Công thức toán học cấp 3

Cong thuc toan hoc Ôn tập toán 10 – 11 12 CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12) Tam thức bậc 2 1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1 1 Tính chất 1 (tính chất bắc cầu) a > b và b > c a > c 1 2 Tính c.

Ôn tập toán 10 – 11 - 12 CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12) Tam thức bậc 2: Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 Các tính chất bất đẳng thức: 1.1 Tính chất (tính chất bắc cầu): a > b b > c  a > c 1.2 Tính chất 2: a>b  a+c>b+c Tức là: Nếu cộng vế bắt đẳng thức với số ta bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho Hệ (Quy tắc chuyển vế): a>b+c  a–c>b 1.3 Tính chất 3: a  b  a c bd  c  d Nếu cộng vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHƠNG có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức chiều 1.4 Tính chất 4: a > b  a.c > b.c c > a > b  c.c < b.c c < 1.5 Tính chất 5: a  b   a.c  b.d  c  d  Nếu nhân vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHƠNG có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều 1.6 Tính chất 6: a > b >  an > bn (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7: a b 0 n a  n b (n nguyên dương) Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si): a b  a.b Định lí: Nếu a 0 b 0 Đẳng thức xảy khi: a = b Tức là: Trung bình cộng số khơng âm lớn trung bình nhân chúng Hệ 1: Nếu số dương có tổng khơng đổi tích chùng lớn số đõ bẳng Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Hệ 2: Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chùng nhỏ số Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:  x  x  x    x  x < Từ định nghĩa suy ra: với x  R ta có: a |x|  b |x|2 = x2 c x  |x| -x  |x| Định lí: Với số thực a b ta có: |a + b|  |a| + |b| (1) |a – b|  |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| a.b  |a – b| = |a| + |b| a.b  Định lí Vi-et: Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = (*) có nghiệm x1 , x2 (a 0) tổng tích nghiệm là: S = x1 + x2 =  b a c P = x1.x2 = a Chú ý: c + Nếu a + b + c = phương trình (*) có nhiệm x1 = x2 = a  c a + Nếu a – b + c = phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 x2 = Hệ quả: Nếu số u, v có tổng S = u + v tích P = u.v chúng nghiệm phương trình: x2 – S.x + P = Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:   a Định nghĩa: Cho điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k MA k MB b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  với điểm O ta có:   OA  kOB OM  1 k Trọng tâm tam giác:     GA  GB  GC 0 a Điểm G trọng tâm tam giác khi: Ôn tập toán 10 – 11 - 12     b Nếu G trọng tâm tam giác, với điểm O ta có: 3OG OA  OB  OC Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác: 7.1 Định lí Cosin tam giác: Định lí: Với tam giác ABC, ta ln có: a b  c  2bc.cos A b a  c  2ac.cos B c b  a  2ba.cos C 7.2 Định lí sin tam giác: Định lí: Trong tam giác ABC, với R bán kính đường trịn ngoại tiếp ta có: a b c   2 R sin A sin B sin C 7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến: b2  c2 a2 ma2   2 a  c b2 mb2   2 b  a c2 mc2   7.4 Cơng thức tính diện tích tam giác: Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 Tỉ số lượng giác số góc cần nhớ: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500   2  2 2 3 –2 3 2 – 5 3  3 2 || – 3 1 – sin cos tg cotg || Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sin a.