Chuong 3 LTM Compatibility Mode 8132019 1 Chöông 3 Hiện tượng quá độ trong các mạch RLC 3 1 Luật đóng ngắt 3 2 Biến đổi Laplace 3 3 Công thức Heaviside 3 4 Các thông số của mạch điện trong miền La.quá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLC
8/13/2019 Chương 3: Hiện tượng q độ mạch RLC 3.1 Luật đóng ngắt 3.2 Biến đổi Laplace 3.3 Công thức Heaviside 3.4 Các thông số mạch điện miền Laplace 3.5 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán mạch độ 3.6 Bài tập 3.1 LUẬT ĐĨNG NGẮT a.Luật đóng ngắt thông số điện cảm: Dòng điện qua thông số điện cảm phải biến thiên liên tục thời điểm xảy đột biến tham số mạch điện U L (t ) = L di L (t ) ; i L (0 − ) = i L (0 + ) dt b.Luật đóng ngắt thông số điện dung -Điện áp thông số điện dung phải biến thiên liên tục thời điểm xảy đột biến tham số mạch ñieän du (t ) ic(t) = C c U c (0 − ) = U c ( + ) dt 8/13/2019 3.1 LUẬT ĐÓNG NGẮT S1 Ro R C E L Cho EDC =10V, Ro =50Ω, R=150Ω L=100mH, C=10F Trước t < S1 đóng Đến t = ngắt S1 tìm dòng điện i(t) qua mạch Thiết lập điều kiện đầu Ro R X L = ωL = 0(ω = 0) Uc(t) E iL(0) X c = ωC = ∞ i L ( 0) = i L ( − ) = i L ( + ) = U c (0) = U c (0 + ) = U c (0 − ) = 10 E = = 0,05 A Ro + R 200 R 150 E = 10 = 7,5V R + Ro 200 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐẦU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN • Luật đóng ngắt tổng qt – Tổng từ thơng móc vịng vịng kín phải biến thiên liên tục thời điểm xảy đột biến thông số mạch điện – Tổng điện tích thơng số điện dung nhánh nối vào nút phải biến thiên liên tục thời điểm xảy đột biến thông số mạch điện ∑Φ Lh h (0 − ) = ∑ Φ Lk (0 + ) k ∑L i h Lh h ∑q Ch h (0 − ) = ∑ Lk iLk (0 + ) k (0 − ) = ∑ qCk (0 + ) k ∑C u h Ch h (0 − ) = ∑ Ck uCk (0 + ) k 8/13/2019 3.2 Phép biến đổi Laplace thuận, Laplace ngược) F (s) = +∞ ∫ f (t ) exp( − st ) dt −∞ C + j∞ f (t ) = F ( s ) exp( st ) ds 2πj C −∫j∞ Hàm gốc f(t) df (t ) dt ∫ f (t )dt − tf (t ) Aûnh Laplace F(s) sF(s) -f(0) 1 F ( s) + ∫ f (t )dt s −∞ dF ( s ) ds Phép biến đổi Laplace thuận, Laplace ngược) Hàm gốc f(t) − at e f (t ) t f( ) a 1(t)(hàm hằng) n t e − at sin ωt 10 cos ωt 11 δ (t ) Aûnh Laplace F(s) F(s + a) aF(as) 1/s n! s n +1 s+a ω s +ω2 s s + ω2 8/13/2019 3.3 Coâng thức HEAVISIDE M H (s) F ( s) = = H ( s) ∑a s l ∑b s k l =1 N k =1 l k M =K