thưa” định nghĩa tỷ số k N Cũng để ý “thưa” tính chất hay gặp tín hiệu tự nhiên Ví dụ, ảnh mà chụp ngày có phần lớn lượng tập trung tần số nhỏ Từ nghiên cứu Romberg, Candes Tao [2], [3], [4], “lấy mẫu nén” (Compressed Sensing), tức lấy mẫu hay đo đạc với số lượng mẫu ít, thu hút quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu, cho phép mở nhiều ứng dụng lĩnh vực khác ảnh y khoa (ví dụ ảnh CT), máy ảnh, radar Hình Phương pháp “lấy mẫu nén” (CS) Trong báo này, mô tả cách tổng quát tốn “lấy mẫu nén” cách giải, sau áp dụng cho việc khơi phục tín hiệu chiều hai chiều, cụ thể ảnh Đặc biệt, báo tập trung vào phương pháp GPSR-BB (Gradient Projection for Sparse Reconstruction Barzilai-Borwein) [5] chứng minh hiệu phương pháp thông qua tiêu chí PSNR thời gian thực Chúng tin báo giới thiệu vấn đề góp phần thúc đẩy nghiên cứu lĩnh vực “lấy mẫu nén” quan tâm rộng rãi ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển Khơi phục tín hiệu từ “lấy mẫu nén” 2.1 Mơ tả Cho tín hiệu thưa có chiều dài N, bao gồm k phần tử khác khơng N-k phần tử cịn lại, xem không Thông qua phép chiếu với ma trận lấy mẫu ta có vector đo đạc : = + (2) Trong hàm nhiễu Gauss có trung bình khơng phương sai Để khơi phục tín hiệu ̅ Hình 1, vấn đề đưa giải toán tối ưu hóa cực tiểu: (3) ̅ = min‖ ‖ với ‖ − ‖ ≤ ̅ = min‖ − ‖ với ‖ ‖ ≤ (4) Theo [5], [6] cho vector đo đạc y kết hợp nhiễu kênh truyền, toán tối ưu (3) trở thành: ̅ = ‖ − ‖ + ‖ ‖ (5) , ∈ , A ma trận MxN, τ hệ số không với ∈ âm, ‖ ‖ = (∑ | | ) / chuẩn (norm) bậc vector ‖ ‖ = ∑ | | chuẩn bậc vector 2.2 Lời giải Trong báo này, việc giải toán (5) thực dựa theo phương pháp khơi phục tín hiệu thưa phép chiếu gradient (GPSR-Gradient Projection for Sparse Reconstruction)[5] Tín hiệu chia thành thành phần dương thành phần âm Ta sử dụng phép thay thế: = − với = max { , 0}; = max {− , 0} ‖ ‖ = | | = 1 +1 Với = [1,1, … ,1] vector đơn vị có độ dài N Bài tốn (5) chuyển thành: ‖ − ( − )‖ + + , với , ≥ (6) Bài toán tối thiểu hóa (6) viết lại dạng BCQP (Bound Constrained Quadratic Problem) [8] sau: Trong ≡ ( )với ≥ + = , = , = + (7) − − (8) − Theo Barzilai-Borwein [5] [6], từ thuật tốn có ( ) ∇ tên GPSR-BB, ta tính giá trị ( ) = − ( ) hàm Hessian ( ) Barzilai bước lặp thứ k với Borwein đưa việc lựa chọn giá trị hàm Hessian = ( ) với ma trận đơn vị ( ) xác định ( ) − xác định theo phép tính gần ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∇ ( )≈ [ − ] Dựa thông số xác định bước lặp ( ) = ( ) − = ( ) giá trị ( ) ∇ ( ) Các bước lặp tiếp tục kể tăng lên Thuật tốn GPSR-BB tóm tắt lại sau: Giá trị ban đầu: Chọn ( ) thông số , , ( )∈[ , ] Thiết lập số vòng lặp = Tính tốn: ( ) = ( ) − ( ) ( ) ∇ − ( ) (9) Thực hiện: Tìm thơng số ( ) để giá trị hàm ( ( ) + ( ) ( ) ) đạt giá trị nhỏ khoảng ( ) ∈ [0,1] sau tính tốn ( ) = ( ) + ( ) ( ) Cập nhật lại giá trị α: Tính đại lượng ( ) ( ) = ( ( )) Nếu ( ) = ta thiết lập ( ) = Cịn lại tính giá trị α phép tính điểm giữa: ( ) ( ) = mid , ( ) , Kết thúc ( ) thỏa mãn yêu cầu Nếu chưa đạt, đặt lại bước lặp ← + thực lại vòng lặp bước Điều kiện kết thúc Kiểm tra điều kiện kết thúc ln