T^PCHi KHOA HOC SÔ 14 * 2017 15 GIA TRI RIÊNG, VÉT CÙA MA TIL^N VA MQT SÔ Û*NG DUNG Le Hào'''' Tôm tât Trong bài viit ndy chûng tdi trinh bày mdi liin hi giùa cdc khâi niêm gid tri riêng va vit cùa ma tr[.]
T^PCHi KHOA HOC SÔ 14 * 2017 15 GIA TRI RIÊNG, VÉT CÙA MA TIL^N V A MQT SÔ Û*NG DUNG Le Hào' Tôm tât Trong viit ndy chûng tdi trinh bày mdi liin hi giùa cdc khâi niêm gid tri riêng va vit cùa ma trgn (Dinh H 3), dâng thài niu mât vdi ûng dgng cùa cdc khdi niêm vào ma trân va dinh thûc TiJr khôa: Già tri riêng, vit cùa ma trgn, dinh thûc Giôi thiêu Cho A ma trân vuông câp n, xét da thûc dâc trung cùa A P{f) = é&.{A -tl„) Ggi Â, nghiêm phûc bôi s,>0 vôi i = l k cùa P(t), cdc A, phân biêt Tacô: P(t) = (A,-ty'iA,-tr\ (\-ty\ Aec Nhu ta dêu biét, À^ ggi câc tri riêng cùa ma trân A 1.1 Dinh nghỵa Vêt cûa ma trân A = (a,j)„^„, ki hiêu trace(A), tèng câc phàn tù nâm duông chéo chinh cùa ma trân ^, khidô; trace{^A^-a^^+ ^22-*••••+a„„Ta de dàng kiêm chùng câc tinh chat sau: 1.2 Dinh ly Vơi ma trỵin A,B vng câp n thi: trace(A + B) = trace{A)+trace(B) trace(kA) = ktrace{A) (k e C) trace(AB) = trace(BA) Chùng minh Hai tinh chat dàu hiên nhiên, ta chùng minh tinh chat thû ba Ta cô: 1-1 ; - l J=l 1=1 Nhàc dên Ididi niêm già tri riêng, vét ma trân cd rdt nhiiu toàn thû vi lien quan âén nhieu vân âè khàc agi sô, thv&ng ggp cdc de thi Olympia Sinh viên Do dô cân phài tim hiêu cdc khdi niêm nhu câc ûng dung cùa chùng Lien giûa già tri riêng va vột cựa ma trõn, mỗt so ỷng dung 2.1 Dinh Ii Cho ma trân vuông A vôi câe giâ tri riêng A, e C phân biêt nhu thi: ' ThS, Tnrcfng Dai hỗc Phự Yen TRirễNG DAI HOC PHt) YEN Chùng minh Ta cô: V( s i ! , d e t ( ^ - t f , ) = P ( = i \ - r ) " (^ -t)" (\ - ( ) " Cho / = thi cô dieu phài chùng minh • Dé chuân bi cho djnh Ii tiép theo ta cô bô de sau: Bô dé Vôi moi ma trân vuông câp n> thi: P, ( = det(^ - ( / , ) = HT + trace(A)(-tT' + Hf) Trong dơ h(l)\!i da thùc deg(A(0) S « - Chùng minh Vôin=2 thi:/>j(0 = r "^ =(-0^-(a,+ij)r + a,ij-aji| Vây bè de dùng vôi n=2 Già su bo de dùng vôi moi ma trân vuông câp ft > Xét ma trân A vuông câp k+1 |o„ - / a,j u„ a„ -t ",.„ a "2,HI Bâng câch khai triên theo dông i ta cô: a,j-/ a„ -/ỵlW Vơi deg(/i| (r)) < ( t + ) - = t - Âp dung già thiét qui njp ta suy ra: ^ w W = (a„ - [ ( - ' +(«22 + a „ + + a,«.wX-0'^' + ' i » ] + A(0 Trong dô deg(/i; (0) S t - Tù dơ suy ra: •Pw(') = ( - ' * ' + ( a „ + a , j + a33+ +a,,,,,,)(-0'+/!