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sin a.cos b  [sin(a  b)  sin( a  b)] 10 Cơng thức biến đổi tổng thành tích: – – – 1800  -1 || Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 a b a b cos 2 a b a b cos a  cos b  2sin sin 2 a b a b sin a  sin b 2sin cos 2 a b a b sin a  sin b 2 cos sin 2 cos a  cos b 2 cos 11.Công thức nhân đôi: cos 2a cos a  sin a 2 cos a  1  2sin a sin 2a 2sin a cos a 2tga    tg 2a  (a   k , a   k , k  Z)  tg a 2 12 Công thức nhân ba: sin 3a 3sin a  4sin a cos 3a 4 cos3 a  3cos a 13 Công thức hạ bậc: cos 2a 1 cos a   cos 2a sin a   cos 2a tg a   cos 2a 3sin a  sin 3a sin a  3cos a  cos 3a cos3 a  14 Cơng thức cộng: Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 sin( a  b) sin a cos b  cos a sin b sin( a  b) sin a cos b  cos a sin b cos( a  b) cos a cos b  sin a sin b cos( a  b) cos a cos b  sin a sin b Ngồi ta có cơng thức sau với số điều kiện: tga  tgb tg (a  b)  (*)  tga.tgb tga  tgb tg (a  b)  (**)  tga.tgb    a   k , b   k  , a  b   k  2 (*) có điều kiện:    a   k  , b   k , a  b   k 2 (**) có điều kiện: 15 Cơng thức tính tga, cosa, sina theo: 2t sin a  1 t2 1 t2 cos a  1 t2 2t  tga  , a   k 1 t2 t tg a  16 Công thức liên hệ góc bù nhau, phụ nhau, đối góc  : 16.1 Hai góc bù nhau: sin(  a) sin a cos(  a)  cos a tg (  a)  tga cotg (  a )  cotga Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 16.2 Hai góc phụ nhau:  sin(  a) cos a  cos(  a) sin a  tg (  a ) cotga  cotg (  a ) tga 16.3 Hai góc đối nhau: sin( a )  sin a cos( a ) cos a tg ( a )  tga cotg ( a)  cotga  16.4 Hai góc :  sin( a  ) cos a  cos( a  )  sin a  tg (a  )  tga  cotg (a  )  cotga 16.5 Hai góc  : sin( a   )  sin a cos( a   )  cos a tg (a   ) tga cotg (a   ) cotga Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 16.6 Một số công thức đặc biệt:  sin x  cos x  sin( x  )  sin x  cos x  sin( x  ) 17 Phương trình lượng giác: Phương trình bản: Phương trình đẳng cấp sinx cosx: Các phương trình lượng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = gọi phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, sinx cosx (1) (2) (3) Ôn tập toán 10 – 11 - 12 Do cosx ≠ nên chia hai vế phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình cho phương trình ta dễ dàng giải phương trình Phương trình bậc sinx cosx: * sinx + bcosx + c = (1), a2 + b2 ≠ phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ Có ba cách giải loại phương trình : b c (1)  sin x  cos x  0 a a - Giả sử a ≠ (2) Đặt : tg  b a (2)  sin x  tg cos x  c c 0  sin( x   )  cos  a a Ta dễ dàng giải phương trình - Đặt : x tg t 2t 1 t2 (1)  a b  c 0 1 t2 1t2 Giải phương trình bậc hai t, dễ dàng giải phương trình (1) 2 2 - Do a  b 0 , chia hai vế phương trình cho a  b : a b c (1)  sin x  cos x  a  b2 a2  b2 a2  b2 Đặt : a  sin    a  b2  b  cos   a  b (1)  sin( x   )  c a  b2 (đây phương trình bản) Chú ý : Ta ln có : | a sin x  b sin x | a  b Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 Ank  n!  n k! Ank n(n  1) (n  k  1) Ank 1 (n  k ) Ank Ann Pn n ! An0 1 Ann   Ann n ! (qui ước 0! = 1) 18.3 Tổ chợp: + Định nghĩa: Cho tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k n phần tử ( k n ) tập k a gồm k phần tử Số tất tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu Cn + Công thức: n! k !(n  k )! n( n  1) ( n  k  1) Cnk  k! Cnk  + Tính chất: Cnk Cnn k Cn0 Cnn 1 Cn0  Cn1   Cnn 2n Cnk  Cnk 1 Cnk11 18.4 Công thức Newton: k n k k Tk số hạng thứ k +1 khai triển nhị thức (a + b)n : Tk Cn a b (a  b) n Cn0 a n  Cn1a n  1b  Cn2 a n  2b   Cnm a n  mb m   Cnnb n Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 19 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian: 19.1 Trong mặt phẳng:   a ( x , y ), b ( x2 , y2 ) điểm A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) : 1 Cho vec-tơ  a.b  x1 x2  y1 y2  | a | x12  y12 d  AB  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  cos(a, b)  x1 x2  y1 y2 x12  y12  x22  y22   a  b  x1 x2  y1 y2 0 12.2 Trong không gian:   a ( x , y , z ), b ( x2 , y2 , z2 ) điểm A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) : 1 Cho vec-tơ  a.b  x1 x2  y1 y2  z1 z2  | a | x12  y12  z12 d  AB  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 )  cos(a, b)  x1 x2  y1 y2  z1 z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22   a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2 0 20 Đường thẳng mặt phẳng không gian: 20.1 Đường thẳng mặt phẳng: a Khoảng cách: Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = MH  | Ax  