tiêu chí quan trọng để đánh giá chất lượng thuật toán Chúng ta mong muốn kết khơi phục tín hiệu phải xấp xỉ gần với tín hiệu truyền đồng thời muốn tránh thời gian dài để thực vòng lặp Một tiêu chuẩn dùng cho toán tối ưu BCQP là: ‖ − ( − ∇ ( )) ‖ ≤ (10) với tolP số dương nhỏ số dương Ngồi ra, cịn nhiều tiêu chuẩn khác để kết thúc vòng lặp mà độc giả tìm thấy [5] Giảm độ lệch hệ số khác khơng (Debiasing) Ngồi việc thực thuật tốn tối ưu hóa để thu kết xấp xỉ gần đúng, ta thêm bước giảm độ lệch hệ số khác không Kết = [ , ] chuyển dạng = − Các hệ số gần không thiết lập không, sau tối ưu hóa x theo: ‖ (11) ‖ − ‖ ≤ ‖ − Với số dương nhỏ 2.3 Ma trận lấy mẫu Ma trận lấy mẫu dùng để thu vector đo đạc theo công thức (1) cần thỏa mãn đặc điểm: + Tính tối ưu: việc lấy mẫu phải tối ưu gần tối ưu, số lượng phép đo để có kết xác đạt mức tiệm cận nhỏ + Tính phổ biến: việc lấy mẫu phải tốt áp dụng cho tất loại wavelet tạo tín hiệu thưa + Độ phức tạp thấp tính tốn nhanh: áp dụng cho chuỗi tín hiệu có độ dài lớn + Phù hợp với thiết kế phần cứng: giá trị ma Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng trận lấy mẫu phải {−1,0,1} Thay sử dụng ma trận lấy mẫu ngẫu nhiên A kích thước MxN, ma trận lấy mẫu sử dụng báo ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc (SRM – Structurally Random Matrix) Nó định dạng theo [7] cơng thức = R (12) + ∈ × ma trận hoán vị ngẫu nhiên ma trận chéo ngẫu nhiên với giá trị đường chéo tuân theo phân bố Bernoulli với { = ±1} = + ∈ × ma trận trực giao chọn dựa theo dạng ma trận biến đổi nhanh ma trận biến đổi nhanh Fourier (FFT), ma trận rời rạc cosine (DCT), ma trận Wash-Hadamard (WHT) Ma trận dùng để mã hóa chuỗi tín hiệu thành vector đo đạc Hình Khơi phục tín hiệu thưa k=205, độ dài N=4096 số phép đo M=1024 theo GPSR-BB 3.1.2 So sánh với phương pháp khác × + ∈ ma trận lấy mẫu phụ Nó lựa chọn ngẫu nhiên cột ma trận để tạo nên ma trận có kích thước MxN Từ đó, vector đo đạc y thực thông qua ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc sau: + Bước 1: Ngẫu nhiên hóa tín hiệu truyền tín hiệu với ma trận R tức nhân + Bước 2: Áp dụng ma trận biến đổi F cho tín ngẫu nhiên từ bước + Bước 3: Chọn ngẫu nhiên M phép đo từ N hệ số biến đổi để có vector đo đạc Tính rời rạc ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc ma trận biến đổi tín hiệu thưa, tính nhanh độ hiệu chứng minh Do [7] Hình Khơi phục tín hiệu thưa với k=205, N=4096; M=1229 Từ xuống: tín hiệu gốc, kết từ GPSR-BB, FASTBCS IRWLS Sau đây, ta ta thực so sánh GPSR-BB số thuật toán khác FASTBCS (Fast Bayesian Compressive Sensing) [8] IRWLS (Iteratively ReWeighted Least Squares minimization) [9] Ta sử dụng Kết thực nghiệm tín hiệu ban đầu với độ dài N=4096 k=205 (0.05*N), số phép đo chọn M=1229 Kết nhận theo 3.1 Khơi phục tín hiệu Hình cho thấy thuật tốn khơi phục xác 3.1.1 Khơi phục tín hiệu thưa theo GPSR-BB chuỗi liệu với sai số MSE nhỏ (10 ) Thuật tốn Với thí nghiệm đầu tiên, ta khảo sát tín hiệu thưa ban FASTBCS IRWLS tính tất vị trí giá trị hệ đầu (hình Hình 2) có độ dài N=4096 số tín hiệu khơi phục ̅ thỏa mãn điều kiện k=0.05*N=205