(/) Vôi M0 = (a„-0'>2(')+A,(0 + a„(a,,+a„-f + a , , j , , ) ( - ' - ' cô d e g ( A ( ) S t - l Bô de cûng dùng vôi K = t + Bụ dộ dõ duỗrc chựng minh a 2.2 Dinh \j Cho ma trân vuông A vôi càc giâ uj riêng ;!, e C phân biêt nhu thi: trace(A) = s^X, +^2^2+ +^,;!, Chiing minh Theo bô de trên: Pif) = det(.4-tf J = (-])"(" -ft-ace(^)(-l)"!""' +A(0 TAP CHi KHOA HQC SƠ 14 * 2017 Vơi deg(h(t)) (z = l A)eùa P(t} Âp dung dinh Ii Viète thi cô dieu phài chûng minh n 2.3 Djnh ly Cho ma trân vuông^ vuông câp n >1, vôi n già tri riêng ^ e C (i = \ h), câc trj riêng cô thê trùng Khi dụ vụi da thực f(x) e R[x] khõc khụng, thi; a) àetf(A) = f(A,)f(X2) fiX„) b) /(>^),/(/l2), ,/(.^Jlàeâctri riêngcùamatrïin f(A) Chûng minh Già su f(x) da thûc bac m va a,,ằ^, ,^,^ l cõc nghiỗm (thuc hoõc phỷc, kờ c bỗi) cựaffx) Ta cụ: a) P() =(>!,- )(2 - A) (A„ - A) da thûc d^c himg cùa A fix) = cix-a^){x-a^) (x-aj Dodô: /(A) = ciA - a,!)(A - aJ) {A - aj) det/(v4) = c " d e t ( ^ - a i ) d e t ( ^ - a / ) d e t ( ^ - a „ / ) = c " f J P ( a , ) Mat khâc: P{a,) = {À,-aX^-a,) iK-(^.) = Yl^^j-'^-^ Vi v$y: âaf{A) = c"f\P{a,)^Y{cY{(.X^-cc,) = Yln^) b) Bât g(x) = / ( x ) - l va âp dung itét quâ ta cô: àeig{A) = gWg(\) g{K) Suy ra: d e t ( / ( ^ ) - / l / ) = ( - l ) " ( A - / ( / l , ) ) ( A - / ( ^ ) ) ( / l - / ( A , ) ) Vây /(;l,),/(/lj), ,/(;l,)làcàctririêngcùamatrân f(.A).n Nh|n xét Tù chùng minh ta thây rang: néu P või = *:) thi vôi moi da thùc / ( x ) e R[x\, ma trân f(A) cô da thùc dâc trung là: Q(i)=(fw-'n/w-ty'-(./w-'Y' Vidu l.(Olympic sinh viên 1999) Cho da thùc / ( x ) = x " ^ + x ^ + l vchomatrỗn: TRl/ễNG DAI HầC PH ('4 0' 0 YEN - 1,1 2j Tinh d e t / ( ^ ) Giài.Tacô; d e t ( ^ - ) = ( - A ) ( - l - A ) |4-A Suy A cô càc tri riêng; ^ = , , ^ = - l , ^ = l , A = Theo dinh ly tièn:J[A) cô càc trj riêng : / ( ) = 2"" + 3, / ( - l ) = -1, / ( l ) = 1, / ( ) = 6"» +35 Va d e t / ( ^ ) = - ( " ^ + ) ( " " + ) D Vi dy yi ma trân vuông thuc câp n («>1) Già su da thùc / ( x ) e ^ [ x ] , thôa f(A) = (ma trân không) Chùng minh rang: V a e J?, / ( a ) ^e , thi det(^ - aP) # Giâi Già su A-al không khà nghich, tùc d e t ( ^ - a / ) = , hay a tri riêng cùa^ Tù dinh ly suy /(or) h-j riêng cùa f(A) = 0, dô / ( a ) = 0, trâi vôi già thiét n Vi dli Cho f(x)&R[x] ^eM,(;ỵ)thi Giài A^M^iR) va / ( x ) > V x e i ỵ Chùng minh rang: vôi moi ma hân det/(^)>0 nên da thùc d je trung F ( l ) cùa ^ lây se R Vây néu z e C nghiêm cùa P ( l ) thi z cûng vây Giâ su x,,Xj, ,x,j (fcSO) câc nghiêm thuc va Z[,Z2, ,z,,Z|,Z2, Z; (/>0) câc nghiêm phùc cô phàn khâc không Theo dinh ly ta cô: det/(^)=/(x,)/(x2) /(x,)n/(z^)/(^)=n/(x,)ni/(z^)f ;-I -1 j.l V|y d e t / ( ^ ) > / ( x ) > Vxe.R D Vi du Cho ma trân AsM^(R)v6in> I, thôa / ( ' ° ° + ^ ' ° " + ^ ^ ° ' ° + + / = Chùng minh rang det(y4-2012/)stO Giài Già su det(^-2012/) = 0, suy « = 2012 trj riêng cùa Xét da thùc / ( x ) = x"" - , theo dinh ly thi: nA) = (.A-!XA'°"+A'"'+A"''+ +l)=o TAP CHI KHOA HOC SƠ 14 • 2017 f(A) nhân /(2012) làm tri riêng, dô /(2012) = 2012^°" - = vô ly n Vf du Cho câc ma trjn A,B vng câp «, ait C = AB-BA cà ma trân A, B Chûng tô rang: Già su rang C giao hôn vơi a) Trace(C' ) = 0, Vm e Af • b) Ton tai sơ nguyen ducmg m cho C = 0, (ma trân không câp n), Giài a).Vôi moi m nguyen duong thi: C- =(AB-BA)C '"-'=A(BC '-')-(BC -•)A V^y ta ln traceiC"') - 0, Vm eN* b) Ta chùng minh moi tri riêng cùa C dèu bâng Thât vây, già su C cô câc tri riêng khàc không phân bi^t X^,X^, Xf e C vôi.^/côbôi j,>0 Tù già thiêt ta suy ra: s,A, + s^X^ + + s^\ traceiC ) ỵ,;!,' + Sj/lj^ + sX trace(C^) + IST yln j,Af SI A + + -^^ A' D^O = 1 X, X, tracera'') I \ x;-' xi-' \\ dinh thûc ô vé phài djnh thùc Vandermonde câp k, vôi câc giâ tri Z^ phân biêt (xem [1], chuyêndê4, trang29 và30) Vây s, = j j = = j ^ = , vô H Do dụ tri riờng eỷa C dốu bõng tûe P(À) = det(C-Àl) = [^X)" Suy C"=0„L Lien quan âên khdi niêm âa thûc dgc trung, giâ tri riêng, vit ma trân rdt nhiêu ûng dung thû vi khàc linh vue agi sô tuyên tinh, phgm vi viêt chûng toi chi giâi thiêu nhtmg ûng dung ca bdn nhôm gai y cho càc ban sinh viên tiép tue tim hiêu thêmO TRl/ONG DAI HQC PHÙ YEN [1] [2] [3] [4] [5] TAI LIEU THAM KHAO Le Hào (20i4), Bài gidng agi sô, Chuyên dé boi duông dôi tuyên Olympic sinh viên, Truông Dai hoc Phû Yen Le Hào (2011), Da thûc âge trung va già tri riêng, âp dung tim lùy thira ma trân, Tap chi thông tin khoa hoc se 05, Dai hoc Phù Yen nâm 2011 Hôi Toân hoc Viêt Nam, Câc âè thi Olympic sinh viên tic 2006 âên 2016, Hà Nôi Tài lieu bèi duông d^i tuyên Olympic (2012), Câc chuyên âê tinh dinh thûc, Truông D^i hoc Kinh te quoc dân, Hà nôi Tran Nam DQng (2009), Mât sa chuyên de vè ma trgn, Dai hoc KHTN Thành Hè Chi Minh Abstract Eigen values, trace of matrices and applications In this article we would présent the relationship between the Eigen values and trace of matrices (Theorem 3), simultaneously mention some applications of thèse concepts into the matrices and déterminants Keywords: Eigen value, trace ofmatrix, déterminant ... KHOA HOC SƠ 14 • 2017 f(A) nhân /(2012) làm tri riêng, dô /(2012) = 2012^°" - = vô ly n Vf du Cho câc ma trjn A,B vng câp «, ait C = AB-BA cà ma trân A, B Chûng tô rang: Già su rang C giao hôn... chuyêndê4, trang29 và3 0) Vây s, = j j = = j ^ = , vụ H Do dụ tri riờng eỷa C dèu bâng tûe P(À) = det(C-Àl) = [^X)" Suy C"=0„L Lien quan âên khdi niêm âa thûc dgc trung, giâ tri riêng, vit ma trân rdt... vè ma trgn, Dai hoc KHTN Thành Hè Chi Minh Abstract Eigen values, trace of matrices and applications In this article we would présent the relationship between the Eigen values and trace of matrices