By0  C | A2  B + Khoảng cách hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = Ax + By + C2 = | C1  C2 | A2  B b Vị trí tương đối đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = (d2) : A2 x + B2 y + C2 = *( d1 )  ( d )   A1 B1  A2 B2 *( d1 ) / /(d )  A1 B1 C1   A2 B2 C2 *( d1 ) ( d )  A1 B1 C1   A2 B2 C2 *( d1 )  ( d )  A1 A2  B1B2 c Góc đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = (d2) : A2 x + B2 y + C2 =  (d1 , d ) cos   | A1 A2  B1 B2 | A12  B12 A22  B22 d Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng (d1)và (d2): A1 x  B1 y  C1 A12  B12  A2 x  B2 y  C2 A22  B22 (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + ) e Phương trình chùm đường thẳng có tâm giao đường thẳng (d1)và (d2):  ( A1 x  B1 y  C1 )   ( A2 x  B2 y  C2 ) 0 với     Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 20.2 Đường thẳng khơng gian: Góc đường thẳng:  u (d1) có vector phương (a1 , b1 , c1 )  v (d2) có vector phương (a2 , b2 , c2 )  góc (d1) (d2) cos   | a1a2  b1b2  c1c2 | a  b12  c12 a22  b22  c22 (d1 )  (d )  a1a2  b1b2  c1c2 0 21 Mặt phẳng: a Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: MH  | Ax0  By0  Cz0  D | A2  B  C b Chùm mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng: ( P ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1 0 (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 phương trình mặt phẳng có dạng:  ( A1 x  B1 y  C1 z  D1 )   ( A2 x  B2 y  C2 z  D2 ) 0 22.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số đó, kể từ số hạng thứ hai tổng số hạng đứng trước với số không đổi khác gọi công sai n  N *, U n 1 U n  d + Tính chất cấp số cộng : U n 1  U n U n 2  U n 1 U  U n 2 U n 1  n + Số hạng tổng quát: U n U1  d (n  1) Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 + Tổng n số hạng đầu: Un  (a1  an )n Un  2a1  d (n  1) n 23 Cấp số nhân: + Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số số hạng đầu khác khơng kể từ số hạng thứ hai tích số hạng đứng trước với số khơng đổi khác khác gọi công bội "n Є N*, Un + = Un.q + Tính chất : U n 1 U n 2  Un U n 1 U n1  U n U n 2 , Un > + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - S n U1  U   U n U1 + Tổng n số hạng đầu tiên: + Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < U S n U1  U   U n  1 q  qn 1 q Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12 Ơn tập toán 10 – 11 - 12 I Đạo hàm: Bảng đạo hàm bản: STT Hàm số y C x x2 Đạo hàm y’ 2x x x n n.x x  ex ax ln|x| 10 logax 11 12 13 x x (x 0) x ln a  x  sinx cosx cosx sinx 14 tgx 15 cotgx Tính chất đạo hàm: a (u + v)’ = u’ + v’ b (u – v)’ = u’ – v’ x n-1 x2 ex ax.lna cos x  sin x STT Hàm số y Đạo hàm y’ u u u' u u'  u eu au u'.eu au.lna.u’ ln|u| logau sinu cosu tgu 10 cotgu 11 y=f(u) u=g(x) u' u u' u.ln a cosu.u’ sinx.u’ u' cos u u'  sin u y'(x)=y’(u).g’(x) Ơn tập tốn 10 – 11 - 12 c (u.v)’ = u’.v + u.v’ d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ '  u  u '.v  v '.u    v2 e  v  II Nguyên hàm: Bảng nguyên hàm bản: STT Hàm số & Nguyên hàm dx x  C x 1  x dx  C  (  1)  1 dx  x dx ln | x | C ( x 0) x x e dx e  C ax C (0  a 1) ln a sin xdx  cos x  C x a dx  cos xdx sin x  C cos sin x x dx tgx  C  ( x   k ) dx  cotgx  C ( x k ) Một số nguyên hàm khác: a u' m m ( x   ) * Hàm y = (m 1) Hàm số có dạng : u = u'.u-m (m 1) với u = x-  a 1 m ( x   )m dx Nguyên hàm : 11Equation Section = a (m  1)( x   ) +C ... a cos 3a 4 cos3 a  3cos a 13 Công thức hạ bậc: cos 2a 1 cos a   cos 2a sin a   cos 2a tg a   cos 2a 3sin a  sin 3a sin a  3cos a  cos 3a cos3 a  14 Công thức cộng: Ôn tập toán 10... - 12 Tỉ số lượng giác số góc cần nhớ: Góc 00 30 0 450 600 900 1200 135 0 1500   2  2 2 3 –2 3? ?? 2 – 5 3  3 2 || – 3 1 – sin cos tg cotg || Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b ... c.cos2x = * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = gọi phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, sinx cosx (1) (2) (3) Ơn tập tốn 10