0 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT Cuốn sách là sự tổng hợp và phân loại các dạng toán mũ – logarit hay và khó trong đề thi THPT Quốc Gia nhằm hướng tới các bạn[.]
CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Phương pháp giải tốn CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT Cuốn sách tổng hợp phân loại dạng toán mũ – logarit hay khó đề thi THPT Quốc Gia nhằm hướng tới bạn học sinh có mục tiêu 9+ kì thi đại học TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Li ệu Lời giới thiệu Tà i Trong đề thi THPT Quốc Gia tốn cực trị nói chung ln tốn mức độ vận dụng vận dụng cao đa phần cảm thấy khó khơng nắm phương pháp, kiến thức bất đẳng thức hay đánh giá túy Chính lí mà nảy ý tưởng viết số viết giúp bạn hiểu giải dạng toán bất đẳng thức cực trị đề thi thử đề thi THPT Quốc Gia Cuốn sách bạn đọc giới thiệu mang tới cho bạn nhìn khác phương pháp dạng toán cực trị hàm số mũ – logarit với mong muốn đọc hiểu áp dụng cho toán khác phức tạp phát triển thêm nhiều vấn đề khác Ở lần tái nhận nhiều ý kiến đóng góp từ bạn đọc, tốt có, góp ý có, tiếp nhận ý kiến hồn thiện tốt lần tái Trong ebook có sáng tác tự sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp qua fanpage Tr ợ Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Mai Hoàng Anh Fanpage https://www.facebook.com/OlympiadMathematical H ỗ Bản ebook phát hành miễn phí blog Chinh phục Olympic tốn, fanpage Tạp chí tư liệu tốn học hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại khơng cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Chương Các kỹ thuật đánh giá I Các kiến thức II Các dạng toán cực trị mũ – logarit Li ệu Mục lục Tà i Kỹ thuật rút thế, đánh giá điều kiện đưa hàm biến số Kỹ thuật “hàm đặc trưng” Các toán liên quan tới định lý Viet Các toán đưa đánh giá biến logb a H ỗ Tr ợ Chương Các toán chứa tham số Chương Các kỹ thuật đánh giá nâng cao Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức Điều kiện cần đủ Kỹ thuật đánh giá miền giá nghiệm Chương Các tốn dãy số Chương Phương trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ 1 3 17 37 45 50 99 100 148 165 175 185 225 Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Chương Li ệu Các kỹ thuật đánh giá Tà i Các toán vận dụng cao mũ – logarit đề thi thử THPT Quốc Gia tương đối đa dạng phong phú với nhiều biến tấu phát triển qua đề, năm Tuy nhiên hầu hết tất xoay quanh kỹ thuật rút thế, hàm đặc trưng, bất đẳng thức phụ bản, phương pháp hình học Vì chương ta tìm hiểu dạng tốn, kỹ thuật đánh giá thơng qua tốn xuất đề thi thử năm gần I Các kiến thức Tr ợ Để làm tốt tốn chuyên đề cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau Đây nội dung chuyên đề mà muốn nhắc tới, dạng tốn lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để làm tốt ta cần có số kiến thức bất đẳng thức nhắc lại kiến thức học sau Bất đẳng thức AM – GM Cho số thực dương a,b a + b ab Dấu “=” a = b • Cho số thực dương a,b,c a + b + c 3 abc Dấu “=” a = b = c • Tổng quát với số thực dương H • ỗ • Dạng cộng mẫu số n x i =1 i =1 i n i =1 i n n x i Dấu “=” x = x = = x n i =1 Dấu “=” x = x = = x n n x n n x i 1 x + x x + x 2 Khi cho n = 2, n = ta bất đẳng thức quen thuộc 1 1 + + x x x x + x + x Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz n n n + Cho số ( x 1, x , , x n ) (y1, y2 , , yn ) ta có x i yi x i yi i =1 i =1 i =1 Dấu “=” số lập thành số tỉ lệ Chú ý cho n = 2, n = ta bất đẳng thức quen thuộc https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ | Chương