Π (s − s ) l =1 N l Π (s − s ) k =1 k Sl : laø nghiệm H1(s) Sk : nghiệm H2(s) Khi H2(s ) có nghiệm đơn thực : H ( s ) = bm ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − s N ) H1(s) N Ak A A A F(s) = =∑ = + + + N H2 (s) k =1 s − sk s − s1 s − s2 s − sN H (s)(s − sk ) lim F (s)(s − sk ) = AK = lim S →S K S →S K H2 (s) H '1 ( s )( s − s k ) + H ( s ) H ( s k ) AK = lim = ' ' S →SK H (s) H (sk ) N ⇒ f (t ) = ∑ k =1 H (sk ) exp( s k t ) ' H (sk ) 8/13/2019 Khi H2(s ) có nghiệm đơn thực : F ( s) = u (t ) = − 3s + s + s + 3s −t −3t e − e ,t ≥ 2 Khi H2(s ) chæ có nghiệm đơn thực : I ( s) = 2s + ( s + 6)( s + 10) H ( s ) co nghiem s1 = −6 s2 = −10 H 2' ( s ) = ( s + 10) + ( s + 6) A1 = H1 ( −6) − H ( −10) 15 = ; A2 = 1' = ' H ( −6) H ( −10) i (t ) = − −6 t 15 −10 t e + e 4 s2 + U ( s) = s ( s + 4)(3s + 9)( s + 16) u(t ) = 5 −3t 17 −4 t − e −2 t + e − e 576 96 36 192 10 8/13/2019 Trường hợp H2(s) có nghiệm bội bậc r : F (s) = r −1 r −1 H ( s) M − r Ak Ali =∑ +∑ H ( s) k =1 s − sk i =0 ( s − sl ) r −i Ali ∑ (s − s ) i =0 l r −i = [ Al0 ( s − sl ) Al0 = lim F ( s )( s − sl ) s → sl [ r r ] + Al1 ( s − sl ) r −1 + + Ali ( s − sl ) r −i + + Alr −2 ( s − sl ) + Alr −1 ( s − sl ) ] d Al1 = lim F ( s )( s − sl ) r s → sl ds Al2 = d ( 2) lim F ( s)( s − sl ) r s→ sl ds [ ] d (i ) Ali = lim i F ( s )( s − sl ) r i! s → sl ds M −r r −1 A t r − i −1 l exp( sl t ) f (t ) = ∑ Ak exp( sk t ) + ∑ i k =1 i = ( r − i − 1)! [ U ( s) = s2 ] 11 u(t) = 2t 12 8/13/2019 Thi U (s) = du s + 12 ( s + )( s + ) s1 = − s2 = −5 boi H (s) A1 Ali = +∑ U (s) = H ( s ) s + i = ( s + 5) r −i Al0 Al1 Al H 1(s) A1 = + + + ( s + 5) ( s + 5) H ( s ) s + ( s + 5) U (s) = H (−4) = =8 H 2' ( − ) A1 = H 2' ( s ) = ( s + ) + ( s + ) ( s + ) [ ] s + 12 = = −7 A2 = lim U ( s )( s − s l ) r = lim s → s2 s → −5 s + − [ ] −8 −8 d = −8 = A21 = lim U ( s )( s − s l ) r = lim s → s ds s → −5 ( s + ) [ ] d (2) = = −8 lim U ( s )( s − s l ) r = lim s → −5 ( s + ) − s → s ds M −r r −1 Ali t r − i −1 exp( s l t ) f ( t ) = ∑ Ak exp( s k t ) + ∑ k =1 i = ( r − i − 1)! A2 = u ( t ) = exp( − t ) − U ( s) = Thi du t2 exp( − t ) − t exp( − t ) − exp( − t ) 13 2s + ( s + 3)(s + 15)3 s1 = −3 s2 = −15 boi3 U ( s) = H1 ( s ) A Ali = +∑ H (s ) s + i = ( s + 15)r −i U ( s) = Al Al1 Al H1 ( s ) A = + + + H (s ) s + ( s + 15)3 ( s + 15) ( s + 15) A1 = H1 (−3) −1 = H 2' (−3) 1728 [ H 2' ( s ) = ( s + 15)3 + 3( s + 15)2 ( s + 3) ] 2s + 25 A2 = lim U ( s )( s − sl )r = lim = s→s2 s → −15 s + 12 2( s + 3) − (2s + 5) d A21 = lim U (s )( s − sl )r = lim = = slim → −15 ( s + 3) s → s ds s → −15 ( ) 144 s + [ ] [ ] d (2) −2 1 lim U ( s )(s − sl )r = lim = 3 → s s 2 ds s → −15 ( s + 3) 1728 M −r r −1 A t r − i −1 l f (t ) = ∑ Ak exp( sk t ) + ∑ i exp( sl t ) k =1 i = ( r − i − 1)! A2 = u (t ) = 25 t 1 −1 exp( −3t ) + exp( −15t ) + t exp( −15t ) + exp( −15t ) 1728 12 144 1728 14 8/13/2019 I ( s) = s ( s + 1)( s + 3) i (t ) = − t − 3t − 3t e + te + e 4 15 Thí dụ: F ( s) = F ( s) = s + 10 ( s + 2)( s + 5)3 A1 Alo Al1 Al + + + s + (s + 5)3 (s + 5)2 (s + 5) H 2' ( s ) = ( s + 5) + 3( s + 2)( s + 5) s + 10 ' − ) = S →−5 s + s + 10 − A = lim( s +10)'' = − Al = lim ( ) = l2 S →−5 s + 2 S→−5 s + 27 A1 = H ( −2 ) = ' H (−2) 27 ⇒ F (s) = Al1 = lim ( −8 −8 _5 1 ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 27 s + (s + 5) (s + 5) 27 ( s + 5) 16 8/13/2019 Khi H2(s ) có cặp nghiệm phức liên hợp: H ( s) có nghiệm phức s k = δ k + j ω k phức liên hợp s k∗ = δ k − jω k H (s ) H (s ) H (s∗ ) H (s ) f (t) = 1' k exp(skt) + 1' k∗ exp(sk∗t) = 1' k exp(sk t) + 1' k exp(sk t) H2 (sk ) H2 (sk ) H2 (sk ) H2 (sk ) H (s ) ⇒ f (t ) = Re 1' k exp(sk t ) H (sk ) H ( sk ) = Ak = Ak exp( j α k ) H 2' ( s k ) ∗ αk = arg Ak = arctgAk ⇒ f (t ) = Re[ Ak exp( jα k ).exp(δ k t ) exp( jωk t )] = Ak exp(δ k t ) Re[exp( j (ωk t + α k ))] ⇒ f (t ) = Ak exp( δ k t ) cos( ω k t + α k ) 17 Khi H2(s ) có nghiệm phức liên hợp p A F (s) = ∑ k + s sk − k =1 p+ M−p ∑ k = p +1 Ak A* + k * s − sk s − sk Fck ( s ) = Ak A* + k* s − sk s − sk f c k (t ) = H ( sk ) H (s* ) exp( sk t ) + 1' k* exp( sk*t ) ' H ( sk ) H ( sk ) f c k (t ) = H (s ) H (s ) H ( sk ) exp( sk t ) + 1' k exp( sk t ) = Re 1' k exp( sk t ) H 2' ( sk ) H s H s ( ) ( ) k k * [ ] [ ] ] 18 f ck (t ) = Re[Ak exp( sk t )] = Re Ak e jϕk e (σ k + jωk )t = Re Ak e jϕ k eσ k t e jωk t [ ] f ck (t ) = Ak eσ k t Re e j (ωk t +ϕ k ) = Ak eσ k t Re[cos(ωk t + ϕ k ) + j sin(ωk t + ϕ k )] σ kt f ck (t ) = Ak e cos(ωk t + ϕ k ) p H (s ) f (t ) = ∑ 1' k exp( sk t ) + k =1 H ( sk ) p+ M−p ∑ [2 A k = p +1 k eσ k t cos(ωk t + ϕ k ) 8/13/2019 Khi H2(s ) có nghiệm phức r: U ( s) = s s2 + u(t)= cos2t 10 F ( s) = s ( s + 10 ) f (t ) = 10 t − 10(1 − e −10 t ) 19 Khi H2(s ) có nghiệm phức : s + 15 ( s + 4)( s + s + 26) s1 = −4 I (s) = s2 = −1 + j s3 = −1 − j = s2* H 2' ( s ) = ( s + s + 26) + 2( s + 1)( s + 4) A1 = H1 (−4) 11 = H 2' (−4) 34 A2 = H1 (−1 + j ) 14 + j (14 + j )(5 + j ) = =− ' H (−1 + j ) 2.5 j.(3 + j ) 10 (5 − j )(5 + j ) 552 + 67 jarctg ( 55 ) (55 + 67 j ) = − e 10.34 10.34 67 =− 11 − t 552 + 67 − t 67 e − e cos[5t + arctg ( )] 34 5.34 55 i (t ) = 0.32.e − t − 0.5e − t cos[5t + 50,60 ] i (t ) = 20 10 8/13/2019 ⇒ f (t ) = Ak exp( δ k t ) cos( ω k t + α k ) s Thí Dụ: u A ( s) = ( s + 1)( s − s + 5) Nghiệm H ( s) s1 = j ; s2 = -j; s3 = 1+2j; s4 = 1-2j H 2' ( s) = 2s( s − 2s + 5) + ( s + 1)(2s − 2) A1 = H1(s1) j = = = 0,1+ 0,05j = 0,112exp(26,565j) ' H2 (s1) j(−1− j + 5) 2(4 − j) A1 = 0,112 α = 26,565 A3 = 1+ j 1+ j H1(s3) = = = −0,1− 0,075j = 0,125exp(−143j) ' H2 (s3 ) [(1+ j) +1][2(1+ j) − 2] −16−8 j A3 = ,125 α = −143 21 SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GiẢI CÁC BÀI TỐN Q ĐỘ • B1: Xác định điều kiện đầu toán: gốc thời gian, quy lân cận bên trái thời điểm khơng • • • • U C (0 − ), I L (0 − ) B 2: Sử dụng phương pháp phân tích mạch điện biết để viết phương trình hệ phương trình miền thời gian B 3: Chuyển phương trình hệ phương trình sang miền Laplace B 4: Tìm hàm gốc F(s) B 5: Biến đổi Laplace ngược (Heaviside) đề tìm hàm gốc f(t) 22 11 8/13/2019 Hình Hình Hình Hình Hình Hình 23 Hình Hình 24 12 8/13/2019 Mơ hình Thơng số Thời gian u (t ) = R ⋅ i (t ) Điện trở U ( s) = R ⋅ I ( s) I(s) i(t) R u(t) u(t ) = L Laplace di (t ) dt ZR U(s) = sL.I(s) – L.i(0) I(s) i(t) Điện cảm R= U(s) ZL= sL L u(t) U(s) Li(0) ut (t ) = i (t )dt C∫ U (s) = i(t) u (0) I ( s) + c sC s I(s) Zc =1/sC C Điện dung C u(t) U(s) uc(0)/sC25 BÀI TẬP Viết hệ phương trình dòng điện vòng miền Laplace Viết hệ phương trình điện áp nút miền Laplace E1(t) R1 + 1k L2 L3 100uH 220uH C6 R5 100k + 150uF Ing5(t) + + C4 50uF 26 13 8/13/2019 Hệ phương trình dịng điện vịng miền biến đổi Laplace IV ( s ) I − sL2 − sL3 ( R1 + sL2 + sL3 ) I (s) − sL2 ( sL2 + + R5 ) − R5 VII sC4 − sL3 − R5 ( sL3 + R5 + ) I ( s ) sC6 VIII E1 ( s ) − L2iL2 (0) − L3iL3 (0) − R I ( s ) + L i (0) − u (0) L2 C = ng s R5 I ng ( s ) + L3iL3 (0) + uC6 (0) s 27 Hệ phương trình dịng điện vịng miền Laplace mạch có hỗ cảm IVI (s) [ R1 + s( L2 + L3 − 2M )] − s( L2 − M ) − s( L3 − M ) − s( L2 − M ) [sL2 + + R5 ] − [ R5 + sM ] IVII (s) sC4 − s( L3 − M ) − [ R5 + sM ] [sL3 + R5 + R6 ] IV ( s) III E1 (s) − ( L2 − M )iL2 (0) − ( L3 − M )iL3 (0) = − R5 I ng (s) + L2iL2 (0) − MiL3 (0) − uC4 (0) s R5 I ng (s) + L3iL3 (0) − MiL2 (0) 28 14 8/13/2019 Hệ phương trình điện áp nút miền biến đổi Laplace U ( s ) 1 + sC4 ) − − sC4 A ( + R sL R 1 U ( s ) − + sC6 ) − sC6 ( + C R1 R1 sL3 − sC − sC6 ( + sC + sC6 ) U ( s ) R5 D E1 ( s ) − R − s iL2 (0) − C4uC4 (0) = E1 ( s ) + i (0) + C u (0) L C6 R s I ng ( s ) + C4uC4 (0) − C6uC6 (0) 29 Hệ phương trình điện áp nút miền Laplace mạch có hỗ cảm U ( s ) L3 1 M + sC ) −( + − sC ) ( + A 2 − − R L L M s R L L M s 3 1 1 M L2 −( + U ( s) + ) − ) ( + 2 C R1 L2 L3 − M s R1 L2 L3 − M s R6 R6 1 − sC4 − ( + sC + ) U ( s ) R6 R5 R6 D 0 E1 ( s ) E (s) 1 L3 M − u A (t )dt + C4u A (0) + uC (t ) dt − C4u D (0) − − iL (0) − C4uC (0) − 2 ∫ ∫ L2 L3 − M s −∞ L2 L3 − M s − ∞ s R1 R1 0 ( ) E s 1 E1 ( s ) M L2 = = + iL (0) + − ( ) ( ) u t dt u t dt A C R1 s R1 L2 L3 − M s −∫∞ L2 L3 − M s −∫∞ − I ng ( s) + C4uC (0) − I ng (ω ) − C4u A (0) + C4u D (0) 30 15 8/13/2019 BÀI TẬP Cho mạch điện gồm R L mắc nối tiếp.Hãy tính dịng điện i(t) chạy mạch đặt điện áp đầu đoạn mạch e(t) = 300V Biết R = 150 Ω, L = 0,15H, iL(0) = i (t ) = − 2e −10 t = 2(1 − e −10 t ) 3 Cho mạch điện gồm R L mắc nối tiếp.Hãy tính dịng điện i(t) chạy mạch điện áp L đặt điện áp đầu đoạn mạch e(t) = 300V Biết R = 150 Ω, L = 0,15H, iL(0) = 1,5A i (t ) = − 0,5e −10 t 31 16 ... R + Ro 200 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐẦU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN • Luật đóng ngắt tổng qt – Tổng từ thơng móc vịng vịng kín phải biến thiên liên tục thời điểm xảy đột biến thông số mạch điện –... Cho mạch điện gồm R L mắc nối tiếp.Hãy tính dịng điện i(t) chạy mạch đặt điện áp đầu đoạn mạch e(t) = 300V Biết R = 150 Ω, L = 0,15H, iL(0) = i (t ) = − 2e −10 t = 2(1 − e −10 t ) 3 Cho mạch. .. LAPLACE ĐỂ GiẢI CÁC BÀI TỐN Q ĐỘ • B1: Xác định điều kiện đầu toán: gốc thời gian, quy lân cận bên trái thời điểm khơng • • • • U C (0 − ), I L (0 − ) B 2: Sử dụng phương pháp phân tích mạch điện biết