Các kỹ thuật đánh giá + ( x 12 + x 22 )(y12 + y22 ) (x 1y1 + x 2y ) + ( x 12 + x 22 + x 32 )(y12 + y22 + y32 ) (x 1y1 + x 2y2 + x 3y3 ) 2 n ai n i =1 x y (x + y ) + Dạng cộng mẫu Engel tổng quát Trong dạng dạng ta hay n + a b a +b i =1 bi b i i =1 Li ệu gặp Bất đẳng thức cịn gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy = = = n Riêng dạng cộng mẫu cần thêm điều kiện b1,b2 , ,bn b1 b2 bn Bất đẳng thức Minkowski Tổng quát Cho số thực r số dương a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn ta có 1 n n r r n r r r r a + b ( ) i i ai + bi i =1 i =1 i =1 n a i =1 Dấu “=” xảy i Tà i Ở xét trường hợp cho số (a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) Khi ta có n b + i =1 a a1 a2 = = = n b1 b2 bn đẳng thức Vector Bất đẳng thức Holder ( n (a i =1 + bi ) i (a + c ) + (b + d ) Tr ợ Dạng mà ta hay gặp a + b + c + d i Bất đẳng thức gọi bất ) Cho số dương x i, j i = 1, m , j = 1, n j m m n Khi với số 1, 2 , , n thỏa mãn i = ta có x i, j x i, jj i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 n ỗ n H Ở ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm (a,b,c ); (m, n, p ); (x , y, z ) Ta có (a )( )( ) + b + c x + y + z m + n + p (axm + byn + czp ) Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ ( Một bất đẳng thức dạng mà ta hay gặp (1 + a )(1 + b )(1 + c ) + abc ) Bất đẳng thức trị tuyệt đối Cho số thực a,b ta có a + b a + b a − b Dấu “=” thứ a,b dấu, dấu “=” thứ a,b trái dấu Điều kiện có nghiệm phương trình bậc Cho phương trình ax + bx + c = (a ) Khi + = phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái không âm không dương + phương trình có nghiệm phân biệt Tạp chí tư liệu tốn học | https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Phương pháp giải toán cực trị mũ – logarit | Ứng dụng kiến thức áp dụng cho tìm điều kiện có nghiệm để suy min, max Ngoài phải ý tới số phép biến đổi logarit mà ta học Tính chất hàm đơn điệu Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu liên tục tập xác định phương trình f ( x ) = a có tối đa nghiệm Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu khơng lien tục tập xác định phương trình f ( x ) = a có Li ệu tối đa n + nghiệm II Các dạng toán cực trị Mũ – Logarit Kỹ thuật rút thế, đánh giá điều kiện đưa hàm biến số Đây kỹ thuật mà gặp toán cực trị mà ta nghĩ tới, hầu hết chúng giải cách biểu thức từ giả thiết xuống yêu cầu đặt ẩn phụ biến đổi để đưa mối quan hệ biến từ sử dụng cơng cụ đạo hàm, bất đẳng thức để giải Sau ta vào ví dụ minh họa Tà i Ví dụ Cho số thực a,b thỏa mãn log a + log b = Giá trị lớn biểu thức P = log a + log b bằng? A log + log B log2 + log ( log2 + log3 2) C D log + log Chuyên KHTN Hà Nội – Lần – 2017 – 2018 Tr ợ Lời giải Biến đổi yêu cầu toán ta P = log3 a + log2 b = t log2 + log2 − t f ' (t ) = t log2 ỗ Xét hàm số f (t ) = log3 b log2 a log2 a − log a + = + log2 log3 log2 log log2 −t (t = log2 a ) 1 + log22 H Ta có f ' (t ) = − t = log2 t − t = t log 22 t = − f (t ) f = log2 + log3 max P = log2 + log3 2 + log2 Chọn ý A Ví dụ Cho số thực dương a,b thỏa mãn ( P = 4a + b − log 4a + b ) log a = log Giá trị nhỏ biểu thức b viết dạng x − y log z với x,y,z số thực dương lớn Khi tổng x + y + z có giá trị bao nhiêu? A B Lời giải 4 Từ giả thiết ta có log a = log log a = log 2 a = b b b 3 Đặt t = 4a + b , theo bất đẳng thức AM – GM ta có | Chinh phục Olympic toán https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ C D Cris Tuấn Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ | Chương Các kỹ thuật đánh giá t = 4a + b = 256 256 b b 256 b b 3 + b = + + = 12 2 b6 b6 b6 2 Khi P = 4a + b − log ( 4a + b ) = f (t ) = t − log t Ta có f ' (t ) = − 4 1− 0t 12 Vậy hàm f (t ) đồng biến 12;+ ) t ln2 12ln2 P = f (t ) f (12 ) = − log x = y = −4,z = x + y + z = Chọn ý C Tà i Li ệu Ví dụ Cho số thực dương a,b thỏa mãn log2 (12 − a − b ) = log2 (a + )(b + ) + Khi giá trị 3 m a b 45 nhỏ biểu thức P = viết dạng với m,n số nguyên + + n b + a + a +b m dương tối giản Hỏi giá trị m + n bao nhiêu? n A 62 B 63 C 64 D 65 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có log2 (12 − a − b ) = log2 (a + )(b + ) + log (12 − a − b ) = log 2 (a + )(b + ) a + b + (a + )(b + ) = 12 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có (12 − a − b ) = (a + )(b + ) (a + b + ) a + b a (a + ) + b (a + ) (a + )(b + ) + ( ) 4 3 45 a + b + a + b 45 = + a +b a +b (a + )(b + ) Tr ợ Biến đổi tiếp biểu thức P = 4 a + b (a + b ) Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc a + b (a + b )3 H Xét hàm số ỗ (a + b ) + (a + b ) 45 (a + b )4 + (a + b )3 45 t + 4t 45 + = + = + Từ suy P a +b a + b (12 − t )2 t (a + )(b + ) (12 − a − b ) f (t ) = t + 4t (12 − t ) + (t + )t + (t + )t − 45 ( + ).43 + ( + ) 42 − 45 45 f ' (t ) = 2 2 t (12 − t ) (12 − t ) t (12 − ) (12 − ) P f (t ) f ( ) = 61 61 P = m + n = 65 4 Chọn ý D Ví dụ Cho số thực dương x,y thỏa mãn log ( x + 2y ) = log x + log y , giá trị nhỏ biểu thức P = e x2 + 2y e y2 x +1 viết dạng m m với m,n số nguyên dương tối giản Hỏi n n giá trị m + n bao nhiêu? A 62 B 78 C 89 D 91 Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hải Phịng Tạp chí tư liệu tốn học | https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Phương pháp giải toán cực trị mũ – logarit | Lời giải Biến đổi giả thiết ta có log ( x + 2y ) = log x + log y log (x + 2y ) = log xy x + 2y = xy x x + y = y 2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x +y x x x x x + y = y + y − 4 + y + y 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số Engel ta có x y P = e 1+2y e x +1 Đặt t = x 2 2 x y ln P = + = + (1 + 2y ) x + 2y + x t2 + y (t ) ln P = = f (t ) f ( ) = P e 2 (t + 1) Chọn ý C x +y y x x + 2 + y + 1 2 Li ệu 2 Ví dụ Cho hai số thực x,y thỏa mãn x , y đồng thời + giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x ,y ) = e x +y − 2x −y − x − C e − Tr ợ thức T = M + m có giá trị bao nhiêu? A e − B e − 2x + 2xy −y 2xy Tà i x y x = 5.2 y Gọi M, m y2 Khi giá trị biểu D Không tồn Lời giải x Từ giả thiết ta có y + x y 2x + 2xy −y 2xy x Đặt a = y ,b = x (a,b ) ta a + x +y x 2x y − x = 5.2 y y + 4.2 y y = 5.2 x 4a = 5b (a − b )( 4a + 5b ) = a = b x = y b y2 x2 = e x − − x − = g (x ) 2 x x Ta có g ' ( x ) = e − x − 1, g '' (x ) = e − g ( x ) g ( ) = − 2x −y − x − H ỗ Khi f (x ,y ) = e Vậy không tồn giá trị nhỏ Chọn ý D Ví dụ Gọi S tập hợp cặp số thực ( x ;y ) thỏa mãn x −1;1 đồng thời ln ( x − y ) − 2017x = ln ( x − y ) − 2017y + e 2018 x y Biết giá trị lớn biểu thức P = e 2018x (y + 1) − 2018x với x , y S đạt ( x ;y ) Mệnh đề đúng? A x ( −1;0 ) C x = B x = −1 D x 0;1) THPT Chuyên Quốc Học – Huế năm 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có | Chinh phục Olympic tốn https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ | Chương Các kỹ thuật đánh giá ln ( x − y ) − 2017x = ln ( x − y ) − 2017y + e 2018 x y ( x − y ) ln ( x − y ) − 2017 (x − y ) = e 2018 ln (x − y ) − 2017 − e 2018 = (* ) x −y e 2018 e 2018 f ' (t ) = + 0, t f (t ) đồng biến ( 0;+ ) t t t 2018 y = x − e 2018 Khi phương trình ( * ) x − y = e Xét f (t ) = ln t − 2017 − ( ) P = e 2018x + x − e 2018 − 2018x = g (x ) ( ) g '' ( x ) = e (2018.2020 + 2018 x − 2018 e ) − 4036 e ( 2018.2020 + 2018 − 2018 e ) − 4036 0,x −1;1 2018x 2018x Li ệu g ' (x ) = e 2018x 2019 + 2018x − 2018e 2018 − 4036x 2018 2018 Nên g ' ( x ) nghịch biến −1;1 Mặt khác ta lại có g ' (1) = e −2018 + 2018 0, g ' ( ) = 2019 − 2018e 2018 nên tồn x ( −1;0 ) cho g ' ( x ) = max g ( x ) = g ( x ) −1;1 Chọn ý A +y − log2 ( x − y ) = biểu thức P = ( x + y ) − 3xy bao nhiêu? A 13 B 17 (1 + log2 (1 − xy ) ) Giá trị lớn Tà i Ví dụ Cho số thực x,y thỏa mãn 3x C D Lời giải Tr ợ Điều kiện x y;1 xy Biến đổi giả thiết ta có 3x +y − 3x log ( x − y ) = log ( − 2xy ) +y − ( • Nếu x + y VT log ( − 2xy ) =VP • Nếu x + y VT log ( − 2xy ) =VP Vậy x + y = (x + y ) = − 2xy xy = H Khi ta có ỗ ) log x + y − + − 2xy = log ( − 2xy ) − (x + y ) ( Do xy (x + y ) ( −2;2 ) ) P = (x + y ) − 6xy (x + y ) − 3xy = 2a − 3a a − − 3 ( a2 − )=f Chọn ý A Nhận xét Kỹ thuật đánh giá ta tìm hiểu chương (a )(a = x + y ) f (1) = 13 Ví dụ Cho số thực dương a, x,y,z thỏa mãn 4z y ,a Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) S = loga2 ( xy ) + loga x 3y + x 2z + 4z − y A −4 B − 25 16 C −2 D − 21 16 Lời giải Từ giả thiết ta có z y2 x 2y x 2y x 3y + x 2z x 3y + x 3y = (xy ) 4 Tạp chí tư liệu tốn học | https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ Fanpage: https://www.facebook.com/hotrotailieu1st/ Phương pháp giải toán cực trị mũ – logarit | 5 25 25 Khi S loga2 (xy ) + log (xy ) = loga xy + − − 16 16 Ví dụ Xét số thực dương phân biệt x , y thỏa mãn x +y = log Khi biểu thức 4x + y + 16.3y − x x −y đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị x + 3y B − log A − log C + log D + log Ta có x +y x +y = log2 x − y = = ( x + y ) log3 x −y log2 Do P = 4x + y + 16.3y − x = 4x + y + Li ệu Lời giải 16 16 16 16 = 4x + y + (x + y ).log = 4x + y + = 4x + y + x + y x −y x +y 3 3log3 ( ) 16 8 8 = t + + 3 t = 3 64 = 12 t t t t t Dấu xảy t = t = 2x + y = x + y = t x + y = Vậy P đạt giá trị nhỏ x + 3y = − log x − y = log3 Tà i Đặt t = x + y nên P = t + Ví dụ 10 Cho số x,y thay đổi thỏa mãn x y ln ( x − y ) + ln ( xy ) = ln ( x + y ) Giá trị nhỏ biểu thức M = x + y B Tr ợ A 2 C D 16 Lời giải H ỗ 2 2 ln ( x − y ) + ln (xy ) = ln (x + y ) (x − y ) xy = (x + y ) ( x + y ) − 4xy xy = (x + y ) 4B 2 Đặt A = ( x + y ) ;B = xy Ta ( A − 4B ) B = A A (B − 1) = 4B A = B −1 4B 4 Do A nên B Ta có A = = 4B + + = + ( B − 1) + + 2.4 = 16 B −1 B −1 B −1 Suy x + y xy = B − = B − B = x = + x + y = Dấu xảy A = 16 x y y = − A = 4B B −1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Chú ý Có thể khảo sát hàm số f ( B ) = 4B với B (1; + ) , ta f ( B ) 16 B −1 x +1 Ví dụ 11 Cho x,y số thực dương thỏa mãn − log2 (x − y + ) = log2 + Tìm giá trị y nhỏ biểu thức P = x (1 + y ) + 17 A y B C Lời giải | Chinh phục Olympic toán https://www.youtube.com/channel/UCSkuV4IYXb3rL2WQgr8XCDQ D ... tới cho bạn nhìn khác phương pháp dạng tốn cực trị hàm số mũ – logarit với mong mu? ??n đọc hiểu áp dụng cho toán khác phức tạp phát tri? ??n thêm nhiều vấn đề khác Ở lần tái nhận nhiều ý kiến đóng... Các kỹ thuật đánh giá Tà i Các toán vận dụng cao mũ – logarit đề thi thử THPT Quốc Gia tương đối đa dạng phong phú với nhiều biến tấu phát tri? ??n qua đề, năm Tuy nhiên hầu hết tất xoay quanh kỹ... cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau Đây nội dung chun đề mà mu? ??n nhắc tới, dạng toán lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để